Aula 5

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA LINEAR
AULA 5- ESPAÇOS VETORIAIS
ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula:
. VETORES DE DIMENSÃO n:
. ADIÇÃO DE VETORES
. MULTIPLICAAÇÃO POR UM ESCALAR k
. PROPRIEDADES
. ESPAÇOS VETORIAIS
. SUBESPAÇOS VETORIAIS
. EXERCÍCIOS
ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
VETORES DE DIMENSÃO n
Os espaços n—dimensionais são representados por uma
ênupla ou n-upla de números reais representados por (α1, α2,
α3, ... , αn).
Exemplos:
1. u=(-1,2,-5,7) é um vetor que possui quatro coordenadas e
pertence a um espaço real de dimensão 4, o R4.
2. v=(4,0,-3,6,-4) é um vetor que possui cinco coordenadas e
pertence a um espaço real de dimensão 5, o R5.
Rn = {(u1,u2,u3, ... , un)  u1, u2, u3, ... , un R}

ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
OPERAÇÕES EM Rn
1.ADIÇÃO DE VETORES
Considere dois vetores u=(u1,u2,u3,...,un) e v=(v1,v2,v3, ... ,
vn ) do R
n.
Temos que:
u + v = (u1+v1 , u2+v2 , u3+v3 , ... , un+vn)
2. MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR k
Considere um vetor u =(u1,u2,u3,...,un) e seja k um escalar
(real) qualquer.
Temos que:
k.u = k. (u1,u2,u3,...,un) = (ku1,ku2,ku3, ... , kun)
ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
EXEMPLOS:
Considere os vetores u=(-2,3,-5,4) , v=(3,9,-6,0) e
w=(-4,8,-7,1) do R4 . Calcule:
a) u + v
b) w-v
c) 2u-v+3w
ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
d) -w+3v-2u
e) 5u-v+2w
ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
PROPRIEDADES
As operações de adição e multiplicação por escalar no
Rn gozam das seguintes propriedades.
Para quaisquer u , v e w do Rn e m e n escalares
reais, temos:
1.(u+v)+w=u+(v+w) Propriedade Associativa
2.u+v=v+u Propriedade Comutativa
3. u+0=0+u=u Elemento Neutro -> 0=(0,0,0, ... . 0)
4. u+(-u)=0 Elemento Inverso->-u é o oposto ou simétrico de u
5. m(u+v)=um + mv
6. (m+n)u=mu+nu
7.(mn)u=m(nu)
8. 1.u=u
ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
EXEMPLOS:
1. Qual a dimensão de cada um dos vetores abaixo:
a) u=(1-,3,5,-7,9)
b) v=(0,-3,-4,5,9,0,-8)
2. Qual é o vetor nulo do R8?
3. Determinar o vetor v sabendo que (3,7,1)+2v=(6,10,4)-v.
ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
ESPAÇOS VETORIAIS
Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de
vetores qualquer que seja o conjunto V considerado.
O conjunto V de todas as matrizes de números reais de
m linhas e n colunas, representado por M=(m,n), com as
operações de soma e multiplicação por um escalar real
constitui um espaço vetorial.
O espaço Rn com as operações usuais de adição e
multiplicação por escalar real constitui um espaço vetorial.
ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
SUBESPAÇOS VETORIAIS
Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um espaço
vetorial V, então W é um subespaço de V se, e somente se, são
satisfeitas as seguinte propriedades:
i) Se u e v são vetores de W, então u+v também é vetor de W
ii) Se k é um escalar qualquer e v é um vetor qualquer em W,
então k.v está em W.
Obs.: Note que sendo V um espaço vetorial e W≠ um
subconjunto de V que satisfaça as duas condições acima
dizemos que W é um subespaço de V.

ESPAÇOS VETORIAIS– AULA 5
ÁLGEBRA LINEAR
Na aula de hoje estudamos:
. VETORES DE DIMENSÃO n 
. ADIÇÃO DE VETORES
. MULTIPLICAAÇÃO POR UM ESCALAR k
. PROPRIEDADES
. ESPAÇOS VETORIAIS
. SUBESPAÇOS VETORIAIS
. EXERCÍCIOS