Lista 3

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Lista 03: Lei de Gauss
Prof. Dra. Andréa S. S. Camargo
FFI0335 - Física III (2014)
Universidade de São Paulo
andreasc@ifsc.usp.br
Fluxo do Campo Elétrico
1. (Tipler 22.21) Uma linha de cargas com densindade linear uniforme λ está ao longo
do eixo x desde x = x1 até x = x2, em que x1 < x2. Mostre que a componente x do
campo elétrico em um ponto no eixo y é dado por Ex = kλy (cos θ2 − cos θ1), em que
θ1 = tan
−1(x1y ) e θ2 = tan−1(
x2
y ) com y 6= 0.
2. (Tipler 22.22) Um anel de raio a tem uma distribuição de cargas que varia com
λ(θ) = λ0senθ (Figura 2). a) Quais são a direção e o sentido do campo elétrico no
centro do anel? b) Qual é a magnitude do campo no centro do anel?
Figura 1: Anel
3. (Tipler 22.35) Um cone circular reto imaginário (Figura 1) com ângulo de base θ e
raio de base R está em uma região livre de cargas que tem um campo elétrico uniforme
~E (linhas de campo são verticais e paralelas ao eixo do cone). Qual é a razão entre o
número de linhas de campo por unidade de área entrando na superfície cônica do cone?
Use a lei de Gauss em sua resposta.
Figura 2: Cone circular reto
4. (Tipler 22.80) Um anel estacionário de raio a está no plano yz e tem uma carga
positiva uniforme Q. Uma pequena partícula com massa m e carga negativa −q está
localizada no centro do anel. a) Mostre que, se x << a, o campo elétrico ao longo do
eixo do anel é proporcional a x. b) Determine a força na partícula como uma função de
x. c) Mostre que, se a partícula é deslocada levemente no sentido +x, ela iniciará um
movimento harmônico simples. Qual é a frequência desse movimento?
5. (Halliday 23.48) A Figura 3 mostra duas cascas esféricas não-condutoras mantidas
fixas no lugar. A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme de +6, 0 C
m2
na superfície externa e um raio de 3, 0cm; a casca 2 possui uma densidade superficial de
cargas uniforme de +4, 0 C
m2
na superfície externa e raio de 2, 0cm; os centros das cascas
estão separados por uma distância L = 10cm. Em termos dos vetores unitários, qual é
o campo elétrico no ponto x = 2, 0cm?
Figura 3: Cascas esféricas
Lei de Gauss: Simetria cilíndrica
6. (Tipler 22.50) Um cilindro sólido não-condutor infinitamente longo de raio a tem
uma massa específica volumétrica uniforme de ρ0. Mostre que o campo elétrico é dado
pelas seguintes expressões:
ER =

ρ0
R
2�R
, se 0 ≤ R < a;
ρ0
a2
2�0R
, se R > a.
7. (Tipler 22.54) Um cilindro sólido não-condutor, infinitamente longo de raio a, tem
densidade volumétrica não-uniforme de cargas. Esta densidade varia linearmente com
R, a distância perpendicular ao seu eixo, de acordo com ρ(R) = βR2, em que β é uma
constante. a) Mostre que a densidade linear de carga do cilindro é dada por λ = piβa
4
2 .
b) Determine expressões para o campo elétrico quando R < a e quando R > a.
8. (Halliday 23.27) A Figura 4 é uma seção de uma barra condutora de raio R1 =
1, 30mm e comprimento L = 11, 00mm no interior de uma casca coaxial, de pa-
redes finas, de raio R2 = 10, 0R1] e mesmo comprimento L. A carga da barra é
Q1 = +3, 40x10
−12 C; a carga da casca é Q2 = −2, 00Q1. Determine (a) o mó-
dulo E e (b) a direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância
radial r = 2, 00R2. Determine (c) E e (d) a direção do campo elétrico para r = 5, 00R1.
Determine a carga (e) na superfície interna e (f) na superfície interna da casca.
Figura 4: Seção de barra
Lei de Gauss: Simetria esférica
9. (Tipler 22.36) Na atmosfera e a uma altitude de 250m, você mede um campo
elétrico igual a 150NC dirigido para baixo, e, a uma distância de 400m, você mede um
capo elétrico igual a 170NC dirigido para baixo. Calcule a densidade volumétrica de carga
da atmosfera na região entre as altitudes de 250m e 400m, considerando que ela seja
uniforme. (Você pode desprezar a curvatura da Terra. Por quê?)
10. (Tipler 22.42) Uma esfera sólida não-condutora de raio R tem uma densidade
volumétrica de carga que é proporcional à distância ao centro. Ou seja, = Ar para
r ≤ R, em que A é uma constante. a) Determine a carga total na esfera. b) Determine
as expressões para o campo elétrico no interior da esfera (r < R) e fora da esfera
(r > R). c) Represente a magnitude do campo elétrico como uma função da distância
r ao centro da esfera.
11. (Tipler 22.60) Se o módulo do campo elétrico no ar atinge 3, 0x106NC o ar se
torna ionizado e comeá a conduzir eletricidade. Este fenômeno é chamado de ruptura
dielétrica. Uma carga de 18C deve ser colocada em uma esfera condutora. Qual é o raio
mínimo da esfera que pode manter esta carga sem provocar ruptura?
12. (Tipler 22.73) Um tratamento baseado na mecânica quântica para o átomo de
hidrogênio mostra que o elétron no átomo pode ser tratado como distribuição espalhada
de carga negativa da forma ρ(r) = −ρ0e
−2r
a . Aqui, r representa a distância ao centro
do núcleo e a representa o primeiro raio de Bohr, que tem um valor numérico igual a
0, 0529nm. Lembre que o núcleo do átomo de hidrogênio consiste de apenas um próton
e considere este próton como uma carga puntiforme positiva. a) Calcule ρ0 usando o
fato de que o átomo é neutro. b) Calcule o campo elétrico a qualquer distância r do
núcleo.
13. (Halliday 23.53) Uma distribuição de cargas não-uniforme, mas com simetria
esférica, produz um campo elétrico de módulo E = Kr4, onde K é uma constante e r é
a distância do centro da esfera. O campo aponta para longe do centro da esfera. Qual
é a distribuição volumétrica de cargas ρ?
Lei de Gauss: Simetria Planar
14. (Halliday 23.41) Na Figura 5 uma pequena esfera não-condutora de massa m =
1, 0mg e carga q = 2, 0x10−8C (distribuída uniformemente em todo o volume) está
pendurada em um fio não-condutor que faz ângulo θ = 30o com uma placa vertical,
não-condutora, uniformemente carregada (vista de perfil). Considerando a força gra-
vitacional a que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande
extensão, calcule a densidade superficial de cargas σ da placa.
Figura 5: Pêndulo não-condutor
15. (Halliday 23.42) A Figura 6 mostra uma placa não-condutora muito extensa que
possui uma densidade superficial de cargas uniforme σ = −2, 00 C
m2
; a figura mostra
também uma partícula de carga Q = 6, 00C, a uma distância d da placa. Ambas estão
fixas no lugar. a) Se d = 0, 200m, para que coordenada (a) positiva e (b) negativa sobre
o eixo x (além do infinito) o campo elétrico total ~Etot é zero? (c) Se d = 0, 800m, para
que coordenada sobre o eixo x o campo ~Etot é 0?
Figura 6: Placa não-condutora