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Lista 4 Extra de Exercı´cios - Geometria Espacial
Observac¸o˜es: Os exercı´cios aqui apresentados sa˜o dos livros do PAFM (ainda em preparac¸a˜o),
Geometria Euclidiana Espacial de Manoel Azevedo e Fundamentos de Matema´tica Elemen-
tar Vol. 10. Bons estudos
1 - Mostre que o aˆngulo entre dois planos e´ igual ao aˆngulo que duas retas, respectivamente,
perpendiculares a eles, fazem.
2 - Mostre que o plano bissetor de um aˆngulo diedral cujas faces na˜o sa˜o coplanares e´ o
conjunto dos pontos equidistantes dos planos que conteˆm as respectivas faces do aˆngulo
diedral pertencentes a` regia˜o convexa determinada por ele.
3 - Considere os aˆngulos que formam um triedro. Mostre que:
(a) a medida de cada um e´ menor do que a soma das medidas dos outros dois;
(b) a soma das medidas deles e´ menor do que 360o.
4 - Uma reta r faz um aˆngulo de 30o com um plano α. Mostre que o aˆngulo que r faz com
qualquer plano paralelo a α mede 30o.
5 - Seja r uma reta secante a um plano α num ponto P, na˜o perpendicular a α. Mostre que o
aˆngulo que r faz com α e´ o menor aˆngulo dentre todos os aˆngulos que as retas contidas em
α passando por P fazem com r.
6 - Uma figura e´ formada por quatro pontos A, B,C e D e pelos segmentos AB, BC,CD e
DA. Se os aˆngulos Â, B̂, Ĉ e D̂ sa˜o retos, ela e´ uma figura plana?
7 - Sejam A, B,C e D pontos distintos entre si pertencentes a um plano α, e, O < α. Mostre
que se OA = OB = OC = OD, enta˜o A, B,C e D pertencem a uma mesma circunfereˆncia
contida em α cujo centro e´ a projec¸a˜o ortogonal de O em α.
8 - Seja O a projec¸a˜o ortogonal de um ponto P sobre um plano pi. Considere uma circun-
fereˆncia de centro O contida em pi. Mostre que todas as retas tangentes a esta circunfereˆncia
esta˜o a uma mesma distaˆncia de P.
9 - Mostre que
(a) Se um segmento de reta e´ paralelo a um plano, enta˜o a sua projec¸a˜o ortogonal sobre o
plano e´ congruente a ele.
(b) A projec¸a˜o ortogonal de um segmento oblı´quo a um plano, sobre esse plano, e´ menor
que o segmento.
10 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) A projec¸a˜o ortogonal de um ponto sobre um plano e´ um ponto.
(b) A projec¸a˜o ortogonal de uma reta sobre um plano e´ uma reta.
(c) A projec¸a˜o ortogonal de um segmento sobre um plano e´ sempre um segmento.
(d) A projec¸a˜o ortogonal de um segmento oblı´quo a um plano, sobre o plano, e´ menor que
o segmento.
(e) A projec¸a˜o ortogonal, sobre um plano, de um segmento contido numa reta, na˜o per-
pendicular ao plano, e´ menor que o segmento ou congruente a ele.
(f) Se um segmento tem projec¸a˜o ortogonal congruente a ele, enta˜o ele e´ paralelo ao plano
de projec¸a˜o ou esta´ contido nele.
(g) Se dois segmentos sa˜o congruentes, enta˜o suas projec¸o˜es ortogonais sobre qualquer
plano sa˜o congruentes.
(h) Se dois segmentos na˜o congruentes sa˜o oblı´quos a um plano, enta˜o a projec¸a˜o ortogo-
nal, sobre o plano, do maior deles e´ maior.
(i) A projec¸a˜o ortogonal de um triaˆngulo, sobre um plano, e´ sempre um triaˆngulo.
11 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Se as projec¸o˜es ortogonais de duas retas sobre um plano, sa˜o paralelas, enta˜o as retas
sa˜o paralelas.
(b) Duas retas paralelas na˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o tem projec¸o˜es paralelas.
(c) Se os planos projetantes de duas retas na˜o perpendiculares ao plano de projec¸a˜o sa˜o
paralelos, enta˜o as projec¸o˜es dessas retas sa˜o paralelas.
(d) Se dois planos sa˜o perpendiculares, as projec¸o˜es dos pontos de um deles sobre o outro
e´ o trac¸o dos planos.
(e) A projec¸a˜o ortogonal de um aˆngulo sobre um plano pode ser uma semi-reta.
(f) A projec¸a˜o ortogonal de um aˆngulo sobre um plano pode ser um segmento de reta.
(g) A projec¸a˜o ortogonal de um aˆngulo sobre um plano pode ser uma reta.
12 - Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Se PA e um segmento oblı´quo a um plano α, com A ∈ α, enta`o a distaˆncia entre P e A
e´ a distaˆncia entre P e α.
(b) A distaˆncia entre um ponto e um plano e´ a distaˆncia entre o ponto e qualquer ponto
do plano.
(c) A distaˆncia entre um ponto e um plano e´ a reta perpendicular ao plano pelo ponto.
(d) A distaˆncia de um ponto P a um plano α e´ a distaˆncia de P ao ponto P′ de intersec¸a˜o
de α com a reta r, perpendicular a α por P.
(e) A distaˆncia entre uma reta e um plano paralelos e´ a distaˆncia entre um ponto qualquer
do plano e a reta.
(f) A distaˆncia entre uma reta e um plano paralelos e´ a distaˆncia entre um ponto qualquer
da reta e um ponto qualquer do plano.
(g) A distaˆncia entre reta e plano paralelos e´ a distaˆncia entre um ponto qualquer da reta
e o plano.
(h) A distaˆncia entre dois planos paralelos e´ a distaˆncia entre um ponto qualquer de um e
um ponto qualquer do outro.
(i) A distaˆncia entre dois planos paralelos distintos e´ igual a distaˆncia entre uma reta de
um deles e o outro plano.
(j) A distaˆncia entre duas retas reversas e´ a distaˆncia entre um ponto qualquer de uma e
a outra reta.
(k) A distaˆncia de duas retas reversas e´ a reta perpendicular comum a essas retas.
13 - Se duas retas formam angulo reto, uma delas e paralela ou esta contida no plano de
projec¸a˜o e a outra na˜o e perpendicular a esse plano, enta˜o as projec¸o˜es ortogonais das retas,
sobre o plano, sa˜o perpendiculares.
14 - Se as projec¸o˜es de duas retas, sobre um plano, sa˜o perpendiculares, uma delas e´ paralela
ou esta contida no plano de projec¸a˜o e a outra na˜o e´ perpendicular aquele plano, enta˜o as
duas retas formam aˆngulo reto.
15 - Se duas retas formam aˆngulo reto, suas projec¸o˜es ortogonais, sobre um plano, sa˜o per-
pendiculares e uma delas e´ oblı´qua a`quele plano, enta˜o a outra e´ paralela ou esta contida no
plano.
16 - Por um ponto P, de um plano α, construa uma reta que forme um aˆngulo θ (agudo,
dado) com o plano α.
17 - Por um ponto P, na˜o pertencente a um plano α, construa uma reta que forme um aˆngulo
θ (agudo, dado) com o plano α.
18 - Por um ponto P, na˜o pertencente a um plano α, construa um plano β, cuja reta de maior
declive forme um aˆngulo θ (agudo, dado) com o plano α .
19 - Um diedro mede 100o Quanto mede o aˆngulo que uma reta perpendicular a uma das
faces do diedro forma com o plano bissetor dele?
20 - Dois semiplanos sa˜o bissetores de dois diedros adjacentes e complementares. Quanto
mede o diedro por eles formado?
21 - Duas semirretas
−→
Or e
−→
Os sa˜o respectivamente perpendiculares a`s faces α˜ e β˜ de um
diedro. Se m(](r, s)) = 50o, qual e´ m(](α˜, β˜))?
22 -Uma reta perpendicular a uma face de um diedro forma um angulo de 50o com o bissetor
desse diedro. Quanto mede o diedro?
23 - Prove que dois diedros opostos pela aresta sa˜o congruentes.
24 - Dois diedros tem faces respectivamente paralelas. Conhecendo a medida a de um deles,
qual sera a medida do outro?
25 - Um diedro mede 120o. De um ponto situado no seu plano bissetor, a 12 cm da aresta,
trac¸am-se perpendiculares a`s duas faces e dos pe´s dessas perpendiculares trac¸am-se perpen-
diculares a` aresta do diedro . Calcule o perı´metro do quadrila´tero assim formado. (Resposta:
12(
√
3 + 1) cm.)
26 - Um diedro mede 120o. Um ponto P do plano bissetor desse diedro dista 10 cm da aresta
do diedro. Calcule a distaˆncia de P a`s faces do diedro.
27 - A distaˆncia de um ponto M, interior a um diedro, a`s suas faces e´ de 5 cm. Encontre a
distaˆncia do ponto M a aresta do diedro se 0 angulo formado pelas perpendiculares as faces
e de 120o.
28 - Um ponto M dista 12 cm de uma face de um diedro reto, e 16 cm de outra face. Encontre
a distaˆncia desse ponto a` aresta do diedro.
29 - Um ponto M de uma face de um diedro dista 15 cm da outra face. Encontre a distaˆncia
de M a` aresta do diedro, sabendo que a medida do diedro e de 60o.
30 - Calcule o comprimento de um segmento AB do interior de um diedroreto com A e
B nas faces, sabendo que as projec¸o˜es ortogonais AD e BC desse segmento sobre as faces
medem respectivamente 21 cm e 25 cm e que CD = 15 cm. (Resposta = 29 cm).
31 - Um segmento AB de 75 cm tem as extremidades nas faces de um diedro reto. Sendo AD
e BC as respectivas projec¸o˜es de AB sobre as faces do diedro e AC = 50 cm e BD = 55 cm,
calcule a medida do segmento CD.
32 - Seja ](α˜, β˜). A distaˆncia de dois pontos de α ao plano β sa˜o respectivamente 9 cm e
12 cm. A distaˆncia do segundo ponto a` aresta do diedro e´ 20 cm. Encontre a distaˆncia do
primeiro ponto a` aresta do diedro.
33 - Um plano α passa pela hipotenusa AB de um triangulo retaˆngulo ABC e α forma um
diedro de 60o com o plano do triaˆngulo ABC. Encontre a distaˆncia do ve´rtice C do triaˆngulo
ao plano α, sabendo que AC = 6 cm e BC = 8 cm.
34 - Um diedro mede 120o. A distaˆncia de um ponto interior Pas suas faces e de 10 em.
Determine a distaˆncia entre os pe´s das perpendiculares a`s faces conduzidas por P.
35 - ABC e DBC sa˜o dois triaˆngulos equila´teros que tem um lado comum BC, e cujos planos
formam um diedro de 120o. Sabendo que o lado desses triaˆngulos tem medidas iguais a m,
calcule o segmento AD e a distaˆncia do ponto D ao plano ABC.
36 - Dois triaˆngulos iso´sceles congruentes ACD e BCD tem a base CD comum. Seus planos α
β sa˜o perpendiculares. Sendo M o ponto me´dio de AB, N o ponto me´dio de CD, e CD = 2x,
e designando os lados congruentes dos triaˆngulos por a :
(a) demonstre que MN e´ perpendicular a AB e CD;
(b) calcule, em func¸a˜o de m e x, os comprimentos de AB e MN;
(c) para que valores de x, o diedro de faces CAB e DAB e um diedro reto?
37 - Sejam α e β dois planos paralelos, e AB um segmento perpendicular a ambos, com
A ∈ α e B ∈ β. Seja M o ponto me´dio de AB. Mostre que o plano pi que passa por M e e´
perpendicular a AB e´ o lugar geome´trico dos pontos equidistantes de α e β.