Lista 1_ Geometria de Posição

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Geometria de Posição 
 
 
Prof. Marcão 
 
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I - RETAS E PLANOS 
 
 
1. Classifique em verdadeiro ou falso: 
I. Por duas retas reversas podem passar mais de dois planos 
paralelos entre si. 
II. Duas retas perpendiculares a uma terceira reta são paralelas 
entre si. 
III. Não é possivel traçar a partir de um ponto duas perpenculares 
distintas a um mesmo plano. 
 
2. Classifique em verdadeiro ou falso: 
I. A intersecção de 3 planos é necessariamente uma reta. 
II. Se os ângulos entre duas retas com uma terceira reversa as duas 
primeiras têm igual medida, então estas retas sào paralelas. 
III. Duas retas que formam ângulos de igual medida com um plano 
necessariamente são paralelas. 
 
3. Classifique em verdadeiro ou falso: 
I. Se um plano intercepta a uma de tres retas paralelas, tambem 
intercepta as outras duas. 
II. Si duas retas paralelas a um plano determinam um segundo 
plano, então esse segundo plano é paralelo ao primeiro. 
III. Por um ponto qualquer do espaço, se pode traçar um plano 
paralelo a um plano dado. 
 
4. Classifique em verdadeiro ou falso: 
I. Duas retas são concorrentes em um ponto O; fora do plano 
determinado por r e s, tomamos um ponto P qualquer. A intersecção 
do plano definido por r e P com o plano definido por s e P é 𝑂𝑃⃖ ⃗ 
II. Sejam r e s duas retas reversas, A um ponto em r e B um ponto 
em s. A intersecção do plano definido por r e B com o plano definido 
por s e A é 𝐴𝐵⃖ ⃗ 
III.Sejam r e s duas retas reversas, A e B pontos distintos da reta r; 
C e D pontos distintos da reta s . As retas AC e BD são reversas. 
 
5. (UNESP SP/1996) 
Dado um paralelepípedo retângulo, indiquemos por A o conjunto das 
retas que contêm as arestas desse paralelepípedo e por B o conjunto 
dos planos que contêm suas faces. Isso posto, qual das seguintes 
afirmações é verdadeira? 
a) Quaisquer que sejam os planos  e  de B, distância de  a  
é maior que zero. 
b) Se r e s pertencem a A e são reversas, a distância de r a s é maior 
que a medida da maior das arestas do paralelepípedo. 
c) Todo plano perpendicualr a um plano de B é perpendicular a 
exatamente dois planos de B. 
d) Toda reta perpendicular a um plano de B é perpendicular a 
exatamente dois planos de B. 
e) A interseção de três planos quaisquer de B é sempre um conjunto 
vazio. 
 
6. (UnB DF/1994) A figura abaixo mostra pontos sobre as arestas de 
um cubo. Sabendo que M é o ponto médio de AB, julgue os itens 
abaixo: 
E F
GH
A B
CD
M. 
00) O triângulo AHC é eqüilátero. 
01) O triângulo AHM é retângulo em ª 
02) O triângulo HMG é isósceles com base HG. 
03) EM é perpendicular a MC . 
04) As retas EG e MC são paralelas. 
 
07. (FUVEST SP) 
São dados um plano , um ponto P do mesmo e uma reta r oblíqua a 
 que o fura num ponto distinto de P. Então existe uma única reta por 
P, contida em pi e ortogonal a r. Verdade ou Falso 
 
08. (FUVEST SP) 
Assinale a correta: 
a) se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a 
um deles será paralelo a outro. 
b) se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles 
será perpendicular ao outro. 
c) duas retas paralelas a um plano são paralelas. 
d) se duas retas forem ortogonais reversas, toda reta ortogonal a uma 
delas será paralela à outra. 
e) se duas retas forem ortogonais, toda reta paralela a uma delas será 
ortogonal à outra. 
 
9. (UFSCar SP) 
São dados um tetraedro e um plano no espaço. A interseção dos dois 
será: 
a) um triângulo 
b) ou um ponto, ou um segmento, ou um triângulo, ou vazio 
c) ou um triângulo ou um quadrilátero. 
d) ou um ponto, ou um segmento ou um triângulo, ou um quadrilátero. 
e) ou um ponto, ou um segmento, ou um triângulo, ou um quadrilátero, 
ou vazio. 
 
10. (MACK SP) A reta r é paralela ao plano . Então: 
a) todas as retas de  são paralelas a r. 
b) a reta r não pode coplanar com nenhuma reta de . 
c) existem em  retas paralelas a r e também existem em  retas 
reversas em relação a r. 
d) existem em  retas paralelas a r e retas perpendiculares a r. 
e) todo plano que contém r é paralelo a . 
 
11. (ITA SP) Dadas duas retas concorrentes a e b e dado um ponto 
M, fora do plano determinado por a e b, consideremos os pontos E e 
F, simétricos de M em relação às retas a e b, respectivamente. 
A reta que une os pontos E e F é: 
a) Perpendicular ao plano determinado por a e b. 
b) Paralela ao plano determinado por a e b. 
c) Oblíqua ao plano determinado por a e b. 
d) Pertencente ao plano determinado por a e b. 
e) Nenhuma das respostas anteriores. 
 
 
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12. (ITA SP) Sejam  e  dois planos não paralelos interceptados 
ortogonalmente pelo plano . Sejam ainda r, s e t respectivamente as 
intersecções de  e ,  e  e  e . Qual das afirmações abaixo é 
sempre correta. 
a) r, s e t formam oito triedros tri-retângulos. 
b) Existe um ponto de r tal que, qualquer reta de  que passa por P é 
ortogonal a r. 
c) r pode não interceptar . 
d) t é perpendicular a . 
e) nenhuma dessas afirmações é correta. 
 
13. (ITA SP) Seja P um plano. Sejam A, B, C e D pontos de P e M um 
ponto qualquer, não pertencente a P. Então: 
a) Se C dividir AB em partes iguais a MBMA  , então o segmento 
MC é perpendicular a P. 
b) Se ABC for triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A, B e C, 
então MD é perpendicular a P. 
c) Se AB for triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A, B e C, então 
MCMBMA  implica que MD  P. 
d) Se ABC for triângulo eqüilátero e MD  P então D eqüidista de 
A, B e C. 
e) n.d.a 
 
14. (ITA SP) Seja p um plano. Sejam A, B, C e D pontos de p e M um 
ponto qualquer não pertencente a p. Então: 
a) Se C dividir o segmento AB em partes iguais a MA = MB, então o 
segmento MC é perpendicular a p. 
b) Se ABC for um triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A, B e 
C, então o segmento MD é perpendicular a p. 
c) Se ABC for um triângulo eqüilátero e D for eqüidistante de A, B e 
C, então MA = MB = MC, implica em que o segmento MD é 
perpendicular a p. 
d) Se ABC for um triângulo eqüilátero e o segmento MD for 
perpendicular a p, então D é eqüidistante de A, B e C. 
e) Nenhuma das respostas anteriores. 
 
15. (ITA SP) Dizemos que um conjunto C de pontos do espaço é 
convexo se dados os pontos A e B quaisquer, pertencentes a C, o 
segmento da reta AB está contido em C. Há conjunto convexo numa 
das afirmações abaixo: Assinale a afirmação verdadeira: 
a) o plano excluido um dos seus pontos 
b) o conjunto dos pontos situados sobre uma câmara de ar de 
automóvel. 
c) a região limitada por um quadrilátero. 
d) a superfície lateral de um prisma. 
e) nenhum dos conjuntos acima. 
 
16. (ITA SP) Indique qual das proposições abaixo é verdadeira: 
a) Se s é uma reta secante às retas r e t, então os ângulos colaterais 
externos são suplementares. 
b) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si. 
c) Se um plano é perpendicular a duas retas distintas elas serão 
coplanares. 
 
17. (ITA SP) Considerando um plano  e uma reta r que encontra 
esse plano num ponto P, e que não é perpendicular a . 
Assinale qual das afirmativas é a verdadeira 
a) Existem infinitas retas de  perpendiculares a r pelo ponto P. 
b) Existe uma e somente uma reta de  perpendicular a r por P. 
c) Não existe reta de , perpendicular a r, por P. 
d) Existem duas retas de  perpendiculares a r passando por P. 
e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira. 
 
18. (ITA SP) Considere o plano de uma mesa e um ponto dado deste 
plano. Você dispõe de uma folha de papel que possui um só bordo 
reto. Dobrando esta folha de papel, conduza uma perpendicular ao 
plano da mesa, pelo ponto dado. A justificativa de tal construção está 
em um dos teoremas abaixo. 
a) se uma reta é perpendicular a um plano, todo plano que passa por 
ela é perpendicular ao primeiro. 
b) se dois planos são perpendiculares, toda reta de um deles que for 
perpendicular à intersecção, será perpendicular ao outro. 
c) se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, 
ela é perpendicular ao plano. 
d)por um ponto exterior a um plano passa uma reta perpendicular ao 
plano e somente uma. 
e) todas as perpendiculares a uma reta traçadas por um de seus 
pontos, pertencentes a um plano. 
 
19. (ITA SP) Considerando um plano  e uma reta r que encontra 
esse plano num ponto O, e que não é perpendicular a . Assinale 
qual das afirmações é a verdadeira. 
a) Existem infinitas retas de  perpendiculares a r pelo ponto P. 
b) Existe uma e somente uma reta de  perpendicular a r por P. 
c) Não existe reta de , perpendicular a r, por P. 
d) Existem duas retas de  perpendiculares a r passando por P. 
e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira. 
 
20. Seja ABC um triângulo retângulo em A, contido no plano α e seja 
𝐶𝐷 perpendicular a α .Se AB=6 e CD=8, calcule a distância entre os 
pontos médios de 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷. 
 
21. Pelo centro O de um quadrado ABCD, cujo lado é a, levanta-se a 
perpendicular ao plano do quadrado e ne-se um ponto M dessa 
perpendicular aos vértices do quadrado. Mostrar que os quatro 
triângulos assim obtidos são congruentes e calcular OM de modo que 
esses triângulos sejam equiláteros. 
 
22. Três planos paralelos distintos interceptam uma reta nos pontos 
A, B e C, tais que AB=6 cm e BC = 8 cm. Os mesmos planos 
interceptam uma outra reta s nos pontos D, E e F consecutivamente. 
Sabendo que o segmento 𝐷𝐹 mede 21 cm , calcular DE e EF. 
 
23. O segmento 𝑃𝐴 é perpendicular ao plano que contem o triângulo 
equilátero ABC. Suponha que AB= 2AP e que M seja o ponto médio 
do segmento 𝐵𝐶 . Determine o ângulo formado pelos segmentos 𝑃𝐴 
e 𝑃𝑀 . 
 
24. ABC é um triângulo retângulo e isósceles no qual AB=AC= a. Pelo 
vérice A, levanta-se a perpendicular ao plano do triângulo e sobre 
essa perpendicular toma-se o segmento AP = a. Calcular PB e PC. 
 
25. P e Q são dois planos paralelos e A é um ponto que dista 10cm 
de P e 25cm de Q. Determinar a distância entre os planos P e Q 
sabendo que 
a) não são separados por A. 
b) são separados por A 
 
26. Duas retas não coplanares r e s são separadas por um plano π 
que lhes é paralelo. A reta r dista 12 cm do plano π e a reta s dista 30 
cm do mesmo plano. Ache a distância entre r e s. 
 
27. (UFMG) Dada uma circunferência de diâmetro 𝐴𝐵 , levanta-se 
por A um segmento 𝐴𝑃 perpendicular ao plano da circunferência, e 
une-se P a um ponto qualquer da circunferência, C é distinto de B. 
a) Prove que as retas 𝐵𝐶 e 𝑃𝐶 são perpendiculares. 
b) Sabendo que AB=AP=8 e que C é o ponto médio do arco 𝐴𝐵, 
determine a medida do ângulo CPB. 
 
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28. Do vértice B de um triângulo equilátero ABC levanta-se uma 
perpendicular BK ao plano ABC, onde BK=AB. Encontre a tangente 
do ângulo agudo entre as retas AK e BC. 
 
29. Seja α um plano dado, Q um ponto de α, P um ponto fora de α. 
Qual o lugar geométrico dos pés das retas traçadas a partir de P e 
que são perpendiculares ás retas de α que passam por Q? 
 
30. Em um plano α estão contidas duas circunferencias ortogonais C1 
e C2 secantesem M e N. Pelo centro O1 de C1 se traça a reta t 
perpendicular ao plano α ; em t toma-se P≠ O1. Se a distância de P 
ao centro O2 de C2 é 17, calcule a distância de P à reta MO2, 
sabendo que o raio de C2 é 8. 
 
31. Em um quadrado ABCD, M e N sào pontos médios de CD e AD 
respectivamente. Por M se traça MP perpendicular ao plano do 
quadrado. Se a distância de P a BN é igual a BM, calcule MP, 
sabendo que a distância de A a BN é 2. 
 
32. Dado um quadrilátero ABCD, em um mesmo semiespaço se 
traçam AP e BQ perpendiculares ao plano do quadrilátero. Se QD=8, 
PC=10 e a distância entre os pontos médios de PO e QC é 3, calcule 
a medida do ângulo entre QD e PC. 
 
33. A circunferência inscrita em um quadrado ABCD intercepta a CA 
em M e N , com N ∈ 𝑀𝐶 . Traça-se BP perpendicular ao plano do 
quadrado tal que 𝑚 < 𝑃𝐶𝐴 = 53 . Calcule a medida do ângulo 
entre Dm e PN. 
 
34. (IME 2005) Considere os pontos P e Q sobre faces adjacentes de 
um cubo. Uma formiga percorre, sobre a superfície do cubo, a menor 
distância entre P e Q, cruzando a aresta BC em M e a aresta CD 
em N, conforme ilustrado na figura abaixo. È dado que os pontos P, 
Q, M e N são coplanares. 
a. Demonstre que MN é perpendicular a AC . 
b. Calcule a área da seção do cubo determinada pelo plano que 
contém P, Q e M em função de BC = a e BM = b. 
B
P
C
QN
M
DA 
 
GABARITO RETAS E PLANOS 
1) FFV 
2) FFF 
3) VFF 
4) VVV 
5) D 
6) CCCEE 
7) V 
8) E 
9) E 
10) C 
11) B 
12) E 
13) C 
14) C 
15) E 
16) C 
17) B 
18) C 
19) B 
20) MN=5 
21) 𝑥 = √ 
22) DE=9cm e EF= 12 cm 
23) 60o 
24) PB=PC=𝑎√2 
25) a) 15 cm b) 35 cm 
26) 42 cm 
27) a) demonstração b) 30o 
28)√7 
29) circunferência 
30) 15 
31) 4 
32) 37o 
33) arctan √ 
 
II - ANGULOS DIÉDRICOS e PROJEÇÕES ORTOGONAIS 
 
1. Considere o tetraedro regular ABCD. Calcule o ângulo diédrico 
entre as faces. 
 
2. Um ponto M de uma face de um diedro dista 15cm da outra face. 
Encontrar a distância de M à aresta do diedro, sabendo que a medida 
do diedro é 60o. 
 
3. ABC e ADC são dois triângulos equiláteros que tem um lado comum 
BC, e cujos planos formam um diedro de 120o. Sabendo que os lados 
desses tria\ângulos têm medidas iguais a p, calcular a medida do 
segmento AD e a distância do ponto D ao plano ABC. 
 
4. Um diedro mede 120o. A distância de um ponto interior do plano 
bissector até a aresta vale 10 cm. Achar a distância entre os pés das 
perpendiculares à faces conduzidas por P. 
 
5. Um ponto P dista a da fce de um diedro reto e b da outra. Calcule 
a distância desse ponto até a aresta do diedro. 
 
6. (ITA SP) Quando a projeção de um ângulo  sobre um plano 
paralelo a um de seus lados é um ângulos reto, podemos afirmar que: 
a) 90º <  < 180º 
b)  < 90º 
c)  = 90º 
d)  = 2 Rd 
e) nenhuma das respostas acima é válida 
 
7. (ITA SP) Quanto à soma dos ângulos que uma reta forma com dois 
planos perpendiculares, podemos afirmar que: 
a) é menor do que 90 graus 
b) é igual a 90 graus 
c) é maior do que 90 graus e menor do que 180 graus 
d) é igual a 180 graus 
e) não podemos garantir nenhuma das respostas acima 
 
8. Os planos P e Q são perpendiculares; neles tomam-se os pontos 
D e A respectivamente; na reta comum dos dois planos tomam-se os 
pontos B e C tal que BD=DC e CA= BA. Se a medida do ângulo 
diedrico determinado pelas regiões ABD e ADC é 28o, AD=8.BC, 
calcule a medida do ângulo determinado por AD e o plano Q. 
 
9. Em uma semicircunferência de diâmetro AC se traça BH 
perpendicular a AC ( 𝐵 ∈ 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐴𝐶 𝑒 𝐻 ∈ 𝐴𝐶 . Traça-se AP 
perpendicular ao plano do triângulo ABC, tal que 𝐴𝑃𝐻 = 𝑃𝐶𝐴 . 
 
 4
Calcule a medida do diedro deteminado pelas regiões triangulares 
ABC e PBC. 
 
10. Por um ponto E exterior a um plano que contém o triângulo 
retângulo isósceles ABC, retângulo em B, constroem-se EA, EB e EC 
que determinam com o plano ângulos que medem 45o. Calcule a 
medida do ângulo diedro determinado pelos planos que contém os 
triângulos CBE e EBA. 
 
11. ABCDEF é um hexágono regular de lado a e S é um ponto da 
perpendicular ao plano do hexágono traçada pelo seu centro O, tal 
que o diedro SABO tem 60o. Calcular OS ea distância do ponto O ao 
plano ABS. 
 
12. Seja AP perpendicular ao plano que contém o losango ABCD. Se 
o ângulo diedro entre a região PBD e o losango mede 45o, calcule a 
distância desde A até a reta que contem PC, sabendo que PC=15. 
 
13. Uma bolinha de massa desprezível, impulsionada desde P, reflete 
em dois planos perpendiculares α e β, com choques elásticos. Calcule 
o comprimento da trajetória PQRS (PQ+QR+RS) se P dista 3 e 10 de 
α e β, e S dista 6 e 2 de α e β. (considere que a bolinha se move 
sempre em um mesmo plano). 
 
14. (UFSCar SP) O contorno da projeção ortogonal de um cubo sobre 
um plano será: 
a) ou um triângulo, ou um hexágono regular. 
b) ou um hexágono regular, ou um retângulo. 
c) ou um hexágono regular, ou um retângulo, ou um pentágono. 
d) ou um pentágono regular, ou um retângulo. 
e) nenhuma das afirmações anteriores é correta. 
 
15.Se tem um plano α e um quadrado ABCD de lado 5/3, tal que AB 
pertence ao plano α .Se o comprimento da diagonal da projeção da 
região quadrada ABCD sobre o plano α é √5 , calcule a medida do 
ângulo diédrico que formam o plano α com o plano do quadrado. 
 
16. O triângulo ABC se projeta sobre um plano α, formando-se o 
triângulo A'B'C', donde A'C'=B'C' =3, A'B'=2, AB// A'B' e CC'- AA' =1. 
Calcule a medida do diedro formado pelo plano que contém o 
tri6angulo ABC e o plano α. 
 
17. Traça-se CE perpendicular ao plano do retângulo ABCD, tal que 
ED=BD=25. Se a distância de A a BD é 12, calcule a medida do 
ângulo diedro determinado pelos planos que contem a região 
triangular BED e a região quadrangular DABC. 
 
18. Em um triângulo isósceles ABC, AB=AC, donde 𝐴𝐵𝐶 = 30O , 
traça-se FB oblíquo ao plano que contém o triângulo, tal que 
𝐹𝐵𝐴=𝐹𝐵𝐶=45O . Calcule a medida do ângulo diedro que determinam 
os planos dos triângulos BFC e AFB. 
 
19. Em um mesmo semiespaço, determinado pelo quadrado ABCD, 
traçam-se AE, DF e CG perpendiculares ao plano do quadrado. Se 
AB=b, AE=2.DF=2.CG=2a, calcule a medida do ângulo diédrico 
determinado pelos planos que contém as regiões poligonais EFG e 
ABCD. 
 
GABARITO ANGULOS DIÉDRICOS 
1. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 = 70 32, 
2. 𝐴𝑀 = 10√3 
3. 𝐴𝐷 = 
4. 5√3 cm 
5. √𝑎 + 𝑏 
6. C 
7.E 
8. 75o 
9. 450 
10. 2. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 √2 
11. OS=3.a/2 ; 3.a/4 
12.6 
13 15. 
14 E 
15. 53o/2 
16. 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 √ 
17. arctan 
18. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 √3 − 1 
19.𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 
 
III – DISTÂNCIA ENTRE PONTOS, RETAS E PLANOS 
 
1. Sejam um triângulo equilátero ABC, inscrito em uma circunferência 
de raio R e um quadrado ABPQ, contidos em planos perpendiculares. 
Calcule a distância entre o centro do quadrado e o ponto médio do 
arco AB. 
 
2. Um quadrado ABCD e uma semicircunferência de diâmetro BC 
estão em planos que formam um diedro de 60o. Se P é um ponto da 
semicircunferência que divide po arco BC ao meio e AB =2, calcule a 
distância de P a 𝐴𝐷 . 
 
3. Em um triângulo equilátero ABC, traça-se CD perpendicular ao 
plano que contém o triângulo ABC, tal que 𝐴𝐵 = 10√3 e 𝐶𝐷 = 20. 
Calcule a distância entre 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷 . 
 
4. Temos um quadrado ABCD e uma semicircunferência de diâmetro 
AB, contidos em planos perpendiculares. Por P, ponto médio de 
𝐴𝐵 ,traça-se uma semicircunferência Φ de raio igual a 1. Se Φ é 
tangente a 𝐴𝐵 e também ao arco AB em Q, calcule a distância entre 
𝐴𝑄⃖ ⃗ e 𝑆𝑃⃖ ⃗, sendo S um ponto de 𝐵𝐶 e 𝐵𝑆 = √ 𝐵𝐶. 
 
5. O segmento AB, de comprimento a, é paralelo ao plano α. Pelos 
pontos A e B constroem-se retas perpendiculares ao segmento AB e 
que formam ângulos complementares de medida θ e 90o - θ com o 
plano α, respectivamente. A distância entre os pontos de intersecção 
das retas traçadas e o plano α é b. Calcule o quadrado da distância 
entre 𝐴𝐵 e o plano α . 
 
6. Em um plano α desenha-se um triângulo ABC, com m𝐴𝐵𝐶 = 60 
.Toma-se o ponto S exterior ao plano α, tal que as distâncias de S ao 
ponto A , AC e AB são 25, 20 e 7, respectivamente. Calcule a distância 
de S ao plano α. 
 
7. Tem-se um triângulo retângulo e isósceles AOB, retângulo em O. 
Desenha-se OP, perpendicular ao plano do triângulo, e tomamos H 
em OA, tal que OP=HO. Se 𝑃𝐻 = 4√2 e 𝐴𝐵 = 6√2, calcule a 
distância entre 𝑃𝐻 ⃖ ⃗𝑒 𝐴𝐵⃖ ⃗ . 
 
8. Os polígonos regulares ABE e ABCD estão contidos em planos 
perpendiculares; do ponto médio M de AE trçam-se MH perpendicular 
a AB (𝐻 ∈ 𝐴𝐵) . Se 𝐶𝐸 = 8√10, calcule a distância entre CE e 
MH. 
 
 
 5
9. Em um triângulo retângulo isósceles ABC, reto em B, traça-se CP, 
perpendicular ao plano do triângulo. Se 𝐴𝐶 = 𝑃𝐶 = 2√2, calcule a 
distância entre 𝐶𝐵⃖ ⃗𝑒 𝑃𝐴⃖ ⃗. 
 
10. Tem-se o quadrado ABCD e a semicircunferência PB, contidos 
em planos perpendiculares.(P é o ponto médio de AB). Traça-se a 
reta tangente AT à semicircunferência (T é o ponto de tangência). 
 
11. Tem-se um triângulo ABC, de circunradio 2, no qual traça-se CP 
perpendicular ao plano do triângulo, tal que CP=4 e 𝐶𝑃𝐵 = 𝑃𝐴𝐶 . 
Calcule a distância entre 𝐴𝐵⃖ ⃗ e 𝑃𝐶⃖ ⃗. 
 
12. Tem-se uma circunferência de raio R e um triângulo equilátero, 
cujo lado tem comprimento 𝑅√6, contidos em planos 
perpendiculares. Se as medidas dos ângulos entre o segmento que 
tem por extremidades o centro da circunferencia e o incentro do 
triângulo com os planos mencionados sào iguais a 30o, calcule o 
comprimento do segmento cujos extremos são os pontos de 
intersecçào entre o triângulo e a circunferência, sabendo que a reta 
que contém um lado do triângulo intercepta a circunferência. 
 
GABARITO DISTÂNCIA ENTRE PONTOS, RETAS E PLANOS 
 
1) R 
2) √3 
3) 12 
4) √ 
5) (𝑏 − 𝑎 )
( )
 
6) √37 
7) √ 
8) 4 
9) √ 
10) √ 
11) 4 
12) 𝑅√2