Atividade de Análise de Potência I

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Engenharia Elétrica 
 
1) considerar uma linha de transmissão k - m cujos parâmetros são: resistência série 
Rkm = 2 p.u., Xkm = 10 p.u. As magnitudes das tensões das barras terminais são: 
Vk = 1,0 p.u. e Vm = 0,98 p.u.; a abertura angular na linha é Ɵkm = 15°. 
 
a) Calcular o fluxo de potência ativa Pkm utilizando a Equação: 
 
Resposta: 
Dados: 
𝑉𝑘 = 1,0 𝑝. 𝑢 
𝑉𝑚 = 0,98 𝑝. 𝑢 
𝜃 = 15º 
𝑍𝑡 = 2 + 𝑗10 𝑝. 𝑢 
 
𝑃𝑖𝑗 ≃
|1,0|. |0,98|. 0,258
10
= 2,53. 10−2 𝑝. 𝑢 
b) Calcular o fluxo de potência ativa Pkm utilizando a Equação: 
 
Resposta: 
Pij =
0,258
10
= 2,58. 10−2 𝑝. 𝑢 
2) A potência aparente de uma indústria é igual a 100 kVA. Se a tensão na entrada for 
de 480 V (eficaz), determine: 
 
Disciplina: Análise de Sistema de Potência I 
 
 
Tutor (a): Paulo Barbosa De Mattos Junior RA: 1138631 
Aluno (a): Manoel Leal Silva Turma: 1K 
Unidade: Boa Vista RR 
 
 
 
 
a) O valor eficaz da corrente. 
 
Resposta: 𝐼 =
𝑆
𝑉
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐼 = 100. 103/480 = 208,33 𝐴 𝑜𝑢 (208,33 + 𝑗0) 𝐴 
 
a) A potência ativa e reativa, sabendo-se que a carga é indutiva e que a defasagem 
entre a tensão e a corrente é de 30°. 
Resposta: 
𝑃1 = 𝑉. 𝐼. 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑃1 = 480.208,33. 𝑐𝑜𝑠30°(0,866) = 86,6 𝑘𝑊 
𝑄1 = 𝑉. 𝐼. 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄1 = 480.208,33. 𝑠𝑒𝑛30°(0,5) = 50 𝑘𝑉𝐴𝑟 
 
b) sabendo-se que a frequência é 60 Hz, determine o valor do capacitor que deve ser 
colocado (em paralelo) na entrada da indústria para que o ângulo de defasagem seja 
igual a 15°, e que a carga total ainda continue indutiva. 
 Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
Ø = 30°, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,86 ⇒ 𝑡𝑔Ø = 0,577 
Ø = 15°, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,96 ⇒ 𝑡𝑔Ø = 0,267 
𝐶 =
𝑃𝑡
𝜔(2𝜋. 60). 𝑉2
. (𝑡𝑔∅1 − 𝑡𝑔∅2) 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐶 =
86,6. 103
377. 4802
(0,577 − 0,267) = 309 𝜇𝐹 
𝑄𝑐 =
2. 𝜋. 𝑓. 𝑉2. 𝐶 
1000
𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑐 =
377. 480.2 309. 10−6
1000
= 26,8 𝑘𝑉𝐴𝑟 
𝑃2 = 𝑉. 𝐼. 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑃1 = 480.208,33. 𝑐𝑜𝑠15°(0,96) = 96 𝑘𝑊 
30˚ 
15˚ 
FP indutivo 
 
𝑄2 = 𝑉. 𝐼. 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄1 = 480.208,33. 𝑠𝑒𝑛15°(0,25) = 25,8 𝑘𝑉𝐴𝑟 
 Obs.: Observa-se que quando o ângulo diminuiu para 15°, metade do anterior, a 
Potência Ativa aumentou em torno de 10% e a Reativa diminuiu em torno 49%. 
c) Repita o item c) para defasagem nula entre tensão e corrente. 
 Resposta: 
 Quando a defasagem é zero, a corrente e a tensão estão em fase, portanto o FP=cosφ 
é 1 e o seno é zero, dessa forma a Potência Ativa é igual a Potência Aparente. 
𝑃 = 𝑉. 𝐼. 𝑐𝑜𝑠0°(1) 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑃 = 480.208,33.1 ≈ 100 𝑘𝑊 
𝑄 = 𝑉. 𝐼. 𝑠𝑒𝑛0°(0)𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄 = 480.208,33.0 = 0 𝑘𝑉𝐴𝑟 
 
 3) uma indústria tem carga igual a 20 kVA, com fator de potência 0,8 indutivo. Realiza- 
se uma expansão nessa indústria que corresponde a uma carga de 5 kW com fator de 
potência 0,7 indutivo. 
 
a) determine a nova potência aparente e o novo fator de potência da indústria, sabendo-
se que a expansão pode ser considerada uma nova carga em paralelo com a anterior. 
Resposta: 
𝑆1 = 20 𝑘𝑉𝐴 
𝑃1 = 𝑆1. 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑃1 = 20.0,8 = 16 𝑘𝑊 
𝑄1 = 𝑆1. 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄1 = 20. 𝑠𝑒𝑛36,87°(0,6) = 12 𝑘𝑉𝐴𝑟 
𝑃2 = 5 𝑘𝑊 
𝑆2 =
𝑃
𝑐𝑜𝑠𝜑
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑆2 =
5
0,7
= 7,14 𝑘𝑉𝐴 
𝑄2 = 𝑆2. 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄2 = 7,14. 𝑠𝑒𝑛45,57°(0,71) = 5,06 𝑘𝑉𝐴𝑟 
𝑃𝑡 = 𝑃1 + 𝑃2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑃𝑡 = 16 + 5 = 21 𝑘𝑊 
𝑆𝑡 = 𝑆1 + 𝑆2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑆𝑡 = 20 + 7,14 = 27,14 𝑘𝑉𝐴 
𝐹𝑃 =
𝑃𝑡
𝑆𝑡
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐹𝑃 =
21. 103
27,14. 103
= 0,77 
b) determine a potência reativa de um banco de capacitores para ser ligado em 
paralelo (após a expansão) tal que o fator de potência resultante seja igual a 0,85 
(indutivo). 
 
 
Resposta: 
Ø𝑖 = 39,6°, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,77 ⇒ 𝑠𝑒𝑛Ø = 0,63 
Ø𝑓 = 31,7°, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,85 ⇒ 𝑠𝑒𝑛Ø = 0,52 
𝑃𝑖 = 𝑉. 𝐼. 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑖 = 27,14.0,77 = 20,9 𝑘𝑊 
𝑄𝑖 = 𝑉. 𝐼. 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑖 = 27,14.0,63 = 17,3 𝑘𝑉𝐴𝑟 
𝑃𝑓 = 𝑉. 𝐼. 𝑐𝑜𝑠∅ 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄 = 27,14.0,85 = 23 𝑘𝑊 
𝑄𝑓 = 𝑉. 𝐼. 𝑠𝑒𝑛∅ 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄 = 27,14.0,52 = 14,2 𝑘𝑉𝐴𝑟 
𝑄𝑐 = 𝑄𝑖 − 𝑄𝑓 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑐 = 17,3 − 14,2 = 3,1 𝑘𝑉𝐴𝑟 
c) determine o valor do capacitor, sabendo-se que a frequência elétrica é 60 Hz. 
Resposta: 
𝐶 =
𝑄𝑐
2𝜋. 𝑓. 𝑉2
 𝑜𝑢 𝐶 =
𝑃
377. 𝑉2
(𝑡𝑔1 − 𝑡𝑔2) =? 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑎 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡ã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑑á 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 
 
4) considere uma linha de transmissão ligando duas barras, e que sua reatância vale 
0.095 pu e sua resistência é desprezível. Existem geradores conectados em cada uma 
das barras (G1 e G2), onde reguladores automáticos atuam nos circuitos de campo 
destes geradores para manter as tensões constantes nas barras a valores Vi = 1.00 e 
Vj = 0.95pu. 
Sabemos que a estabilidade estática desta linha é 10 pu e que esta linha opera em 
três patamares de carga: 
I. Pij = 1 pu. 
II. Pij = 5 pu. 
III. Pij = 8 pu. 
Estes patamares correspondem à carga leve, média e pesada. 
a) calcule os fluxos reativos na linha Qij e Qji para os três casos. 
Resposta: 
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑋 = 0,095 𝑝𝑢, 𝑉𝑖 = 1,00 𝑝𝑢 𝑒 𝑉𝑗 = 0,95 𝑝𝑢 
 
 
 𝐼 − 𝑃𝑖𝑗 = 1 𝑝𝑢 − 1º 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑜 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜑 
𝑃𝑖𝑗 =
|𝑉𝑖|. |𝑉𝑗|. 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑋
 → 1 =
|1,00|. |0,95|. 𝑠𝑒𝑛𝜑
0,095
 → 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 0,1, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,99 
𝑄𝑖𝑗 =
|𝑉𝑖|
2 − |𝑉𝑗|. |𝑉𝑗|. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑋
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑖𝑗 =
|1|2 − |1|. |0,95|. 0,995
0,095
= 0,578 𝑝𝑢 
𝑄𝑗𝑖 =
|𝑉𝑗|
2
− |𝑉𝑖|. |𝑉𝑗|. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑋
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑖𝑗 =
|0,95|2 − |1|. |0,95|. 0,995
0,095
= −0,421 𝑝𝑢 
𝐼𝐼 − 𝑃𝑖𝑗 = 5 𝑝𝑢 
𝑃𝑖𝑗 =
|𝑉𝑖|. |𝑉𝑗|. 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑋
 → 5 =
|1,00|. |0,95|. 𝑠𝑒𝑛𝜑
0,095
 → 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 0,5 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,866 
𝑄𝑖𝑗 =
|𝑉𝑖|
2 − |𝑉𝑗|. |𝑉𝑗|. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑋
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑖𝑗 =
|1|2 − |1|. |0,95|. 0,866
0,095
= 1,873 𝑝𝑢 
𝑄𝑗𝑖 =
|𝑉𝑗|
2
− |𝑉𝑖|. |𝑉𝑗|. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑋
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑖𝑗 =
|0,95|2 − |1|. |0,95|. 0,886
0,095
= 0,847 𝑝𝑢 
𝐼𝐼𝐼 − 𝑃𝑖𝑗 = 8 𝑝𝑢 
𝑃𝑖𝑗 =
|𝑉𝑖|. |𝑉𝑗|. 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑋
 → 8 =
|1,00|. |0,95|. 𝑠𝑒𝑛𝜑
0,095
 → 𝑠𝑒𝑛𝜑 = 0,80 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0,60 
𝑄𝑖𝑗 =
|𝑉𝑖|
2 − |𝑉𝑗|. |𝑉𝑗|. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑋
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑖𝑗 =
|1|2 − |1|. |0,95|. 0,60
0,095
= 4,526 𝑝𝑢 
𝑄𝑗𝑖 =
|𝑉𝑗|
2
− |𝑉𝑖|. |𝑉𝑗|. 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑋
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄𝑖𝑗 =
|0,95|2 − |1|. |0,95|. 0,60
0,095
= 3,473 𝑝𝑢 
 
 
 
 
5) aumente em 1% a Potência Ativa em cada patamar e determine o percentual de 
alteração na Potência Reativa. 
𝐼 𝑃𝑖𝑗 = 1 
 
𝑃𝑖𝑗 =
|𝑉𝑖|. |𝑉𝑗|. 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑋
 → 1 =
|1,00|. |0,95|. 0,1
0,095
+ 1% = 1,01 𝑝𝑢 
𝑄1𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 1% 
𝐼𝐼 𝑃𝑖𝑗 = 5 
𝑃𝑖𝑗 =
|𝑉𝑖|. |𝑉𝑗|. 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑋
 → 1 =
|1,00|. |0,95|. 0,5
0,095
+ 1% = 5,05 𝑝𝑢 
𝑄2𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 5% 
𝐼𝐼𝐼 𝑃𝑖𝑗 = 8 
𝑃𝑖𝑗 =
|𝑉𝑖|. |𝑉𝑗|. 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑋
 → 1 =
|1,00|. |0,95|. 0,80
0,095
+ 1% = 8,08 𝑝𝑢 
𝑄3𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 8% 
 
 
Marque V para Verdadeiro e F para Falso: 
a) 
V 
 Suprir potência reativa localmente leva ao aumento na corrente da linha 
e, portanto, aumento das perdas. 
b) 
F 
Um sistema trifásico é ligado em Delta, a corrente de fase é igual à 
corrente na linha. 
c) 
V 
 Exceto por um pequeno e isolado sistema no Norte, o sistema elétrico 
brasileiro pode ser considerado um sistema de grande porte operando a 
60 Hz. 
d) V Em um transformador ideal as perdastotais são sempre iguais à zero. 
e) 
F 
Em sistemas de alta tensão a transposição das linhas, particularmente 
nas linhas acima de 345 kV, é praticamente sempre feita em todos os 
circuitos para manter o sistema balanceado. 
 
f) V Valores Por Unidade são sempre adimensionais. 
g) 
 
 
F 
Em sistemas trifásicos balanceados, a análise por fase é feita após a 
conversão das cargas ligadas em Y para cargas ligadas em Delta, e daí 
resolvido apenas uma fase do circuito. 
h) 
V 
 
 
Os comutadores de TAP em transformadores (C S C) são uma forma 
utilizada para controlar a magnitude de tensão nas barras. 
i) 
V 
 Transformadores defasadores são usados para controlar o fluxo de 
potência entre sistemas. 
 
6) uma fonte monofásica senoidal de 100 V RMS está ligada num circuito em série de 
um resistor (3 Ohms), um indutor (8 Ohms) e um capacitor (4 Ohms). 
a) desenhe o diagrama do circuito. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) calcule a impedância série. 
Resposta: 
 100 v 4 Ω 
 3 Ω 8 Ω 
R(3 Ω) 
Q(4 Ω) 
 
𝑍𝑡 = √𝑅2 + (𝐿 − 𝐶)2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑍𝑡 = √32 + (8 − 4)2 = 5 Ω 
 
 
c) calcule a corrente entregue pela fonte. Ela está adiantada ou atrasada em relação 
à tensão? 
Resposta: 
𝑖 =
𝑉
𝑍𝑡
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑖 =
100
5
= 20 𝐴 
A corrente está atrasada, pois o circuito é indutivo 
Qual o fator de potência do sistema? 
Resposta: 
𝐹𝑃 =
𝑅
𝑍
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝐹𝑃 =
3
5
= 0,6 
Uma fonte senoidal alimenta um circuito onde as cargas são ligadas em paralelo: (I) 
lâmpadas incandescentes consumindo 10 kW; (II) um motor de indução de 10 kVA e 
fator de potência 0,9 atrasado; (III) um motor síncrono operando a 10 HP, rendimento 
de 85% e fator de potência 0,95 (adote 1 HP = 0,746 kW). Calcule as potências 
aparente, ativa e reativa entregues pela fonte. Desenhe o triângulo com as potências. 
Resposta: 
Dados: conversão da Potência dos motores para ativa 
𝑃𝐿 = 𝑃 = 𝑆 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑃 = 10 𝑘𝑉𝐴 
𝑃𝑀1 = 𝑆 = 10 𝑘𝑉𝐴 
𝑃𝑀1 = 𝑆. 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑃 = 10.0,9 = 9 𝑘𝑊 
𝑃𝑀2 = 𝐻𝑃. 0,746 = 𝑘𝑊 
𝑃𝑀2 = 10.0,746 = 7,46 𝑘𝑊 
𝑃𝑀2 =
𝑘𝑊
𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝜂
= 𝑘𝑉𝐴 
𝑃𝑀2 =
7,46. 103
0,95.0,85
= 9,23 𝑘𝑉𝐴 
𝑃𝑎𝑝 = 10 + 10 + 9,23 = 29,23 
Potência Aparente: 29,23 kVA 
𝑃𝑎𝑡 = 10 + 9 + 7,46 = 26,46 𝑘𝑉𝐴 
Potência Ativa (P) 
P
o
tê
n
c
ia
 R
e
a
tiv
a
 (Q
) 
φ 27,12° 
 
Potência Ativa: 26,46 kW 
𝑃𝑟𝑒𝑎𝑡 = √𝑆2 − 𝑃2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄 = √29,232 − 26,462 = 12,42 𝑘𝑉𝐴𝑟 
𝐹𝑃 =
𝑃
𝑆
 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜑 =
26,46
29,23
= 0,90 
7) uma carga trifásica equilibrada é conectada num alimentador trifásico 4,16 kV a 
quatro fios. A carga está ligada em Y vale Zc = 4,7 + j 9 Ω/fase. A impedância dos 
condutores fase vale: 𝑍LT = 0,30 + j 1,0 Ω/fase. Considerando a fase A como referência 
para o ponto neutro, e assumindo a sequência positiva de fase (rotação ABC), calcule: 
a) as correntes por fase (A, B e C) dica: calcule apenas a fase A as demais fases 
devem considerar a rotação das fases. 
Resposta: 
I𝑎 =
4,16
√3
(0,30+𝑗1,0)
=
2,40
(0,30+𝑗1,0)
= 2,30− 73,30 kA = 0,66 − 𝑗2,2 𝑘𝐴 
As outras fases têm o mesmo valor de corrente da fase A 
𝑐𝑜𝑠𝜑
4,7
√((4,72) + (92))
= 0,46 
𝑠𝑒𝑛𝜑
9
√((4,72) + (92))
= 0,88 
 
b) as tensões fase-neutro na carga. 
𝑣𝐴𝑁 = √2. |𝑉|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣𝐴𝑁 = √2. 2,40sen(0°) = 3,39 kV 
𝑣𝐵𝑁 = √2. |𝑉|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 120°) 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣𝐵𝑁 = √2. 2,40sen(−120°) = −2.93 𝑘𝑉 
𝑣𝐶𝑁 = √2. |𝑉|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 120°)𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑣𝐶𝑁 = √2. 0,245sen(120°) = 2.93 𝑘𝑉 
 
c) A potência total entregue pelo alimentador. 
As perdas (kW e kVAr) na linha. 
𝑃3 = √3. 𝑉. 𝐼. 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑃𝑎𝑡(3) = √3. 4,16.2,3.0,46 = 7,62 𝑀𝑊 
𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 = 𝑃1 + 𝑃2 
𝑃1 =
4,16
√3
. 2,3.0,46 = 2,53 𝑀𝑊 
 
𝑄3 = √3. 𝑉. 𝐼. 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑄3 = √3. 4,16.2,3.0,88 = 14,58 𝑀𝑉𝐴𝑟 
𝑄1
4,16
√3
. 2,3.0,88 = 4,85 𝑀𝑉𝐴𝑟 
𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑊 = 𝑃𝑘𝑚 + 𝑃𝑚𝑘 
𝑃𝑒𝑟𝑑𝑎𝑠 𝑄 = 𝑄𝑘𝑚 + 𝑄𝑚𝑘