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III Lista - Cálculo Diferencial e Integral I - GMA 005 - Matemática Exercício 1. Sabemos que os materiais, em sua maioria, se expandem quando aquecidos e se contraem quando resfriados. As dimensões de certos equipamentos de laboratório podem ser tão críticas que os locais onde eles são fabricados precisam ser mantidos à mesma temperatura dos laboratórios onde vão ser instalados. Uma típica barra de alumínio de 10 cm de largura, a 70 ◦F, terá y = 10 + (t− 70)× 10−4 centímetros a uma temperatura t. Em dado experimento, suponha que a barra possa variar, no máximo, 0,0005 cm em relação aos 10 cm ideais. Qual a variação máxima de temperatura, em relação aos 70 ◦F originais, permitida para que a barra se mantenha dentro das especificações? Exercício 2. Prove que f é contínua em c se, e somente se, limh→0 f(c+ h) = f(c). Exercício 3. Explique porque cada função é contínua ou descontínua. a) A temperatura em um local específico como uma função do tempo. b) A temperatura em um tempo específico como uma função da distância em direção a oeste a partir da cidade de Paris. c) A altitude acima do nível do mar como uma função da distância percorrida. d) O custo de uma corrida de táxi como função da distância percorrida. e) A corrente do circuito para as luzes de uma sala como função do tempo. Exercício 4. Classifique as descontinuidades de f como removíveis, tipo salto, ou infinitas. a) f(x) = −x 2 se x < 1 1 se x = 1 x− 2 se x > 1 b) f(x) = { |x+ 3| se x 6= −2 2 se x = −2 Exercício 5. Mostre que f é contínua no intervalo dado. a)f(x) = 1 x− 1 em (1, 3); b)f(x) = √ 16− x em (−∞, 16); c)f(x) = 1 x2 em (0,∞). Exercício 6. Ache todos os números para os quais f é contínua. a) f(x) = 2x4 − 3√x+ 1; b) f(x) =√(2 + x)(3− x) Exercício 7. Prove que a equação x5 − 3x4 − 2x3 − x+ 1 = 0 tem uma solução entre 0 e 1. Exercício 8. Um atleta percorre uma pista de 100m de modo que a distância s(t) percorrida após t segundos é dada por s(t) = 15 t 2 + 8t. Determine a velocidade do atleta: a) no início da corrida. b) quando t = 5. c) na reta final. Exercício 9. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique. a) f(x) = x3 − 8 x− 2 se x 6= 2 L se x = 2 em p = 2 b) f(x) = √ x−√5√ x+ 5−√10 se x 6= 5 L se x = 5 em p = 5 Exercício 10. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas da noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas. Exercício 11. Suponha que uma função f seja contínua no intervalo fechado [0,1]. Mostre que deve existir um número c em [0,1], de modo que f(c) = c (c é denominado ponto fixo e o resultado é chamado Teorema do Ponto Fixo). Exercício 12. É verdade que se você esticar um elástico movendo uma ponta para a esquerda e a outra para a direita, algum ponto do elástico continuará em sua posição original? Justifique sua resposta. Exercício 13. Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo. a) A = { x 1 + x2 | − 2 ≤ x ≤ 2 } b) A = { x2 + x 1 + x2 | − 1 ≤ x ≤ 1 } Exercício 14. Seja f : [−1, 1]→ R dada por f(x) = x 2 + x 1 + x2 . a) Prove que f(1) é o valor máximo de f . b) Prove que existe x1 ∈]− 1, 0[ tal que f(x1) é o valor mínimo de f . Exercício 15. Prove que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real. Exercício 16. Encontre as assíntotas oblíquas possíveis de cada função. a) f(x) = arctg(x) b) f(x) = √ x2 + 4x c) f(x) = √ x2 + 1 d) f(x) = x+ xsen( 1x ) e) f(x) = √ x2 + 2x Exercício 17. Prove que a equação x3 − 4x2 + 2 = 0 admite três raizes distintas. Exercício 18. Mostre que lim x→∞[f(x)− x 2] = 0, em que f(x) = x 3+1 x . Dizemos que a curva y = f(x) é assintótica à parábola y = x 2.
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