Exercícios - Matemática

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Matemática e suas Tecnologias · Matemática 99
O que perguntam por aí?
Atividade 1 (ENEM 2011)
O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta 
uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$100.000,00 por km construído (n), acrescidos 
de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por Km construído (n), acrescidos de 
um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentaram o mesmo padrão de qualidade dos serviços presta-
dos, mas apenas uma delas poderá ser contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indife-
rente para a prefeitura escolher uma das propostas apresentadas?
a. 100n + 350 = 120n +150
b. 100n + 150 = 120n +350
c. 100 (n + 350) = 120 (n + 150)
d. 100 (n + 350.000) = 120 (n + 150.000)
e. 350 (n + 100.000) = 150 (n + 120.000)
Resposta: Letra A
Atividade 2 (ENEM 2009)
Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até 
certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Com o resultado do experimento, concluiu-
-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
100
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água em função do número de bolas (x)?
a. y = 30x.
b. y = 25x + 20,2.
c. y = 1,27x.
d. y = 0,7x.
e. y = 0,07x + 6.
Resposta: Letra E
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 101
Atividade extra
Exercício 1
A balança abaixo contém em seus pratos pesos de 1 kg e um pacote de peso desconhecido.
Se a balança abaixo se encontra em equilíbrio é correto afirmar que:
Fonte: http//portaldoprofessorhmg.mec.gov.br (adaptada)
(a) O pacote pesa dois quilos
(b) Um quilo vale metade do pacote
(c) Três quilos equivalem ao peso do pacote
(d) O pacote pesa sete quilos
Exercício 2
Um rapaz cobra para fazer um frete R$ 50, 00 mais o valor do R$ 0, 30 por cada quilômetro rodado.
Qual sentença representa essa situação?
(a) x = 50, 30 (b) 50 + 0, 30x (c) 50, 3x (d) 0, 30 + 50x
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Exercício 3
Uma costureira recebe R$ 622, 00 por mês mais uma comissão de R$ 0, 60 por peça de roupa produzida. Em um 
mês ela produziu 800 peças de roupa.
Qual equação representa o salário recebido por ela no final do mês?
(a) 622 + 0, 60x = 1102
(b) 800 + 0, 60x = 110, 2
(c) 622x + 800 = 1102
(d) 0, 60 + 622x = 11020
Exercício 4
Dona Maria foi à feira e, na barraca de frutas, escolheu três melões de mesmo peso. O feirante os recolheu e 
colocou-os na balança conforme a figura abaixo:
Fonte: matematicafernando.blogspot.com (adaptada)
Se a balança está em equilíbrio, qual é, em gramas, o peso de cada melão?
(a) 450 (b) 150 (c) 416 (d) 50
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 103
Exercício 5
Um taxista no estado do Rio de Janeiro segue a tabela de valores descrita abaixo:
Bandeirada Quilômetro rodado
Convencional R$ 4,70 R$ 1,70
Especial R$ 6,05 R$ 2,04
Qual será o valor de uma corrida de 20km na bandeirada especial?
(a) R$ 38, 70 (b) R$ 97, 40 (c) R$ 123, 04 (d) R$ 46, 85
Exercício 6
De acordo com a ANP (Agência Nacional de Petróleo) o preço médio do litro da gasolina no estado do Rio de 
Janeiro é R$ 2, 97. Uma pessoa enche o tanque de gasolina de seu carro e paga o total de R$ 136, 62.
Qual a capacidade (em litros) do tanque de combustível que foi abastecido?
(a) 40 (b) 45 (c) 46 (d) 50
Exercício 7
O dobro de um número é igual ao sêxtuplo desse número menos 16. Que número é esse?
(a) 10 (b) 5 (c) 20 (d) 4
Exercício 8
Três irmãs, Ana-A, Bianca-B e Carolina-C, tem idades tais que Bianca é 3 anos mais nova que Ana e dez anos 
mais velha que Carolina.
Que equação relaciona as idades de Ana e Carolina?
(a) A – C = 13 (b) A + C = 13 (c) 2A + C = 13 (d) 2A – C = 13
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Exercício 9
Duas lavanderias concorrentes resolvem lançar promoções para atrair mais clientes. Na lavanderia Lave Bem, o 
cliente paga R$1, 00 por peça de roupa mais uma taxa de R$40, 00 para que a roupa seja entregue passada. A lavan-
deria Lave Mais cobra 2,50 por peça de roupa lavada e passada.
Um cliente que dispõe de R$100, 00 poderá lavar quantas peças de roupa em cada lavanderia?
Se ambos mantiverem a mesma velocidade, depois de quanto tempo o carro A poderá ultrapassar o carro B?
(a) 40 peças na Lave Bem ou 60 na Lave Mais
(b) 60 peças na Lave Bem ou 40 na Lave Mais
(c) 60 peças na Lave Bem ou 60 na Lave Mais
(d) 40 peças na Lave Bem ou 40 na Lave Mais
Exercício 10
Uma empresa produz peças a um preço de custo de R$ 1, 25 cada, e vende as peças a R$ 3, 00 (valor unitário).
A equação que representa o lucro L na venda de x peças é:
(a) 3x (b) 4, 25x (c) 1, 75x (d) 1, 25x
Exercício 11
Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de triângulo equilátero 
(triângulo que possui três lados iguais). Cada número é representado por Tn, onde n significa a posição do número 
triangular na equência abaixo.
Fonte: www.educ.fc.ul.pt
10 55
15 120
100 5050
x x (x + 1)
 2
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 105
Preencha a tabela abaixo com o número de pontos de cada número triangular de acordo com a posição dada:
1 2 3 4 5 10 15 100 x
1 3 6 10 15
Exercício 12
Uma locadora de carros possui dois tipos de planos para alugar um automóvel. O plano A o cliente paga uma 
diária de R$ 60, 00 pelo aluguel do carro, e no plano B o cliente não paga a diária mas é cobrada a taxa de R$ 0, 35 por 
quilômetro rodado. Se um cliente quer alugar um carro para fazer uma viagem de 7 dias, percorrendo 1400 km, qual 
o melhor plano a ser utilizado?
Exercício 13
Pedro está indeciso sobre qual operadora telefônica deve escolher. Pesquisando ele descobriu duas compa-
nhias telefônicas que o agradaram e está tentando descobrir qual a mais vantajosa. AcompanhiaAcobra por seus 
serviços (por mês), dos clientes R$ 30, 00 referentes à taxa fixa, impostos e custos de manutenção da linha e mais 
R$ 0, 05 por minuto utilizado pelo cliente nas suas ligações. A companhia B não cobra taxa fixa e o preço do minuto 
utilizado é de R$ 0, 35.
De acordo com os planos oferecidos, a partir de quantos minutos utilizados a companhia A é mais vantajosa 
que a companhia B?
Exercício 14
Em uma prova com 25 questões a correção é feita da seguinte maneira: o aluno ganha 3 pontos por cada ques-
tão que certa e perde 1 ponto por cada questão que errada.
Se um aluno fez 15 pontos, quantas questões ele acertou?
Exercício 15
Duas cidades A e B distam 560km entre si. Um carro parte de A para B a 60km/h, ao mesmo tempo que outro 
carro parte de B para A com velocidade de 80km/h, seguindo pela mesma estrada.
Se nenhum dos carros fizer nenhuma parada, depois de quanto tempo esses dois carros irão se encontrar 
na estrada?
Carro 1 = 0 + 60t Carro 2 = 560 – 80t
0 + 60t = 560 – 80t 140t = 560 T = 4.
Em 4 horas carro 1 percorre 240 km e o carro 2, 320km.
Plano A: 60 7 = R$ 420, 00.
Plano B: 1400 0, 35 = R$ 490, 00
x questões certas, então 3x pontos. y questões erradas: y pontos. Como x + y = 25 então y = 25 – x. Então 3x –
(25 – x) = 15, logo 3x + x – 25 = 15, daí 4x = 40 e portanto x = 10.
Acertou 10 questões.
Companhia A - Preço = 30 + 0,05x.
Companhia B - Preço = 0,35x
30 + 0, 05x = 0,35x
0,35x – 0,05x = 30
0,30x = 30
x = 30
 0,3
x = 100
A companhia A é mais vantajosa que a B se o cliente utilizar mais de 100 minutos mensais.
O plano A é mais vantajoso para essa situação.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 101
O que perguntam por aí?
Atividade 1 (ENEM, 2010, questão 14)
Uma professora realizou uma atividade com seus alunos, utilizando canudos de refrigerante para montar fi-
guras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da 
quantidade de quadrados (Q) que formamcada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura?
a. C = 4Q
b. C = 3Q + 1
c. C = 4Q - 1
d. C = Q + 3
e. C = 4Q – 2
Resposta: Letra B.
Comentário: Na primeira figura há 1 quadrado, assim C = 3 x1 + 1 = 4 palitos; 
102
Na segunda há 2 quadrados, C = 3 x 2 + 1 = 7 palitos;
Na terceira há 3 quadrados e C = 3 x 3 + 1 = 10 palitos,
Continuando este raciocínio na quarta figura teríamos 4 quadrados e C = 3 x 4 + 1 = 13 palitos. Quando tiver-
mos um número qualquer de quadrados, por exemplo Q, teremos:
C = 3 x Q + 1 
Atividade 2 (ENEM, 2010, questão 7)
Acompanhando o crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura dava-se 
de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, 
até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico, relacionando as alturas do filho nas 
idades consideradas. 
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 103
Resposta: Letra A.
Comentário: O gráfico A é o que retrata bem a variação da altura conforme relatada, com um crescimento 
maior de 0 a 10 anos, depois um pouco menor até os 17 anos, depois ficava menor até ficar quase imperceptível, isto 
é a linha do gráfico praticamente tendendo a ficar paralela ao eixo x.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 105
Atividade extra
Exercício 1
Uma indústria de brinquedos possui um custo mensal de produção equivalente a R$ 5.000,00 mais R$ 3,00 por 
brinquedo produzido.
A expressão matemática representa o custo C(p) de p unidades produzidas é?
(a) C(p) = 5000p + 3 (c) C(p) = 5000 + 3p
(b) C(p) = 5000 – 3p (d) C(p) = 5000 + p
Exercício 2
Utilizando a questão anterior, qual o valor, em reais, do custo na produção de 2000 peças?
(a) 15.000 (b) 11.000 (c) 5.000 (d) 1.500
Exercício 3
O preço do litro de gasolina de um posto de combustível é R$ 2,50. Qual expressão representa o preço y(x) 
a pagar por x litros.
(a) y(x) = 2,5x (c) y(x) = 2,5 – x
(b) y(x) = 2,5 + x (d) y(x) = 2,5x + 1
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Exercício 4
Utilizando a questão anterior, qual o preço a pagar no abastecimento de 8 litros ?
(a) R$ 30,00 (b) R$ 25,00 (c) R$ 20,00 (d) R$ 15, 00
Exercício 5
Numa viagem, um automóvel mantém uma velocidade constante de 60km/h.
Qual expressão representa a distância percorrida d(t), em km, em função do tempo t, em horas?
(a) d(t) = 6.t (b) d(t) = 60 + t (c) d(t) = 60t + t (d) d(t) = 60.t
Exercício 6
Um objeto é colocado no refrigerador por um período de 5 horas. A queda de temperatura desse objeto, em 
graus Celsius, é dada pela função f(x) = 3,2x, sendo x a quantidade de horas que objeto permanece no refrigerador.
Qual a queda de temperatura desse objeto após 3 horas e meia?
(a) 6,7° (b) 7,8° (c) 11,2° (d) 13,5°
Exercício 7
Uma livraria obtém lucro de R$ 5,00 por livro vendido. As despesas mensais são de R$ 5000,00 mensais.
Qual expressão representa o lucro mensal L(x) desta livraria ao vender x livros?
(a) L(x) = 5000x + 5 (c) L(x) = 5000x – 5
(b) L(x) = 5x + 5000 (d) L(x) = 5x – 5000
Exercício 8
Uma usina elétrica necessita conduzir tubulações até as casas da cidade vizinha. O custo da operação é de 
R$ 150,00 por metro, além do valor fixo de R$ 300,00 referente ao aluguel dos equipamentos.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 107
Qual a expressão que representa o custo C(x) da usina por x metros?
(a) C(x) = 300x + 150 (c) C(x) = 450x
(b) C(x) = 150x + 300 (d) C(x) = 15x + 30
Exercício 9
O valor de um boleto bancário é de R$ 300,00 com juros de R$ 7,00 por dia após o vencimento.
Qual expressão representa o valor P(x) a ser pago após x dias do vencimento?
(a) P(x) = 307 + x (c) P(x) = 300 + 7x
(b) P(x) = 300 + x (d) P(x) = 307 + 7x
Exercício 10
Uma empresa possui um gasto de R$ 30.000,00 referente aos salários dos funcionários e R$ 2.500,00 referente 
ao custo mensal com os materiais de divulgação. Para o próximo ano, a empresa planeja um aumento acumulativo de 
R$ 300,00 por mês no custo com os materiais de divulgação.
Nessa situação, qual a expressão que representa o gasto mensal da empresa?
(a) G(x) = 30000 + 2800x (c) G(x) = 30000 + 2500x
(b) G(x) = 30300 + 2500x (d) G(x) = 32500 + 300x
Exercício 11
Uma manicure cobra R$ 12,00 para clientes com hora marcada e R$ 10,00 para clientes sem hora marcada. Ela 
atende por dia um número fixo de 6 clientes com hora marcada e um número variável x de clientes sem hora marcada.
Qual expressão representa a quantia Q(x) arrecadada por dia?
Q(x) = 72 + 10x
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Exercício 12
Para um boleto de R$ 680,00 o banco cobra 4% de juros por dia após o vencimento mais R$ 10,00 de multa.
Qual expressão fornece o valor total da mensalidade M(x) em x dias de atraso?
Exercício 13
Utilizando a questão anterior, qual o valor da mensalidade após 12 dias de atraso?
Exercício 14
O crescimento da população de uma cidade, x anos após 1950 é dado pela função f(x) = 2x + 300.
Qual foi o crescimento da população dessa cidade até 1986?
Exercício 15
Uma fábrica produz f(x) = 500x + 6000 refrigerantes em x meses de produção.
Quantos meses serão necessários para produzir 10.000 refrigerantes?
R$ 1016,40.
8 meses
372.
M(x) = 690 + 27,2x
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 127
Atividade extra
Exercício 1
A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas 
cidades temos o total de 200.000 habitantes.
Qual a população da cidade A?
(a) 50.000 (b) 75.000 (c) 100.000 (d) 150.000
Exercício 2
Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. 
Quantos são os pequenos?
(a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2
Exercício 3
Um pagamento de R$ 140,00 foi realizado em notas de R$ 5,00 e de R$ 20,00, no total foram 10 notas.
Quantas notas de cada tipo foram usadas?
(a) 5 notas de 20 reais e 5 notas de 5 reais
(b) 6 notas de 20 reais e 4 notas de 5 reais
(c) 7 notas de 20 reais e 3 notas de 5 reais
(d) 4 notas de 20 reais e 6 notas de 5 reais
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Exercício 4
Um par de sapatos e um par de sandálias custam R$ 30,00. O preço do par de sapatos é de R$ 2,00 a mais que 
o preço de três sandálias. 
Quanto custa um par de sandálias?
(a) R$ 23,00 (b) R$ 17,00 (c) R$ 13,00 (d) R$ 7,00
Exercício 5
Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés.
Quantas galinhas e quantos coelhos há nesse terreno?
(a) 10 galinhas e 3 coelhos
(b) 3 galinhas e 10 coelhos
(c) 4 galinhas e 9 coelhos
(d) 5 galinhas e 8 coelhos
Exercício 6
A soma das idades de Mariana e Felipe é 18 anos. Há 3 anos atrás, a diferença destas idades era de 2 anos.
Qual a idade de Felipe, sabendo que Mariana é a mais velha?
(a) 13 anos (b) 11 anos (c) 9 anos (d) 8 anos
Exercício 7
Na geladeira de Ana há 15 litros de refrigerante, dispostos tanto em garrafas de um litro e meio, quanto de 
600ml, no total de 13 garrafas.
Qual é a quantidade de garrafas de 600ml?
(a) 3 garrafas (b) 4 garrafas (c) 5 garrafas (d) 8 garrafas
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 129
Exercício 8
Margarida comprou arroz a R$ 2,00/kg e o feijão a R$ 3,00/kg em um supermercado, pagando R$ 13,00. Na 
feirinha do seu Joaquim o arroz teria custado R$ 3,00/kg e o feijão R$ 2,00/kg, pagando R$ 17,00 no total.
Quantos quilogramas foram comprados?
(a) 6kg (b) 7kg (c) 8kg (d) 9kg
Exercício 9
Um tomate e um pepino pesam juntos 150g. Para fazer o equilíbrio da balança é preciso colocar 2 tomates de 
um lado e um pepino do outro.
Quantos quilogramas possui um tomate?
(a) 65g (b) 60g (c) 55g (d) 50g
Exercício 10
Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duas etapas, de modo que na primeira etapa percorra 
60km a mais que na segunda.
Quantos quilômetros ele deverá percorrer nasegunda etapa?
(a) 360km (b) 380km (c) 400km (d) 420km
Exercício 11
Duas vacas eumtouro foram trocados por oito porcos. Emoutra ocasião, uma vaca foi trocada por um touro e 
um porco. De acordo com a regra desses dois "negócios", uma vaca deve ser trocada por quantos porcos?
Exercício 12
Ao organizar uma festa Paulinho decidiu organizar os convidados em mesas com 3 e 4 cadeiras. Na festa ti-
nham 50 pessoas e foram ocupadas 15 mesas. Qual o número de pessoas que ocuparam mesas com 3 cadeiras?
Uma vaca pode ser trocadapor 3 porcos.
30 pessoas.
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Exercício 13
Júnior e Luís jogam no mesmo time de futebol de areia. No último campeonato, os dois juntos marcaram 52 
gols. Júnior marcou 10 gols a mais que Luís. Quantos gols Júnior marcou nesse campeonato?
Exercício 14
A Adriana é a irmã mais velha do Claudio. A diferença entre as idades dos dois irmãos é de 5 anos e a sua soma 
é 35 anos. Qual a idade do Claudio?
Exercício 15
Numa colônia de férias há quartos de 4 e 8 camas. O número de quartos é 80 e o de camas é 360. Qual o 
número de quartos há de cada tipo?
31 gols.
70 quartos de 4 camas e 10 quartos de 8 camas
15 anos.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 121
O que perguntam por aí?
122
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 123
124
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 125
Atividade extra
Exercício 1
A figura representa o gráfico de uma função.
Fonte:http://www.pucrs.br/famat/mbotin/matematica/Modificacao_funcoes20072.pdf
Qual conjunto representa o domínio dessa função?
(a) (–3, 4) – {1} (b) [–3, 4) – {1} (c) (–3, 4]– {1} (d) [–3, 4] – {1}
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Exercício 2
Existem vários tipos de escalas termométricas para medir temperaturas. No Brasil usamos a escala Celsius, 
enquanto em alguns outros países usam a escala Kelvin. Na escala Celsius os ponto de congelamento e ebulição 
acontecem sob as temperaturas de 0° C e 100° C, respectivamente, enquanto na escala Kelvin tais eventos ocorrem 
sob as temperaturas de 273K e 373K. Considerando os pontos de congelamento (0, 273) e ebulição (100, 373) em 
cada escala de temperatura estabelecemos a relação k(c) = c + 273, que dá a temperatura em Kelvin de acordo com a 
temperatura em graus Celsius.
Qual gráfico representa essa relação entre as temperaturas?
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 127
Exercício 3
A figura mostra diferentes gráficos que relacionam as coordenadas x e y.
Qual deles não representa uma função y = f (x)?
(a) A (b) B (c) C (d) D
Exercício 4
Uma família em viagem sai do Rio de Janeiro e segue para a cidade de São Paulo. Eles chegam à Rodovia Presi-
dente Dutra, na altura do município de Seropédica (km 209), às 7h da manhã e duas horas depois fazem uma parada 
na cidade de Guaratinguetá (km 404). Considerando a posição do carro na rodovia de acordo com o tempo, temos 
os pontos (7, 209) e (9, 404). De acordo com os pontos dados, qual gráfico melhor representa a posição do carro na 
rodovia Presidente Dutra, de acordo com o tempo?
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Exercício 5
A figura representa o gráfico de uma função.
Fonte:http://www.pucrs.br/famat/mbotin/matematica/Modificacao_funcoes20072.pdf
Qual conjunto representa a imagem dessa função?
(a) [–2, 3] (b) [–2, 3) (c) (–2, 3] (d) (–2, 3)
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 129
Exercício 6
A área de um retângulo pode ser calculada por meio da multiplicação das suas medidas, Área = comprimento 
largura. Suponha que um retângulo tenha largura fixa de 10cm e comprimento variável (c).
Qual é a lei de formação que dá a área do retângulo em função do comprimento?
(a) A(c) = 10c (b) A(c) = 5c (c) A(c) = 10 + c (d) A(c) = c – 10
Exercício 7
Uma empresa de cobrança emite boletos para o Condomínio Viver Bem no valor de R$100,00. Caso o condômi-
no atrase o pagamento é cobrada uma taxa de R$ 0,20 por dia. Se algum condômino quiser calcular o valor P a pagar, 
de acordo com os dias (d) atrasados após o vencimento da conta, deverá utilizar a fórmula P(d) = 100 + 0,2d.
Para um atraso de 15 dias, o valor da conta é:
(a) R$ 100,30 (b) R$ 130,00 (c) R$ 103,00 (d) R$ 135,00
Exercício 8
Uma pedra é lançada verticalmente e seu movimento é descrito por uma parábola de equação y = –40t2 +200t, 
que fornece a altura (y)emmetrosemfunção do tempo (t), em segundos, após o lançamento da pedra.
Quantos segundo após o lançamento a pedra cai no chão?
(a) 2s (b) 3s (c) 4s (d) 5s
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Exercício 9
O gráfico mostra a variação da velocidade do vento na cidade do Rio de Janeiro no período de 20 à 29 de junho 
de 2013.
Fonte:http://www.climatempo.com.br/graficos/cidade/321/riodejaneiro-rj
Os períodos em que essa variação foi constante são:
(a) 20 à 21/jun e de 28 à 29/jun. (c) 21 a 22/jun e de 27 a 28/jun
(b) 22 à 24/jun e de 25 a 27/jun d) 20 a 22/jun e de 23 a 24/jun
Exercício 10
Observe a função descrita no g ráfico.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 131
Para que intervalos de x essa função é negativa?
(a) [–3, 0] e [3, 4] (b) (–3, 0) e [3, 4) (c) [–3, 0) e (3, 4] (d) (–3, 0) e (3, 4]
Exercício 11
Um automóvel percorre a Rodovia Presidente Dutra, que liga o Estado do Rio de Janeiro ao Estado de São Pau-
lo, obedecendo aos dados da tabela abaixo, que indica a posição do mesmo de acordo com o tempo. Considere que 
esse automóvel partiu do km 101 da Rodovia, sentido São Paulo.
Tempo Posição
1 hora Km 204
2 horas Km 297
3 horas Km 400
Construa um gráfico que representa a posição do automóvel na Rodovia de acordo com os dados da tabela.
Exercício 12
A área de um quadrado é dada em função do comprimento do seu lado e pode ser calculada por meio da lei 
A(L) = L2, onde L é o comprimento do lado do quadrado.
Preencha a tabela abaixo com valores para o lado e para a área relacionada, em seguida construa um gráfico 
com esses valores.
Tempo Área
Escolha quaisquer cinco valores, não-negativos, e calcule a área do quadrado para cadaumdos valores escolhidos,
colocando todos os dados na tabela.
Por exemplo:
Para L = 3 Área = 32
 = 9.
Para L = 5 Área = 52
 = 25.
O gráfico é um segmento de reta. Segue uma ilustração.
Observação: Devido a ordem de grandeza dos valores do gráfico, a posição dos pontos (0, 100) e (0, 101) é indistinguível aos olhos. Contudo, o enunciado é claro ao afirmar que o carro parte do km 101, portanto, o gráfico
começa no ponto (0, 101).
132
Exercício 13
Duas operadoras de telefonia móvel oferecem planos de pagamento de acordo com a quantidade de 
minutos usados.
 � A empresa Fale Bem cobra R$ 50,00 por duzentos minutos em ligações para qualquer telefone, e mais R$ 0,25 
por minutos excedentes. O custo C da utilização mensal do telefone em função dos minutos gastos (M) é 
C(M) = 50 + 0,25(M – 200);
 � A empresa Fale Mais cobra R$ 40,00 por duzentos minutos em ligações para qualquer telefone e mais R$ 0,35 
centavos por minutos excedentes. O custo C da utilização mensal do telefone em função dos minutos gastos 
(M) é C(M) = 40 + 0,35(M – 200).
No mesmo plano cartesiano, faça o gráfico representando o custo da utilização mensal para cada uma das 
empresas e, determine para quantos minutos esse custo tem o mesmo valor para as duas empresas.
Exercício 14
Dada uma função cujo domínio e imagem é o conjunto dos números reais, dada pela lei de formação f (x) = –5x + 3. 
Qual o valor da expressão (0) (2)
( 1)
f f
f
−
−
 ?
Exercício 15
Dada a função definida pelas sentenças 
2, se 3
( ) 5, se 1 3
2, se <1
x x
f x x
x x
+ >
= ≤ ≤
− −
 com domínio no conjunto dos reais.
Construa o gráfico de f (x).
Construa, no mesmo plano cartesiano, o gráfico de cada uma das expressões da definição da função, o resultado será o gráfico da função dada
Substitua os valores x = –1, x = 0, x = 2 na expressão de f (x), então f (–1) = 8, f (0) = 3, f (2) = –7. Substituindo
esses valores em (0) (2)
( 1)
f f
f
−
− tem-se:
(0) (2) 3 7 10 1,25 ( 1) 8 8
Construa, no mesmo plano cartesiano, o gráfico de cada uma das expressões da definição da função,o resultado será o gráfico da função dada. O valor de x em que ambas são iguais é 300.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 143
O que perguntam por aí?
AQuestão 1 (ENEM 2000)
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente 
proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao 
número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x 
o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k.x.(P-x), onde k é uma constante positiva característica do boato.
O gráfico cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é: 
144
Resposta: Letra E
Comentário: A rapidez de propagação de um boato é dada pela função do 2° grau R(x) = k.x.(P – x), ou seja, R(x) 
= kPx – kx² . Como uma função do 2° grau é descrita como f(x) = ax² + bx +c, podemos dizer que, neste caso, a = –k, b = 
kP e c = 0. Como k é positivo, então o valor de a é negativo, podemos então afirmar que a concavidade da parábola está 
voltada para baixo. Como a única alternativa em que a parábola tem concavidade voltada para baixo é a letra E, então 
esta é a alternativa correta. Observe ainda que quando x = 0, R = 0 também, o que confere com o gráfico.
Questão 2
Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de 
propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a. 11.000
b. 22.000
c. 33.000
d. 38.000
e. 44.000
Resposta: Letra B
Comentário: A máxima rapidez de propagação (Rmax) ocorre quando o número de pessoas que conhece o 
boato for máxima (xmax). Devemos, assim, calcular o x do vértice (xv) da parábola, mostrada anteriormente. Para isso, 
usaremos a fórmula xv = – b/2a. Temos, então, xv = –kP/2·(– k). Como o público-alvo é de 44.000 pessoas, temos que P 
= 44000. Substituindo na fórmula do x do vértice, temos: xv = 44000/2, ou seja, xv = 22000. Logo, a alternativa correta 
é a letra b. 
Questão 3 (Faap-SP)
Uma companhia estima que pode vender mensalmente q milhares de unidades de seu produto ao preço de 
p reais por unidade. A receita mensal das vendas é igual ao produto do preço pela quantidade vendida. Supondo 
p= –0,5q + 10, quantos milhares de unidades deve vender mensalmente para que a receita seja a máxima possível?
a. 18
b. 20
c. 5
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 145
d. 10
e. 7
Resposta: Letra D
Comentário: Como a receita mensal das vendas é o produto do preço pela quantidade vendida, então se cha-
mamos de R a receita, temos: R = p · q, e substituindo p pela expressão fornecida na questão, obtemos R = (–0,5q + 
10)q. Assim, chegamos à função do 2° grau R = –0,5q² + 10q. Para determinarmos quantos milhares de unidades deve 
vender mensalmente para que a receita seja a máxima possível, devemos determinar o valor de q dado pela fórmula 
–b/2a. Logo, qmax = –10/2·(–0,5)= –10/–1=10. Logo, deve vender 10 mil unidades para que a receita seja máxima. A 
resposta é a alternativa d.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 147
Atividade extra
Exercício 1
Uma bola quando chutada por um jogador de futebol descreve uma parábola de equação h(t) = –40t2 + 200t, 
onde h(t) é a altura da bola em função do tempo (t) em segundos.
Quanto tempo após o chute a bola alcança o chão novamente?
(a) 2s (b) 3s (c) 4s (d) 5s
Exercício 2
Em uma empresa o custo c(x) para produzir x unidades de um determinado produto, é dado pela equação 
C(x) = x2 – 80x + 3000.
Determine o custo mínimo e a quantidade de unidades correspondente.
(a) (0,3000) (b) (40,1400) (c) (20,1800) (d) (30,1500)
Exercício 3
O gráfico da função f (x) = x2 + x + 7 é uma parábola que:
(a) Toca o eixo x em apenas um ponto, pois possui duas raízes reais e iguais.
(b) Toca o eixo x em dois pontos distintos, pois possui duas raízes reais e diferentes.
(c) Não toca o eixo x, pois não tem raízes reais.
(d) Toca o eixo x em dois pontos distintos, pois tem duas raízes reais e iguais.
148
Exercício 4
O gráfico representa uma função do segundo grau.
Qual a lei de formação dessa função?
(a) 
2 6
( ) 3
4 2
x x
f x = − + +
(b) 2( ) 2 6 8f x x x= − + +
(c) 2( ) 3 4f x x x= − −
(d) 
2 3
( ) 2
2 2
x x
f x = − + +
Exercício 5
A função h(t) = –t2 + 16t + 24, nos dá a altura de uma pedra h(t) quando lançada, em função do tempo (t) em 
segundos.
Quanto tempo após o lançamento a pedra atingirá sua altura máxima?
(a) 8s (b) 88s (c) 6s (d) 216s
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 149
Exercício 6
Dada a função f (x) = x2 – 9x + 20.
Quais são as raízes dessa função?
(a) x = 4 e x = –5 (c) x = 4 e x = 5
(b) x = –4 e x = 5 (d) x = –4 e x = –5
Exercício 7
Um automóvel tem a sua posição p(t) (em metros) em função do tempo (t) dada pela função p(t) = 3t2 + 10t + 3.
Qual a posição deste automóvel no tempo t = 12 segundos?
(a) 555 metros (b) 595 metros (c) 575 metros (d) 587 metros
Exercício 8
Dada a função f (x) = –2x2 + 16x + 5.
O gráfico que representa essa função é:
150
Exercício 9
O transporte aéreo de pessoas entre duas cidades A e B é feito por uma única companhia aérea, em um único 
vôo diário. Oavião utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagem p(x) relaciona-se com o número x de passageiros 
por dia pela relação p(x) = 300 – 0,75x. A função receita, que é o valor arrecadado de acordo com o número x de pas-
sageiros que compraram a passagem é dada, em reais, por R(x) = x ∙ p(x)
Qual a receita máxima possível por viagem?
(a) R$ 30000,00 (b) R$ 29700,00 (c) R$ 29900,00 (d) R$ 29600,00
Exercício 10
A área de um quadrado é 1024cm2.
Qual o valor do lado desse quadrado?
(a) 256 cm2 (b) 32 cm2 (c) 512 cm2 (d) 64 cm2
Exercício 11
Considere a função do segundo grau f (x) = x2 + 5x + 6. Esboce seu gráfico e identifique nele as raízes da função.
Exercício 12
O lucro L(x), em reais, de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função L(x) = –5x2+100x –80, 
onde x representa o número de produtos vendidos.
Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo?
Como o lucro é dado por uma função do segundo grau o valor máximo é o vértice da parábola descrita por esta
função. Neste caso sabemos que o valor máximo ocorre em 2
b
x
a = − . Logo 100 10
2.( 5)
x x =− ⇒ = − .
Portanto, devem ser vendidos 10 para obtenção do lucro máximo
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 151
Exercício 13
Um trapézio possui área medindo 576 cm2. Temos que a medida da altura é o triplo da medida da base menor, 
e que a base maior possui a mesma medida da altura.
Determine o comprimento das bases e altura deste trapézio.
Exercício 14
O gráfico representa os pontos que obedecem à uma função do segundo grau, cuja lei de formação é do tipo 
f (x) = ax2 + bx + c.
Quais são os sinais de a, b e c?
Exercício 15
Um motorista está viajando de carro em uma estrada a uma velocidade constante, quando percebe um cavalo a 
sua frente e resolve frear. A velocidade v(t) do carro após o acionamento dos freios é dada pela função v(t) = –5t2 + 50t, 
sendo t o tempo em segundos.
Depois de acionados os freios, quanto tempo o carro leva para parar?
Sabemos que
( ) e 576
2
(3 )3 576 4 6
2
Como a parábola tem concavidade para baixo a < 0. No gráfico dado, o termo 2
b
a
− está a direita do eixo
y, logo é positivo, portanto, 2
b
a
− > 0. Como a < 0, então –b < 0, logo, b > 0. O gráfico intercepta o eixo y acima
do eixo x, logo c > 0.
O carro parar quando v(t) = 0. Então –5t
2
 + 50t = 0
t = 0 ou t = 10.
Portanto, o carro parar 10 segundos após o acionamento dos freios.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 111
O que perguntam por aí...
Unifravas – 2000
A figura MNPQ é um retângulo inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é π/4 rad, as medidas dos arcos 
AN e AP, em radianos, respectivamente, são:
a. 3π/4 e 5π/4
b. π e 3π/2
c. 3π/4 e 2 π
d. π/2 e 5π/4
e. 3π/4 e 5π/8
Resposta:Letra A
Sendo π rad = 180º, 180 45 / 4 180 / 4 45
4 4
rad
π π°= = ° = ° = ° . Logo, o arco AM mede 45º. Como o retângulo da fi-
gura mostra que o ponto N tem a mesma altura que o ponto M, então N está a 45º da horizontal, ou seja, 180º – 45º = 135º 
que, em radianos vale 3π/4 rad. Já o ponto P está a 45º depois do eixo horizontal, pois devido às propriedades do 
retângulo P está a uma mesma distância deste eixo que o ponto N. Logo, P está a 180º + 45º = 225º que, em radianos 
vale 5π/4 rad.
114
Exercício 5
Para evitar desperdício deseja-se determinar, aproximadamente, quantos metros de cerca são necessários para 
cercar completamente o jardim ilustrado na figura.
1
Qual o comprimento, em metros, desta cerca? Use π = 3,14.
(a) 6,14 (b) 6,28 (c) 6,41 (d) 6,59
Exercício 6
Um agrimensor enxerga o topo T de um morro sobe um ângulo de 45° a uma distância de 200m do mesmo.
Qual a altura aproximada, em metros, do morro?
a) 191 (b) 200 (c) 205 (d) 210
Exercício 7
Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 30°. Após percorrer 2.000 metros em linha reta.
Qual será a altura atingida, em metros, pelo avião, aproximadamente?
(a) 500 (b) 850 (c) 1.000 (d) 1.250
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 115
Exercício 8
A Rua Tenório Quadros e a Avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30°. O 
posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na Avenida Teófilo Silva a 4km do cruzamento citado.
Qual a distância, em quilômetros, entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?
(a) 1,7 (b) 1,8 (c) 1,9 (d) 2, 0
Exercício 9 (PUC-SP)
Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante. Se ela 
caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°.
Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa 
enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?
(a) 150 (b) 180 (c) 270 (d) 300
116
Exercício 10
Uma escada está apoiada em um muro de 2m de altura, formando um ângulo de 45°.
Qual é o comprimento, em metros, da escada?
(a) 2,72 (b) 2,79 (c) 2,83 (d) 2, 85
Exercício 11
Uma pequena esfera é abandonada no ponto A de uma rampa que está a 80cm do solo e com uma inclinação 
de 60°. Qual a distância, em centímetros, que a esfera deverá percorrer até chegar ao solo?
Exercício 12
Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem sobre um local plano com uma inclinação de 60° em relação à 
horizontal. Qual o comprimento, em metros, da sombra de uma construção de 6m de altura aproximadamente?
2V3=3,46
92,38cm
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 117
Exercício 13
Um turista vê o topo de uma torre construída em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se da 
torre mais 374m, passa a vê-la sob um ângulo de 60° e a base da torre está no mesmo nível do olho do turista.
Qual a altura, aproximada, da torre?
Exercício 14
A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois 
círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal.
Qual a altura, em centímetros, do suporte?
Exercício 15 (UFRS)
Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120° com a 
margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de:
40V 3
187V 3=324
11
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 123
O que perguntam por aí?
Questão 1 (UFMG – 2008)
Considere um reservatório, em forma de paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de comprimento, 5 m 
de largura e 120 cm de profundidade. Bombeia-se água para dentro desse reservatório, inicialmente vazio, a uma taxa 
de 2 litros por segundo. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que, para se encher completamente esse 
reservatório, serão necessários.
A) 40 min.
B) 240 min.
C) 400 min.
D) 480 min.
Resposta: Letra C.
Comentários:
Primeiramente vamos transformar as medidas do reservatório em decímetro. Pois como sabemos 1 litro cor-
responde a 1 decímetro cúbico.
Então:
8 m = 80 dm
5 m = 50 dm
120 cm = 12 dm
O volume do paralelepípedo pode ser calculado da seguinte maneira:
V = altura x largura x comprimento
124
Assim, temos
V = 80 x 50 x 12
V = 48 000 dm3
V = 48 000 l
Como bombeia-se água a uma taxa de 2 l por segundo, temos que:
48 000 ÷ 2 = 24 000 s
24 000 ÷ 60 = 400 min
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 125
Atividade extra
Exercício 1
A figura ilustra a planificação da superfície lateral de um cilindro reto de 10 metros de altura. Considere π = 3,14. 
Qual o valor da área total desse cilindro, em metros quadrados?
6,28 m
10 m
(a) 62,8 (b) 69,08 (c) 75,36 (d) 76,32
Exercício 2
Uma caneta esferográfica possui um tubo de 0,2cm de diâmetro e 12cm de comprimento. A tinta para escrever 
fica acondicionada dentro desse tubo. Considere π = 3,14. Que volume de tinta, em cm3, poderá ser acondicionado 
no tubo?
(a) 0,3768 (b) 1,5072 (c) 3,7680 (d) 7,5360
126
Exercício 3
Um caminhão pipa carrega 9,42 mil litros de água quando está com sua capacidade máxima. Desejamos en-
cher um tanque em formato de paralelepípedo, como ilustrado na figura.
2m
2m
5m
Lembre que 1m3 = 1000 litros. Quantos caminhões, com a capacidade máxima de água, serão necessários para 
encher o tanque?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
Exercício 4
Um profissional de Arquitetura e Urbanismo projetou uma fonte para ser colocada na praça de sua cidade. O 
tanque da fonte é tal como ilustra a figura.
O tanque tem o formato de dois cilindros de mesmo centro, com altura igual a 0,8m e de raios iguais a 2m e 3m, 
respectivamente. Qual a capacidade de água do tanque da fonte em m3?
(a) 2,5120 (b) 10,048 (c) 12,560 (d) 22,608
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 127
Exercício 5
Para fazer uma caixa sem tampa com apenas um pedaço retangular de papelão, de medidas 12cm de largura 
por 25cm de comprimento, foram retirados de cada um dos cantos do retângulo um quadrado de mesma área. Em 
seguida, dobra-se as quatro bordas para cima formando a caixa desejada. A caixa assim produzida utiliza 236cm2 de 
papelão. Quanto deve ser, em cm, o lado do quadrado a ser retirado de cada canto do papelão?
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
Exercício 6
Um cubo de lado 10 teve a medida da aresta aumentada em uma unidade. Qual o percentual de aumento no 
volume?
(a) 20,1% (b) 26,1% (c) 33,1% (d)37,1% 
Exercício 7 (UFGO – Adaptada)
Um pedaço de cano com 30cm de comprimento e 10cm de diâmetro interno, encontra-se na posição vertical e 
tem a parte inferior vedada. Consideremos que 1dm3 = 1litro. O que acontece com a água ao colocarmos exatamente 
3 litros dessa substância no cano?
(a) transborda
(b) não chega ao meio do cano
(c) enche o cano até a borda
(d) atinge exatamente o meio do cano
Exercício 8
Considere um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e que tem área total de 54m2. Quanto mede 
(em metros) o lado da base do prisma?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
128
Exercício 9
Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 20cm e 12cm, são derretidos e em seguida 
o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de base quadrada de lado 16cm e altura desconhecida. 
Qual é o valor da altura do paralelepípedo, em centímetros?(a) 34 (b) 36 (c) 37 (d) 38
Exercício 10
Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma triangular regular. 
A altura da caixa deve ser de 12cm e o lado do triângulo da base deve medir 10cm. Na construção de cada caixa, o 
fabricante perde, em média 10% do material utilizado. Considere 3 = 1,73. Quantos cm2 de papelão são gastos na 
fabricação de cada caixa?
(a) 446,51 (b) 491,15 (c) 519,16 (d) 570,92
Exercício 11
Uma olaria (fábrica de tijolos) recebeu uma encomenda para produzir 5000 tijolos compactos, com dimensões 
de 18cm × 9cm × 6cm. Qual o volume dessa encomenda?
Exercício 12
Um tanque tem a forma de paralelepípedo de lados 0,8m e 1,2m e está parcialmente cheio de água. Um objeto é 
colocado no tanque e fica completamente imerso, fazendo o nível da água subir em 0,09m. Qual o volume desse objeto?
Exercício 13
Um galpão tem a forma de um paralelepípedo com 30m de comprimento, 72m de largura e 6m de altura. 
Deseja-se armazenar neste galpão caixas cúbicas com 3m de lado. Quantas caixas é possível armazenar nesse galpão?
O volume do objeto é igual ao volume de um paralelepípedo de lados 0,8m e 1,2m e altura 0,09m, pois ao ser
colocado no tanque o objeto eleva o nível da água em 0,09m. Assim, denotando por V0
 o volume do objeto
temos V0
 = 0,8 · 1,2 · 0,09 = 0,0864.
Portanto, V0 = 0,0864m3
.
Como a caixa tem 3m de lado pode-se enfileirar 30/3 = 10 caixas no lado de comprimento 30m, 72/3 = 24 caixas
no lado de comprimento 72m e empilhar 6/3 = 2 caixas uma sobre a outras. Portanto, podem ser armazemadas
10 · 24 · 2 = 480 caixas.
O volume da encomenda será 18 · 9 · 6 · 5000 = 4860000 cm3
 ou 4,86m3
.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 129
Exercício 14
Uma caixa d´água tem forma cúbica com 1 metro de aresta. Retira-se dessa caixa d’água 1 litro de água. Quan-
tos centímetros descerá o nível da água?
Exercício15
Uma caixa de papelão será fabricada por uma indústria com as seguintes medidas: 40cm de comprimento, 
20cm de largura e 15cm de altura. Essa caixa irá armazenar doces na forma de um prisma com as dimensões medindo 
8cm de comprimento, 4cm de largura e 3cm de altura. Qual o número de doces necessários para o preenchimento 
total da caixa fabricada?
Volume da caixa = 40 × 20 × 15 = 12000cm3
. Volume do doce = 8 × 4 × 3 = 96cm3
.
Volume da caixa 12000
Volume do doce 96
= = 125
Cabem 125 doces dentro da caixa.
Como 1m3 = 1000 litros, então 1 litro = 0,001m3
. Se h é a medida em que o nível da água desceu temos
1 × 1 × h = 0,001
Então h = 0,001m, que equivale a 0,1cm ou 1mm.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 125
O que perguntam por aí?
Questão 1 (PUC-SP/2003) 
Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence 
a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Resposta: Letra B
Comentário: Primeiro, observem que os termos de ordem ímpar da sequência formam uma PA de razão 1 e 
primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma, os termos de ordem par formam uma PA de razão 1 e primei-
ro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i – 1) ∙ 1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsica-
mente relacionada às duas progressões da seguinte forma:
 � Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2;
 � Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
126
an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) – 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22
e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37
E portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59
Questão 2 (UFLA – 99)
A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4
Resposta: Letra E
Comentário: Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de 
razão q = 10-1 = 0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 127
Atividade extra
Exercício 1
Dois ciclistas estão em fases distintas de preparação. O técnico desses atletas elabora um planejamento de 
treinamento para ambos, estabelecendo o seguinte esquema:
Ciclista 1: iniciar o treinamento com 4 km de percurso e aumentar, a cada dia, 3 km a mais para serem percorridos;
Ciclista 2: iniciar o treinamento com 25 km de percurso e aumentar, a cada dia, 2 km a mais para serem percorridos.
Eles iniciam os treinamentos no mesmo dia e continuam até que os atletas percorrem a mesma distância em 
um mesmo dia.
Quantos quilômetros o ciclista 1 percorre?
(a) 781 (b) 714 (c) 848 (d) 915
Exercício 2
Considere uma colônia de coelhos que se inicia com um único casal de coelhos adultos e denote por an o nú-
mero de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Considere:
a1 = 1; a2 = 1 e, para n ≥ 2; an+1 = an + an–1:
Qual o número de casais de coelhos ao final do 5o mês?
(a) 13 (b) 8 (c) 6 (d) 5
128
Exercício 3
Um garoto dentro de um carro em movimento, observa a numeração das casas do outro lado da rua, come-
çando por 2, 4, 6, 8. De repente passa um ôinibus em sentido contrário, obstruindo a visão do garoto de forma que 
quando ele voltou a ver a numeração, esta já está em 22.
Quantos números o garoto deixou de ver?
(a) 4 (b) 5 (c) 6 (d) 7
Exercício 4
Um operador de máquina chegou 30 minutos atrasado no seu posto de trabalho, mas como a máquina que 
ele monitora é automática, começou a trabalhar na hora programada. A máquina produz 4 peças por minuto, onde n 
é o número de minutos.
Quantas peças a máquina produziu até a chegada do operador?
(a) 100 (b) 120 (c) 144 (d) 160
Exercício 5
Um carro percorre 40 km na primeira hora, 34 km na segunda hora, e assim por diante, formando uma progres-
são aritmética.
Quantos quilômetros percorrerá em 6 horas?
(a) 120 (b) 130 (c) 140 (d) 150
Exercício 6
Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o
valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais 
que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. O valor da prestação no primeiro ano é de R$ 150,00.
Qual o valor, em reais, da prestação no último ano?
(a) 1.100,00 (b) 1.120,00 (c) 1.135,00 (d) 1.115,00
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 129
Exercício 7
Um carro, cujo preço à vista é R$ 24.000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 par-
celas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi 
informado que a segunda parcela seria de R$ 4000,00 e a quarta parcela de R$ 1.000,00.
Quanto esse cliente pagou de entrada na aquisição desse carro?
(a) R$ 8.000,00
(b) R$ 8.250,00
(c) R$ 8.500,00
(d) R$ 8.850,00
Exercício 8
Varias tábuas iguais estão em uma madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a seguinte ordem: 
uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na pilha. Por exemplo 
1a pilha
uma tábua
2a pilha
duas tábuas
3a pilha
três tábuas
4a pilha
quatro tábuas
Qual a quantidade de tábuas empilhadas na 12a pilha?
(a) 1024 (b) 1448 (c) 2024 (d) 2048
Exercício 9
As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão geométrica, nessa ordem.
Qual a área desse quadrado?
(a) 256 (b) 64 (c) 16 (d) 243
130
Exercício 10
Thomas Malthus (1766-1834) assegurava que, se a população não fosse de algum modo contida, dobraria de 
25em 25 anos, crescendo em progressão geométrica, ao passo que, dadas as condições médias da terra disponíveis 
em seu tempo, os meios de subsistência só poderiam aumentar, no máximo, em progressão aritmética. Considerando 
os dois primeiros termos de uma sequência são x1 = 6 e x2 = 12. Qual será o quinto termo?
(a) x5 = 16 se for uma PA e x5 = 24 se for uma PG.
(b) x5 = 24 se for uma PA e x5 = 96 se for uma PG.
(c) x5 = 30 se for uma PA e x5 = 30 se for uma PG.
(d) x5 = 30 se for uma PA e x5 = 96 se for uma PG.
Exercício 11
Uma família marcou um churrasco, com amigos e parentes no dia 13 de fevereiro de um certo ano. A dona da
casa esta preocupada, pois o açougueiro entrega carne de três em três dias. Sabendo-se que ele entregou 
carne no dia 13 de janeiro, será que ele entregará carne no dia 13 de fevereiro?
Exercício 12
Um surto epidêmico ocorrido em certa cidade com 10.000 habitantes, cada indivíduo infectado contaminava 
10 outros indivíduos no período de uma semana. Supondo-se que a epidemia tenha prosseguido nesse ritmo a partir 
da contaminação do primeiro indivíduo.
Quantos dias, aproximadamente, toda a população dessa cidade ficou contaminada?
Exercício 13
Considere as seguintes sequências de números:
I: 3, 7, 11, ...
II: 2, 6, 18, ...
III: 2, 5, 10, 17, ...
Qual o número que continua cada uma das sequências?
a1
 = 0 Primeiro dia
a2
 = 3 Terceiro dia
a3 = 3 x 2 Sexto dia
a4
 = 3 x 3 Nono dia
...
an
 = 3 x (n
 – 1)
 Seja a1 o dia em que o açougueiro passou, a1
 = 0. Como ele passa de 3 em
3 dias os elementos da sequência serão:
Do dia 13/01 ao dia 13/02 temos 31 dias.
a11 = 3 x 10 => trigésimo dia (um dia antes).
a12 = 3 x 11 => trigésimo terceiro dia (dois dias depois)
15, 54 e 26.
28 dias.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 131
Exercício 14
Qual a soma dos 6 primeiros termos da P.G. : (2, 6, 18, ...)?
Considere q diferente de 1.
Exercício 15
Qual a razão da P.A. (a1, a2 , a3, ...) em que a1 = 2 e a8 = 3?
728.
r = 1/7.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 125
O que perguntam por aí?
Questão 1 (UENF)
Para preencher sua necessidade diária de 300g de carboidratos, um adulto ingere um tipo de alimentação 
mista que consiste em batatas e soja.
Admita que 100g de batata e 100g de soja contêm, respectivamente, 19g e 35g de carboidratos, e que x e y 
representam as quantidades diárias, em gramas, que esse adulto irá consumir, respectivamente, de batatas e soja.
Considerando a necessidade diária de carboidratos desse adulto:
a. Calcule a quantidade de soja, em gramas, que ele deverá ingerir num determinado dia em que tenha 
consumido 400g de batata;
b. Estabeleça uma equação que relacione as variáveis x e y.
Resposta:
a. Se ele consumiu 400g de batata e a cada 100g ele ingere 19g de carboidratos, foram ingeridos 4x19 = 
76g de carboidratos. Para atender à necessidade diária de 300g, restam 224g de carboidratos. Assim, a 
quantidade de soja a ser ingerida deve ser (224:35)x100 = 640g.
b. A equação é 0,19x + 0,35y = 300.
Questão 2 (UNI-Rio)
Um laboratório farmacêutico fabrica 3 tipos de remédios utilizando diferentes compostos. Considere a matriz 
A = (aij) dada a seguir, onde aij representa quantas unidades do composto j serão utilizadas para fabricar uma unidade 
do remédio do tipo i.
1 2 4
2 5 3
0 1 4
A
 
 =  
  
Se ele consumiu 400g de batata e a cada 100g ele ingere 19g de carboidratos, foram ingeridos 4x19 = 76g de carboidratos. Para atender à necessidade diária de 300g, restam 224g de carboidratos. Assim, a quantidade de soja a ser ingerida deve ser (224:35)x100 = 640g. 
A equação é 0,19x + 0,35y = 300.
126
Quantas unidades do composto 2 serão necessárias para fabricar 3 remédios do tipo 1; 2 remédios do tipo 2 e 
5 remédios do tipo 3?
a. 19
b. 21
c. 24
d. 27
e. 30
Resposta: O número de unidades do composto 2 para fazer o remédio do tipo 1 é o elemento a12, ou seja, 2.
O número de unidades do composto 2 para fazer o remédio do tipo 2 é o elemento a22, ou seja, 5.
O número de unidades do composto 2 para fazer o remédio do tipo 3 é o elemento a32, ou seja, 1.
Logo, a resposta é 3 x 2 + 2 x 5 + 5 x 1 = 21.
Questão 3 (UFF)
Na perfumaria XEROBOM, o xampu, o condicionador e a loção de sua fabricação estão sendo apresentados aos 
clientes em três tipos de conjuntos:
Conjunto
y
(nº de notas de R$ 20,00)
2 loções e 3 xampus R$ 38,00
4 xampus e 2 condicionadores 3 R$ 26,00
2 loções e 1 condicionado R$ 31,00
Determine o preço de cada um desses produtos, considerando que o preço individual de cada produto é o 
mesmo, independente do conjunto ao qual pertence.
Resposta: Se x, y e z são respectivamente os preços individuais do xampu, do condicionador e da loção, temos 
as seguintes equações para a situação-problema proposta:
3x + 2z = 38
4x + 2y = 26
y + 2z = 31
Na terceira equação, temos que y = 31 – 2z. Substituindo y por 31 – 2z na 2ª equação, teremos 4x + 2(31 – 2z) = 
26 → 4x + 62 – 4z = 26 → 4x + 36 = 4z, que é equivalente a x + 9 = z. Substituindo z por x + 9 na 1ª equação temos 3x 
+ 2(x + 9) = 38 è 3x + 2x + 18 = 38 → 5x = 20 → x = 4. Como z = x + 9, z = 13. Como y = 31 – 2z, y = 5. 
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 127
Atividade extra
Exercício 1
Um casal pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma porção de batatas fritas, enquanto um segundo pa-
gou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. Qual a diferença entre o preço de uma porção de 
batatas fritas e o preço de uma lata de refrigerante?
(a) R$ 2,00 (b) R$ 1,80 (c) R$ 1,75 (d) R$ 1,50 
Exercício 2
A empresa Brinque Muito fez uma doação de brinquedos para um orfanato. Essa doação compreendeu: 535, 
entre bolas e bonecas; 370, entre bonecas e carrinhos e 455, entre bolas e carrinhos. Qual o número de carrinhos 
doados pela empresa?
(a) 135 (b) 145 (c) 155 (d) 170
Exercício 3
Em uma sala, havia certo número de jovens. Quando Paulo chegou, o número de rapazes presentes na sala 
ficou o triplo do número de garotas. Se Alice tivesse entrado na sala o número de garotas ficaria a metade do número 
de rapazes. Qual o número de jovens que estavam inicialmente na sala?
(a) 11 (b) 9 (c) 8 (d) 6
128
Exercício 4
O diretor de uma empresa convocou todos os seus funcionários para uma reunião. Com a chegada do diretor 
à sala de reuniões, o número de homens presentes na sala ficou quatro vezes maior que o número de mulheres tam-
bém presentes na sala. Se o diretor não fosse à reunião e enviasse sua secretária, o número de mulheres ficaria a terça 
parte do número de homens. Qual a quantidade de pessoas na sala aguardando o diretor?
(a) 20 (b) 19 (c) 18 (d) 15
Exercício 5
Em dado instante de uma festa 31 mulheres se retiraram e restaram convidados na razão de 2 homens para 
cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram convidados na razão de 3 mulheres para cada 
homem. Qual o número de pessoas presentes inicialmente na festa?
(a) 100 (b) 105 (c) 115 (d) 130
Exercício 6
Uma loja vende: uma faca, duas colheres e três garfos por R$ 23,50; duas facas, cinco colheres e seis garfos por 
R$ 50,00; duas facas, três colheres e quatro garfos por R$ 36,00. Qual seria o valor pago por meia dúzia de cada?
(a) R$65,00 (b) R$75,00 (c) R$85,00 (d) R$95,00
Exercício 7
Para pesar 3 maçãs, dispomos de um peso de 100g e de uma balança de pratos iguais. O peso da maçã maior 
é igual ao peso das duas outras juntas. O peso da menor mais 100g iguala ao peso das outras. A maior mais a menor 
pesam 100g. Qual o peso das três?
(a) 125g (b) 150g (c) 175g (d) 200g
Exercício 8
Um teste é composto por 50 questões. Na correção, uma questão vale 3 pontos e uma errada −2 pontos. Ao 
terminar essa prova alguém atingiu 75 pontos. Quantas questões essa pessoa acertou?
(a) 25 (b) 30 (c) 35 (d )40
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 129
Exercício 9
A soma das idades da Ana, do José e da Sara é 60 anos. A Ana é mais velha que o José pelo mesmonúmero de 
anos que o José é mais velho que a Sara. Quando o José tiver a idade que a Ana tem hoje, a Ana terá três vezes a idade 
que a Sara tem hoje. Qual a idade de Sara?
(a) 10 (b) 12 (c) 14 (d) 15
Exercício 10
Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. A terça parte do dobro do número de 
balas de hortelã excede a metade do número de balas de laranjas em 4 unidades. Qual o número de balas de hortelã?
(a) 20 (b) 22 (c) 24 (d) 28
Exercício 11
Uma florista vende arranjos de flores com rosas, margaridas e cravos nos tamanhos pequeno, médio e grande.
Cada arranjo pequeno contém uma rosa, três margaridas e três cravos. Cada arranjo médio contém duas rosas, quatro 
margaridas e seis cravos. Cada arranjo grande contém quatro rosas, oito margaridas e seis cravos. Um dia, a florista 
notou que havia usado um total de 24 rosas, 50 margaridas e 48 cravos ao preparar as encomendas desses três tipos 
de arranjos. Quantos arranjos grandes fez a florista?
Exercício 12
Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia e lá encontraram uma velha balança 
com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim, pesaram-se dois a dois e obtiveram as 
seguintes marcas:
 � Carlos e o cão pesam juntos 87kg;
 � Carlos e Andreia pesam 123kg;
 � Andreia e Bidu pesam 66kg.
Qual o peso de cada um deles?
Andreia pesa 51kg, Bidu 15kg e Carlos 72kg.
4 arranjos.
130
Exercício 13
Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e 
não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1.400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. O preço do ingresso 
foi R$ 10,00 e cada sócio pagou meia entrada. Qual o número de sócios e não sócios que compareceram ao show?
Exercício 14
Uma prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava 5 pontos por 
questão que acertava e perdia 1 ponto por questão que errava ou deixava em branco. Um aluno totalizou 210 pontos. 
Qual o número de questões que ele acertou?
Exercício 15
Quando um sistema linear tem mais variáveis que equações a solução não é única, então dizemos que tal sis-
tema tem grau / graus de liberdade. Pesquise e exiba dois exemplos de situações práticas que correspondem a um 
sistema assim.
120 sócios e 80 não sócios.
Caro aluno! O incentivamos a pesquisar e discutir sua proposta de solução com um professor de sua unidade
ceja.
45 questões.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 91
O que perguntam por aí? 
Questão 1 (ENEM 2008) 
O jogo-da-velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome “velha” surgiu do fato de esse jogo ser 
praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas que tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais 
bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro 3×3, devem conseguir alinhar vertical-
mente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da peça 
com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez, em qualquer casa do tabuleiro, e passa a vez para o adversário. Vence 
o primeiro que alinhar 3 peças. 
No tabuleiro representado ao lado, estão registradas as jogadas de dois adversários em um dado momento. 
Observe que uma das peças tem formato de círculo e a outra tem a forma de um xis. Considere as regras do jogo-da-
-velha e o fato de que, neste momento, é a vez do jogador que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima 
jogada, esse jogador pode posicionar a peça no tabuleiro de: 
a. uma só maneira. 
b. duas maneiras distintas. 
c. três maneiras distintas. 
d. quatro maneiras distintas. 
e. cinco maneiras distintas
Resposta: Letra B
Comentário:
1. Posicionando a peça na primeira linha e na primeira coluna, como indicado na 
figura, o jogador que utiliza os círculos assegurará a vitória na próxima jogada, 
pois alinhará 3 círculos na vertical ou na diagonal.
×
×
×
×
92
2. Posicionado a peça na terceira linha e na primeira coluna, o jogador que utiliza círculos também assegurará, 
pelos mesmos motivos, vitória na próxima jogada.
3. Nas demais posições, o jogador não poderá assegurar vitória na próxima jogada.
Questão 2
Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 20 bolas numeradas de 1 a 20, qual a probabilidade de a 
bola ser um número múltiplo de 3 ou ser primo?
a. 13/20 
b. 26/21
c. 13/10
d. 7/10
e. 16/10 
Resposta: Letra A
Comentário: Opções: 2,3,5,6,7,9,11,12,13,15,17,18,19, ou seja 13 opções.
Como são 20 números, teremos que a probabilidade é 13/20, letra A.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 93
Atividade extra
Exercício 1
João queria sair de casa, mas não sabia qual era a previsão do tempo. Ao ligar a TV no canal do tempo, a jorna-
lista anunciou que existia a possibilidade de chuva no fim da tarde era de 87%.
Qual a probabilidade de não ter chuva nesse dia?
(a) 0,1 (b) 0,13 (c) 0,5 (d) 0,87
Exercício 2
Em uma fábrica de pregos, a cada 40 pregos produzidos 5 são defeituosos. Pedro comprou um saco com 120 
pregos produzidos nessa fabrica para construção de um telhado. Ao retirar o primeiro prego do saco, Pedro o obser-
vou para saber qual era a condição do mesmo.
Qual a probabilidade desse prego ser defeituoso?
(a) 0,125 (b) 0,15 (c) 0,4 (d) 0,5
Exercício 3
Apóos a semana de provas, a professora de matemática resolveu apresentar os resultados aos alunos em forma 
de tabela, como ilustrado na tabela.
Alunos Desempenho
4 Muito bom
9 Bom
18 Regular
9 Insufi ciente
94
Escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que o desempenho dele tenha sido muito bom?
(a) 0,04 (b) 0,10 (c) 0,16 (d) 0,40
Exercício 4
Em certo jogo de dados ganha aquele que, ao jogar os dados distintos, consegue tirar dois numeros cuja soma 
seja maior do que a soma dos dados do adversário. Pedro jogou os dados e na soma de ambos alcançou 8 pontos.
Qual a probabilidade de Paulo perder para Pedro?
(a) 
4
36
 (b) 
10
36
 (c) 
18
36
 (d) 
20
36
Exercício 5
Em uma prova com cinco questões objetivas, cada questão constava de 4 alternativas de resposta. João sabia 
a resposta das quatro primeiras questões porém, na última ficou em dúvida e escolheu aleatoriamente a resposta.
Qual a probabilidade de João ter acertado a questão?
(a) 0,20 (b) 0,25 (c) 0,50 (d) 0,75
Exercício 6
Um atirador de elite tem 80% de aproveitamento em seus testes de tiro. Em um teste ele dá apenas três tiros e 
pede para observar se acertou ou não.
Qual a probabilidade de que tenha errado os três tiros?
(a) 0,008 (b) 0,108 (c) 0,208 (d) 0,608
Exercício 7
No Grande Prêmio Brasil de Turfe, temos dez cavalos no páreo, mas apenas três (A, B e C) com chances reais de 
chegar em primeiro lugar. O Cavalo A e o Cavalo B têm duas vezes mais chance de vencer que o Cavalo C.
Qual a probabilidade do cavalo C chegar em primeiro lugar?
(a) 0,20 (b) 0,25 (c) 0,33 (d) 0,50
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 95
Exercício 8
O sistema de emplacamento brasileiro consiste de três letras das 26 do alfabeto e mais quatro algarismos es-
colhidos de 0 a 9. Escolhemos uma placa ao acaso e vericamos que a sequência numérica representa um número par.
Qual a probabilidade da placa do carro ter como último dígito o número oito?
(a) 0,20 (b) 0,26 (c) 0,5 (d) 0,9
Exercício 9
Em uma turma o professor resolve testar os conhecimentos matemáticos de seus alunos.Ele coloca em sua 
mesa uma caixa com 25 bolas, 17 azuis e 8 pretas. Maria é escolhida para retirar uma bola da caixa, anotar a cor e re-
colocar na caixa. Logo depois o professor pede a um aluno que adivinhe a cor da bola.
Qual a probabilidade desse aluno acertar?
(a) 
17
25
 (b) 
8
25
 (c) 
25
50
 (d) 
17
50
Exercício 10
Uma pessoa escreve todos os anagramas da palavra AMOR em pedaços de papel iguais, dobrados e os coloca 
em um saco. Logo em seguida ela retira um pedaço de papel.
Qual a probabilidade de que seja retirado um anagrama que comece com a letra R?
(a) 
1
2
 (b) 
1
3
 (c) 
1
4
 (d) 
1
5
Exercício 11
Em uma escola constatou-se que 60% dos alunos não usam nenhuma joia, enquanto 20% usam anéis e 30% 
usam colares. Escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade de que ele use ambas as jóias?
Exercício 12
Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retiramos ao acaso uma bolinha dessa urna.
Qual a probabilidade de que essa bolinha seja um número múltiplo de 4 e 3?
Se 60% não usam jóias, então 40% usam jóias, somando os que usam anéis com os que usam colares temos
50%, logo existem 10% que estão sendo contados duas vezes, pois usam os dois tipos de jóias.
Logo a probabilidade de usar ambas as jóias é 10% ou 0,1.
Espaço amostral: n(S) = 30
Eventos múltiplos de 4:
M4
 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28} → n(M4
) = 7
M3
 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} → n(M3
) = 10
Eventos múltiplos de 4 e 3:
M4 ∩ M3
 = {12, 24}
n(M4 ∩ M3
) = 2 e P(M4 ∩ M3
) = 2/30
96
Exercício 13
Em uma garrafa opaca fechada existem 10 bolinhas, distribuídas entre as cores azul e branca. Não é possível 
ver as bolinhas dentro da garrafa, exceto se virarmos a garrafa de ponta-cabeça, quando uma das bolinhas vai para o 
gargalo e é possível ver sua cor. Ao longo de vários dias, repetiu-se 2000 vezes a seguinte operação: chacoalhava-se e 
tombava-se a garrafa para então anotar a cor da bolinha que aparecia no gargalo. Foi observada a ocorrência da cor 
azul 624 vezes, enquanto a cor branca ocorreu 1376 vezes, no dia seguinte a operação se repetiu.
Qual a probabilidade de que tenha sido uma bola de cor azul?
Exercício 14
Em uma cidade existem apenas três jornais A, B e C, mas nem todos os habitantes são leitores assíduos. A por-
centagem de habitantes que lê cada jornal segue na tabela abaixo.
Jornal % de leitores
A 10
B 30
C 5
A e B 8
A e C 2
B e C 4
A, B e C 1
Escolhendo um habitante por acaso, qual a probabilidade de que ele não leia nenhum jornal?
Exercício 15
Um jogo de Dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada 
quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhu-
ma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças diferentes. Escolhendo uma peça ao acaso, qual a 
probabilidade de que ela contenha o numero 3?
624
2000 = 0,312 ou 31,2% de chance de sair uma bola na cor azul.
As peças que contêm o numero três são (3; 0); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5) e (3; 6), de um total de 28 peças. Logo
a probabilidade é 7
8
1
4 = = 25%
Monte o diagrama de Veem para compreender. Resposta: 68%.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 85
O que perguntam por aí?
(ENEM 2009)
Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em 
reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
Mês Cotação (R$) Ano
Outubro 83,00 2007
Novembro 73,10 2007
Dezembro 81,60 2007
Janeiro 82,00 2008
Fevereiro 85,30 2008
Março 84,00 2008
Abril 84,60 2008
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a:
a. R$ 73,10.
b. R$ 81,50.
c. R$ 82,00.
d. R$ 83,00.
e. R$ 85,30.
Então, os valores são 83,00; 73,10; 81,60; 82,00; 85,30; 84,00 e 84,60. Colocados em ordem crescente, teremos 
86
(73,10; 81,60; 82,00; 83,00; 84,00; 84,60; 85,30). Como temos um número ímpar de valores, o valor intermediário – é 
justamente o quarto valor: 83,00. Assim, nossa mediana é R$ 83,00, letra D.
(ENEM 2010)
Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter 
média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da 
pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Portu-
guês e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso:
Matemática Português
Conhecimento 
Gerais
Média Mediana
Desvio
Padrão
Marco 14 15 16 15 15 0,32
Paulo 8 19 18 15 18 4,97
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é:
a. Marco, pois a média e a mediana são iguais.
b. Marco, pois obteve menor desvio padrão.
c. Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
d. Paulo, pois obteve maior mediana.
e. Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
Vocês lembram que o desvio padrão mede a distância entre os valores e a média? Muito bem! Então, podemos 
dizer que, quanto maior o desvio padrão, maior a distância entre os dados e a média. E – eis a parte central da ques-
tão! – quanto maior o afastamento da média, maior a irregularidade. Veja que as notas de Marco estão bem juntas e 
variam muito pouco: 14, 15 e 16. Já as de Paulo oscilam muito: a menor é 9, a maior é 19 e ainda tem um 18 ali por 
perto. Logo, o desvio padrão das notas de Paulo deve ser (e veja que o cálculo confirma isso) bem maior que o desvio 
padrão das notas de Marco. Como o critério de desempate é a regularidade, o mais bem classificado no concurso é 
Marco, justamente porque seu conjunto de notas têm o menor desvio padrão. Letra B, portanto.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 87
Atividade extra
Exercício 1
As idades dos jogadores de uma equipe de futebol são: 22, 24, 27, 27, 25, 25, 25, 23, 24, 32, 28.
Qual a média das idades?
(a) 26,2 (b) 22, 6 (c) 25,6 (d) 23,2
Exercício 2
As análises dos níveis de colesterol HDL ("colesterol bom"), medidos no sangue de cinco pacientes foi de 29, 
55, 58, 61 e 63 mg/dL de sangue.
Qual a média aritmética dos níveis observados?
(a) 53,2 (b) 50,2 (c) 52,3 (d) 50,3
Exercício 3
A contagem de bactérias de uma certa cultura apresentou na primeira mostragem 1000 bacterias, na segunda 
2500 e na terceira 3500.
Qual a média de crescimento dessa cultura?
(a) 1000 (b) 1250 (c) 1350 (d) 1500
Exercício 4
88
A tabela representa a distribuição de frequência dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, 
em certo mês:
Salários (R$) N. de Empregados
1000 → 2000 20
2000 → 3000 18
3000 → 4000 9
4000 → 5000 3
Tabela: Salários dos funcionários
Qual o salário médio desses empregados ?
(a) R$ 2637,00 (b) R$ 2520,00 (c) R$ 2500,00 (d) R$ 2400,00
Exercício 5
Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3min e 38s, 3min e 18s, 2min e 46s, 2min e 57s, 3min e 26s.
Qual foi o tempo médio de votação (em minutos e segundos)?
(a) 3 min e 13 seg (b) 3 min e 23 seg (c) 2 min e 56 seg (d) 2 min e 36 seg
Exercício 6
Um grupo de pessoas apresenta as idades de 10, 13, 15 e 17 anos. Uma pessoa de 12 anos se juntou ao grupo.
Qual a média de idade do grupo com mais esse novo componente?
(a) 13,4 ((b) 12,6 ((c) 13,8 ( (d) 12,2
Exercício 7
Uma avaliaçãocom seis testes foi realizada com os empregados de uma pequena industria. Os resultados fo-
ram tabulados e apresentados em uma tabela. Observe:
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 89
N. Acertos Frequência
0 2
1 5
2 6
3 25
4 9
5 12
6 3
Tabela: Salários
Qual a média de acertos aproximadamente?
(a) 3,3 (b) 4,3 (c) 5,2 (d) 6,7
Exercício 8
Observe os valores das frequências das faixas salariais numa pequena empresa, dispostos na tabela.
Salários Frequência
00 → 500 14
500 → 1000 4
1000 → 1500 2
1500 → 2000 2
2000 → 2500 6
Qual a média dos salários?
(a) 908,47 (b) 938,07 (c) 928,57 (d) 918,37
Exercício 9
Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
Notas 2 3 4 5 6 7 8 9 10
No de alunos 1 3 6 10 13 8 5 3 1
Qual a moda das notas?
(a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8
90
Exercício 10
Uma determinada editora pesquisou o número de páginas das revistas mais vendidas de uma cidade. Sendo 
fornecida a distribuição de frequência de número de páginas.
Revistas A B C D E F
No de páginas 62 90 88 92 110 86
Qual o valor do desvio padrão, aproximadamente?
(a) 14 (b) 18 (c) 15 (d) 17
Exercício 11
A distribuição de salários de uma empresa é fornecida pela tabela:
Salários (R$) Funcionários
500 10
1000 5
1500 6
2000 15
5000 8
10000 2
Qual a média salarial dessa empresa?
Exercício 12
Medidas as estaturas de 1.017 cearenses, obtivemos a estatura média = 162,2 cm e o desvio padrão = 8,01 cm. 
O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg.
Qual a maior variabilidade, em estatura ou em peso?
Estatura
R$ 2369,56
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 91
Exercício 13
O modelo A de uma marca de televisão tem um consumo mês de 120 kw com desvio de 3,7 kw, enquanto o 
modelo B, da concorr^encia, tem um consumo mês de 115 kw com desvio de 5,2 kw.
Qual modelo é menos econômico?
Exercício 14
Suponha que parafusos a serem utilizados em tomadas elétricas são embaladas em caixas rotuladas. Em uma 
construção, 10 caixas de um lote tiveram o número de parafusos contados, fornecendo os valores 98, 102, 100, 100, 
99, 97, 96, 95, 99 e 100.
Qual a mediana do número de parafusos por caixa?
Exercício 15
Os tempos despendidos por 12 alunos, em segundos, para percorrer certo trajeto, sem barreira, foram 16, 17, 
16, 20, 18, 16, 17, 19, 21, 22, 16, 23.
Qual o valor, sem agrupar os dados, do coeficiente de variação?
O segundo.
99
13,06%.
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 133
O que perguntam por aí?
QUESTÃO 1(USP)
A equação da reta passando pela origem e paralela à reta determinada pelos pontos A(2,3) e B( 1, – 4) é:
a. y = x
b. y = 3x – 4
c. x = 7y
d. y = 7x
Resolução
A reta que passa pelos pontos A e B é descrita pela seguinte equação y = ax + b
substituindo o ponto A
3 = 2a + b
substituindo o ponto B
– 4 = 1a + b
então, temos:
3 = 2a + b
– (–4) = –a – b
_________
 7 = a
Não é necessário encontrar o valor de b. O valor de a é suficiente para resolver o problema.
134
Como a reta é paralela a reta que passa por A e B, ambas têm a mesma inclinação, logo o coeficiente angular 
dessa reta também é 7.
Como a reta passa pela origem b = 0.
Assim, a equação da reta que estamos procurando é y = 7x
Resposta: Letra D
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 135
Atividade extra
Exercício 1
As retas r e s são concorrentes
r: 3x + 2y – 8 = 0 e s: 4x + 5y – 13 = 0
Qual o ponto de intersecção?
(a) (1, 2) (b) (2. 1) (c) (0, 1) (d) (1, 0)
Exercício 2
Considere as retas 2x – 5y – 2 = 0 e 3x + 5y – 28 = 0
Em que ponto elas são concorrentes?
(a) (6, 2) (b) (2, 6) (c) (3, 5) (d) (5, 3)
Exercício 3
Considere as retas r: x + 7y – 10 = 0 e s: y = 7x + 3
Quanto vale o produto de seu coeficientes angulares?
(a) –7 (b) 7 (c) 1 (d) –1
136
Exercício 4
Qual a equação geral da circunferência de centro C(3, 2) e raio r = 7?
(a) x2 + y2 – 6x – 2y – 18 = 0 (c) x2 + y2 –4x – 6y – 36 = 0
(b) x2 + y2 – 3x – 2y – 18 = 0 (d) x2 + y2 – 6x – 4y – 36 = 0
Exercício 5
Qual a equação geral da circunferência de centro C(–3, 4) e raio r = 3?
(a) x2 + y2 – 6x – 2y – 18 = 0 (c) x2 + y2 + 6x – 8y + 16 = 0
(b) x2 + y2 – 3x – 2y – 18 = 0 (d) x2 + y2 – 2x – 4y – 36 = 0
Exercício 6
Qual a equação reduzida da circunferência de centro C(2, 5) e raio r = 3?
(a) (x – 2)2 + (y – 5)2 = 9 (c) (x – 2)2 + (y – 5)2 = 3
(b) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 9 (d) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 3
Exercício 7
Qual o centro e o raio da cincurferência da equação (x – 4)2 + (y – 5)2 = 9?
(a) C = (4, 5) e r = 9 (c) C = (4, 5) e r = 3
(b) C = (2, 5) e r = 9 (d) C = (2, 5) e r = 3
Exercício 8
Qual o centro e o raio da cincurferência da equação x2 + y2 = 2?
(a) C = (0, 0) e r = 2 (c) C = (0, 0) e r = 2
(b) C = (1, 1) e r = 2 (d) C = (1, 1) e r = 2
Matemática e suas Tecnologias · Matemática 137
Exercício 9
Qual cônica a figura ao lado representa? 
(a) Hipérbole (c) Circunferência
(b) Elipse (d) Parábola
Exercício 10
Qual cônica a figura ao lado representa? 
(a) Hipérbole (c) Circunferência
(b) Elipse (d) Parábola
Exercício 11
As retas r: 6x + 7y + 3 = 0 e s: 12x + 14y – 21 = 0 são paralelas?
Exercício 12
As retas r: 5x + 3y – 10 = 0 e s: 5x – 10y – 10 = 0 são paralelas?
Exercício 13
As retas r: x – y + 7 = 0 e s: 2x + 5y – 7 = 0 são perpendiculares?
Exercício 14
Qual a equação reduzida da circunferência de centro C = (–1, 4) e raio r = 2?
Não. Por quê?
(x + 1)2 + (y + 4)2 = 4
Não. Coeficientes angulares distintos.
Sim, pois tem o mesmo coeficiente angular, m = –6 = 7.
138
Exercício 15
Qual cônica a figura ao lado representa? 
Hipérbole. Por quê?