Aula 6_Desconto Composto e Equivalência de Capitais

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
DEPARTAMENTO MATEMÁTICA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profa. Dra. Rita de Cássia Pistóia Mariani 
Por recorrência, ao final de n períodos, o capital inicial (C= P = PV) aplicado 
a uma taxa de juros ip ao período, gerará um montante (M = S = FV) de: 
(1 )nS P i 
HP 12C NA CONVENÇÃO EXPONENCIAL 
C 
Exemplo 1: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00 
aplicado por 12 meses a taxa de juros de 3% am, com capitalização 
mensal? 
12
1 (1 ) = 1000,(1+0,03) = 1.425,76
nFV PV i 
Taxa Proporcional X Taxa Equivalente 
FV 
-1000 
12 meses 0 
i = 3% a.m. 
HP 12C 
f REG 
1000 CHS PV 
12 n 
3 i 
[FV] $1.425,76 
1
2 (1 ) = 1000.(1+0,036) = 1.360,00
nFV PV i 
Exemplo 2: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00 
aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa, com capitalização 
anual? 
FV 
-1000 
1 ano 0 
i = 36 % a.a. 
HP 12C 
f REG 
1000 CHS PV 
1 n 
36 i 
[FV] $1.360,00 
Os montantes gerados pelas duas alternativas (FV1 e FV2) são diferentes. 
Isto significa que as taxas de juros de 3%a.m. com capitalização mensal e 
de 36% a.a. com capitalização anual, apesar de serem proporcionais, não 
são equivalentes, pois geram montantes diferentes em tempos iguais. 
Exemplo 2: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00 
aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36%a.a., com capitalização 
anual? 
Exemplo 1: Qual o montante gerado por um capital de $ 1.000,00 
aplicado por 12 meses a taxa de juros de 3%a.m., com capitalização 
mensal? 
Taxa Proporcional X Taxa Equivalente 
1
2 (1 ) = 1000.(1+0,036) = 1.360,00
nFV PV i 
12
1 (1 ) = 1000,(1+0,03) = 1.425,76
nFV PV i 
Exemplo: Qual a taxa de juros mensal que é equivalente a 
uma capitalização anual composta de $ 1.000,00 aplicado 
por 12 meses a taxa de juros de 36%a.a.? 
1 
1/12 ..................................................... 
 
 
   
 
12
12
1
1 12 12
12
1
12
12
(1 0,36) 1
(1 0,36) 1
(1,36) 1
1 1,36
1,36 1
1,025954835 1
0,025954835 . .
q
q
q
q
q
q
q
C C i
i
i
i
i
i
i a m
  
  
  
  
 
 
 

1/12 1/12 1/12 1/12 
Exemplo: Qual a taxa de juros 
mensal que é equivalente a uma 
capitalização anual composta de 
um capital de $ 1.000,00 
aplicado por 12 meses a taxa de 
juros de 36%a.a.? 
1 
1/q 1/q 1/q 1/q 1/q ..................................................... 
 
 
   
 
1
1
1
1
(1 ) 1
(1 ) 1
(1 ) 1
1 1
1 1
q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
C i C i
i i
i i
i i
i i
  
  
   
  
  
  
Taxas Equivalentes 
i 
Equivalência de taxas na HP 12C 
 
-100,00 
FV ? 
12 
i = 2,596% a.m. 
Qual é a taxa mensal que é equivalente a i = 36% a. a.? 
0 
[f] [REG] 
100 [CHS] [PV] 
136 [FV] 
12 [n] 
[i] 2,596 
Suponha PV = 100,00 
Exemplo: Qual a taxa de juros anual que é equivalente a 
uma capitalização mensal composta de $ 1.000,00 
aplicado por 1 ano a taxa de juros de 3%a.m.? 
Exemplo: Qual a 
taxa de juros anual 
que é equivalente a 
uma capitalização 
mensal composta 
de um capital de $ 
1.000,00 aplicado 
por 1 ano a taxa de 
juros de 3%a.m.? 
1 
1/12 ..................................................... 
 12
12
(1 0,03) 1
(1,03) 1
1 1,42576
0,42576
o oC C i
i
i
i aa
  
 
 

1/12 1/12 1/12 1/12 
i= ? 
1/q 1/q 1/q 1/q 1/q ..................................................... 
 
 
 
1
(1 ) 1
(1 ) 1
1 1
1 1
q
q
q
q
q
q
q
q
C i C i
i i
i i
i i
  
  
  
  
Taxas Equivalentes 
i q 
1 
Equivalência de taxas na HP 12C 
 
-100,00 
FV ? 
12 
i = 42,58% a.a. 
Qual é a taxa anual que é equivalente a i=3% a. m.? 
0 
[f] [REG] 
100 [CHS] [PV] 
12 [n] 
3 [i] 
[FV] 142,58 
Suponha PV = 100 
Exemplo: Qual o montante gerado por um capital de $1.000,00 
aplicado por 12 meses a taxa de juros de 36% aa, com capitalização 
mensal? 
j : taxa nominal if :taxa efetiva 
P : principal S :montante 
K :número de capitalizações para 1 para um período da taxa nominal 
m : número de períodos de capitalização da taxa nominal 
Taxa Nominal X Taxa Efetiva 
12
0,36
1 1.000,00 1 1.425,76
12
km
j
S P
k
   
       
   
Exemplo: E qual a taxa efetiva de juros envolvida na operação 
financeira da atividade anterior? 
(Qual o montante gerado por um capital de $1.000,00 aplicado por 
12 meses a taxa de juros de 36% aa, com capitalização mensal)? 
12
0,36
1 1 0,42576 42,58%
12
fi aa
 
     
 
Taxa Nominal X Taxa Efetiva 
if : taxa efetiva 
(1 ) 1
1 1
km
m
f
k
f
j
P i P
k
j
i
k
 
   
 
 
   
 
Taxas de juros equivalentes: duas taxas de juros são ditas 
equivalentes quando, ao serem aplicadas ao mesmo capital pelo 
mesmo prazo, gerarem o mesmo montante. 
 
Taxa de juros nominal: uma taxa de juros é dita nominal quando está 
expressa em unidade de tempo diferente da unidade de tempo do 
período de capitalização. 
 
Taxa de juros efetiva: uma taxa de juros é dita efetiva quando está 
expressa em unidade de tempo igual à unidade de tempo do período 
de capitalização. 
(1 )nFV PV i 
Exemplo 4.5: Uma pessoa vendeu um carro nas seguintes condições: 
uma parcela de $ 10.000,00 vencível em 30 dias, uma segunda 
parcela de $ 10.000,00 vencível em 60 dias, e uma última parcela de 
$15.000,00 vencível em 90 dias, representadas por três notas 
promissórias. Se esta pessoa negociar essas notas promissórias para 
transformá-las em dinheiro, na mesma data da venda do carro, 
quanto deverá receber por elas? 
(Em outras palavras, qual o valor à vista do carro, equivalente às três 
parcelas?) 
3 
Exemplo 4.5: Uma pessoa vendeu um carro nas seguintes 
condições: uma parcela de $ 10.000,00 vencível em 30 dias, uma 
segunda parcela de $ 10.000,00 vencível em 60 dias, e uma última 
parcela de $15.000,00 vencível em 90 dias, representadas por três 
notas promissórias. 
Se esta pessoa negociar essas notas promissórias para transformá-
las em dinheiro, na mesma data da venda do carro, quanto deverá 
receber por elas? 
(Em outras palavras, qual o valor à vista do carro, equivalente às 
três parcelas?)