03 Exp 3 Metodo dos mínimos Minimos quadrados Fisexp

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Tópico 11. Aula Teórica/Prática: 
O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de 
Funções 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados 
em um gráfico apresentam comportamento linear, diferentes 
experimentadores poderão traçar diferentes retas, encontrando diferentes 
valores para os coeficientes linear e/ou angular. Um método para 
determinar a reta correta é dado pelo método dos mínimos quadrados. Este 
método consiste em determinar o coeficiente angular a e o coeficiente 
linear b da equação da reta: y = a.x + b. 
 Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é 
fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a 
caracterizam. Sabe-se que numa relação linear é muito simples o processo 
de se determinar os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e 
angular), portanto, quando se observa que o gráfico obtido não é uma reta, 
pode-se linearizá-lo através de uma mudança de variáveis, transformando 
em retas mesmo curvas aparentemente complexas. Este processo de 
transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se linearização. Para 
isso, um certo grau de familiaridade com as representações gráficas das 
principais funções matemáticas é recomendável, pois deve-se ter uma 
noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual a 
indicada pela seqüência de pontos experimentais no gráfico. Nesta aula 
vamos analisar os dois casos mais freqüentes: a relação tipo potência e do 
tipo exponencial. 
 
 
2. OBJETIVOS 
 
x Determinar os coeficientes angular e linear da equação da reta, 
y = a.x + b, através do método dos mínimos quadrados; 
x Aplicar métodos de linearização de funções não lineares: tipo 
potência: y = a.xn e exponencial: y = a.eb.x. 
 
 
3. TEORIA 
 
3.1. O Método dos Mínimos Quadrados (ou Regressão Linear) 
O ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados é 
importante, pois ao contrário do método gráfico, é independente da 
avaliação do experimentador. Este método consiste em minimizar o erro 
quadrático médio (S) das medidas. Considere então um conjunto de N 
medidas (xi, yi), com i assumindo valores inteiros desde 1 até N. S é 
definido como: 
 ܵ = ෍ο ݅ܵ = ෍ሺݕ െ ݕ݅ሻ2ܰ݅=1ܰ݅=1 (1) 
 
onde y é o valor da curva ajustada (y = a.x+b). O objetivo é somar os ο ݅ܵ 
das N medidas e traçar uma reta que torne a soma dos ο ݅ܵ mínima. 
Matematicamente isso corresponde a 
߲߲ܵܽ = 0 e ߲߲ܾܵ = 0. É razoável 
acreditar que para que isso aconteça a reta desejada deve passar entre todos 
os pontos experimentais. Destas duas expressões extraímos os valores dos 
parâmetros a e b. O resultado é: 
 ܽ = ܰσ ݔ݅ݕ݅ െ σ ݔ݅ܰ݅=1ܰ݅=1 σ ݕ݅ܰ݅=1ܰσ ݔ݅2 െ ሺσ ݔ݅ܰ݅=1 ሻ2ܰ݅=1 (2) 
 ܾ = σ ݔ݅2 σ ݕ݅ܰ݅=1 െ σ ݔ݅ݕ݅ܰ݅=1ܰ݅=1 σ ݔ݅ܰ݅=1ܰσ ݔ݅2 െ ሺσ ݔ݅ܰ݅=1 ሻ2ܰ݅=1 (3) 
 
onde usou-se a notação de somatório: σ ݔ݅ = ݔ1 +ܰ݅=1 ݔ2 + ڮ + ݔܰ . 
 
 
Æ Exemplo de Determinação dos Coeficientes Angular e Linear 
 
 Considere uma medida de movimento retilíneo uniforme (MRU) 
efetuado por um carrinho no laboratório. Foram medidos tanto sua posição 
x (em metros) quanto o tempo t (em segundos) e os resultados estão 
conforme a tabela 1. Construa o gráfico que representa o movimento e 
determine a velocidade e a posição inicial do carrinho usando o método dos 
mínimos quadrados. 
 
 
 
 
 
Tabela 1. Valores experimentais da posição de um carrinho em função do 
tempo. 
X - tempo (s) Y - posição (m) 
0,100 0,51 
0,200 0,59 
0,300 0,72 
0,400 0,80 
0,500 0,92 
 
 Para usarmos o método dos mínimos quadrados, sugere-se a 
construção de uma tabela, conforme indicado abaixo, lembrando que aqui o 
eixo x corresponde ao tempo t e o eixo y, à posição x: 
 
 
Tabela 2. Tabela contendo os valores de x, y, x.y e x2, e suas respectivas 
somatórias. 
x(s) y(m) x.y x2 
0,100 0,51 0,051 0,0100 
0,200 0,59 0,120 0,0400 
0,300 0,72 0,220 0,0900 
0,400 0,80 0,320 0,1600 
0,500 0,92 0,460 0,2500 
Ȉ[� ����� Ȉ\� ����� Ȉ[�\� ����� Ȉ[2 = 0,55 
 
 Com esses resultados, basta substituir os valores nas fórmulas para a 
e b, e lembrar que neste caso temos N = 5 medidas: 
 ܽ = 5 × 1,17 െ 1,50 × 3,54
5 × 0,55 െ (1,50)2 = 5,85 െ 5,312,75 െ 2,25 = 0,540,50 = 1,08 
 
 ܾ = 0,55 × 3,54 െ 1,17 × 1,50
5 × 0,55 െ (1,50)2 = 1,95 െ 1,762,75 െ 2,25 = 0,190,50 = 0,38 
 
 Portanto, temos que y = 1,08.x + 0,38 e se substituirmos os valores 
de x da tabela 1 na função obtemos os seguintes valores de y: 
 
 
 
 
 
Tabela 3. Valor da posição de um carrinho estimado através do método dos 
mínimos quadrados em função do tempo. 
X - tempo (s) 
Y - posição (m) 
(método dos mínimos 
quadrados) 
0,100 0,49 
0,200 0,60 
0,300 0,70 
0,400 0,81 
0,500 0,92 
 
 Fazendo o gráfico dos resultados da tabela 1 com a tabela 3 temos: 
 
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
'y = 0,29 m 
 
P
os
iç
ão
 (
m
)
Tempo (s)
 dados experimentais
 método dos mínimos quadrados
x
0
 = 0,38 m
'x = 0,30 s
logo:
v = 0,29/0,30 = 0,97 m/s 
 Figura 1. Evolução da posição do móvel em função do tempo. 
 
 Observe que o valor da velocidade calculado pelos dados da tabela 1 
é igual a 0,97 m/s enquanto que para a curva determinada pelo método dos 
mínimos quadrados é de 1,08 m/s, ou seja, este é o valor mais próximo do 
valor real da velocidade do carrinho.