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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 1a Questão (Ref.: 56421) Pontos: 0,0 / 1,0 Determine o vetor posição s(t)s(t) de uma partícula que se move em função do tempo tt, sabendo-se que o vetor aceleração é dado pela equação vetorial a(t)a(t) = (et)i −(t⋅et)j+6tk(et)i -(t⋅et)j+6tk e que primeiramente (t=0t=0) a partícula saiu de um ponto PP (1,1,0)(1,1,0)com uma velocidade v(0)=2i+jv(0)=2i+j. Resposta: =1 Gabarito: v(t)=∫a(t)dtv(t)=∫a(t)dt ⇒⇒ v(t)=[∫(et)dt]i−[∫(t⋅et)dt]j+[6∫tdt]kv(t)=[∫(et)dt]i-[∫(t⋅et)dt]j+[6∫tdt]k ⇒⇒ v(t)=(et)i−(t⋅et−et)j+3(t2)k+Cv(t)=(et)i-(t⋅et-et)j+3(t2)k+C Então v(0)=i+j+Cv(0)=i+j+C . Mas v(0)=2i+jv(0)=2i+j . Logo C=iC=i. Portanto v(t)v(t) = (et+1)i −(t⋅et −et)j+3(t2)k(et+1)i -(t⋅et -et)j+3(t2)k Segue que s(t)=∫v(t)dt=[∫(et+1)dt]i − [∫(t⋅et −et)dt]j+[3(t2)]ks(t)=∫v(t)dt=[∫(et+1)dt]i - [∫(t⋅et -et)dt]j+[3(t2)]k ⇒⇒ s(t)s(t) =(et+t)i(et+t)i - (t⋅et −2et)j(t⋅et -2et)j +(t3)k(t3)k + CC Então s(0)=i+2j+Cs(0)=i+2j+C Mas s(0)=i+js(0)=i+j Logo C=−jC=-j Portanto: s(t)s(t) =(et+t)i(et+t)i -(t⋅et −2et+1)j(t⋅et -2et+1)j + (t3)k(t3)k 2a Questão (Ref.: 813181) Pontos: 0,0 / 1,0 Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Qual é a taxa máxima de decrescimento da temperatura em B? Resposta: 19% Gabarito: ∇T=(−2x,−2y,−2z)∇T=(-2x,-2y,-2z) |∇T(0,−1,0)|=2|∇T(0,-1,0)|=2 3a Questão (Ref.: 175008) Pontos: 1,0 / 1,0 O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o limite da função: limt→0limt→0 r(t)== ( 1 + t3)i + e−te-tj + (cost)(cost)k i - j - k i + j - k - i + j - k i + j + k j - k 4a Questão (Ref.: 51733) Pontos: 1,0 / 1,0 Encontrando Primitivas. Seja ∫((cost)∫((cost)i + 3t2)j dt,, qual a resposta correta? (sent)i + t³j -(sent)i -3tj (cost)i - sentj + 3tk (cost)i - 3tj (cost)i + 3tj 5a Questão (Ref.: 58156) Pontos: 0,0 / 1,0 Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k (-sen t)i - (cos t)j (-sen t)i + (cos t)j (-sen t)i + (cos t)j - k (-sen t)i + (cos t)j + k (-sen t - cos t)i + (cos t)j 6a Questão (Ref.: 253692) Pontos: 0,0 / 1,0 Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 35/6 35/4 35/2 7 35/3 7a Questão (Ref.: 59853) Pontos: 0,0 / 1,0 Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z)z=f(x,y,z). Seja z=sen(xy)+xsenyz=sen(xy)+xseny . Encontre∂z∂u∂z∂uquando u=0u=0 ; v=1v=1 ; x=ux=u2 +vv2 e y=u.vy=u.v. 0 -1 1 -2 2 8a Questão (Ref.: 253828) Pontos: 0,0 / 1,0 Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z). 6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 9a Questão (Ref.: 58206) Pontos: 0,0 / 1,0 Calcule ∫41∫√x032ey√xdydx∫14∫0x32eyxdydx e-1 e7 7e 7e-7 7 10a Questão (Ref.: 43875) Pontos: 0,0 / 1,0 A equação de Laplace tridimensional é : ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. Considere as funções: 1) f(x,y,z)=x²+y²−2z²f(x,y,z)=x²+y²-2z² 2)2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy−2z²f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 4) f(x,y,z)=xy+xz+yzf(x,y,z)=xy+xz+yz 5) f(x,y,z)=ln(xy)−xf(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy−xyz²y+xy-xyz² Identifique as funções harmônicas: 1,2,5 1,2,4 1,3,4 1,2,3 1,3,5
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