346298939 Teoria Da Relatividade

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TEORIA DA 
RELATIVIDADE 
Editora Livraria da Flsica 
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TEORIA DA 
RELATIVIDADE 
Bernhard Lesche 
Departamento de Fisico 
Universidade Federal de Juiz de Fora 
Editora Livraria da Flsica 
Sao Paulo- 2005 
Ano Mundial da Fisica 
. . "2005 Edftora Uvraria da Flsica Copynght 
Jose Roberto Marinho Editor 
Arte Ativa Cap~ - v·tdal Sezerra da Silva ReVlsao 
lmpressao Grafica Paym 
Oiagrama\ao R~nata Owa 
Dados lnternacionais de Cataloga~ao na Publica~ao (CIP) 
(Camara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Lesche, Bernhard 
Teoria da Relatividade I Bernhard Lesche. 
- 1. ed. - Sao Paulo: Editora Livraria da Ffsica, 2005. 
l . Relatividade ( Flsica ) - Estudo e ensino I . Tftulo. 
03-6013 CDD-530.11 07 
Indices para catalogo sistematico: 
Teoria da Relatividade: Ffsica: Estudo e ensino 530.1107 
Editora l.ivraria da Ffsica 
www.livrariadaflsica;com.br 
Tel.: 11 3936 3413 Fax: 11 3815 8688 
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Agrade~o a Maria Luiza Bedran · 
pela lei lura critica do texto e 
pela sugestao de exercicios~ 
CONTEODO · 
1 Introduc;ao 11 
2 Revisao do espac;o e tempo da fisica nao relativistica 19 
3 Medidas absolutas de tempo 31 
4 Invariancia da velocidade da luz e simultaneidade relativa 35 
5 Coordenadas no espa~o-tempo 41 
6 Transformac;ao de velocidades 55 
7 A geometria do espa~o-tempo e a defini~ao do metro 59 
8 0 efeito Doppler e a aberra\ao relativistica da luz 77 
9 0 tempo proprio 83 
1 0 0 4-momento 93 
11 A segunda lei de Newton 105 
12 Relatividade geral 111 
13 Cosmologia 123 
Soluc;oes dos Exercicios 131 
Bibliografia 157 
fndice 159 
Constantes 163 
7 
PREFACIO 
Este livro destina-se a alunos de Fisica Basica que queiram en-
tender a famosa Teoria da Relatividade e nao apenas adquirir 
a habilidade para a soluc;ao de problemas. Apresentamos a 
teo ria de urn a forma nao convencional in trod uzindo o lei tor 
diretamente na geometria do espa~o-tempo. Esta abordagem 
e simples e revela a verdadeira natureza dos conceitos espa~o 
- temporais. 0 texto resultou de urn curso de Fisica IV que dei 
em 1996 para uma turina de Fisica do Instituto de Fisica da 
UFRJ. A abordagem adotada e adequada tambem para alu-
nos de engenharia1 quimica e principalmente matematica. 
Leitores que ja conhecem a Teoria da Relatividade en-
contrarao inumeros estimulos para uma analise critica do 
proprio entendimento. Como provocac;ao, e para testar o 
entendimento do conhecedor da teoria, coloco aqui as se-
guintes afirmac;oes: 
\u2022 A frase
1 
que encontramos em inumeros textosl llrel6-
. d II 1 b b f gios em movimento andam mats evagar e o agem. 
\u2022 Rel6gios podem ser usados para medir distancias es- . 
paciais sem utilizar luz. 
\u2022 Simultaneidade relativa pode ser definida. sem. utili- · ·. ·. 
zar sinais luminosos . . 
0 fisico que nao concord a com estas afirma<;6es en con- -
trara certamente novas ideias neste livro. _ 
Na epoca da sua descoberta, a Teoria da Re~atividade 
causou grande impacto na sociedade. 0 verdadetro espan-
to que as pessoas sentiam e facil de en tender. Todo pensa-
mento humano e baseado nas no\6es de espa~o e tempo. 
As palavras onde, quando, Ionge, perto, antes, depois etc. 
fazem parte do vocabulario de qualquer idioma humano. 
A teoria da relatividade declarou estes conceitos relativos 
e nao fundamentais. Ate fisicos de rename ficaram perple-
xos. 0 Fisico Brasileiro Cesar Lattes expressou certo cep-
ticismo em rela~ao a Teoria da Relatividade. Hoje encon-
trarnos poucas pessoas que expressam duvidas em rela~ao 
a validade da teoria. Acredito que a grande maioria dos 
conforrnados nao possui a convie<;ao da validade da Teo ria 
da Relatividade resultante de urn profunda entendimento. 
Este pequeno livro tenta revelar os aspectos objetivos da 
estrutura do espa<;o-tempo, evitando os conceitos relati-
vos, que muitas vezes dao a impressao de que tudo nao 
pa~sa de truques. Desta forma, esperamos poder contri-
buu para urn entendimento solido da teoria. 
1 
INTRODU<;Ao 
Com a mecanica de Newton, a eletrodinamica e a tcrmo-
dinamica, a fisica parecia formar urn sistema consistentc c 
completo. Mas ja no seculo 19 come\OU a csboc;ar-se un1a 
inconsish~ncia nesta fisica classica. A teoria da rclat-ividndc 
removeu esta inconsistencia e com isso real mente com pic-
tou a fisica classica. 
Qual era a inconsistencia na fisica classica? Na meca-
nica de Newton todos OS referenciais inerciais sao cquiva-
.... 
lentes. 0 lado esquerdo da equa~ao fundamental mii = F e 
invariante sob transforma~oes de Galileu: 
x'=X-Ui 
y' = y-uyt 
z' = z- uzt 
t' = t 
(1) 
0 eletromagnetismo e uma teoria das for,as do ]ado di-
. d ra-0 ma ..... - F ... mas as equa,oes de Maxwell nao re1to a equa&quot;s' - , . &quot; 
- · · t 8 sob as transformaroes de Gall leu. Is to seve sao Invartan e &quot;5' 
facilmente com a equa\ao de onda 
11 
que e uma conseqi.iencia das equa\oes de Maxwell. Voce 
pode mostrar isso diretamente inserindo a transforma\ao 
(1) na equa\ao (2) e utilizando a regrade cadeia. Mas, mes-
mo sem calculo e claro que a equa\aO (2) nao possui a inva-
rH1ncia de Galileu, ja que nela aparece uma constante 
com dimensao de velocidade e as transforma\oes de 
Galileu alteram velocidades. Assim a eletrodinamica pare-
cia ter urn referendal privilegiado. 
Pensou-se entao que as ondas eletromagneticas propa-
gam-se como as ondas elasticas num meio chamado eter e 
que o referencial privilegiado seria o referendal de repou-
so deste eter. Os fisicos imaginaram que o eter enchia todo 
espa\O do universo tanto em regioes de vacuo como em 
regioes preenchidas de materia comum. Esperava-se que 
urn movimento da materia comum seria capaz de arrastar 
o eter parcialmente na regiao preenchida pela materia. Urn 
meio material que se move com velocidade ii em rela\ao 
ao eter do espa\0 interestelar seria capaz de arrastar 0 eter 
localmente com uma velocidade ii a, on de a e urn a cons-
tante. Em 1851 Fizeau tentou medir este fator de arrasto 
estudando a propaga\ao de luz em agua correndo em tu-
bas. Para agua ele encontrou a~0,48. Mais tarde, em 1868, 
Hoek aperfei\oou a experiencia de Fizeau atnnentando a 
precisao por ordens de grandeza e chegou ao resultado 
a= 1 - n-2, onde n e 0 indice de refra\aO do material. 
12 
I 
A . procu:a ~do. refere~cial do eter revelou final mente 
uma tnconststencta na fisica ch1ssica quando Michelson e 
Morl~y, ern,l881, tentaram medir a velocidade da terra em 
rela\ao ao eter corn uma ·A. \u2022 · \u2022 I \u2022 
_ . expenencta tnterferometrica que 
nao usava me1os transp t 1 I aren es, mas uz propagando-se no 
vacuo (ou no ar na,~ 1). 
EA 
Fonte 
D 
A+B 
Fig. 1 Interfer6metro de Michelson 
A figura 1 mostra o esquema do interferometro de 
Michelson. Urn feixe de luz saindo da fonte e dividido no 
ponto D por meio de urn espelho semitransparente em do is 
feixes A e B. Depois de uma reflexao nos espelhos EA e EB 
os feixes voltam para o ponto de separa~ao e interferem no 
feixe A+ B onde se encontra o observador. 
Vamos supor que o eter move-se com uma velocidade 
u na dire~ao D ~ EB. 0 tempo que a luz precisa para ir 
de D ate EB (supondo a validade das transforma<;6es de 
Galileu) seria 18 I (c+u), onde 18 e a distancia entre 0 e EB. 
0 tempo para voltar de EB para D seria IB I (c-u). Assim o 
tempo de ida e volta ~o bra~o B do interferometro seria: · 
(3) 
13 
· ' 
EA 
Fig.2 Trajet6ria da luz no referencial do eter. 
Para calcular o tempo tA de ida e volta no bra<;o A va-
mos analisar o percurso da luz no referencial do eter. Neste 
referencial o interferometro esta se deslocando com a ve-
locidade u na dire<;ao D ~ Fonte. No tempo t,.