346298939 Teoria Da Relatividade

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TEORIA DA 
RELATIVIDADE 
Editora Livraria da Flsica 
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TEORIA DA 
RELATIVIDADE 
Bernhard Lesche 
Departamento de Fisico 
Universidade Federal de Juiz de Fora 
Editora Livraria da Flsica 
Sao Paulo- 2005 
Ano Mundial da Fisica 
. . "2005 Edftora Uvraria da Flsica Copynght 
Jose Roberto Marinho Editor 
Arte Ativa Cap~ - v·tdal Sezerra da Silva ReVlsao 
lmpressao Grafica Paym 
Oiagrama\ao R~nata Owa 
Dados lnternacionais de Cataloga~ao na Publica~ao (CIP) 
(Camara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Lesche, Bernhard 
Teoria da Relatividade I Bernhard Lesche. 
- 1. ed. - Sao Paulo: Editora Livraria da Ffsica, 2005. 
l . Relatividade ( Flsica ) - Estudo e ensino I . Tftulo. 
03-6013 CDD-530.11 07 
Indices para catalogo sistematico: 
Teoria da Relatividade: Ffsica: Estudo e ensino 530.1107 
Editora l.ivraria da Ffsica 
www.livrariadaflsica;com.br 
Tel.: 11 3936 3413 Fax: 11 3815 8688 
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Agrade~o a Maria Luiza Bedran · 
pela lei lura critica do texto e 
pela sugestao de exercicios~ 
CONTEODO · 
1 Introduc;ao 11 
2 Revisao do espac;o e tempo da fisica nao relativistica 19 
3 Medidas absolutas de tempo 31 
4 Invariancia da velocidade da luz e simultaneidade relativa 35 
5 Coordenadas no espa~o-tempo 41 
6 Transformac;ao de velocidades 55 
7 A geometria do espa~o-tempo e a defini~ao do metro 59 
8 0 efeito Doppler e a aberra\ao relativistica da luz 77 
9 0 tempo proprio 83 
1 0 0 4-momento 93 
11 A segunda lei de Newton 105 
12 Relatividade geral 111 
13 Cosmologia 123 
Soluc;oes dos Exercicios 131 
Bibliografia 157 
fndice 159 
Constantes 163 
7 
PREFACIO 
Este livro destina-se a alunos de Fisica Basica que queiram en-
tender a famosa Teoria da Relatividade e nao apenas adquirir 
a habilidade para a soluc;ao de problemas. Apresentamos a 
teo ria de urn a forma nao convencional in trod uzindo o lei tor 
diretamente na geometria do espa~o-tempo. Esta abordagem 
e simples e revela a verdadeira natureza dos conceitos espa~o 
- temporais. 0 texto resultou de urn curso de Fisica IV que dei 
em 1996 para uma turina de Fisica do Instituto de Fisica da 
UFRJ. A abordagem adotada e adequada tambem para alu-
nos de engenharia1 quimica e principalmente matematica. 
Leitores que ja conhecem a Teoria da Relatividade en-
contrarao inumeros estimulos para uma analise critica do 
proprio entendimento. Como provocac;ao, e para testar o 
entendimento do conhecedor da teoria, coloco aqui as se-
guintes afirmac;oes: 
• A frase
1 
que encontramos em inumeros textosl llrel6-
. d II 1 b b f gios em movimento andam mats evagar e o agem. 
• Rel6gios podem ser usados para medir distancias es- . 
paciais sem utilizar luz. 
• Simultaneidade relativa pode ser definida. sem. utili- · ·. ·. 
zar sinais luminosos . . 
0 fisico que nao concord a com estas afirma<;6es en con- -
trara certamente novas ideias neste livro. _ 
Na epoca da sua descoberta, a Teoria da Re~atividade 
causou grande impacto na sociedade. 0 verdadetro espan-
to que as pessoas sentiam e facil de en tender. Todo pensa-
mento humano e baseado nas no\6es de espa~o e tempo. 
As palavras onde, quando, Ionge, perto, antes, depois etc. 
fazem parte do vocabulario de qualquer idioma humano. 
A teoria da relatividade declarou estes conceitos relativos 
e nao fundamentais. Ate fisicos de rename ficaram perple-
xos. 0 Fisico Brasileiro Cesar Lattes expressou certo cep-
ticismo em rela~ao a Teoria da Relatividade. Hoje encon-
trarnos poucas pessoas que expressam duvidas em rela~ao 
a validade da teoria. Acredito que a grande maioria dos 
conforrnados nao possui a convie<;ao da validade da Teo ria 
da Relatividade resultante de urn profunda entendimento. 
Este pequeno livro tenta revelar os aspectos objetivos da 
estrutura do espa<;o-tempo, evitando os conceitos relati-
vos, que muitas vezes dao a impressao de que tudo nao 
pa~sa de truques. Desta forma, esperamos poder contri-
buu para urn entendimento solido da teoria. 
1 
INTRODU<;Ao 
Com a mecanica de Newton, a eletrodinamica e a tcrmo-
dinamica, a fisica parecia formar urn sistema consistentc c 
completo. Mas ja no seculo 19 come\OU a csboc;ar-se un1a 
inconsish~ncia nesta fisica classica. A teoria da rclat-ividndc 
removeu esta inconsistencia e com isso real mente com pic-
tou a fisica classica. 
Qual era a inconsistencia na fisica classica? Na meca-
nica de Newton todos OS referenciais inerciais sao cquiva-
.... 
lentes. 0 lado esquerdo da equa~ao fundamental mii = F e 
invariante sob transforma~oes de Galileu: 
x'=X-Ui 
y' = y-uyt 
z' = z- uzt 
t' = t 
(1) 
0 eletromagnetismo e uma teoria das for,as do ]ado di-
. d ra-0 ma ..... - F ... mas as equa,oes de Maxwell nao re1to a equa"s' - , . " 
- · · t 8 sob as transformaroes de Gall leu. Is to seve sao Invartan e "5' 
facilmente com a equa\ao de onda 
11 
que e uma conseqi.iencia das equa\oes de Maxwell. Voce 
pode mostrar isso diretamente inserindo a transforma\ao 
(1) na equa\ao (2) e utilizando a regrade cadeia. Mas, mes-
mo sem calculo e claro que a equa\aO (2) nao possui a inva-
rH1ncia de Galileu, ja que nela aparece uma constante 
com dimensao de velocidade e as transforma\oes de 
Galileu alteram velocidades. Assim a eletrodinamica pare-
cia ter urn referendal privilegiado. 
Pensou-se entao que as ondas eletromagneticas propa-
gam-se como as ondas elasticas num meio chamado eter e 
que o referencial privilegiado seria o referendal de repou-
so deste eter. Os fisicos imaginaram que o eter enchia todo 
espa\O do universo tanto em regioes de vacuo como em 
regioes preenchidas de materia comum. Esperava-se que 
urn movimento da materia comum seria capaz de arrastar 
o eter parcialmente na regiao preenchida pela materia. Urn 
meio material que se move com velocidade ii em rela\ao 
ao eter do espa\0 interestelar seria capaz de arrastar 0 eter 
localmente com uma velocidade ii a, on de a e urn a cons-
tante. Em 1851 Fizeau tentou medir este fator de arrasto 
estudando a propaga\ao de luz em agua correndo em tu-
bas. Para agua ele encontrou a~0,48. Mais tarde, em 1868, 
Hoek aperfei\oou a experiencia de Fizeau atnnentando a 
precisao por ordens de grandeza e chegou ao resultado 
a= 1 - n-2, onde n e 0 indice de refra\aO do material. 
12 
I 
A . procu:a ~do. refere~cial do eter revelou final mente 
uma tnconststencta na fisica ch1ssica quando Michelson e 
Morl~y, ern,l881, tentaram medir a velocidade da terra em 
rela\ao ao eter corn uma ·A. • · • I • 
_ . expenencta tnterferometrica que 
nao usava me1os transp t 1 I aren es, mas uz propagando-se no 
vacuo (ou no ar na,~ 1). 
EA 
Fonte 
D 
A+B 
Fig. 1 Interfer6metro de Michelson 
A figura 1 mostra o esquema do interferometro de 
Michelson. Urn feixe de luz saindo da fonte e dividido no 
ponto D por meio de urn espelho semitransparente em do is 
feixes A e B. Depois de uma reflexao nos espelhos EA e EB 
os feixes voltam para o ponto de separa~ao e interferem no 
feixe A+ B onde se encontra o observador. 
Vamos supor que o eter move-se com uma velocidade 
u na dire~ao D ~ EB. 0 tempo que a luz precisa para ir 
de D ate EB (supondo a validade das transforma<;6es de 
Galileu) seria 18 I (c+u), onde 18 e a distancia entre 0 e EB. 
0 tempo para voltar de EB para D seria IB I (c-u). Assim o 
tempo de ida e volta ~o bra~o B do interferometro seria: · 
(3) 
13 
· ' 
EA 
Fig.2 Trajet6ria da luz no referencial do eter. 
Para calcular o tempo tA de ida e volta no bra<;o A va-
mos analisar o percurso da luz no referencial do eter. Neste 
referencial o interferometro esta se deslocando com a ve-
locidade u na dire<;ao D ~ Fonte. No tempo t,.
o ponto D 
deslocou-se por uma distancia ut,. . A figura (2) mostra o 
percurso da luz no referencial do eter. A luz neste referen-
cial percorre a distancia 
14 
Como a velocidade da luz neste referencial e c temos: 
_ ~41~ + (utAf 
f A - ----------
C 
{4) 
Resolvendo esta equa<;ao quadratica para t encontramos 
. A 
(5) 
I l 
I 
i\ ft.tsc relativa dos feixes A e 8 qtte s d 
. , .·. . ' . . """ , . , , e me e na expe-
rH.llU,1 tntctfcrometnca esta relac1·onad d'f 
dos tc1n pos tA c tv : 
' (.; a com a 1 erenc;a 
(6) 
Nota-se que tv- t A depende de u. Para medir esta depen-
dencin de u, Michelson posicionou o interferometro em di-
versas oricntn~oes. 0 resultado da experiencia era negativo: 
o feixe recon1binado A+B nao mostrou nenhuma dependen-
cia da oricntac;ao do interferometro. A luz comportou-se na 
experiencia como se 0 referencial privilegiado do eter fosse 
exatamente o referencial do aparelho experimental. Isso, 
do ponto de vista da teoria do eter, estava em contradic;ao 
aos resultados de Hoek, ja que a Terra teria seguramente 
uma velocidade grande em rela\ao ao eter (compare exer-
cicio 2). Verificou-se ainda que o resultado da experiencia 
nao dependia do fato de ter a fonte da luz fixa no labora-
t6rio. Usando-se uma estrela como fonte, a experiencia de 
Michelson continuava dando urn resultado negativo. 
Em 1905 Albert Einstein conseguiu remover esta incon-
sish~ncia da fisica ch1ssica. Ele resolveu o problema de uma 
maneira inesperada, subrnetendo os conceitos de espac;o e 
tempo a urn a critica. Resultou urn a nova vi sao de espa\o e 
tempo que recebeu o nome de teoria da relatividade restrita. 
Esta teoria dispensa completamente a noc;ao de eter. Todos 
os referenciais inerciais continuam equivalen tes - como na 
mecanica de Newton. Mas, apesar disso, a 1uz propaga-se 
em todos os referenciais inerciais da mesma maneira, com 
a mesma velocidade em todas as direc;oes. Einstein con-
seguiu conciliar estes dois principios, equiva/encia de todos 
os referenciais inerciais e invariancia da velocidade da luz, con-
15 
· como tempo noc;oes relativas que 
siderando tanto espa~o 
dependem da escolha de urn referencial. 
J t r Considerar noroes tao fundamentais ustamen e po ~ . . 
tempo apenas como rela ti vas, a teor1a da como espa<;o e . . , 
relatividade encontrou muitos inimigos entre le1gos e ate 
entre fisicos da epoca. Hoje a teoria e aceita na comunida-
de cientifica e foi testada experimentalmente. Nao ha mais 
duvidas da sua validade. 
Poder-se-ia entretanto considerar no minima complica- · 
da, ou feia, uma descric;ao da Natureza na qual temos que 
considerar rnuitos espac;os e tempos correspondendo aos 
diversos referenciais. Mas foi possivel elirninar comple-
tamente estes conceitos de espac;o e tempo da teoria. Em 
1908 H. Minkowski introduziu o conceito de espar;o-tempo, 
que e absoluto. 0 espac;o-tempo nao depende de nenhuma 
escolha de referendal. Isto foi urn passo importante que 
ajudou muito no desenvolvimento da fisica te6rica. Novas 
teorias (por exemplo das particulas elementares) sao sem-
pre formuladas no espac;o-tempo de Minkowski e o fato 
de ser absoluto e uma das guias mais confiaveis para o 
fisico que quer formular sua teoria; ele deve formular as 
leis usando sempre objetos invariantes (objetos geometricos) 
que nao dependam da escolha de urn referencial. Poder-se-
ia dizer que na verdade a teoria da relatividade merece o 
nome de teoria dos objetos absolutos. 
Depois de elaborar a teoria da relatividade restrita, 
Einstein trabalhou na formulac;ao de uma teoria da forc;a · 
gravitacional que fosse compativel com as ideias da relati-
vidade. Em 1916 ele conseguiu isso, expressando comple-
tamente as forc;as gravitacionais pela geometria do espa-
c;o-te~po. Esta teoria da relatividade geral tern aplicac;oes na 
tentahva de entender a evoluc;ao do universo numa longa · 
·. escala de tempo. A teoria da relatividade restrita tern apli-' : · 
16 
' . . ··. 
ca~oes importantes na fisica de laborato' r1·0 p 1 , . , . , or exemp o, a 
fisica nuclear e a fls1ca das particulas elernent . 
. ares. 
Aqui explicaremos as ideias basicas da tcoria da rela· 
tividade restrita e alguns aspectos da relatividade gcral. 
Come~aremos com uma revisao dos conceitos de espa<;o e 
tempo na fisica nao relativistica e introduziremos 0 espa- . 
~o-tempo ja na fisica nao- relativistica. 
Exercicios 
E 1.1. Calcule a diferen~a de tempos dos bra~os do inter-
ferometro de Michelson (equa~ao 6) para o caso lA = 1
8 
= l 
e velocidades baixas, desenvolvendo a expressao ate o ter-
mo de ordem [u/c]2• 
E 1.2. Suponha que o Sol tenha alguma velocidade cons-
tante em rela~ao ao eter. A Terra teria entao velocidades 
em rela~ao ao eter que variam durante o ano. Determine 
urn limite inferior da velocidade maxima que a Terra teria 
durante o ano. 
E 1.3. No exercicio anterior vimos que podemos esperar 
velocidades entre eter e Terra da ordem de 3 ·104 m/s, isto 
e, da ordem de 10-4 vezes a velocidade da luz. Supondo que 
usamos luz de comprimento de onda de 500 nm, calcule o 
numero de franjas de interferencia que passam se 0 inter-
ferometro e girado tal que urn bra<;o que antes apontava na 
dire~ao do vento de eter depois aponta na dire<;ao ortogo-
nal a anterior e o outro bra~o passa a ter a dire<;ao do ven-
to. Suponha que os bra~os do interferometro tenham 50 m '·-.... 
de comprimento. (Urn bra<;o tao grande pode ser obtido 
refletindo a Iuz muitas vezes dobrando entao o bra~o.) 
E 1.4. 0 fato experimental que o fa tor de arrasto e relacio-
nado com o indice de refra~ao, a= 1 - n·2, aponta para uma 
·. inconsistencia da ideia do eter. Use propriedades do indice 
de refra~ao para criticar a ideia do arrasto do eter. 
17 
_; . 
' · 
. ·. ~. ~·~ 
. . t,, 
. -r 
.·d 
' ; ··: .. ~ 
2 
REVI~AO DO_ESPA<;O E TEMPO 
DA FISICA NAO RELATIVISTICA 
Em portugues falamos: "o espa\o". U samos o singular e em 
outros idiomas isso s~ faz da mesma maneira. Isso mostra 
que a mente humana esta acostumada a pensar em espa\o 
fisico como numa entidade unica e absoluta. No entanto OS 
fisicos descobriram, ja muito antes da descoberta da teoria 
da relatividade, que tal conceito de espa<;o absoluto nao e 
relevante para a descri\ao da Natureza. Quando queremos 
descrever, por exemplo, o movimento de uma particula, te-
mos que especificar os lugares no espa\o que a particula per-
corre no percurso do tempo. Precisamos en tao de uma no<;ao 
de espa\O que persiste valida durante algum tempo. Definir 
espa<;o de uma maneira valida durante algum tempo nao e 
trivial. Podemos ver isso analisando a seguinte frase: "Eu ja 
estive neste Iugar faz um ano e tres meses". Sera que o locu-
tor desta frase considerou que a Terra se deslocou durante 
este tempo?- sera que ele considerou que todo o sistema so-
lar deslocou-se dentro da via Iactea?- sera que ele conside-
rou que ........ ?? A frase entao nao parece ter senti do. Masse o 
locutor desta frase falou-a no topo do Pao de A~ucar no Rio 
de Janeiro e quis dizer simplesmente que faz um ano e tres 
meses ele se encontrou tambem no Pao de A~car, ele fez 
uma afirmac;ao com sentido que expressa uma relac;ao entre 
. 19 
, . 0 . a 0 dcve ser entcndido o locutor e a superfiCJe da terra. esp c; ,.. . 
em termos de rela\Oes com urn corpo de refere11cta. 
d f 
" · ·a podemos n1arcar pontos e po· 
Num corpo ere erenc1 
d d
. d ' t" . 5 ei1tre 05 pontos marcados e ncos-emos me tr as 1s aneta , 
tando barras m.?tricas nos pontos marcados. E importantc 
notar que a prescri\3o de medida de dist5ncia .en~olve uma 
no\3o de tempo: Se queremos verificar que a d1stancw entre 
dois pontos marcados A e Be 1m, temos que encostar a ex-
tremidade A' da barra de lm no ponto A e a outra extremi-
dade B' simultaneamente no ponto B.
SeA ' nao encostasse em 
A simultaneamente como contato de B' em B efctuariamos 
urn transporte da barra metrica entre OS pontos A e B ao 
inves de fazer uma medida de comprimento. Por enquanto 
nao definimos simultaneidade. Podemos, no en tanto, adotar 
uma prescric;ao cautelosa para a medida de comprimento: 
colocamos a extremidade A' do metro no ponto A e emiti· 
mos algum sinal do ponto A para o ponto B, quando o sinal 
chegar no ponto B a extremidade B' do metro deve estar em 
contato como ponto B. De B mandamos urn sinal de respos-
ta ~ara A. Durante todo o tempo, desde o inicio do processo 
ate a chegada do sinal de resposta em A, a extremidade A' 
deve estar em contato permanente com A D t . . es a manetra 
podemos ter certeza de que B, tocou em B en t A' quan o este-
ve em contato com A . 
Verifica-se, experimentalmente q . 
f 
" . ' ue eXIstem corpos de 
re erencla para os quais todas d. " . . as Istanctas med · d 
pontos marcados sao · d d I as entre 
. In epen entes do tern (d 
mcerteza experimental) V po entro da 
. amos chamar est 
pos de referen.cia rigida*. Se'am C . es corpos de cor-
rigida. Podemos conside!a .I e ~2 dois corpos de referencia 
r a JUn<;ao dos dois como urn novo 
* Os corpos nao sao necessaria 
formavel pode servir como co; : ente cort:os rigidos. Urn cor o de-
houver deformaroes P de referencia rigid P .. 
'T • a enquanto nao 
20 
corpo de referencia. Pode ser que a jun<;ao dos dois sc:·ja nova .. 
mente urn corpo de referencia rigida. Isto acont()<\! se c
1 
esh1 
em repouso em rela<;ao a C2. Neste caso varnos dizcr que C1 e 
c2 pertencem ao n1esmo nferencial rigido. f\.1ed indo d i st:lnri ~ls 
entre pontos marcados en1 corpos pertencentl's a urn refl'rl'n-
cial rigido, descobrimos experimentaltnente as rcla(,:tles da gl!-
ometria Euclidiana de urn espa<;o tridirnensional e podt•n1os 
associar este espa<;o ao referencia] rigido. Corn isso cht'garnos 
finalmente ao conceito de espa<;o. Mas cada rcferencial rigido 
tern o seu espa<;o associado, logo nao existe o esparo mas e is-
tern espafOS. Por exemplo, a urn ponto marcado nurn tijolo quC' 
esta caindo de urn ediHdo nao corresponde ncnhtun ponto 
no referendal da terra. 0 ponto marcado no tijolo Sl) pode scr 
associado a uma curva (sua trajet6ria) no referenciJI da terra. 
0 espa<;o de urn referencial contem pontos alcrn dos pontos 
marcados nos corpos de referencia e ate pontos fora dos cor-
pas de referenda. Estes pod em ser detenninados a partir de 
pontos marcados usando rela<;6es geometricas. 
Dos referenciais rfgidos interessarn especialtncnte os 
referenciais inerciais. Estes podem ser definidos da seguinte 
maneira: Uma particula puntiforme descreve durante seu 
movimento uma curva no referendal, a qual se chan1a a 
trajet6ria da particula no referencial. A curva pode ser tan1-
bern urn unico ponto quando a particula esta em repouso 
no referencial usado. De todas as particulas, esperarnos 
daquelas que sao bern isoladas de todas as influcncias de 
outros corpos, uma descric;ao do movin1ento espccialrnen-
te simples. Estas partfculas se chamam particulas livrcs. Urn 
referencial e chamado inercial se as trajetorias de tochts as 
particulas livres sao linhas retas ou pontos. No que se se-
gue varnos sempre trabalhar em referencias inerciais. 
Para poder descrever o movirnento de un1a partfcu1a ao 
Iongo de sua trajet6ria num referencial, precis~nH>S d~ no- · 
c;ao de tempo. Na Ffsica I aprende-se que as partJculns hvrcs 
21 
. _ repousoouemmovimento 
f . I . nerClal estao em num re erenCla 1 t uniforme em relac;ao M temos que pergun ar, 
uniforme. as M que e 0 tempo? 0 que 
"? E ela\ao ao tempo. as o 
a que. m ~ , pararao entre duas particulas 
odemos afirmar e que a com -r , • 
P . f midade Se uma parttcula h vre livres sempre mostra unt or . 
1 Sm enquanto a outra percorre 1m, percorre, por exemp o, , I 
- d d' t" . as percorridas destas duas particu as 
a fra\ao as IS anc1 
. , 5·1 para sempre Podemos tamar este fa to como continuara . · . 
motiva\ao para definir 0 tempo atraves de urn. movtme~-
to de uma particula livre num referencial inere1al, ou seJa, 
podemos usar o movimento de uma particula livre num 
referendal inercial como rel6gio padrao. 
Porem esta defini\ao precisa de uma suposic;ao funda-
mental: Para poder comparar o movimento de duas particu-
las temos que ter a no\ao de simultaneidade. Em caso contra-
rio nao tern senti do falar II enquanto a particula 1 percorreu 
Sm a particula 2 percorreu lm". Na fisica nao relativistica 
pressup6e-se que e sempre possivel decidir de maneira ob-
jetiva e independente de referendal se urn dado evento e1 e 
simultaneo com o evento e2• Se isso for verdade, podemos 
ver qual marca\ao do rel6gio padrao e simultaneo com urn 
evento e e atribuir esta marca\aO ao even to como seu tempo. 
0 tempo seria entao uma entidade unica e absoluta. 
Resumindo podemos dizer: na fisica nao re1ativistica 
I 
espa<;o e urn conceito relativo que depende da escolha de 
urn referencial e tempo e urn conceito absoluto indepen-
dente da escolha de urn referencial. 
N.a fisica relativistica o tempo tambem sera urn conceito 
relativo. No en tanto ' , 1 b . . e posstve su shtutr estes conceitos de 
espa<;o e tempo par urn un· 
- ICO, 0 espat;o-tenzpo, que e absolu-
to e nao depende da escolha de urn referencial. 
Acima usamos a palavra II " E t evento · Os fisicos chamam 
ven o a urn acontecimento ·-que ocorre numa regtao espa-
22 
! 
i 
i 
I 
cial tao pequena que possa ser considerada um ponto e que 
dura tao pouco que possa ser considerada urn instante. 0 
conceito de evento e algo analogo ao conceito de ponto na 
geometria. Podemos realizar urn evento fisicamente, por 
exexnplo, pelo choque de duas particulas puntiformes que 
tenham uma interac;ao de curto alcance. De maneira seme-
lhante podernos realizar pontos no espa~o de urn referen-
dal rnarcando-os no corpo de referenda. Podemos marcar 
apenas urn numero finito de pontos, mesmo assim, por 
raz6es praticas, imaginarnos que existe urn numero infi-
nito de pontos, isto e, urn estoque. 0 espac;o e este estoque 
infinito de pontos. Da rnesma maneira podemos imaginar 
que os eventos fisicamente realizados sao tornados de urn 
II estoque infinito". Este estoque e 0 espac;o-tempo. 
Seja e urn evento. Vamos escolher algum referencial 
inercial I. Em I o evento e acontece num certo ponto Pe. 
Escolhendo coordenadas Cartesianas x, y, z no referencial 
I podemos descrever este ponto Pe pelas coordenadas xe, 
Ye ze. Alem disso, o rel6gio marca urn certo tempo te no ins-
, - . 
tante quando acontece o evento e. Podemos entao assocxar 
ao even toe quatro coordenadas te I xe I Ye I ze. 
/c 
e~ 
XC 
Ye 
ze 
Entao 0 espac;o-tempo tern quatro dimensoes. Nao 
' · t edo de urn esparo de quatro d imensoes. e prectso er m )" 
Podemos representar confortavelmente o espac;o-t~mpo 
d h Sando a mesma tecnica que uma cnan~a num esen o, u . 
d 5 do desenha o mundo tridimensional e anos usa quan . _ . 
numa folha de papel com apenas duas d~m:nsoes. A cnan-
c;a usa aproximadamente a seguinte proJe~ao: 
23 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
{x, y, z} ) . {X, y} 
) YL 
X 
z . . luas dimensi>l'S. :to trid i rn<.'nslon .. l I a l i -o infantil do mun~.o Fig. 3 Rel w;a 
·erao scnlclhantc: Podemos usar u n1a prOJ ' . 
{t, x, y, z} ) {t, x, y} 
t 
espavo-tenlpo . ) 
X 
Fig. 4a Redw;ao do espa';'o- tempo a trcs dimensocs. 
ou ate uma mais radical: 
{t, x, y, z} -~> {t, x} 
t 
espa9o-tern po ) 
Fig. 4b Redu';'ao do espa';'o-tempo a duas dimensocs. 
X 
A maior dificuldade para visualizar o espar;o-tempo 
nao reside no fato dele ter quatro dimensOes, mas no fa to 
que o espao;o-tempo niio tern a geometria Euclitliana da fo-
24 
I 
I 
I 
I 
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I 
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I 
I 
I 
I 
I 
I 
. I 
Iha de papel que usamos para repres t 
. en ar o espa\o-tem 
Para ver 1sso vamos escolher um t f . . po. 
ou ro re erenc1al tnercial 
I' que se move em rela~ao a 1 com 1 . _ , urn a ve OCidade u na d i-
re\ao x. Com I construimos novas coo d d 
_ r ena as t' x' y' z' 
que sao relacionadas com as de I 1 f ' ~ ' . _ pe a trans orma~ao de 
Gahle~ (equa~ao _1). Aqui usaremos a proje~ao da figura 4b 
e prectsamos en tao apenas das coo d d r ena as t ex: 
' X =X -ut 
t' = t 
(7) 
0 n.ovo eixo temporal e dado pela condi~ao x' = 0 e 0 
noVO eiXO espacia} e dado pela condi~ao t' = Q. 
e 
x x' 
' 
Fig.S Ei.xos de coordenadas no espa~o-tempo definidos com dais referen-
ciais inerciais equivalentes que aparecem inequivalentes na geometria da 
folha do papel. 
Note que o eixo t' e diferente do eixo t, apesar de t' = t 
e que 0 eixo X e 0 mesmo do eixo x', apesar de termos 
x' = x - ut "* x! Obtemos o valor da coordenada temporal 
de urn evento e projetando paralelamente ao eixo espacial 
sobre o eixo temporal. Como o tempo na fisica nao relati-
vistica e absoluto, est a proje\ao leva ao mesmo valor t~= te, 
como podemos verna figura 5. 
25 
l 
' 
·J 
·, 
. 5 tra que a geometria do espa~o-tempo de A figura mos 
_ , etria Euclidiana da folha de papel: a pa-fa to nao e a geom . I • 
t ·xo t e' mais "certinho" que o e1xo t, po1s o rentemen eo e1 
eixo t e ortogonal ao eixo X e 0 eixo t' e inclinado. Mas est-a 
apar€ncia engana. Na verda de o referendal_ inercial, I nao 
tern nenhum privilegio em rela<;ao a I', po1s podenamos 
ter come<;ado a constru<;ao de coordenadas igualmente 
com I'. No espa<;o-tempo (nao-relativistico) ortogonal nao 
e nem definido! De fato, na teoria da relatividade veremos 
que a no<;ao de ortogonalidade no espa<;o-tempo pode ser 
definida, mas esta ortogonalidade nao sera aquela que co-
nhecemos do espa<;o Euclidiano. 
Existe porem urn aspecto geometrico da folha de pa-
pel que podemos reencontrar tambem no espa<;o-tempo:·A 
folha de papel podemos associar urn espa<;o veto rial. U m 
~ 
par de pontos (A,B) define urn vetor AB sendo que dais 
pares (A,B) e (C,D) definern o mesrno vetor se estes pares 
d __ ife~em apenas por urn transporte paralelo. Esta eqi.iiva-
lenCia de par~ (A~= {C,D) que corresponde a igualdade 
dos vetores AB =CD pode ser verificada com a ajuda das 
coordenadas Cartesianas dos pontos A B c D N 1 
1 1 , • o p ana 
euclidiano do papel podemos afirmar que 
~ ~ 
AB=CD 
{
X H - X A = X I> - Xc } 
yH-yA=y/J-y(.' (8) 
Podemos definir vetores no es a o-
neira sernelhante Como p <; tempo de uma rna-
. o espa<;o-tempo te t d. 
s6es estes vetores sao ch d m qua ro I men-
Urn 4-vetor e d fi . d ama OS quadrivetores ou 4-vetores. 
e nt o par urn par de 
que dois pares (e f) e (g 1 ) d fi eventos (e~ f) sendo 
' ' 
1 e nem o tn 4 seas diferen~as das d · esn1o -vetor see so 
coor enadas d :l • • 
urn referencial inercial - . . os eventosl defirlldas por 
' sao Iguais pa d . ra os 01s pares: 
26 
~ ~ 
ef = gh <=> 
tf-t =t -t (! h g 
x1 -x =xh-x f! g 
yf-yc=yh-yg 
z1 -z =zh-z e K 
(9) 
Temos que verificar se esta definic;ao e independente da 
escolha do referencial inercial. As coordenadas t', x', y', z' 
de urn outro referencial inercial I' podem ser relacionadas 
com as coordenadas originais atraves da transforma\ao de 
Galileu da equac;ao (1). Esta transformac;ao pode ser escrita 
na seguinte forma matricial: 
t' I 0 0 0 t 
x' 
-u I 0 0 X X (10) 
y' -u 0 1 0 y y 
z' 
-u z 0 0 I z 
E facil ver que a rnatriz 4 x 4 que relaciona as coordena-
das tern determinante diferente de zero. Isto irnplica que 
t' - t' f e ' t' /h- K If -le fh -fK 
, , 
, ' X I- Xe xh -xx XI -xe Xh -XK (11) , , , , 
Y1- Ye Yh- Yx Y1- Ye y,- YK 
, , 
Z.f- Ze 
, , 
zh -ZK zf -ze zh -zx 
Na verdade as coordenadas construidas no referendal 
inercial I' poderiam ter uma outra origem ~-poderiam ~er 
rodadas em rela<;ao aos eixos xyz. Isto signtfica que, ao tn-
ves da transformac;ao (10), poderiamos ter uma transfor-
rna\aO da seguinte forma: 
27 . : 
t' 1 0 0 0 
t to 
x' -u R_u Rxy Rxz 
X Xo (12) 
,"( + 
y' -u Ryx R.vY Ryz y Yo y 
z' -u Rzx Rzy Rzz z Zo z 
onde (R-) e uma matriz que descreve uma rotac;ao. A trans-
hv;ao d~1 origem obviamente nii.o afeta a relac;ao (11 ), jlt que 
nela entram apenas diferen\as de coordenadas. A rotac;ao 
nao altera o valor do determinante da matriz, assim o re-
sultado continua valido tambem com a transformac;ao (12). 
Mostramos com isso que a defini\aO de 4-vetor e realmen-
te independente da escolha do referencial. Urn 4-vetor e 
entao urn objeto geometrico. 0 argurnento que usamos 
funciona nao apenas com a transforma\ao da equa\ao 
(12). De fa to ele e valido para qualquer transformac;ao line-
ar inomogenea nao singular ( deterrninante nao nulo ). As 
transformac;oes lineares inomogeneas nao singulares po-
dem ser caracterizadas ainda da seguinte forma: elas sao 
transforrnac;oes de coordenadas que mapeiam linhas retas 
em linhas retas no espac;o das coordenadas. 
Podernos escolher urn referencial inercial I e construir 
coordenadas t, x, y, z com este referencial e podemos entao 
representar urn 4-vetor por urn vetor coluna: 
I -1 I e 
~ x -x 
ef ~ I e (13) 
Y1- Ye 
z -z I e I 
Naturalmente a representac;ao depende do referencial e 
das coordenadas escolhidas. Por outro lado b. t 
' t · - , o o Je o geo-
me nco nao depende desta escolha p d 
_ · o emos usar a repre-
28 
senta\ao por vetores col una para defi · · 
nu soma de veto res e 
produto de urn vetor por urn numero d f 
, a orma que conhe-
cemos dos vetores em tres dimensoes: 
a, b, a,+ b, a, A a, 
ax 
+ 
bx ax +bx ax Aax 
aY by aY +bY e A· (14) aY AaY 
az bz az +bz I az Aaz I 
Antes de entrarmos definitivamente na teoria da rela-
tividade, vamos ainda definir mais urn objeto geometrico: 
Imagine uma particula puntiforme. Para ser mais intui-
tivo varnos supor que esta particula e urn bichinho, urn 
ratinho por exemplo. Cada batida do cora~ao do ratinho 
define urn evento no espa\o-tempo. Estes eventos vao for-
mar uma sequencia de "pontos" no espa\o-tempo como as 
perolas de urn colar de perolas. Imagine agora que esco-
Ihemos entre cada batida (= contra~ao do cora~ao) outros 
eventos, por exemplo, os inicios das expansoes do cora-
<;ao. Acrescentando estes eventos aos anteriores obtemos 
uma sequencia de eventos mais densa no espa~o-tempo. 
Seguindo assim, enchendo os intervalos entre os eventos 
com mais e mais eventos, descreveremos finalmente uma 
linha no espa~o-ternpo que seria formada por todos os 
eventos que acontecem no ratinho. Esta linha se chama: a 
linha de universo da particula. Matematicamente, a linha de 
universo de urna particula cujo movimento num referen-
dal inercial I e dado pela lei honiria r (t) I seria 0 gr~Hico 
da fun~ao t ~ r (t) no espa\o-tem po. A linha de univcrso 
de uma particula em repouso na origem dos eix~s x,y e z 
de urn referencial iner.cial I seria o eixo t deste referendal. · 
Podemos representar urn ponto P de urn referenci,al noes-
pa~o-tempo pela Jinha de universo de un1a parhcula em 
. repouso neste ponto. 
29 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
.I 
I 
I 
I 
Exerclcios 
. ro-tempo bidinlensional (y = 0, 
E 2.1 Cons1dere o espa'r 
z = O). d . etor --;1 definido pelos eventos 
a) Desenhe o qua nv J . · 
0 
_ O) f== (t == ~s x = 3cm) num dtagrama x-t. 
e = (t == ' x - e v , 
Represente 1 em por urn lcm no eixo x e 1 segundo por 
lcm no eixo t. 
b) Escreva 0 vetor coluna associado a este vetor no refe-
rencial original, que define os eixos x e t.
Depois escreva 
o vetor coluna associado ao mesmo vetor num referencial 
I' que se move na dire<;iio x com velocidade u = 2 cm/s em 
rela<;ao ao primeiro. 
c) Desenhe as proje<;6es da ponta do 4-vetor paralelas aos 
eixos de coordenadas que determinam as componentes do 
vetor coluna no novo referencial. 
E 2.2 A figura 5 mostra os eixos x, t e x', t' do espa~o-tem­
po nao-relativistico. Como seria a figura 5 se tivessemos 
come<;ado corn as coordenadas x', t', usando estas como 
eixos ortogonais na folha de papel? (Solu<;ao nao dada). 
E 2.3 Desenhe as linhas de universo de 1) urn movimento 
harmonica simples, 2) urn movirnento circular uniforme, 
3) uma queda livre. (Solu<;ao nao dada) 
30 
3 
MEDIDAS ABSOLUTAS DE TEMPO. 
A teoria da relatividade restrita e baseada nos seguintes 
dois princfpios: 
I. As leis da Fisica sao as mesmas para os observadores 
situados em qualquer referencial inercial. 
II. A velocidade da luz no vacuo tern sempre o mesmo 
valor c em todas as dire~oes e em todos os referenciais 
rnercrars. 
A primeira vista estes dois princfpios parecem ser con-
tradit6rios: imagine uma lampada de flash que acende na 
origem de coordenadas de urn certo referencial I no ins-
tante t0 = 0. Num instante posterior t > 0 o pulso de luz 
alcan~aria a superficie de uma esfera de raio r = ct em 
torno da origem de coordenadas de I. Agora imagine urn 
segundo referencial I' em movirnento em rela<;ao a I. No 
instante t os pontos da esfera marcariam pontos em I' que 
nao teriam a mesma distancia a origem de I' neste instante. 
Entao a propagac;ao da luz, nestes referenciais, nao parece 
ser a mesma. A aparente contradic;ao se dissolve se admi-
timos que a no~ao de simultaneidade possa ter significados 
diferentes nos dois referenciais. A superficie da esfera 
. mencionada e constituida por pontos nos quais a luz che-
31 
. 'ficado de simultaneo e di-te Se o stgnt _ 
ga simul taneamen · . . t mos que fazer a construc;ao d · referenctats, e 
ferente nos 015 t no referencial I' e isto pode 
f · d pendentemen e da es era tn e d . lente em concordancia com o levar a um resul ta o equt va 
do Postulado da relatividade. segun 
- uru'versal de simultaneidade, nao pode-Sem uma no~ao . 
defini·rao de tempo baseada num movi-mos manter a nossa ~ . . 
mento de alguma particula livre em algum referenctaltner-
cial. Nao podemos mais transferir tempos simplesme~te de 
urn referencial para outro sem privilegiar o referenctal no 
qual o rel6gio padrao foi construido. Poderiamos escolher 
urna particula livre padrao para cada referencial. Mas isto 
teria o inconveniente de termos unidades de tempo diferen-
tes em referenciais diferentes, dependendo das escolhas ar-
bitrarias das particulas padrao. Seria entao dificil comparar 
resultados de urn referencial com os de urn outro. Temos 
que usar uma defini<;ao de tempo com urn padrao que pos-
sa ser reproduzido independentemente em cada referencial. 
Isto e de fato possivel. Neste ponto a teoria da relatividade 
faz uma liga<;ao com a teoria quantica. Sabernos que a ma-
teria, ao nivel microscopico, nao tern as propriedades con-
tinuas que ela parece ter no nivel macrosc6pico. A materia 
e composta de atomos e sabemos que estes atomos emitem 
luz d,e freqiiencias bern deterrninadas. 0 rnais notavel deste 
fat~ e que as freqiiencias ernitidas por urn determinado tipo 
de atomo, numa determinada transirao entre estad ,.... r , ~ os quan-
tcos, e completamente independente da h' t, . I 
, IS or1a pe a qual 
o atomo passou. Por exem I . , 
h.d " . . p o, se excitamos urn atomo de I rogento de urn t . 
a cer a manetra ele · · , 
nada cor de Iuz ind d emihra uma determi-
. , epen ente do fato , 
tido arrancando-o d , que o atomo foi ob-
e uma molecula de ' do espa<;o, ou se ele f . . . agua, ou se ele veio 
01 stntetizado n ... las elementares - tod , uma reac;ao de particu-
os estes atomos 'I -
mente a mesma fr .. " . osct arao com exata-
equencia. 0 unico . d d ' 
32 CUI a 0 . que devemos 
t 
I 
l 
l 
t 
t 
,. 
I 
! 
i 
t 
I 
I 
i. 
i 
I 
l 
I 
I 
t 
! 
~ 
I 
t 
l 
I 
ter e ~e ~ao atuar sabre OS atomos OU sobre suas particulas 
constttun:_tes com ~or?as ext:~as. For~as extemas, em geral, 
deformarao OS orbitalS eletrOniCOS dos atomos e poderao al-
terar a freqiiencia. Isto sugere utilizar as oscila\6es de urn 
certo tipo de atomo livre* como padrao de tempo. Define-se 
de fa to o segundo desta maneira: 
Urn segundo e a dura~ao de 9192631770 oscila~aes de 
urn atomo de Cesio 133 livre de for~as extemas, numa 
transi<;ao entre os dois estados de estrutura hiperfina do 
nivel fundamental. 
Esta defini<;ao e absoluta e vale em qualquer referen-
cial. Tendo rel6gios atomicos podemos definir o conceito 
de distancia temporal de eventos. Seja e1 urn evento no es-
pa<;o-tempo e e2 urn evento posterior a e1• Podemos "en-
costar" urn rel6gio atornico nestes eventos de maneira in-
teirarnente analoga a qual encostamos urn bastao n1etrico 
em dois pontos marcados num espac;o de urn referencial. 
Da mesma forma que o bastao rnetrico tern que tocar nos 
pontos marcados, o rel6gio tern que passar pelos eventos 
e1 e e2• Isto significa que a linha de universo do rel6gio tern 
que passar pelos eventos e1 e e2• Alem disso, como o ato-
mo do rel6gio deve ser livre (pela definic;ao do segundo), 
a linha de universo do rel6gio deve ser urna linha de uni-
verso de uma particula livre. A distancia temporal 't (et e2) 
dos eventos e e e e o n16d ulo da diferen~a de marcac;oes 1 2 
do rel6gio atomico ao passar pelos eventos e1 e e2• A distan-
cia temporal de eventos e urn conceito absoluto que nao 
depende da escolha de urn referencial. 
,. Para chamar urn atomo de livre nao basta que a for-;a extema resulta.nte seja 
zero. As for~as sobre as particulas constituintes tf.m que ser 7.ero t~~m. Se 
aplicarmos urn campo eletrico num atomo, temos for~as sobre os el~trons e o 
nucleo que alteram as freqiiencias, mesmo que a for~a ~sultante SE'J3 ~ero. A .: 
altera~ao da freqiiencia neste caso e conhecida como efeJto Stark 
33 
4 
INVARIANCIA DA VELOCIDADE DA 
LUZ E SIMULTANEIDADE RELATIVA 
Para a definic;ao de distancia temporal nao precisamos 
escolher nenhum referendal. Agora vamos estudar de-
liberadamente questoes ligadas a referenciais. Seja I urn 
referencial inercial. Para medir distancias entre pontos 
marcados em I temos que usar algum padrao de compri-
mento. Seria novamente conveniente ter urn padrao que 
possa ser reproduzido independentemente em qualquer 
referencial. Nova mente podemos usar a natureza discreta 
da materia ao nivel microscopico. Podemos, por exernplo, 
usar como padrao de comprimento uma aresta de urn cer-
to crista! que tenha urn determinado numero de atomos. 
Adotaremos, por enquanto, este tipo de padrao "cristali-
no" de comprimento. 0 sistema intemacional de padroes 
nao usa este tipo de definic;ao de metro, e comentaremos 
sobre isso mais tarde. 
Investigaremos agora qual e o conteudo fisico - quer 
dizer conteudo observavel - da afirmac;ao da invariancia 
da velocidade da Iuz. Sejam A e B do is pontos marcados no 
referencial inercial I com distancia 1 entre si (medido como 
padrao "cristalino''). Colocaremos urn re16gi~ atomi~o em 
· repouso no ponto A e emitiremos urn curto stnallumtnoso 
do ponto A. No ponto B colocamos urn espelho que traz -
. -· ' 35 
.. · ... 
. . .. . ... · , 
A No relogio podemos entao 0 ponto · I E a luz de volta para I ara a ida e a vo ta. ste 
e a luz eva p . . ,_ 
medir o tempo qu . 1 do evento da emJssao 
. d. stancla tempora . 
tempo rr sena a 1 d hegada do pulso reflehdo . . 
d 1 z e o even to a c do pulso e u · primento podem ser re-d - de tempo e com 
Como os pa roes te em qualquer referencial 
d .d 'ndependentemen pro UZl OS l ·" ·a em variOS re-
l.nercial podemos
repetir esta expenenc~ d 
' · t es d os pares e f ciais inerciais e com varias onen a\0 . ;~;~os A e B. 0 principia da invariilncia da .veloCJda~e da 
luz afirma entao que 0 numero C = 2/ /'t Sal sempre IguaJ 
nestas experiencias. 
Note porem que o valor c = 2/ /'t e apenas a veloc~dade 
media de ida e volta. Poder-se-ia pensar que a veloc1dade 
na ida (A para B) fosse diferente da velocidade na volta (B 
para A). Para medir a velocidade so na ida teriarnos que 
marcar no rel6gio situado no ponto A em que instante o 
pulso chega no ponto B. Esta medida nao corresponde 
mais a uma medida de distancia temporal, pois o rel6gio 
nao passa pelo evento de chegada da luz. Esta experiencia 
requer urn a transferencia de urn valor da escala de tern po 
no ponto B para o rel6gio no ponto A. Precisamos en tao de 
algurn criteria de simultaneidade. Einstein propos o seguin-
te criterio de simultaneidade: 
Simultaneidade de Einstein: sejam a e b eventos que, 
nurn refer~ncial I, acontecem nos pontos A e B, respectiva-
mente. SeJa M o ponto que divide o segmento de reta (A 
B) .ao meio. Chamaremos os eventos a e b simultaneos re~ 
lativamente ao referendal I se pulsos de luz emitidos nos 
eventos a e b se encontram no ponto M. 
Este criteria e genial · ld d .. 
· - a Jgua a e da velocidade de luz 
na Ida e na volta e 'd ~ 
t t garanh a automaticamente! Note no en an a, que desta forma t . . . ' 
ida e volta , es a Jgualdade das velocidades de 
e apenas uma · - _ canven~ao e nao pode ser veri fica .... 
36 
da ou falsificada experimentalmente. Qualquer experienda 
que questione esta igualdade teria que usar algum criterio 
de simultaneidade independente do criteria de Einstein. 
Isto e de fato possivel. Podemos formular urn criteria de 
simultaneidade dentro de urn dado referencial inercial ba-
seado apenas no conceito de disHincia temporal: 
Simultaneidade geometrica: sejam a e b eventos que, 
num referencial I, acontecem nos pontos A e B respectiva-
mente. Seja M o ponto que divide o segmento de reta (A, 
B) ao meio. Chamaremos os eventos a e b simultaneos rela-
tivamente ao referencial I se existir urn evento m, anterior 
aos eventos a e b, que acontece em M tal que as distancias 
temporais 't(m,a) e 't(m,b) sejam iguais. • 
Neste criteria nao se usa luz ern rnomento algum. Em 
rela\=aO a simultaneidade geometrica podemos entao tes-
tar experimentalmente se a velocidade da luz depende 
do sentido de propagac;ao. Para testar se os eventos a e b 
sao simultaneos relativamente a I temos que mandar dois 
rel6gios atomicos do ponto M para os pontos A e B. Os 
rel6gios tern que partir de M no evento m e chegar com 
marcac;oes iguais nos pontos A e B, justamente no instante 
certo para presenciar os eventos a e b (vide definic;ao de 
distancia temporal). 
Podemos resumir o conteudo fisico do segundo postula-
do da seguinte forma: a) a velocidade media da luz c = 2/ /'t 
e igual em todos OS referenciais inerciais e b) 0 criteria de 
simultaneidade de Einstein seleciona os mesmos pares de 
evento que o criteria de simultaneidade geometrica. 
Tanto o criteria de Einstein como o criterio geometri-
co definem uma simultaneidade re1ativa a um referendal. 
* P · ' b mas m nao odemos usar tambem urn evento m postertor a a e , 
pode ser posterior a a e anterior a b ou vice versa. 
37 
Vejamos uxn exemplo: imagine um trem andando em alta 
velocidade. Imagine dais raios que caem no trem, urn na 
frente do trem e urn na extremidade traseira. Se os pulsos 
de Iuz que sao emitidos pelos raios seen con tram na meta de 
do intervalo (A,B) das posi\6es A e B dos raios marcados 
nos trilhos, urn observador no referencial dos trilhos deve 
julgar simultaneos os eventos criados pelos raios. Sejam A' 
e B' os pontos onde cairam os raios no referencial do trem. 
Obviamente o Iugar do even to do encontro dos dois pulsos 
de luz acontece no referencial do trem num pon to que nao 
divide o intervaloA', B' ao meio. En tao os eventos nao seriam 
julgados simultaneos no referencial do trem (veja a figura 
6). A situa<;ao seria outra se os dois raios tivessem caido nao 
urn na parte dianteira e urn na parte traseira, mas sim urn 
ao lado do outro, isto e, separados por urn vetor perpen-
dicular a velocidade. Neste caso ambos OS referenciais jul-
gariam a simultaneidade da mesma forma (veja a figura 7). 
A situa<;ao e igual com a simultaneidade geometrica. 
~ + ; 
A' M B'--4 7"'\~ ---.._.lq ) 6 a) 
A B 
6 b) 
M B 
Fig. 6 a) Trem (superveloz) e trilhos d . . . . 
te relativo ao refer · 1 d . com 
015 raios ca1ndo sm1ultaneatnen-
enCia os tnlhos 6b) E ponto M. · ncontro das frentes de onda no 
38 
,. 
' .. 
A j ~: t 7 a) 
B 
A 
~ 7 b) 
l 
B 
M' 7 c) 
Fig. 7 a) Trem e trilhos vistos de cima. Dois raios caem nos pontos A e B. 7 
b) Frentes de onda que se encontram entre A e B. 7 c) Frentes de onda que 
se encontram entre A' e B'. 
N as figuras 6 e 7 desenhamos pontos do referendal dos 
trilhos junto com pontos do referencial do trem. Mas an-
tes £alamos que a urn ponto de urn referencial nao corres-
ponde urn ponto num outro referencial. Isto e verdadeiro. 
Mas urn evento e pode relacionar pontos em referendais 
diferentes: no referendal I o evento e acontece num ponto 
Pe do espa~o de I e este evento acontece num ponto P~ do 
espac;o de urn outro referencial I'. Desta forma e relacio-
na urn ponto do espa~o de I com urn ponto no espa\O de 
1'. Se escolhermos uma cole~ao de eventos, por exemplo, 
como criteria de todos serem simultaneos no referendal I, 
podemos mapear o espa~o de urn referendal no espa~o 
de outro referencial. Desta forma podemos representa-los 
num desenho. A figura 6 mostra dois desenhos deste tipo. 
0 primeiro (fig. 6 a) usa a correspondencia, entre os espa· 
\OS dos referenciais, gerada por eventos sitnultaneos cotn . 
as quedas dos raios. 0 segundo (fig .. 6 b) usa eventos si· 
. 39 .. . 
" ( ferencial dos trilhos) com o evento do en-
n1ultaneos no re 
d 1 de luz Na linguagem comum falaremos contro os pu sos · . _ 
· 1 t . as figuras 6 a) e 6 b) mostram a sttuac;ao do 
stmp esmen e. 
trem e dos trilhos em dois "instantes" diferentes. As figu-
ras 7 a), 7 b) e 7 c) mostram tres instantes. 
Exercicios 
E 4.1. Simultaneidade de Einstein. a) Desenhe os eixos x, t 
de urn referencial I, representando a distancia espacial de 
1 em por 1 em no eixo x e o tempo bt = (29979245800)-1 s 
por 1 em no eixo t. b) Desenhe, no mesmo grafico, as li-
nhas de universo de tres pontos A', B' eM' de urn referen-
cial I' que se move com velocidade c/3 na direc;ao x, em 
rela<;ao ao referencial I. Suponha que o ponto M' divide o 
segmento de reta (A', B ') ao meio. Escolha urn even to a na 
linha de universo de A' e construa urn even to b na linha 
de universo deB', tal que b seja simultaneo com a relativa-
mente ao referencial I', segundo o criteria de Einstein. Use 
diretamente o criteria de Einstein, desenhando as linhas 
de universo dos pulsos de luz e nao use as formulas da 
transforrna<;ao de Lorentz. 
E 4.2. 0 criteria geometrico de simultaneidade e logicamen-
te independente do criteria de Einstein, mas ele acaba sele-
cionando os mesmos pares de eventos, pais as velocidades 
de ida e de volta da luz sao de fato iguais. Entao os eventos 
a e b construidos no exercicio E 4.1 sao tambem simultaneos 
relativamente a I', segundo o criteria geometrico. Entao e 
possivel encontrar urn evento m, na linha de universo de M', 
tal que -r(m,a) e 1:(1n,b). Escolha tal evento m. Tome cuidado 
de escolher m tal que realmente existam rel6gios que pas-
sam fazer a viagem m --) a e 1n --) b ! 
40 
5 . . 
COORDENADAS NO ESPA<;O-TEMPO 
Para formarmos coordenadas no espa~o-tempo pode-
mos usar quaisquer quatro fun~oes numericas definidas 
fisicamente que permitam distinguir os eventos. Mas cer-
tos sistemas
de coordenadas serao mais uteis que outros. 
Conhecemos esta situac;ao da geometria Euclidiana onde 
gostamos mais de trabalhar com urn sistema Cartesiano, o 
qual se adapta especialmente bern a geometria do espac;o 
Euclidiano. Da mesma forma tentaremos construir coorde-
nadas no espa<;o-tempo que se adaptem especialmente bern 
a geometria deste. Isto pode ser feito escolhendo urn refe-
rencial inercial I. Em I os eventos e acontecem em pontos Pe. 
Podemos escolher no espac;o de I coordenadas Cartesianas 
x, y, z e podemos atribuir a urn evento e as coordenadas xe, 
Ye' z do ponto Pe. Resta construir uma quarta coordena-
e -
da. A quarta coordenada sera uma coordenada temporal. 
Podemos fixar urn rel6gio atomico em algum ponto do re-
ferencial. A coordenada te do evento e sera a marca<;ao do 
rel6gio que e simultanea como evento e. Nesta constru~ao _ 
usamos a simultaneidade geometrica relativa ao referencial 
I. Isto conclui a construc;ao das coordenadas. 0 referenciall · 
determina as coordenadas. Apenas a escolha da origem de t; 
x, y, z e a orienta<;ao dos eixos x, y, z sao arbitrarias. 
41 
Para ver que estas coordenadas silo realmente espe· 
cialmente adequadas para a descri<;iio da geometria do 
espa<;o-tempo, calcularemos agora a distiincia temporal 
't(e
1
,e
2
) de dois eventos e1 e ez em termos das coordenadas 
. destes eventos. Uma segunda questiio que resolveremos 
simultaneamente e como se transform am as coordenadas 
t, x, y, z numa mudan<;a de referendal. A chave para estas 
duas tarefas e 0 principia da invariiincia da velocidade 
da luz. Convem formular este prindpio em termos das 
coordenadas. Para dois eventos e1 e e2 podemos definir a 
seguinte grandeza quadn1tica: 
Q(ePeJ= c2 (tt -tJ -(xt -xS -(Yt-YS- (z1- zS 
(15} 
e 'pa~a ~m outro referendal inercial I' com coordenadas t', 
x 1 Y 1 z analogamente 
Q' ( el' e
2
) = c2 (t; - t; Y - (x; - x; )2 _ (y; _ y; )2 _ (z: _ z; )2 
(16} 
Q (e1,e2) sera exatamente zero p 
d 
ara eventos e e e 
em ser ligados por urn sinallumi 1 2 que po· 
palavras Q(e e ) _ 
0 
s I noso. Ou, em outras 
' v 2 - e e so se urn 1 d 1 
evento e1 iluminaria J·ust pu so e uz emitido no 
amente o event ( . 
dependendo de qual d I o e2 ou VIce versa 
,.. . os eventos e 0 · . . 
an cia da velocidade d 1 . . . primeiro ). A Invari-
a uz s1gntfica q . I • 
ser forrnulado com Q' d ue este cnteno pode 
. a mesma form E -gumte eqiiivaH~ncia: a. ntao vale a se-
<=> Q'(e,,e2) = 0 (17) 
Isto e urn · . a pnmeua exi " . 
coordenadas. . gencia para a transforma<;i'io de 
42 
~ 
t. 
f 
t 
I' 
f 
I 
Jn1agine que o referencial I' move-se com uma velocidade 
u etn relac;ao a I. Podemos escolher a orientac;ao dos eixos tal 
que U aponte na dire<;ao do eixo X, isto e, U = U ~ e que OS ei-
XOS y, z e y', z' estejam paralelos em qualquer instante. Alem 
disso podemos escolher o mesmo evento de origem e para 
f . . 0 05 dais re erenaats; e0 ~ t0 =x0 = y0 = z0 = 0= t' 0 =x' 0 = y' o= z' 0. Para eventos e1 e e2 que acontecem em pontos P
1 
e p
2 
no plano 
y, z do referencial I nao faz diferenc;a se julgamos sua simul-
taneidade em I ou em I'; eles tern a configurac;ao dos dois 
raios que caem no trem urn ao lado do outro (fig.7). As extre-
midades de uma barra metrica em repouso no plano y, z de I 
atravessam o plano y', z' de I' simultaneamente em relac;ao a 
I e a I'. Com isso esta barra metrica pode ser usada tambem 
para medir distancias entre pontos no plano y', z' de I'. A 
medida das coordenadas Ye e ze de urn evento e com barras 
metricas no plano y, z em I deve entao resultar nos mesmos 
n{tmeros que a medida das coordenadas y'eez'e em I'. 
y = y' e z = z' e uma segunda condic;ao para a transforma-
c;ao de coordenadas. 
Deixaremos para depois a tarefa da transformac;ao de 
coordenadas e trataremos da tarefa de expressar a distancia 
temporal de dais eventos e1 e e2 em termos das coordenadas 
destes eventos. Para facilitar, podemos escolher a origem de 
coordenadas no evento e1 e a orientac;ao dos eixos tal que 
e2 acontec;a no eixo X, isto e Y2 = Zz = 0. As coordenadas dos 
eventos sao entao: 
0 12 
0 x2 
e, e2 ~ 0 0 
0 0 
43 . . 
Para medir a distfulcia temporal entre e1 e e2 precisamos 
de um rel6gio at6mico R que passe por e1 e e2• Suponhamos, 
sem restringir a generalidade, que t2 > 0. Entiio o rel6gio 
R estaria em x = y = z = 0 no instante t = 0 e viajaria com 
velocidade u = x
2 
I t
2 
para o ponto {x2, 0, 0) para presen-
ciar o evento e
2
• Para poder aproveitar o que aprendemos 
sabre transforma~oes de coordenadas numa mudan~a de 
referendal, introduzimos agora o referencial inercial de 
repouso do rel6gio R. Neste referendal, I', escolheremos 
a origem tambem no even to e1 e os eixos x', y', z' paralelas 
aos eixos x, y, z. Como R esta em repouso em I', ele indica 
os valores da coordenada t'. As coordenadas de e e e em 
I
I • - J 2 
senam entao: 
I 
0 t; =~ (e"e2 ) 
0 0 
et ~ 0 ' 
e2 ~ 
0 
0 0 
..... Agora podemos escolher urn terceiro evento e . I 
taneo co 1 - 3' Simu-
m e2 em re a~ao ao referencial I e com a 
coordenada x do evento e , mesma 
2 
0 
tal que urn 1 d pu so e luz emitid figu 8) , o em e ale ra . Isto e possivel d d 1 x ance e3 (compare a 
es e que u = -L < c 
12 • 
44 
t 
c I 
I 
- ~- - --) (x y) 
I <I 2, ,\ , 
I , 
X 
Fig. Sa Os cvcntos e1, e7 c e.l no esp .. 'l\0-t<'mpo junto com a linha d<· uni· 
verso do relbgio que mede a dist3ncia tC'mporal dee, e l!r A superllcie 
conica represcnta os cventos que seriam iluminados pur um pulso de luz 
emitido en\ e,. 
y y 
c I X X 
b c 
y 
X 
d 
' ' 
Fig. 8b-e) Quadros de utna filmagem dos acontedmentos da fig. Sa. Os 
. . t 0 rdbgio pot urn quad rado. eventos sao rcprcsentados por dascos pre os, · .. 
. d d luminosa enuttd'' no cvenbJ c,. As figuras c-e mostram uma frcnte con a ~ . 
4S 
·nct'pio da invariancia 
_ ) = 0. Com o pn , , 
Entao vale Q(e1,e3 ale tambem Q (e1,e3) = 0. d 1 sabemos que v 
da velocidade a uz,. t mbetn em relac;ao ao re-
, · Itaneo com e2 a 
o evento e3 e stmu . _ da figura 7). Entao vale 
, . , x - x (s1tuac;ao ferencial I , Ja que 3 - 2 _ 
t'J = t'2 = 'r(e1,e2). Temos en tao: 
e (18) 
Podemos combinar estas equac;oes e obtemos: 
(19) 
Mas aprendemos tam bern que y = y' e podemos concluir 
(20) 
En tao obtemos o resultado desejado: 
(21) 
Este resultado foi deduzido escolhendo e
1 
como origem 
das coordenadas e com o evento e2 acontecendo num ponto 
do eixo x. E facil adivinhar como seria o resultado com outra 
orientac;ao dos eixos x, y, z e com outra origem. No Iugar da 
equac;ao (21) teriamos · 
1: (el'eJ=! ~c2 (t1 -tS -(x1 -xS -(y1 - YS -(z1 -zS 
(22) 
Podemos escrever isto tambem com a grandeza quadr<itica Q: 
(23) 
46 
Este resultad~ e importante por duas razoes: 1) A dis-
tan cia temporal e a grandeza chave para a deternlinac;do da 
geometria do espac;o-te~po. Com a equa\'ao (22), ou (23), 
podemos calcular estes numeros importantes. 2) A distanda 
temporal e uma grandeza absoluta independente da esco-
Iha de um referencial. Mas as coordenadas que aparecem 
no lado direito da equa<;ao (22) dependem desta escolha. 
Podemos entao concluir que, numa mudanc;a de referencial, 
as coordenadas devem mudar de tal forma que o valor 
nao se altere. Chegamos entao a conclusao de que nao ape-
nas vale a eqiiivalencia (17), mas vale a condic;ao rnais forte 
(24) 
Com esta equa~ao podemos finalmente cornpletar a tare-
fa de determinar a transformac;ao de coordenadas que acom-
panha uma mudanc;a de referendal. Sejam I e I' referenciais e 
t, x, y, z e t', x', y', z' as coordenadas correspondentes. A linha 
de universo de qualquer particula livre, vista nos espac;os R4 
das coordenadas t,
X, y, z ou t', x', y', z', e uma reta. Entao a 
transformac;ao {t, x, y, z} ~ {t', x', y', z'} deve mapear retas 
em retas e concluimos que ela deve ser uma transfonnac;ao 
linear inomogenea: 
,.._, 
'""'"' 
.-J 
,....__ 
t' M" Mix M,y M,z t to ,....,._ 
,.._, 
M xy Mxz Xo x' Mxl Mxx X (25) + ,...._ ,.._, ,..._, 
""-' 
Myy M yz Yo y' My, Myx y 
,..__, 
'""'"' """"' 
,....__ 
Mzz Zo z' Mzl Mzx Mzy z 
47 
!her as origens coincidentes, de amenteesco 
Po demos nov . eneo desapare~a, e podemos 
e o termo 1nomog , , , . · 
tal forma qu. z aralelos aos eixos x, y, z eo eJxo 
escolher OS eiXOS X, y,'d pd I tiva u = u ex. Entao sabemos 
. ao da veloci a e re a 
x na dire~ ' - (25) toma a forma 
- y' e z = z e a equa~ao quey-
....__ ,......-,....,_ ,.....; 
Mty M,z t t' Mu M,x 
.....__ 
....__ 
,....... ,....,_. 
Mxy Mxz X I Mxt M.a (26) X 
y' 0 0 1 0 y 
z' 0 0 0 1 z 
0 resultado ficara bern mais simetrico, e mais facil de 
memorizar, se usarmos no Iugar da coordenada t a coorde-
nada Xo =ct. Correspondentemente, escreveremos as outr~s 
coordenadas na forma x1 = x, x2 = y e X3 = z. A transforma<;ao 
(26) toma entao a forma 
' Moo MOl Moz Mo3 Xo Xo 
' MID Ml, M,2 M,3 XI xl (27) -
x' 0 0 I 0 x2 2 
x' 3 0 . 0 0 I x3 
Umpontofixoeml'move-seemicornvelocidade u = u e_y. 
Conseqiientemente, a equa<;ao x' = 0 deve ser equivalente a 
equa<;ao x- ut = 0 ou xl - !!.xu= o. Concluirnos en tao que; 
c 
(28) 
onde Y e alguma constante e onde abreviarnos 13 = u I c. 
Como a simultaneidade de eventos no mesrno plano y, z e 
julgada da rnesma forma nos dois referencias, conclufn1os · 
que M 02 = M 03 = 0. Tam bern a transforma<;ao da coordenada 
x niio deve depender das coordenadas y e z. Por tanto espe-
ramos ter M 12 = M 13 = 0. 
48 . . \ 
x' ~ 0 Af ()() AfOI 0 0 Xo 
, 
x, -py y 0 0 x, 
, 
0 0 l (29) X ., 0 X., 
x' 3 0 0 0 1 x3 
Resta detern1inar as tres incognitas Y, M
00 
e M
01
• Esta 
tarefa pode ser resolvida usando que a equa<;ao (24) deve 
valer para qualquer par de eventos. Escoihendo e1 como ori-
gen1 e e2 coin coordenadas (xOt x 11 0, 0) obtemos da equa<;ao 
(24) a condi<;ao x/- x/ = (M00 x0 + M01 x1 ) 2- (- ~y x0 + y x1)2. 
ConlO as variaveis Xo e X 1 sao independentes ( 0 even to e2 e 
arbitrario) podemos comparar os coeficientes dos termos 
proporcionas a X 02, X/ e X0 X 1 separadarnente e obtemos tres 
equa~oes para as tres incognitas. Nao desenvolveremos a 
algebra desta tarefa aqui e daremos apenas o resultado. Na 
lista de exercicios ten1os a tarefa de verificar o resuitado; 
x' 0 y -~y 0 0 Xo 
x' -~y 'Y 0 0 x, I (30) 
, 0 0 I 0 x2 x2 
, 
XJ 0 0 0 I x3 
1 
e ~ = u. 
c 
Em terrnos das coordenadas t, x, y, z, e sem abrevia<;oes, esta 
transforma<;ao tern a forma: 
ux 
I----;; 
c"" t' = --=====-1-(: )2 (31) . 
49 
x-ut 
(32) 
y'=y e z'=z 
(33) 
Esta e a famosa transforma\iio de Lorentz, que substitui 
en tao a transformac;ao de Galileu. Como esta transformac;ao 
refere-se ao caso especial de uma velocidade relativa na di-
rec;ao X e a eiXOS parale}OS, a transforma~aO e tambem cha-
mada transfonnar;iio de Lorentz especial. Podemos obter o caso 
geral combinando uma transformac;ao de Lorentz especial 
com uma rotac;ao dos eixos, mas nao trataremos deste caso 
aqui. Lorentz encontrou esta transformac;ao antes do traba-
lho de Einstein, mas nao conseguiu interpreta-la fisicamen-
te. 0 matematico e fisico Poincare tambem inventou estas 
transformac;oes independentemente. As coordenadas t x , , 
y, z ligadas a urn referencial inercial, que deixam a distancia 
temporal na forma simples 
sao tambem chamadas coordenadas de Lorentz. 
~as equac;6es (31) e (32) podemos notar que a transfor-
mac;ao de Lorentz perde seu sentido se > 
a velocidade relativa entre do is r f u .-.c. ~sto sugere que 
pode ultrapassar a velocidad de Ierenciais tnerciais nunca 
. e a uz Ma·s t d 
mais argumentos supo t d . ·, I ar e veremos 
r an o esta hlpotese. 
Da equac;ao (31) podemos ver . . 
multaneidade de eve t - , . exphcitamente que a si-
. . n os nao e JU] d . ferenctats. Como a . 1 . ga a 1gual nos dois re-. Simu tanetdade 
compnmentos espaciais t entra nas llledidas de 
' emos tan1be I. -so m ava Ia<;oes diferen-
tes de distancias nos dais referenciais. Imagine uma barra B 
em repouso no referendal I' com suas extremidades A e B 
no eixo ~'. Em I' o comprimento desta barra sera simples- , _ 
mente a diferenc;a das coordenadas x' das extremidades 
(34) 
Se quisessemos medir o comprimento da barra no refe-
rencial I, teriamos que encostar uma barra metrica simulta-
neamente nas extremidades de B. Os eventos do toque das 
extremidades das barras teriam que ter entao o mesmo va-
lor da coordenada t. Com a equac;ao (32) podemos concluir 
que o comprimento observado em I seria entao 
Entao a barra apareceria menor. Este efeito e chamado 
de contra~ao de Lorentz. Qual e entao o "verdadeiro" com-
primento da barra? Is to e uma questao de defini~ao. Parece 
razoavel definir o comprimento de uma barra tal que esta 
grandeza nao dependa da escolha de referendal. Podemos 
definir o comprimento "'verdadeiro", ou pr6prio, de uma 
barra como aquele medido no referencial de repouso da 
barra. Isto e: se estivermos num referencial I no qual a barra 
esta se movendo com certa velocidade, a prescri~ao de me-
dida e: telefona-se para urn colega que vive no referendal de 
repouso da barra e pede-se para ele medir o comprirnento. 
Desta forma chegaremos sempre ao mesmo valor, qualquer 
que seja o referencial I. 
I • • I •rl te n M.,. G M # G' ~ C'·l) e equtv~.l t.. . . , 
E .. ' ~ fo~tre que a equ .. 1\ao -- ~.- ic coordcnadas c C c ;:,...... . - . d transtornH\\ .. 10 < 
onde A-f e a nlatnz a 
a tnatriz 
1 0 0 0 
0 -1 0 0 
G=- 0 0 -I 0 
0 0 0 -I 
. - de Lorentz ( equa\ao 30) E 5.3. ~Iostre que a transtorma~ao 
realmente cum pre a condi~ao (24). 
- I ~ - de Lorentz) nao e a E 54 A.. equarao (30) (transtorma~ao 
· · ~ y M M tal que a tinica solu\ao do problema de achar ' oo e Ol 
equa<;ao (24) seja satisfeita. Nlostre que 
, 
Xo -y +~Y 0 0 Xo 
, -~y y 0 0 XI xl 
-
-
0 1 0 ,, 0 x2 x2 
, 
xJ 0 0 0 1 XJ 
1 ~=u com y- e 
- Jt- ~ 2 c 
tambem satisfaz a condi~ao (24). De urn argumento por que 
as coordenadas x" pod em ser excluidas de considera~ao. 
E 5.5. Calcule a inversa de uma transformac;ao de Lorentz. 
E 5.6. I, 1', I" sao referenciais inerciais. I' move-se com velo-
cidade u1, ao Iongo do eixo x, em rela~ao a I. I" move-se com 
velocidade u2, ao Iongo do eixo x', em rela~ao a 1'. Escreva a 
transforma~ao de Lorentz que relacione as coordenadas t", 
x", y", z" com t, x, y, z. (Todos os eixos sao paralelos). 
52 
E 5. 7. Determine a transforma\ao de Lorentz para o caso em 
que ]' se move na direc;ao z e nao na dire\ao x. 
E 5.8. Determine a transforma\aO de Lorentz para o caso em 
que [' se move numa dire\ao no plano xz que faz um angulo 
e com o eixo z tal que a velocidade de I' em relac;ao a I e 
u == ezu cos8 + exu sen 8. Dica: aplique primeiramente uma 
rotac;ao que gira o vetor u na direc;ao do eixo z, em seguida 
aplique a transformac;ao de Lorentz do exercicio E 5.7 e fi-
nalmente a rotac;ao inversa. 
r· 
f: 6 . 
TRANSFORMAc;Ao DE VELOCIDADES 
A invariancia da velocidade da luz e obviamente incom-
pativel com a lei nao relativistica da transforma\ao de 
velocidades; v' = v - u. Veremos agora como velocidades 
mudam numa troca de referencial inercial. Usaremos a 
transforma\ao de Lorentz especial (equa\6es (31, 32, 33)). 
Considere uma lei horaria no referendal I : 
t H {x (t ), y (t ), z (t)} {36) 
No referencial I' este mesmo movimento e descrito pel a 
lei horaria 
t' H {x' (t'), y' (t'), z' (t')} (37) 
onde t', x', y', z' sao relacionados com t, x, y, z pelas 
equac;oes (31,
32, 33). As componentes da velocidade em 
I' sao entao: 
dx' dx' dt ( _ )!!!_ (38) 
v' =-=--='Y vx u d' 
X . dt' dt dt' . ( 
55 
... ... . 
. · ~ .· . 
e 
. I d I dt dt 
dy _ L- == vy d-; 
' --- d' t Vy- dt' dt / 
(39} 
dz' dz' dt _ !!!__ 
, ---- vz d' 
v z == dt' - dt dt' t 
(40) 
de calcular esta derivada, Falta calcular dt I dt'. Em vez 
calculamos o inverso dt' I dt: 
(41) dt' . ( - uv:c J 
-=Y 1 2 dt c 
. d dt I dt' = 1 I (dt' I dt) nas equa~oes (38-40) ob-Insenn o 
temos en tao; 
v -u v' =~x __ 
X UVr 
' ~1 (%) 
v = v -=---------
y y uv 
1---f-
c .. 
1--.. ; 
c~ 
' ~1 (%) 
v~ =v_~---
.. .. liV 
1--x 
') 
c"" 
(42) 
(43) 
Urn aspecto notavel destas transformac;6es e que as 
componentes v'y e v'z dependem tambem de vx. Isto e 
bern diferente do caso nao-relativistico. Pode-se rnostrar 
que uma velocidade v cujo modulo em I e menor que c, 
tera modulo menor que c em qualquer referencial inercial. 
Vejamos apenas dois exemplos: 
1) Vamos supor que ii = 0,5 c ex e u = -0,5 c. Niio-relativis-
ticamente teriamos ii = c (!,. Mas as equa,.Oes (42) e (43) 
mostram que: 
56 
I 
f 
0, Sc - ( -0, Sc) c 4 
,_ = -
vx - 0,5c(-0,5c) 1 + II- 5c < c 
1- /4 
e v' == v' == 0 )I z 
cz 
2) Vamos supor que v = c ~ e -c < u <c. Temos com ( 42) e ( 43) 
c(l- u) 
, c-u c 
, , 0 
vx = = = c e v = v = I _ cu 1 _ u/ Y z , 
2 /c 
c 
0 que e urn exemplo da invariancia da velocidade da luz. 
Exercicios 
E 6.1. 0 referencial inercial I' move-se em relac;ao ao refe-
rencial I com velocidade 0,7 c na direc;ao x eo referencial 
I" move-se com velocidade 0,8 c, em relac;ao a I, na direc;ao 
-x. Calcule a velocidade de I' em relac;ao a I". 
E 6.2. Urn pulso de luz propaga-se ao Iongo do eixo y do 
referencial I. Urn referencial I' move-se em relac;ao a I com 
velocidade u na direc;ao x. Calcule as componentes da velo-
cidade do pulso de luz e o seu modulo no referendal I'. 
E 6.3. Expresse as componentes da velocidade de uma par-
ticula em relac;ao ao referencial I em termos das compo-
nentes da velocidade em relac;ao ao referencial I' que se 
move em relac;ao a I com velocidade u na dire~ao x. 
E 6.4. Use a in versa a da equac;ao ( 42), que foi obtida no 
exercicio E 6.3, para explicar por que as experiencias de -
medir o fator de arrasto a deram o resultado a = 1 - n-2-· 
Use que os meios tern velocidades baixas comparadas cotn 
a velocidade da Iuz. 
57 .. 
- I 
I 
- I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
- I 
I 
I 
I 
I 
7 
A GEOMETRIA DO ESPA<;O-TEMPO E 
A DEFINI<;Ao DO METRO 
Veretnos, nesta sec;ao, que a geometria do espac;o-ternpo 
pode ser determinada inteiramente pelas distancias teinpo-
rais de eventos. No entanto podemos ver pela eguac;ao (22) 
't (e,,e2 )=! ~c2 (t, -tzf -(x,-xzY -(y1 - yzY -(z,-z2 Y 
que a distancia temporal de eventos nao e sempre bern de-
finida. Se os dois eventos e1 e e2 estiverem localizados no 
espa<;o-tem po tal que 
Q(e~'e2 )=c2 (t, -t2 f -(x, -x2 Y -(y,- y 2f -(z, -z2 Y <0 
(44) 
a expressao da dis tan cia temporal nao fornece urn ntt mero 
real. Mas uma distancia temporal, sendo urn modulo de 
urna diferenc;a de numeros de oscilac;oes, tern que ser real. 
0 fato que a distancia temporal, neste caso, nao e benl defi-
nida, tern uma interpretac;ao fisica obvia: se os eventos e1 e 
e2 satisfazem a condi<_;ao (44), nao encontraren1os ncnhun1 
rel6gio que presencie 05 do is eventos. Po is este re16gio teria 
que viajar com velocidade maior que a velocidade da luz c 
pela discussao das transformac;oes de Lorentz h~n1os irh~i- . · .. 
cios de que nao existe corpo material nlgum que sc dcslo• 
. . . . 
· . · , 
_r;Q 
. e Neste aspccto a dist,uH.'ia h:nlporal 
que com tal velocidad . t . 1:\ C<>nnun ~r.o d ifen.-n tps: 
" . da geonle nn . 
e a distancia comum --t r tnnn bnrrn tnetrica entr" 
. , . oden1os encos a " 
en1 pnnclpto p .. d .. '"'<> ciesdc t}tlP n~o h~tja lllll 
. d . pontos o espa\ ' . qum~quer o~:minho No espa(o-tempo" pn'lprio g••onw-
obstaculo no · i 'VPntos l)liC 
. b "'ta' C\tlo entre certos pares c (' ~ - . tna bota um o s · 
II .. t mos" urn relCH'io nos eventos. impede, que encos e o 
E(c 1} 
y 
X 
Figura 9 
Vejamos quais os pares de eventos para os quais a dis-
tancia temporal e bern definida e aqueles para qu<liS nao 
tern sentido falar em distancia temporal. Para visualiznr 
estes conjuntos, podernos fixar o evento e1 e variar o e2• 
0 conjunto de eventos e que tern a distancia tetnporal ao 
el bern definida e caraterizado pela condic;ao Q(el, e2) > 0. 
Os eventos que nao tern distancia tempornl bern dcfinidn ao 
e1 satisfazem Q(e1, e2) < 0. Ha ainda un1 caso intermediario, 
Q(e1, e2) = 0, para o qual a expressao tnaten1atica para 't resul-
ta no numero real zero, mas tan1bern nao encontrariarnos utn 
rel6gio que viaje de e1 para e. Podemos ver estes conjuntos 
nas figuras 9 e 10. 0 con junto L(e1) = {e I Q(e.1, c)= 0} e chama-
do de cone de luz do evento e1, e este cone duplo scpara os 
conjuntos T(e1) = {e I Q(e1, e)> 0} e E(e1) = {e I Q(e1, e)< 0}. 
60 
~ .. 
,.).'. 
T(e1) 
y 
Figura 10 
Para qualquer even to e E T ( e1 ) podemos en tao encon-
trar um rel6gio que presencia os eventos e1 e e. No referen-
cial de repouso deste rel6gio os dois eventos e1 e e aconte-
cem no mesmo ponto do espa<;o. Por isso podemos dizer: 
os eventos de T( e1) sao temporal mente separados de e1. Logo 
em seguida veremos que para qualquer even to e E E ( e1) 
podemos encontrar um referencial inercial no qual e1 e e 
sao simultaneos. Entao diz-se que OS eventos de E(el) sao 
espacialmente separados de e1. 
Como a expressao matematica da distancia temporal re-
sulta num valor real quando Q(e1, ez) = 0, e razoavel juntar 
os conjuntos TeL; T(e
1 
)= T(e1 )u L(e1 ) = ~~Q(e,,e) > 0 }. 
Este con junto T ( e
1
) e urn cone duplo cheio (com interior). 
Como podemos ver pel a figura 11, T ( e1 ) decai natural-
mente em dois cones simples, F(e1) e P(eJ), d~ tal forma 
que T (e
1 
)= F(e
1 
)u P(e
1
) e que {e1 }= F(et )nP (eJ ). 
6.1 
. I 
· I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
.. .: I 
. : I 
. ·' .. ·' I 
. ' 
·, I 
Fig. 11 Futuro e passado de urn evento. 
, 
Qualquer linha de universo que passa pelo _:vento e1 e 
dividida em duas partes pelos cones F (e,) _e P (e, ), uma 
parte que fica em P (e,) e urn a que fica em F ( e, ) , tendo o 
evento e1 como unico elemento em comum. Esta situac;ao justifica chamar urn destes cones o passado de e1 e o ou tro o 
futuro de e1. Para eventos e espacialmente separados de e1, 
obviamente nao tern sentido compararmos e e e1 no senti-
do de omais tarde" ou "mais cedo", pois sempre podemos 
encontrar urn referencial no qual eles seriam simultaneos. 
Temos entao uma estrutura que os matematicos chamam 
de "ordem parcial" ou "semi-ordem". 
Veja urn exemplo simples de ordem parcial. Para 
func;oes reais podemos definir: a func;ao f e maior que a 
func;ao g se para todo x o valor j(x) for sempre maior ou 
igual ao valor g(x). Isto e f J1g ~ (j(x) > g(x) para todo x). 
~or exemplo, para j(x) = exp{x} e g(x) = sen{x}·exp{x} vale 
f/'g, mas as func;oes sene cos seriam incompaniveis. 
P.odemos dizer: na relatividade restrita 0 te1npo no seu 
sentido de ordenamento e uma ordem parcial dos eventos. 
Para :ven~os temporalmente separados poden1os decidir 
qual e rnals cedo e qual e mais tarde Est . d. t' ... I b 
_ . a 1s tn~ao e a -
62 
• 
' . 
sol uta e independente da escolha d f . · . 
. - e urn re erenctal Nc , t . 
senttdo temos un1a no<;ao absoluta d t · s c e en1po. 
Fait a mostrar que, para eventos .. 1 espactn rnente
separa· 
dos, sempre podemos encontrar algu f . 
. . ,.. ' In re erenCial no yual 
eles senam stmultaneos. Aqui nao da 
- . , . remos uma dcmons-
tra\ao. Ao tnves dtsso, discutiremos 1 , . . . urn exemp o como 
exerctcto que detxa a sttuac;ao intuitivamente bern clara. 
Figura 12 
Exercicio: desenhe na figura (12) os eixos ct' e x' para a 
transformac;ao de Lorentz da equa\ao (30) com ~ = 113. 
Solu~ao: 0 eixo ct' e determinado pela condi~ao x ' = 0 
(e y' = z' = 0 tambem, mas vamos omitir y e z para simplifi· 
car). Com x' =- ~y ( ct) + y x a condic;ao x' = 0 e equivalente a 
X I (ct) = ~ = 1/3. lsto permite desenhar 0 eixo ct'. 0 eixo x' e 
determinado pela condic;ao ct' = 0. Com (ct') = Y (ct)- ~ Yx a 
condic;ao ct' = 0 e equivalente a ( ct) I X= ~ = 113. Is to permite 
desenhar o eixo x'. A figura (13) mostra o resultado . 
63 
X 
Figura 13 
, 
Tambem mostramos na figura (13) urn evento e que e 
espacialmente separado do evento e0 da origem. Como 
podemos ver, a coordenada temporal dee no r_eferenci_al I 
seria positiva enquanto no referencial I' ela sena negahva, 
mostrando que uma compara~ao no sentido "mais tarde" 
nao e possivel de forma absoluta para eventos espacial-
mente separados. 
Nosso exercfcio deixa bern claro que podemos passar o 
eixo x' atraves de qualquer evento espacialmente separado 
do even to da origem, se escolhermos ~ no intervale ( -1, + 1) 
apropriadamente. 
Podemos aprender ainda mais com o nosso exercicio. 
Determinamos os novos eixos de coordenadas, mas nao 
botamos ainda as unidades nestes eixos. Determinaremos 
agora onde ficariam as marcas de lm nos eixos x' e ct'. 0 
evento ez que fica no espa<;o-tempo localizado na marca de 
lm do eixo ct' tern as coordenadas (no referendal/') . 
.. . 64 
ct' ==lin 
0 
0 
0 
Para a grandeza quadnitica Q' entre o even to e1 e 0 even-
to de origem e0 vale entao Q'(e0,e1) =1m2• Mas sabemos que 
0 valor desta grandeza e 0 mesmo, se calculado nas coor-
denadas do referencial I. Sabernos entao que o evento e 1' 
que marca lm no eixo ct', cumpre a equac;ao 
(45) 
Esta equac;ao descreve dois hiperbol6ides de rotac;ao, 
urn que fica dentro do cone do futuro de e0 e o outro dentro 
do passado de e0. A marca de 1m fica onde o eixo ct' atra-
vessa o hiperbol6ide do futuro. 
0 evento e2, que fica no espac;o-tempo localizado na mar-
ca de lm do eixo x', tern as coordenadas (no referencial I') 
I 
0 
x'= Im 
e2 0 
0 
Sabemos en tao que Q(e e2) =-1m2 e, conseqi.ientemente, ~ -
o evento e
2 
que marca lm no eixo x' cum pre a equac;ao: 
(46) 
h. b 1 'ide de rotac;ao. A Est a equac;ao descreve urn 1 per 0 0 , . 
. , sa este hiperbolot-
marca de lm fica onde o etxo x atraves . . 
d d E ta figura substJtut e. A figura 14 mostra o resulta o. 5 . 
entao a figura 5 da fisica nao relativistica. . · 
65 
Figura 14 
Desta constru<;ao podemos aprender como interpre-
tar Q(e
0
, e) para eventos e0 , e espacialmente separados. 
A distancia temporal 't (e0 ,e) = .!~Q(e0 ,e) nao tern senti do 
c 
neste caso, mas podemos chamar 
s ( e0 , e) = ~ -Q ( e0 , e) (47) 
de separa9iio espacial dos eventos e0 e e. s( e0 , e) seria a dis-
tancia medida entre os pontos Pe
0 
e Pe onde acontecem os 
eventos e0 e e, no referencial em que estes eventos seriam 
julgados simultaneos. 
(48) 
para e0 e e simultaneos no referencial que define p e p 
eo e 
Aparenternente podernos descrever toda t . 
. a geome na 
do espa<;o-ternpo a parhr da grandeza Q. 0 1 Q( ) , h d . va or c1, e2 e c arna o zntervalo entre os eventos e V _ 
1 e e2• amos entao 
investigar nlais as propriedades desta grandeza. Como 
podemos notar 
Q(e,,e2)= c2 (t, -tS -(x, -xS -(y,- YS -(z, -zS 
depende apenas das diferen~as das coordenadas dos even-
tos. Consequentetnente, do is pares de eventos (e, f) e (g, h), 
que descrevem o mesmo 4-vetor, tem o mesmo valor de Q. 
Notamos que a defini<;ao de 4-vetor que demos na parte 
nao-relativistica pode ser mantida sem altera~oes, ja que 
as transforma~oes de Lorentz tambem preservam retas. 
Lembremos da defini~ao: 
Urn 4-vetor e definido por urn par de eventos (e, j), sen-
do que dois pares (e, f) e (g, h) definem o rnesmo 4-vetor se 
e s6 seas diferen~as das coordenadas dos eventos definidas 
por Uffi referencia} inercial sao iguais para OS dois pares. 
~ ~ 
Temosentao (e,J)= (g,h) => Q(e,J)= Q(g,h) 
Desta forma podemos definir Q para urn 4-vetor: 
4 
Q(e,j") = Q(e,f) (49) 
Este tipo de fun<;ao quadratica de urn vetor chama-se 
forma quadratica. Conhecemos uma forma quadratica da 
geometria comum. 0 quadrado do modulo de urn vetor 
e urn exemplo. 0 quadrado do modulo e intimamente re-
lacionado com o produto escalar de vetores; para vetores 
(comuns) temos 
(50) . 
I d . pressar o produto escalar nversamente, po emos ex . 
d . d drados de m6dulos. e dots vetores em termos e qua 
I · · 0 produto escalar rnagtne que voce tern que determinar 1 · 
d d · .... b... t m apenas uma regua 
e 01s vetores (comuns) a e ' e ~ 
. . . - · . . 67 
d . d. ta"ncias Voce pode resolver sua tarefa da para me 1r IS · ~ .... .... ....... 
seguinte forma: notamos que (ii + b)2 - (a- ~f _ 4 a ·.b · 
Desta forma voce pode determinar o produto a · b medJn-
do comprimentos: 
- 1 { -2 -2} a·b= 4 a+b -a-b (51) 
Esta forma de relacionar produto escalar como quadra-
do de urn modulo funciona tambem com outros tipos de 
m6dulos generalizados llall, desde que este modulo satis-
fa~a a identidade de paralelograma ( conhecida na geome-
tria comum): 
(52) 
Com a eq(lS) verificamos imediatamente que Q satisfaz 
este tipo de identidade tambem: 
Q(ii +b)+ Q(ii -b)= 2Q(ii)+ 2Q(b) (53) 
Entao podemos definir urn produto escalar para 4-vetores: 
(54) 
Como Q e independente da escolha d . 
produto escalar e tambe' b I o referencial, este 
m a so u to Se es 
componentes dos 4-vetores a e b..... f . crevermos OS 
na orma 
ctf- cte ao 
~ 
(e,f)== x1 -x al 1: -+ 
Yt- Ye - e (g,h) == a2 
z -z a] I C! I I 
ct, - ct ho K 
x, -x h, K 
yh- YK - h2 
z, -z h~ )( I 
·' I 
68 (55) 
0 prod u to esc alar e 
-ii · h ~ D0h0 - a1 h, -a b -a b 2 2 3 3 (56) 
0 importante e que a avaliac;ao desta grandeza levan~ 
sempre ao mesrno valor, em qualquer referencial inercial. 
Com o produto escalar temos tambem a noc;ao de orto-
gonalidade no espac;o-tempo. Note que a ortogonalidade 
no espac;o-tempo e bern diferente da ortogonalidade does-
pac;o Euclidiano do papel que usamos para desenhar o es-
pac;o-tempo. Par exemplo, o eixo x' das figuras (13) e (14) e 
ortogonal ao eixo t'. Nao e facil ignorar a geometria natural 
da folha de papel e substitui-la mentalmente pela geome-
tria do espac;o-tempo. Note tambem que, na geometria do 
espac;o-tempo, o eixo t' esta tao simetrico dentro do cone de 
luz quanta o eixo t. Existem ate vetores diferentes do vetor 
zero que sao ortogonais a si mesmos! A figura 15 permite 
visualizar urn pouco da geometria do espac;o tempo. 
. . . - . . , . Q No espa~o comum podemos 
F1g. 15 Vtsuahza~ao da forma quadrahca · d os vetores que cum-
Vi 1· , d 1 d senhando to os 
sua IZar o quadrado do mo u o e f A forma quadratica 
2 2 It numa es era. prem a equa~ao Ia I. = 1m . Isto resu a mprem as equa~6es 
Q pode ser visualizada desenhando os vetores que ~dcio imaginar estas 
Q(a)::: lmz, Q(a)= -1mz e Q(o)== 0. Fi~a co~o exe . . . . 
superficies num espa~o-tempo de tres dunensoes. 69 
. . 
. . 
. dernos (por exemplo na edi-
E l' vros texto mats mo b 
m I . k de 1996) encontramos na ta e-~ao do Halliday Restnic. s o valor da velocidade da luz 
la de constantes na ural , . 
I . to com o comentano que este va-c = 299792458 m s, JUn · 1 · 'fi ,., . de um erro experimenta s1gn1 ca lor e exato. A ausencta 
que se trata simplesmente de uma definic;iio de metro.