curso 11188 aula 14 v2

Prévia do material em texto

Aula 14
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 
AULA 14: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 08 
3. Questões apresentadas na aula 38 
4. Gabarito 51 
 
 
Olá! 
Nesta décima quarta aula aprenderemos os tópicos relacionados ao 
ciclo trigonométrico e às funções trigonométricas. Tenha uma excelente 
aula. Permaneço à disposição e deixo abaixo meus contatos: 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde 
transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo: 
www.periscope.tv/arthurrrl, ou simplesmente busque @ARTHURRRL no 
aplicativo. 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 
1. TEORIA 
1.1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
O círculo trigonométrico é uma ferramenta didática utilizada para 
estender os conceitos vistos na aula de geometria plana para todos os 
ângulos (e não apenas entre 0 e 90º, como temos em um triângulo 
retângulo). Veja abaixo um desenho deste círculo: 
 
 Como você pode ver, trata-se de um círculo de raio unitário (r = 1). 
O ângulo a, formado entre o eixo horizontal e o segmento de reta em 
preto, no sentido anti-horário, tem o seu cosseno marcado no eixo 
horizontal e o seu seno marcado no eixo vertical. Podemos ainda incluir 
um terceiro eixo neste desenho, para representar o valor da tangente do 
ângulo a. Veja: 
 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 Repare que o cos(a) encontra-se entre a origem dos eixos (0) e 1. 
Isto é, este cosseno tem valor positivo, entre 0 e 1. O mesmo ocorre com 
sen(a). Entretanto, observe o que ocorreria se estivéssemos trabalhando 
com o ângulo a = 135º: 
 
 
 Neste caso, o seno continua tendo sinal positivo, porém o cosseno 
toca na parte negativa (entre 0 e ±1) do eixo horizontal, tendo por isso 
valor negativo. Repare ainda que o ângulo a = 225º teria seno e cosseno 
negativos: 
 
 E o ângulo a = 315º teria seno negativo e cosseno positivo: 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 
 Assim, dependendo do quadrante em que se encontrar o ângulo, o 
seno e cosseno podem ter sinal positivo ou negativo. A tabela abaixo 
resume estes casos: 
 
Quadrante do 
ângulo 
Seno Cosseno Tangente 
Primeiro 
(de 0 a 90º) 
+ + - 
Segundo 
(90º a 180º) 
+ - - 
Terceiro 
(180º a 270º) 
- - + 
Quarto 
(270º a 360º) 
- + - 
 
 Muitos exercícios fornecerão os senos, cossenos e/ou tangentes de 
dois ângulos a e b, e solicitarão o seno, cosseno ou tangente da soma ou 
subtração destes ângulos. Para isto, você precisa conhecer as fórmulas a 
seguir (que também não iremos demonstrar): 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) 
sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a) 
 
cos (a + b) = cos(a)cos(b) ± sen(a)sen(b) 
cos (a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) 
 
tan( ) tan( )
tan( )
1 tan( ).tan( )
a b
a b
a b
�� � 
tan( ) tan( )
tan( )
1 tan( ).tan( )
a b
a b
a b
�� � 
 
 Sabendo as fórmulas acima, você não precisa decorar as fórmulas 
para obter o seno do dobro do ângulo a, isto é, sen(2a), o cosseno do 
dobro do ângulo a, cos(2a), ou da tangente tan(2a).Veja como obtê-los 
rapidamente: 
 
sen(2a) = sen(a + a) = sen(a)cos(a) + sen(a)cos(a) 
Portanto, 
sen(2a) = 2 sen(a)cos(a) 
 
cos(2a) = cos (a + a) = cos(a)cos(a) ± sen(a)sen(a) 
Portanto, 
cos(2a) = cos2(a) ± sen2(a) 
 
tan( ) tan( )
tan(2 ) tan( )
1 tan( ).tan( )
a a
a a a
a a
� � � 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
Portanto, 
2
2 tan( )
tan(2 )
1 tan ( )
a
a
a
 � 
 
 Outras questões apresentam seno, cosseno e/ou tangente de um 
ângulo a e solicitam os valores dessas medidas para a sua metade, isto é, 
o ângulo a/2. Para isso, você precisa conhecer as seguintes fórmulas: 
1 cos
2 2
a A
sen
�§ · r¨ ¸© ¹ 
1 cos
cos
2 2
a A�§ · r¨ ¸© ¹ 
1 cos
tan
2 1 cos
a A
A
�§ · r¨ ¸ �© ¹ 
 
 Repare que o sinal de sen(a/2), cos(a/2) e tan(a/2) vai depender do 
quadrante onde o ângulo a/2 se encontrar. Ex.: se a/2 = 45º, ele se 
encontra no primeiro quadrante, logo sen(a/2), cos(a/2) e tan(a/2) 
devem ser positivos. Já se a/2 = 105º, o seno deve ter sinal positivo mas 
o cosseno e a tangente devem ter sinal negativo; afinal este ângulo se 
encontra no segundo quadrante. 
Finalizando, uma função trigonométrica é uma função na qual 
alguma das razões trigonométricas aparece. Exemplificando, a função f(x) 
= 2.sen(x) ± 3.cos(x) é uma função trigonométrica. 
 Note que, para x = 45º (ou seja, x = 4
S rad), temos: 
f( 4
S ) = 2.sen( 4S ) ± 3.cos( 4S ) 
f( 4
S ) = 2. 2 2 - 3. 2 2 = - 2 2 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 Vale a pena relembrar também os valores de seno, cosseno e 
tangente dos principais ângulos: 0º, 30º, 45º, 60º e 90º. Veja-os na 
tabela abaixo: 
Ângulo Seno Cosseno Tangente 
0º 0 1 0 
30º 1
2 3 2 
3
3 
45º 2
2 
2
2 
1 
60º 3
2 
1
2 3 
90º 1 0 infinito 
 
 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 Trabalharemos agora alguns exercícios do ENEM e questões de 
vestibulares. Esse é um assunto pouco cobrado no Exame mas é 
importante conhecê-lo. Lembre-se: é muito importante que você execute 
os cálculos à mão, pois é assim que você deverá fazer na hora da prova. 
Além disso, é com a prática que vamos ficar cada vez melhores. 
 
 
1. ENEM ± 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos 
bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem 
épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora 
é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais 
baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. 
A partir de uma série história, observou-se que o preço P, em reais, do 
quilograma de um certo produto sazonal podeser descrito pela função 
, onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 
associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim 
sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro. 
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é 
(A) janeiro. 
(B) abril. 
(C) junho. 
(D) julho. 
(E) outubro. 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
RESOLUÇÃO: 
 O enunciado nos disse que a produção é abundante, com preços 
mais baixos, no mês de produção máxima da safra. O preço do produto é 
dado pela função . Logo, precisamos achar o valor 
de x para o qual ela assume valor mínimo. Veja abaixo a Figura do Ciclo 
Trigonométrico: 
 
 
 
 O cosseno aparece no eixo x. Seu valor mínimo ocorre quando o 
ângulo a é 180º, ou 540º, ou 900º e assim por diante. Desta forma, o 
valor máximo da função ocorrerá quando o cosseno 
for igual a -1, o que ocorre quando o ângulo é Ⱥ (em radianos): 
Ⱥ x ± Ⱥ = 6Ⱥ 
Ⱥ (x ± 1) = 6Ⱥ 
x = 7 
 x = 7 corresponde ao mês de julho. 
Resposta: D 
 
2. ENEM - 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter 
atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. 
Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse 
satélite, o valor de r em função de t seja dado por 
� � � �
5865
1 0,15 0,06
r t
cos t
 � ˜ 
8P� FLHQWLVWD�PRQLWRUD� R�PRYLPHQWR� GHVVH� VDWpOLWH� para controlar o seu 
afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos 
valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista 
deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de 
A) 12765 km. 
B) 12000 km. 
C) 11730 km. 
D) 10965 km. 
E) 5865 km. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que a função cosseno está no denominador. Quanto maior o 
denominador da função, menor o valor que a função assume. Logo, no 
ponto de máximo da função cosseno teremos o ponto de mínimo da 
função r(t) e vice-versa. 
 
Apogeu Æ valor máximo ocorre quando o cosseno for mínimo (-1). Logo: 
r(t) = 5865 / (1 ± 0,15) 
r(t) = 6.900 km 
 
Perigeu Æ valor mínimo ocorre quando o cosseno for máximo (1). Logo: 
r(t) = 5865 / (1 + 0,15) 
r(t) = 5.100 km 
 
S = apogeu + perigeu 
S = 6900 + 5100 
S = 12.000 km 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
Resposta: B 
 
3. FGV - VESTIBULAR ± 2014) Se 1 + cos Į���FRV2Į���FRV3Į���FRV4Į���
... = ���FRP�����Į���Ⱥ����HQWmR��VHQ�Į�p�LJXDO�D 
 a) 0,84. 
 b) 0,90. 
 c) 0,92. 
 d) 0,94. 
 e) 0,96. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que estamos diante da soma de uma PG infinita de termo 
inicial a1 = 1, razão q = cos a, que é dada por: 
1
1
a
S
qf
 � 
5 (1 ± cos a) = 1 
1 ± cos a = 1/5 
cos a = 4/5 
 
 Sabemos que sen2a + cos2a = 1, temos: 
sen2a + (4/5)2 = 1 
sen a = 3/5 
 
sen2Į = 2sen(a)cos(a) 
sen2a = 2(3/5)(4/5) = 24/25 
sen2a = 0,96 
RESPOSTA: E 
 
4. UNIFESP ± VUNESP ± 2005) A expressão sen(x ± y)cosy + cos(x ± 
y)seny é equivalente a 
 a) sen (2 x + y). 
 b) cos ( 2 x ). 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 c) sen x. 
 d) sen ( 2 x ). 
 e) cos (2 x + 2 y). 
RESOLUÇÃO: 
sen(x ± y)cosy + cos(x ± y)seny = 
= (senx cosy ± seny cosx) cosy + (cosx cosy + senx seny)seny 
= senx cos2y ± seny cosx cosy + seny cosx cosy + senx sen2y 
= senx cos2y + senx sen2y 
= senx (cos2y + sen2y) 
senx 
RESPOSTA: C 
 
5. UNESP ± VUNESP ± 2013) O conjunto solução (S) para a inequação 
2·cos2[���FRV��[��!����HP�TXH�����[���Ⱥ��p�GDGR�SRU� 
a) 
5(0, ) | 0
6 6
S x x ou xS SS S­ ½  � � � �® ¾¯ ¿ 
b) 
2(0, ) |
3 3
S x xS SS­ ½  � �® ¾¯ ¿ 
c) 
2(0, ) | 0
3 3
S x x ou xS SS S­ ½  � � � �® ¾¯ ¿ 
d) 
5(0, ) |
6 6
S x xS SS­ ½  � �® ¾¯ ¿ 
e) ^ `(0, )S x S  
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que cos2x = cos2x ± sen2x. Assim, temos: 
2·cos2x + cos(2x) > 2 
2·cos2x + cos2x ± sen2x > 2 
3·cos2x ± sen2x > 2 
 
 Vamos substituir sen2x por 1 ± cos2x: 
3·cos2x ± (1 ± cos2x) > 2 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
4·cos2x > 3 
cos2x > 3/4 
 
 Como temos uma inequação, vamos utilizar o sinal de igual 
temporariamente: 
cos2x = 3/4 
cosx = ±¥3/2 
 
 Veja abaixo uma ilustração da situação que temos. Voltando à 
nossa inequação, para que o cos2x seja maior que 3/4, deveremos ter o 
cos x < -¥3/2 ou cos x > ¥3/2. Marcamos em vermelhos os pontos que 
satisfazem essa condição. 
 
 
 Note também que o cosseno de módulo igual a ¥3/2 pertence a 30º 
(Ⱥ/6) e 150º (5Ⱥ/6) no intervalo ����[���Ⱥ, então temos: 
cosx = ¥3/2 Æ x = Ⱥ/6 
cosx = -¥3/2 Æ x = 5Ⱥ/6 
 
 Desta forma, x deve ser maior que zero e menor que Ⱥ/6 ou maior 
que 5Ⱥ/6 e menor que Ⱥ: 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 14 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
5(0, ) | 0
6 6
S x x ou xS SS S­ ½  � � � �® ¾¯ ¿ 
RESPOSTA: A 
 
6. UFRN ± COMPERVE ± 2009) Considere a figura abaixo, na qual a 
circunferência tem raio igual a 1. 
 
 
Nesse caso, as medidas dos segmentos ON, OM e AP correspondem, 
respectivamente, a 
 a) sen x , sec x e cot gx . 
 b) cos x , sen x e tgx . 
 c) cos x , sec x e cossec x . 
 d) tgx , cossec x e cos x . 
RESOLUÇÃO: 
 ON está sobre o eixo x, logo é o cos x. 
 OM está sobre o eixo y, logo é o sen x. 
 AP está sobre o eixo da tangente, logo é a tg x. 
RESPOSTA: B 
 
7. PUC-RS ± VESTIBULAR ± 2011) Ao visitar o Panteon, em Paris, 
Tales conheceu o Pêndulo de Foucault. O esquema abaixo indica a posição 
do pêndulo fixado a uma haste horizontal, num certo instante. Sendo L o 
seu comprimento e x o ângulo em relação a sua posição de equilíbrio, 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
então a altura h do pêndulo em relação à haste horizontal é expressa pela 
função 
 
 a) h(x) = L cos (x) 
 b) h(x) = L sen (x) 
 c) h(x) = L sen (2x) 
 d) h(x) = L cos (2x) 
 e) h(x) = 2L cos (x) 
RESOLUÇÃO: 
 Veja a Figura abaixo: 
 
 
 
 O triângulo retângulo em destaque tem como um de seus catetos a 
altura h(x) do pendulo em relação à haste horizontal. Já a hipotenusa 
desse triângulo é o próprio comprimento do pêndulo L. O ângulo x está 
entre o cateto h(x) e a hipotenusa L. Assim, o cosseno de x é dado por: 
cos x = h(x) / L 
h(x) = L cos x 
RESPOSTA: A 
 
04178253905Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
8. UECE ± UECE/CEV ± 2010 - adaptada) Se x é um arco entre 0° e 
90°, tal que tgx, senx e 
2sen x
x
, nesta ordem, são os três primeiros termos 
de uma progressão geométrica, então o vigésimo segundo termo desta 
progressão é 
RESOLUÇÃO: 
 Esta questão foi anulada pela banca, mas vamos resolvê-la mesmo 
assim. Veja que do primeiro termo (tgx) para o segundo (senx) 
simplesmente multiplicamos o primeiro por cosx. Do segundo termo para 
o terceiro (sen2x/x) novamente multiplicamos por cosx. Logo, estamos 
diante de uma PG de termo inicial tgx e razão q = cosx. 
 O termo geral da PG é dado por 1
1
n
na a q
� u . Assim, o vigésimo 
segundo termo desta progressão é: 
a20 = tgx cos21x 
a20 = senx cos20x 
RESPOSTA: senx cos20x 
 
9. CEDERJ ± CECIERJ ± 2014) O valor máximo da função real f(x) = 1 
/(2+cos(x)) é: 
 a) 1/3 
 b) 1/2 
 c) 1 
 d) 3 
RESOLUÇÃO: 
 Como o cosseno está no denominador, o valor máximo de f(x) virá 
quando o cosseno atingir seu mínimo, que é -1. Logo: 
f(x) = 1 /(2+cos(x)) 
f(x) = 1 /(2-1) 
f(x) = 1 
RESPOSTA: C 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 17 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
10. UECE ± UECE/CEV ± 2010) Se x é um arco localizado no segundo 
quadrante e cosx = - 3/5 , então o valor de cosx + senx + tgx + cotgx + 
secx + cossecx é 
 a) -2,3. 
 b) -3,4. 
 c) -4,5. 
 d) -5,6. 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que sen2x + cos2x = 1. Substituindo cosx = -3/5, 
encontraremos senx = 4/5, tendo em vista que x está no segundo 
quadrante. 
 Assim: 
tgx = senx/cosx = -4/3 
cotgx = 1/tgx = -3/4 
secx = 1/cosx = -5/3 
cossecx = 5/4 
 
 Fazendo a soma, temos: 
cosx + senx + tgx + cotgx + secx + cossecx = 
= -3/5 + 4/5 - 4/3 - 3/4 - 5/3 + 5/4 
= (-36 + 48 ± 80 - 45 ± 100 + 75)/60 
= -138/60 
= -2,3 
RESPOSTA: A 
 
11. UFF ± VESTIBULAR ± 2008 - adaptada) A equação do tempo é a 
função que mede a diferença, ao longo de um ano, entre os tempos lidos 
a partir de um relógio de sol e de um relógio convencional. Ela pode ser 
aproximada pela função 
y = f(B) = 9,87 sen (2B) ± 7,53 cos (B) ± 1,5 sen (B) 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 18 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
Sendo 2 ( 81) / 364B nS � e n o número do dia, isto é, n = 1 para 1 de 
janeiro, n = 2 para 2 de janeiro, e assim por diante. 
É correto afirmar que: 
 a) f(B) = 9,87 sen(2 B) ± 7,53 cos(B) ± 0,75 sen(2 B) 
 b) f(B) = 19,74 sen(B) ± 7,53 cos(B) ± 1,5 sen(B) 
 c) f(B) = [19,74 sen(B) ± 7,53] cos(B) ± 1,5 sen(B) 
 d) f(B) = 9,87 [2 (cos(B))2 ± 1] ± 1,5 sen(B) ± 7,53 cos(B) 
 e) f(B) = 8,37 sen(2 B) ± 7,53 cos(B) 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que sen (2B) = 2 sen(B)cos(B). Logo, temos: 
f(B) = 9,87 sen (2B) ± 7,53 cos (B) ± 1,5 sen (B) 
f(B) = 9,87 [2 sen(B)cos(B)]± 7,53 cos (B) ± 1,5 sen (B) 
f(B) = [19,74 sen(B) ± 7,53] cos(B) ± 1,5 sen(B) 
RESPOSTA: C 
 
12. UNESP ± VUNESP ± 2011) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi 
sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o 
epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A 
cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela 
primeira onda do tsunami após 13 minutos. 
 (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.) 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 19 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo TXH�FRV�Į�؆ �������RQGH�Į�p�
o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28 · 32 · 93,4 ؆ 215 100, a 
velocidade média, em km/h, com que a 1.ª onda do tsunami atingiu a 
cidade de Sendai foi de: 
 a) 10. 
 b) 50. 
 c) 100. 
 d) 250. 
 e) 600. 
RESOLUÇÃO: 
 Da Geometria Plana temos a Lei dos cossenos assim definida: 
 
2 2 2 2 cos( )a b c bc A � � 
 
 Veja o triângulo abaixo: 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 20 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 Nosso objetivo é encontrar x, ou seja, a distância entre Sendai e o 
Epicentro. Utilizando a lei dos cossenos temos: 
x2 = 3202 + 3602 ± 2 . 320 . 360 . cos(a) 
x2 = 3202 + 3602 ± 2 . 25 . 10 . 22 . 32 . 10 . 0,934 
x2 = 3202 + 3602 ± 28 . 32 . 93,4 
 
Como 28 · 32 · 93,4 ؆ 215 100 temos: 
x2 = 102.400 + 129.600 - 215 100 
x2 = 16.900 
x = 130 km 
 
A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida 
pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. Logo, a onda percorreu 
130 kilômetros em 13 minutos. Em 60 minutos, ela percorre: 
130 kilômetros ------------------- 13 minutos 
 x ---------------------------- 60 minutos 
x = 600 km/h 
RESPOSTA: E 
 
13. UNICENTRO ± VESTIBULAR ± 2012) 
 
A figura representa parte do gráfico cartesiano da função f(x) igual a 
 a) senx 
 b) cosx 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 21 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 c) cotgx 
 d) tgx 
 e) tg2x 
RESOLUÇÃO: 
 Veja o gráfico abaixo: 
 
 Os pontos em vermelho são pontos em que a função assume valor 
nulo (-Ⱥ, 0, Ⱥ, 2Ⱥ, 3Ⱥ, ...). Já os pontos em azul são aqueles em que a 
função atinge seu mínimo (-Ⱥ/2, 3Ⱥ/2...) ou seu máximo (Ⱥ/2, 5Ⱥ/2,...). 
 Basta agora olharmos o ciclo trigonométrico e identificarmos qual 
função apresenta esse comportamento. É a função seno que apresenta 
máximos e mínimos em múltiplos inteiros de Ⱥ/2 e também que 
apresenta valor nulo nos múltiplos inteiros de Ⱥ. 
 
RESPOSTA: A 
 
14. UNEAL ± COPEVE/UFAL ± 2013) As funções trigonométricas são 
funções angulares importantes no estudo dos triângulos e na modelagem 
de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 22 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma 
mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário 
>«@�� 
Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Função_trigonométrica 
Dadas as relações sobre as funções trigonométricas, 
I. sen2 x + cos2 x = 1 
II. tg2 x = sec2 x ± 1 
III. cosec2 x = cotg2 x + 1 
verifica-se que, considerando os domínios das funções envolvidas, 
 a) apenas I é verdadeira. 
 b) apenas I e II são verdadeiras. 
 c) apenas I e III são verdadeiras. 
 d) apenas II e III são verdadeiras. 
 e) todas são verdadeiras. 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que a relação I é válida. A partir dela, podemos obter II. 
Veja: 
sen2 x + cos2 x = 1 
sen2 x = 1 - cos2 x 
 
 Dividindo os dois lados por cos2x temos: 
tg2 x = 1/ cos2 x ± 1 
tg2 x = sec2 x ± 1 
 
A partir de I,podemos obter III. Veja: 
sen2 x + cos2 x = 1 
sen2 x = 1 - cos2 x 
 
Dividindo os dois lados por sen2x temos: 
1 = 1/sen2x - cos2 x/sen2x 
1 = cosec2 x ± cotg2 x 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 23 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
cosec2 x = cotg2 x + 1 
 
 Portanto, as três relações são verdadeiras. 
RESPOSTA: E 
 
15. PUC/RJ ± CESGRANRIO ± 2013) Assinale a alternativa correta: 
 a) cos(2000o ) < 0 
 b) sen(2000o ) > 0 
 c) sen(2000o ) = cos(2000o ) 
 d) sen(2000o ) = - sen(2000o ) 
 e) sen(2000o ) = - cos(2000o ) 
RESOLUÇÃO: 
 Repare que 2000º equivale a 5 voltas inteiras (5 x 360º) mais 200º. 
O ângulo 2000º terá, portanto, o mesmo seno, cosseno e tangente do 
ângulo 200º. O ângulo 200º pertence ao terceiro quadrante. Logo, terá 
seno e cosseno negativos e tangente positiva. A única resposta que se 
encaixa no que aqui foi dito é a letra A. 
RESPOSTA: A 
 
16. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2012) 6H� WJLJ� � �� H� LJ� SHUWHQFH� DR�
SULPHLUR�TXDGUDQWH��HQWmR�FRVLJ�p�LJXDO�D� 
 a) 0 
 b) 
1
2
 
 c) 
2
2
 
 d) 
3
2
 
 e) 1 
RESOLUÇÃO: 
WJLJ� �� 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 24 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
senLJ = cosLJ 
 
 Pela tabela dos ângulos que devemos memorizar, sabemos que o 
ângulo do primeiro quadrante que tem seno igual a cosseno é 45º, cujo 
cosseno é 
2
2
. No entanto, caso você não se lembrasse era só fazer: 
sen2LJ + cos2LJ = 1 
cos2LJ + cos2LJ = 1 
2cos2LJ = 1 
cos2LJ = 1/2 
cosLJ = ± 2
2
 
 
 Como o ângulo é do primeiro quadrante, nos interessa apenas a 
resposta cosLJ = ± 2
2
. 
RESPOSTA: C 
 
17. UFG ± CS/UFG ± 2010) O para-brisa frontal de um carro tem 
formato plano retangular, medindo 1,41 m de comprimento por 1 m de 
altura. Os limpadores de para-brisa desse carro funcionam no sistema 
oposto, ou seja, contêm duas palhetas idênticas, fixadas nos cantos 
inferiores do para-brisa, como mostra a figura. 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 25 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
Ao serem acionadas, as palhetas fazem um movimento em sentido 
circular para limpar o vidro. Considere que as pontas das palhetas ficam 
rentes uma da outra ao passarem pelo ponto A, em que o menor ângulo 
formado entre as palhetas é LJ, tal que cosLJ=-0,125. 
Tendo em vista estes dados, o tamanho da palheta é, em metros, 
 a) 0,80 
 b) 0,94 
 c) 1,00 
 d) 1,08 
 e) 1,41 
RESOLUÇÃO: 
 Repare no triângulo isósceles formado no interior da figura, que tem 
base igual a 1,41 m, lados iguais às palhetas, cujo comprimento vamos 
chamar de x, e ângulo LJ entre esses lados. 
 Aplicando a Lei dos cossenos, temos: 
2 2 2 2 cos( )a b c bc A � � 
1,412 = x2 + x2 ± 2 . x . x . cosLJ 
1,412 = 2x2 (1 ± cosLJ) 
1,98 = 2x2 (1 + 0,125) 
1,76 = 2x2 
x2 = 0,88 
x = 0,94 m 
RESPOSTA: B 
 
18. UNICAMP ± COMVEST ± 2013) Seja x real tal que cos x = tan x. O 
valor de sen x é 
 a) ( 3 1) / 2� 
 b) (1 3) / 2� 
 c) ( 5 1) / 2� 
 d) (1 5) / 2� 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 26 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
RESOLUÇÃO: 
cos x = tan x 
cos x = sen x / cos x 
cos2x = sen x 
1 ± sen2x = sen x 
sen2x + sen x ± 1 = 0 
delta = 1 ± 4 (1)(-1) = 5 
sen x = (-1 ± ¥���� 
sen1x = (-1 - ¥�����Æ resposta inválida Æ valor de seno em módulo > 1 
sen2x = (-1 + ¥�����Æ resposta válida 
RESPOSTA: C 
 
19. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, 
considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x. 
 
 
RESOLUÇÃO: 
f(x) = sen x 
f(Ⱥ) = sen Ⱥ 
f(Ⱥ) = 0 
 
g(x) = 1/2 + cos x 
g(-4Ⱥ/3) = 1/2 + cos(-4Ⱥ/3) 
 
 Ⱥ corresponde a 180 graus. Dessa forma, -4Ⱥ/3 equivale a -240 
graus, que por sua vez equivale a 120 graus. Este nada mais é do que 
um múltiplo de 60 graus que se encontra no segundo quadrante, tendo, 
portanto, o cosseno igual em módulo ao de 60º mas com sinal inverso. 
Assim, temos: 
g(-4Ⱥ/3) = 1/2 - 1/2 = 0 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 27 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 Logo, está certo. 
RESPOSTA: CERTO 
 
20. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2011) Para resolver uma discussão entre 
dois alunos sobre a definição da função cossecante, um deles foi à 
Biblioteca Central. Como resultado da pesquisa, ele encontrou a definição 
de cossec x , que é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
RESOLUÇÃO: 
 Da geometria temos que a cossecante é o inverso da função seno: 
cossec(a) = 1 / sen(a) 
RESPOSTA: E 
 
21. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2012) Um candidato procurou a 
coordenação do Curso de Matemática para saber do uso desta disciplina 
nas diversas áreas de conhecimento. Foi-lhe dito que vários problemas 
são resolvidos com conhecimentos de Matemática do Ensino Médio, tais 
como os apresentados a seguir. 
Uma formiga percorre uma circunferência trigonométrica partindo de sua 
origem. Ela para no ponto P(x, 1/5) do primeiro quadrante. O cosseno do 
arco percorrido pela formiga é 
 D��¥���� 
 E��¥���� 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 28 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 c) 24/5 
 d) 4/5 
 e) 2/5 
RESOLUÇÃO: 
Veja a representação do problema na figura abaixo: 
 
 
 
 A ordenada do ponto P nos dá o seno do arco percorrido pela 
formiga. Portanto, sen a = 1/5. Para achar o cosseno, basta fazer: 
sen2x + cos2x = 1 
(1/5)2 + cos2x = 1 
cos2x = 1 ± 1/25 
cos2x = 24/25 
cos x = ¥���� 
RESPOSTA: A 
 
22. UEG ± UEG ± 2007) Sendo x um número real qualquer, a expressão 
(sen x + cos x )2 - sen2x é igual a 
 a) 1. 
 b) -2. 
 F���¥�� 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 29 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 G��¥�� 
RESOLUÇÃO: 
(senx + cos x )2 - sen2x = 
= (sen2x + 2senxcosx + cos2x ) ± 2senxcosx 
= sen2x + cos2x + 2senxcosx ± 2senxcosx 
= 1 
RESPOSTA: A 
 
23. UECE ± UECE/CEV ± 2010) Se x é um arco do primeiro quadrante e 
sen4x ± cos4x = 1/2 , então tgx é igual a 
 a) 1. 
 E��¥���� 
 F��¥���� 
 G��¥� 
RESOLUÇÃO: 
 Se x é um arco do primeiro quadrante, só nos interessa valores de 
sen x e cos x positivos. 
sen4x ± cos4x = 1/2 
sen4x ± cos2x cos2x = 1/2 
sen4x ± (1 - sen2x) (1 - sen2x) = 1/2 
sen4x ± (1 - 2sen2x + sen4x) = 1/2 
sen4x ± 1 + 2sen2x - sen4x = 1/2 
± 1 + 2sen2x = 1/2 
sen2x = 3/4 
senx = ¥3/2 
 
cos2x = 1 - sen2x 
cos2x = 1 ± 3/4 
cosx = 1/2 
 
tgx = senx / cosx 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 30 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOSCOMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
tgx = ¥3/2 / (1/2) 
tgx = ¥3 
RESPOSTA: D 
 
24. UNIFESP ± VUNESP ± 2005) Se x é a medida de um arco do 
primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x, então sen (2x) é igual a 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
RESOLUÇÃO: 
Se x é um arco do primeiro quadrante, só nos interessa valores de 
sen x e cos x positivos. 
 
cos2x = 1 - sen2x 
cos2x = 1 ± (3 cos x)2 
cos2x = 1 ± 9 cos2x 
10cos2x = 1 
cosx = ¥(1/10) 
 
sen x = 3 cos x 
sen x = 3¥(1/10) 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 31 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
sen (2x) = 2 senx cosx 
sen (2x) = 2 3¥(1/10) ¥(1/10) 
sen (2x) = 6/10 = 3/5 
RESPOSTA: B 
 
25. UECE ± UECE/CEV ± 2013) O período e a imagem da função 
periódica f: R ĺR definida por f(x) = cos2x ± sen2x, são respectivamente, 
 D���Ⱥ�H�>-1,1]. 
 E���Ⱥ�H�>-2,2]. 
 F��Ⱥ�H�>-2,2]. 
 G��Ⱥ�H�>-1,1]. 
RESOLUÇÃO: 
 Chamamos de período de uma função um valor p para o qual f(x) = 
I�[���S���2X�VHMD��D�FDGD�³S´�YDORUHV�D� IXQomR�VH� UHSHWH�� ,VVR�DFRQWHFH�
com a função seno e cosseno, que se repetem a cada 2Ⱥ radianos. Nas 
alternativas temos duas opções de períodos: 2Ⱥ e Ⱥ. Vamos testá-las: 
 
Período p = Ⱥ 
f(x+Ⱥ) = cos2(x+Ⱥ) ± sen2(x+Ⱥ) 
Æ o cosseno de x+Ⱥ teria sinal inverso ao de x, no entanto, o cosseno 
está elevado ao quadrado, assumindo valor positivo. Da mesma forma 
ocorre com o seno: o seno de x+Ⱥ teria sinal inverso ao de x, no entanto, 
o seno está elevado ao quadrado, assumindo valor positivo. Logo: 
f(x+Ⱥ) = cos2(x+Ⱥ) ± sen2(x+Ⱥ) = cos2(x) - sen2(x) = f(x) 
 
Período p = 2Ⱥ 
f(x+2Ⱥ) = cos2(x+2Ⱥ) ± sen2(x+2Ⱥ) 
Æ o cosseno e o seno de x+2Ⱥ são iguais ao de x, visto que 2Ⱥ é uma 
volta completa no ciclo trigonométrico. Logo: 
f(x+2Ⱥ) = cos2(x+2Ⱥ) ± sen2(x+2Ⱥ) = cos2(x) ± sen2(x) = f(x) 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 32 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 
 
 Portanto, tanto para p = Ⱥ quanto para p = 2Ⱥ provamos que 
f(x+p) = f(x). O que isso quer dizer? Quer dizer que a função tem período 
p = Ⱥ. Como 2Ⱥ é múltiplo de Ⱥ, a função volta a se repetir também se 
considerarmos esse período. Mas o menor valor para o qual a função se 
repete é p = Ⱥ. Logo, esse é o período da função f(x). 
 A imagem de f(x) são os valores que f(x) pode assumir. Veja que: 
f(x) = cos2x ± sen2x 
f(x) = cos2x ± (1 - cos2x) 
f(x) = 2cos2x ± 1 
 
 O cosx assume valores de -1 a 1. Logo, o cos2x assume valores de 
0 a 1. 
 2cos2x assume valores de 0 a 2. 
2cos2x assume valores de -1 a 1. 
RESPOSTA: D 
 
26. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2014) Sendo x um arco satisfazendo S /2 
< x < S ; e sen(x) = 24/25, o valor de cos (x/2) é 
 a) 1/25 
 b) - 1/5 
 c) 1/5 
 d) - 3/5 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 33 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 e) 3/5 
RESOLUÇÃO: 
cos2x = 1 ± sen2(x) = 1 ± (24/25)2 
cos2x = 49/625 
cos x = ±7/25 
 
 No entanto, S /2 < x < S . Logo, cos x = -7/25 
cos (x/2) = ±¥[(1 + cos x)/2] 
cos (x/2) = ±¥[(1 - 7/25)/2] 
cos (x/2) = ±¥[(18/25)/2] 
cos (x/2) = ±¥(9/25) 
cos (x/2) = ±3/5 
 
 Se x está entre S /2 e S , então x/2 está entre 0 e S /2. Assim, o 
cos(x/2) > 0 Æ cos (x/2) = 3/5. 
RESPOSTA: E 
 
27. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2015) O calçadão de Copacabana é um 
dos lugares mais visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado na 
praça do Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do mar. 
 
Quando vemos seus desenhos, fica evidente que podemos pensar na 
representação gráfica de uma função, 
 a) logarítmica. 
 b) exponencial. 
 c) seno ou cosseno. 
 d) polinomial de grau 1. 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 34 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 e) polinomial de grau 2. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja abaixo o gráfico de uma função seno: 
 
 
 O gráfico da função cosseno é bem semelhante, apresentado uma 
defasagem em relação ao da função seno. Como vimos nas aulas 
anteriores, o gráfico das funções apresentadas nas outras alternativas são 
EHP� GLIHUHQWHV� GR� ³RQGXODGR´� DSUHVHQWDGR� QR� HQXQFLDGR� GD� TXHVWmR��
Portanto, letra C. 
RESPOSTA: C 
 
28. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, 
considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x 
O conjunto imagem da função [f(x)]2 + [g(x)]2 é o intervalo 
RESOLUÇÃO: 
[f(x)]2 + [g(x)]2 = 
= [sen x]2 + [1/2 + cos x]2 
= sen2x + 1/4 + cos x + cos2x 
= 1 + 1/4 + cos x 
= 5/4 + cos x 
 
 A função cos x tem como imagem [-1, 1]. Logo, a função 5/4 + 
cosx tem como imagem [1/4, 9/4]. Portanto, a alternativa está errada. 
RESPOSTA: ERRADO 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 35 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
29. FGV ± VESTIBULAR ± 2015) 1R� LQWHUYDOR�GH���D�Ⱥ��D� IXQomR�TXH�
permite calcular a área A da região limitada pelo eixo x, pelas retas de 
equações x = p e x = q e pelo gráfico da função definida por y = sen x é 
dada por A = cos p ± cos q. 
 
 
Com base na informação fornecida, observe a figura a seguir. 
 
 
 
A área da região sombreada nessa figura é, aproximadamente, igual a 
 a) 2,64. 
 b) 2,14. 
 c) 1,86. 
 d) 1,14. 
 e) 0,86. 
RESOLUÇÃO: 
 A área é dada por A = cos p ± cos q. Na segunda figura do 
enunciado, vemos que a reta x = p está sobre o eixo y, portanto, x = p = 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 36 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
0. Já a outra reta é x = q = Ⱥ. Assim, a área na cor branca da figura 
abaixo fica sendo: 
 
Abranca = cos p ± cos q 
Abranca = cos 0 ± cos Ⱥ 
Abranca = 1 ± (-1) 
Abranca = 2 
 
 A área da região sombreada fica sendo a área do retângulo 
subtraído da área da região branca. Logo: 
Asombreada = Aretângulo - Abranca 
Asombreada = Ⱥ ± 2 
Asombreada = 3,14 ± 2 
Asombreada = 1,14 
RESPOSTA: D 
 
30. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, 
considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x. 
1R� LQWHUYDOR� >��� �Ⱥ@�� DV� FXUYDV� TXH� representam graficamente as duas 
funções intersectam-se uma única vez. 
RESOLUÇÃO: 
 As funções intersectam-se nos pontos em que elas assumem 
valores iguais. Logo: 
f(x) = g(x) 
sen x = 1/2 + cos x 
sen x = 1/2 + ¥(1 ± sen2x) 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 37 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
sen x ± 1/2 = ¥(1 ± sen2x) 
(sen x ± 1/2)2 = 1 ± sen2x 
sen2x ± sen x + 1/4 = 1 ± sen2x 
2sen2x ± sen x ± 3/4 = 0 
Delta = (-1)2 ± 4(2)(-3/4) 
Delta = 7 
sen x = (1 ± ¥7)4 
sen x1 = (1 + ¥��/4 Æ x1 = arcsen (0,91) 
sen x2 = (1 - ¥�����Æ x2 = arcsen (-0,41) 
 
 Portanto, nR� LQWHUYDOR�>��� �Ⱥ@�� DV� FXUYas que representam 
graficamente as duas funções intersectam-se duas vezes. 
RESPOSTA: ERRADO 
 
 
 
Fim de aula!!! Nos vemos na aula 15. 
Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
Periscope: @ARTHURRRL 
Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 38 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 
3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
 
1. ENEM ± 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos 
bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem 
épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora 
é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais 
baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. 
A partir de uma série história, observou-se que o preço P, em reais, do 
quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função 
, onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 
associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim 
sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro. 
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é 
(A) janeiro. 
(B) abril. 
(C) junho. 
(D) julho. 
(E) outubro. 
 
2. ENEM - 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter 
atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. 
Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 39 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse 
satélite, o valor de r em função de t seja dado por 
� � � �
5865
1 0,15 0,06
r t
cos t
 � ˜ 
8P� FLHQWLVWD�PRQLWRUD� R�PRYLPHQWR� GHVVH� VDWpOLWH� SDUD� FRQWURODU� R� VHX�
afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos 
valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista 
deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de 
A) 12765 km. 
B) 12000 km. 
C) 11730 km. 
D) 10965 km. 
E) 5865 km. 
 
3. FGV - VESTIBULAR ± 2014) 6H�����FRV�Į���FRV2Į���FRV3Į���FRV4Į���
... = ���FRP�����Į���Ⱥ����HQWmR��VHQ�Į�p�LJXDO�D 
 a) 0,84. 
 b) 0,90. 
 c) 0,92. 
 d) 0,94. 
 e) 0,96. 
 
4. UNIFESP ± VUNESP ± 2005) A expressão sen(x ± y)cosy + cos(x ± 
y)seny é equivalente a 
 a) sen (2 x + y). 
 b) cos ( 2 x ). 
 c) sen x. 
 d) sen ( 2 x ). 
 e) cos (2 x + 2 y). 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 40 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
5. UNESP ± VUNESP ± 2013) O conjunto solução (S) para a inequação 
2·cos2x + coV��[��!����HP�TXH�����[���Ⱥ��p�GDGR�SRU� 
a) 
5(0, ) | 0
6 6
S x x ou xS SS S­ ½  � � � �® ¾¯ ¿ 
b) 
2(0, ) |
3 3
S x xS SS­ ½  � �® ¾¯ ¿ 
c) 
2(0, ) | 0
3 3
S x x ou xS SS S­ ½  � � � �® ¾¯ ¿ 
d) 
5(0, ) |
6 6
S x xS SS­ ½  � �® ¾¯ ¿ 
e) ^ `(0, )S x S  
 
6. UFRN ± COMPERVE ± 2009) Considere a figura abaixo, na qual a 
circunferência tem raio igual a 1. 
 
 
Nesse caso, as medidas dos segmentos ON, OM e AP correspondem, 
respectivamente, a 
 a) sen x , sec x e cot gx . 
 b) cos x , sen x e tgx . 
 c) cos x , sec x e cossec x . 
 d) tgx , cossec x e cos x . 
 
7. PUC-RS ± VESTIBULAR ± 2011) Ao visitar o Panteon, em Paris, 
Tales conheceu o Pêndulo de Foucault. O esquema abaixo indica a posição 
do pêndulo fixado a uma haste horizontal, num certo instante. Sendo L o 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 41 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
seu comprimento e x o ângulo em relação a sua posição de equilíbrio, 
então a altura h do pêndulo em relação à haste horizontal é expressa pela 
função 
 
 a) h(x) = L cos (x) 
 b) h(x) = L sen (x) 
 c) h(x) = L sen (2x) 
 d) h(x) = L cos (2x) 
 e) h(x) = 2L cos (x) 
 
8. UECE ± UECE/CEV ± 2010 - adaptada) Se x é um arco entre 0° e 
90°, tal que tgx, senx e 
2sen x
x
, nesta ordem, são os três primeiros termos 
de uma progressão geométrica, então o vigésimo segundo termo desta 
progressão é 
 
9. CEDERJ ± CECIERJ ± 2014) O valor máximo da função real f(x) = 1 
/(2+cos(x)) é: 
 a) 1/3 
 b) 1/2 
 c) 1 
 d) 3 
 
10. UECE ± UECE/CEV ± 2010) Se x é um arco localizado no segundo 
quadrante e cosx = - 3/5 , então o valor de cosx + senx + tgx + cotgx + 
secx + cossecx é 
 a) -2,3. 
 b) -3,4. 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 42 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 c) -4,5. 
 d) -5,6. 
 
11. UFF ± VESTIBULAR ± 2008 - adaptada) A equação do tempo é a 
função que mede a diferença, ao longo de um ano, entre os tempos lidos 
a partir de um relógio de sol e de um relógio convencional. Ela pode ser 
aproximada pela função 
y = f(B) = 9,87 sen (2B) ± 7,53 cos (B) ± 1,5 sen (B) 
Sendo 2 ( 81) / 364B nS � e n o número do dia, isto é, n = 1 para 1 de 
janeiro, n = 2 para 2 de janeiro, e assim por diante. 
É correto afirmar que: 
 a) f(B) = 9,87 sen(2 B) ± 7,53 cos(B) ± 0,75 sen(2 B) 
 b) f(B) = 19,74 sen(B) ± 7,53 cos(B) ± 1,5 sen(B) 
 c) f(B) = [19,74 sen(B) ± 7,53] cos(B) ± 1,5 sen(B) 
 d) f(B) = 9,87 [2 (cos(B))2 ± 1] ± 1,5 sen(B) ± 7,53 cos(B) 
 e) f(B) = 8,37 sen(2 B) ± 7,53 cos(B) 
 
12. UNESP ± VUNESP ± 2011) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi 
sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o 
epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A 
cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela 
primeira onda do tsunami após 13 minutos. 
 (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.) 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 43 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
Baseando-se nos dados fornHFLGRV�H�VDEHQGR�TXH�FRV�Į�؆ �������RQGH�Į�p�
o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28 · 32 · 93,4 ؆ 215 100, a 
velocidade média, em km/h, com que a 1.ª onda do tsunami atingiu a 
cidade de Sendai foi de: 
 a) 10. 
 b) 50. 
 c) 100. 
 d) 250. 
 e) 600. 
 
13. UNICENTRO ± VESTIBULAR ± 2012) 
 
A figura representa parte do gráfico cartesiano da função f(x) igual a 
 a) senx 
 b) cosx 
 c) cotgx 
 d) tgx 
 e) tg2x 
 
14. UNEAL ± COPEVE/UFAL ± 2013) As funções trigonométricas são 
funções angulares importantes no estudo dos triângulos e na modelagem 
de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois 
lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma 
mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário 
>«@�� 
Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Função_trigonométrica 
Dadas as relações sobre as funções trigonométricas, 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br44 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
I. sen2 x + cos2 x = 1 
II. tg2 x = sec2 x ± 1 
III. cosec2 x = cotg2 x + 1 
verifica-se que, considerando os domínios das funções envolvidas, 
 a) apenas I é verdadeira. 
 b) apenas I e II são verdadeiras. 
 c) apenas I e III são verdadeiras. 
 d) apenas II e III são verdadeiras. 
 e) todas são verdadeiras. 
 
15. PUC/RJ ± CESGRANRIO ± 2013) Assinale a alternativa correta: 
 a) cos(2000o ) < 0 
 b) sen(2000o ) > 0 
 c) sen(2000o ) = cos(2000o ) 
 d) sen(2000o ) = - sen(2000o ) 
 e) sen(2000o ) = - cos(2000o ) 
 
16. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2012) 6H� WJLJ� � �� H� LJ� SHUWHQFH� DR�
SULPHLUR�TXDGUDQWH��HQWmR�FRVLJ�p�LJXDO�D� 
 a) 0 
 b) 
1
2
 
 c) 
2
2
 
 d) 
3
2
 
 e) 1 
 
17. UFG ± CS/UFG ± 2010) O para-brisa frontal de um carro tem 
formato plano retangular, medindo 1,41 m de comprimento por 1 m de 
altura. Os limpadores de para-brisa desse carro funcionam no sistema 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 45 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
oposto, ou seja, contêm duas palhetas idênticas, fixadas nos cantos 
inferiores do para-brisa, como mostra a figura. 
 
Ao serem acionadas, as palhetas fazem um movimento em sentido 
circular para limpar o vidro. Considere que as pontas das palhetas ficam 
rentes uma da outra ao passarem pelo ponto A, em que o menor ângulo 
formado entre as palhetas é LJ, tal que cosLJ=-0,125. 
Tendo em vista estes dados, o tamanho da palheta é, em metros, 
 a) 0,80 
 b) 0,94 
 c) 1,00 
 d) 1,08 
 e) 1,41 
 
18. UNICAMP ± COMVEST ± 2013) Seja x real tal que cos x = tan x. O 
valor de sen x é 
 a) ( 3 1) / 2� 
 b) (1 3) / 2� 
 c) ( 5 1) / 2� 
 d) (1 5) / 2� 
 
19. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, 
considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x. 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 46 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 
 
 
20. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2011) Para resolver uma discussão entre 
dois alunos sobre a definição da função cossecante, um deles foi à 
Biblioteca Central. Como resultado da pesquisa, ele encontrou a definição 
de cossec x , que é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
21. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2012) Um candidato procurou a 
coordenação do Curso de Matemática para saber do uso desta disciplina 
nas diversas áreas de conhecimento. Foi-lhe dito que vários problemas 
são resolvidos com conhecimentos de Matemática do Ensino Médio, tais 
como os apresentados a seguir. 
Uma formiga percorre uma circunferência trigonométrica partindo de sua 
origem. Ela para no ponto P(x, 1/5) do primeiro quadrante. O cosseno do 
arco percorrido pela formiga é 
 D��¥���� 
 E��¥���� 
 c) 24/5 
 d) 4/5 
 e) 2/5 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 47 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
22. UEG ± UEG ± 2007) Sendo x um número real qualquer, a expressão 
(sen x + cos x )2 - sen2x é igual a 
 a) 1. 
 b) -2. 
 F���¥�� 
 G��¥�� 
 
23. UECE ± UECE/CEV ± 2010) Se x é um arco do primeiro quadrante e 
sen4x ± cos4x = 1/2 , então tgx é igual a 
 a) 1. 
 E��¥���� 
 F��¥���� 
 G��¥� 
 
24. UNIFESP ± VUNESP ± 2005) Se x é a medida de um arco do 
primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x, então sen (2x) é igual a 
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 
25. UECE ± UECE/CEV ± 2013) O período e a imagem da função 
periódica f: R ĺR definida por f(x) = cos2x ± sen2x, são respectivamente, 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 48 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 D���Ⱥ�H�>-1,1]. 
 E���Ⱥ�H�>-2,2]. 
 F��Ⱥ�H�>-2,2]. 
 G��Ⱥ�H�>-1,1]. 
 
26. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2014) Sendo x um arco satisfazendo S /2 
< x < S ; e sen(x) = 24/25, o valor de cos (x/2) é 
 a) 1/25 
 b) - 1/5 
 c) 1/5 
 d) - 3/5 
 e) 3/5 
 
27. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2015) O calçadão de Copacabana é um 
dos lugares mais visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado na 
praça do Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do mar. 
 
Quando vemos seus desenhos, fica evidente que podemos pensar na 
representação gráfica de uma função, 
 a) logarítmica. 
 b) exponencial. 
 c) seno ou cosseno. 
 d) polinomial de grau 1. 
 e) polinomial de grau 2. 
 
28. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, 
considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 49 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
O conjunto imagem da função [f(x)]2 + [g(x)]2 é o intervalo 
 
29. FGV ± VESTIBULAR ± 2015) 1R� LQWHUYDOR�GH���D�Ⱥ��D� IXQomR�TXH�
permite calcular a área A da região limitada pelo eixo x, pelas retas de 
equações x = p e x = q e pelo gráfico da função definida por y = sen x é 
dada por A = cos p ± cos q. 
 
 
Com base na informação fornecida, observe a figura a seguir. 
 
 
 
A área da região sombreada nessa figura é, aproximadamente, igual a 
 a) 2,64. 
 b) 2,14. 
 c) 1,86. 
 d) 1,14. 
 e) 0,86. 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 50 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 
30. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, 
considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x. 
No intervalo >��� �Ⱥ@�� DV� FXUYDV� TXH� UHSUHVHQWDP� JUDILFDPHQWH� DV� GXDV�
funções intersectam-se uma única vez. 
 
 
04178253905
 
 
Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 51 
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 
 
 
 
01 D 02 B 03 E 04 C 05 A 06 B 07 A 
08 * 09 C 10 A 11 C 12 E 13 A 14 E 
15 A 16 C 17 B 18 C 19 C 20 E 21 A 
22 A 23 D 24 B 25 D 26 E 27 C 28 E 
29 D 30 E 
 
* senx cos20x 
04178253905