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Aula 14 Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2016 Professores: Arthur Lima, Hugo Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 AULA 14: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas SUMÁRIO PÁGINA 1. Teoria 02 2. Resolução de exercícios 08 3. Questões apresentadas na aula 38 4. Gabarito 51 Olá! Nesta décima quarta aula aprenderemos os tópicos relacionados ao ciclo trigonométrico e às funções trigonométricas. Tenha uma excelente aula. Permaneço à disposição e deixo abaixo meus contatos: E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Periscope, onde transmito vídeos gratuitos ao vivo com dicas adicionais para seu estudo: www.periscope.tv/arthurrrl, ou simplesmente busque @ARTHURRRL no aplicativo. 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 1. TEORIA 1.1 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS O círculo trigonométrico é uma ferramenta didática utilizada para estender os conceitos vistos na aula de geometria plana para todos os ângulos (e não apenas entre 0 e 90º, como temos em um triângulo retângulo). Veja abaixo um desenho deste círculo: Como você pode ver, trata-se de um círculo de raio unitário (r = 1). O ângulo a, formado entre o eixo horizontal e o segmento de reta em preto, no sentido anti-horário, tem o seu cosseno marcado no eixo horizontal e o seu seno marcado no eixo vertical. Podemos ainda incluir um terceiro eixo neste desenho, para representar o valor da tangente do ângulo a. Veja: 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Repare que o cos(a) encontra-se entre a origem dos eixos (0) e 1. Isto é, este cosseno tem valor positivo, entre 0 e 1. O mesmo ocorre com sen(a). Entretanto, observe o que ocorreria se estivéssemos trabalhando com o ângulo a = 135º: Neste caso, o seno continua tendo sinal positivo, porém o cosseno toca na parte negativa (entre 0 e ±1) do eixo horizontal, tendo por isso valor negativo. Repare ainda que o ângulo a = 225º teria seno e cosseno negativos: E o ângulo a = 315º teria seno negativo e cosseno positivo: 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Assim, dependendo do quadrante em que se encontrar o ângulo, o seno e cosseno podem ter sinal positivo ou negativo. A tabela abaixo resume estes casos: Quadrante do ângulo Seno Cosseno Tangente Primeiro (de 0 a 90º) + + - Segundo (90º a 180º) + - - Terceiro (180º a 270º) - - + Quarto (270º a 360º) - + - Muitos exercícios fornecerão os senos, cossenos e/ou tangentes de dois ângulos a e b, e solicitarão o seno, cosseno ou tangente da soma ou subtração destes ângulos. Para isto, você precisa conhecer as fórmulas a seguir (que também não iremos demonstrar): 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a) cos (a + b) = cos(a)cos(b) ± sen(a)sen(b) cos (a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) tan( ) tan( ) tan( ) 1 tan( ).tan( ) a b a b a b �� � tan( ) tan( ) tan( ) 1 tan( ).tan( ) a b a b a b �� � Sabendo as fórmulas acima, você não precisa decorar as fórmulas para obter o seno do dobro do ângulo a, isto é, sen(2a), o cosseno do dobro do ângulo a, cos(2a), ou da tangente tan(2a).Veja como obtê-los rapidamente: sen(2a) = sen(a + a) = sen(a)cos(a) + sen(a)cos(a) Portanto, sen(2a) = 2 sen(a)cos(a) cos(2a) = cos (a + a) = cos(a)cos(a) ± sen(a)sen(a) Portanto, cos(2a) = cos2(a) ± sen2(a) tan( ) tan( ) tan(2 ) tan( ) 1 tan( ).tan( ) a a a a a a a � � � 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Portanto, 2 2 tan( ) tan(2 ) 1 tan ( ) a a a � Outras questões apresentam seno, cosseno e/ou tangente de um ângulo a e solicitam os valores dessas medidas para a sua metade, isto é, o ângulo a/2. Para isso, você precisa conhecer as seguintes fórmulas: 1 cos 2 2 a A sen �§ · r¨ ¸© ¹ 1 cos cos 2 2 a A�§ · r¨ ¸© ¹ 1 cos tan 2 1 cos a A A �§ · r¨ ¸ �© ¹ Repare que o sinal de sen(a/2), cos(a/2) e tan(a/2) vai depender do quadrante onde o ângulo a/2 se encontrar. Ex.: se a/2 = 45º, ele se encontra no primeiro quadrante, logo sen(a/2), cos(a/2) e tan(a/2) devem ser positivos. Já se a/2 = 105º, o seno deve ter sinal positivo mas o cosseno e a tangente devem ter sinal negativo; afinal este ângulo se encontra no segundo quadrante. Finalizando, uma função trigonométrica é uma função na qual alguma das razões trigonométricas aparece. Exemplificando, a função f(x) = 2.sen(x) ± 3.cos(x) é uma função trigonométrica. Note que, para x = 45º (ou seja, x = 4 S rad), temos: f( 4 S ) = 2.sen( 4S ) ± 3.cos( 4S ) f( 4 S ) = 2. 2 2 - 3. 2 2 = - 2 2 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Vale a pena relembrar também os valores de seno, cosseno e tangente dos principais ângulos: 0º, 30º, 45º, 60º e 90º. Veja-os na tabela abaixo: Ângulo Seno Cosseno Tangente 0º 0 1 0 30º 1 2 3 2 3 3 45º 2 2 2 2 1 60º 3 2 1 2 3 90º 1 0 infinito 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS Trabalharemos agora alguns exercícios do ENEM e questões de vestibulares. Esse é um assunto pouco cobrado no Exame mas é importante conhecê-lo. Lembre-se: é muito importante que você execute os cálculos à mão, pois é assim que você deverá fazer na hora da prova. Além disso, é com a prática que vamos ficar cada vez melhores. 1. ENEM ± 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. A partir de uma série história, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal podeser descrito pela função , onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro. Na safra, o mês de produção máxima desse produto é (A) janeiro. (B) abril. (C) junho. (D) julho. (E) outubro. 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 RESOLUÇÃO: O enunciado nos disse que a produção é abundante, com preços mais baixos, no mês de produção máxima da safra. O preço do produto é dado pela função . Logo, precisamos achar o valor de x para o qual ela assume valor mínimo. Veja abaixo a Figura do Ciclo Trigonométrico: O cosseno aparece no eixo x. Seu valor mínimo ocorre quando o ângulo a é 180º, ou 540º, ou 900º e assim por diante. Desta forma, o valor máximo da função ocorrerá quando o cosseno for igual a -1, o que ocorre quando o ângulo é Ⱥ (em radianos): Ⱥ x ± Ⱥ = 6Ⱥ Ⱥ (x ± 1) = 6Ⱥ x = 7 x = 7 corresponde ao mês de julho. Resposta: D 2. ENEM - 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por � � � � 5865 1 0,15 0,06 r t cos t � 8P� FLHQWLVWD�PRQLWRUD� R�PRYLPHQWR� GHVVH� VDWpOLWH� para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de A) 12765 km. B) 12000 km. C) 11730 km. D) 10965 km. E) 5865 km. RESOLUÇÃO: Veja que a função cosseno está no denominador. Quanto maior o denominador da função, menor o valor que a função assume. Logo, no ponto de máximo da função cosseno teremos o ponto de mínimo da função r(t) e vice-versa. Apogeu Æ valor máximo ocorre quando o cosseno for mínimo (-1). Logo: r(t) = 5865 / (1 ± 0,15) r(t) = 6.900 km Perigeu Æ valor mínimo ocorre quando o cosseno for máximo (1). Logo: r(t) = 5865 / (1 + 0,15) r(t) = 5.100 km S = apogeu + perigeu S = 6900 + 5100 S = 12.000 km 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Resposta: B 3. FGV - VESTIBULAR ± 2014) Se 1 + cos Į���FRV2Į���FRV3Į���FRV4Į��� ... = ���FRP�����Į���Ⱥ����HQWmR��VHQ�Į�p�LJXDO�D a) 0,84. b) 0,90. c) 0,92. d) 0,94. e) 0,96. RESOLUÇÃO: Veja que estamos diante da soma de uma PG infinita de termo inicial a1 = 1, razão q = cos a, que é dada por: 1 1 a S qf � 5 (1 ± cos a) = 1 1 ± cos a = 1/5 cos a = 4/5 Sabemos que sen2a + cos2a = 1, temos: sen2a + (4/5)2 = 1 sen a = 3/5 sen2Į = 2sen(a)cos(a) sen2a = 2(3/5)(4/5) = 24/25 sen2a = 0,96 RESPOSTA: E 4. UNIFESP ± VUNESP ± 2005) A expressão sen(x ± y)cosy + cos(x ± y)seny é equivalente a a) sen (2 x + y). b) cos ( 2 x ). 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 c) sen x. d) sen ( 2 x ). e) cos (2 x + 2 y). RESOLUÇÃO: sen(x ± y)cosy + cos(x ± y)seny = = (senx cosy ± seny cosx) cosy + (cosx cosy + senx seny)seny = senx cos2y ± seny cosx cosy + seny cosx cosy + senx sen2y = senx cos2y + senx sen2y = senx (cos2y + sen2y) senx RESPOSTA: C 5. UNESP ± VUNESP ± 2013) O conjunto solução (S) para a inequação 2·cos2[���FRV��[��!����HP�TXH�����[���Ⱥ��p�GDGR�SRU� a) 5(0, ) | 0 6 6 S x x ou xS SS S ½ � � � �® ¾¯ ¿ b) 2(0, ) | 3 3 S x xS SS ½ � �® ¾¯ ¿ c) 2(0, ) | 0 3 3 S x x ou xS SS S ½ � � � �® ¾¯ ¿ d) 5(0, ) | 6 6 S x xS SS ½ � �® ¾¯ ¿ e) ^ `(0, )S x S RESOLUÇÃO: Sabemos que cos2x = cos2x ± sen2x. Assim, temos: 2·cos2x + cos(2x) > 2 2·cos2x + cos2x ± sen2x > 2 3·cos2x ± sen2x > 2 Vamos substituir sen2x por 1 ± cos2x: 3·cos2x ± (1 ± cos2x) > 2 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 4·cos2x > 3 cos2x > 3/4 Como temos uma inequação, vamos utilizar o sinal de igual temporariamente: cos2x = 3/4 cosx = ±¥3/2 Veja abaixo uma ilustração da situação que temos. Voltando à nossa inequação, para que o cos2x seja maior que 3/4, deveremos ter o cos x < -¥3/2 ou cos x > ¥3/2. Marcamos em vermelhos os pontos que satisfazem essa condição. Note também que o cosseno de módulo igual a ¥3/2 pertence a 30º (Ⱥ/6) e 150º (5Ⱥ/6) no intervalo ����[���Ⱥ, então temos: cosx = ¥3/2 Æ x = Ⱥ/6 cosx = -¥3/2 Æ x = 5Ⱥ/6 Desta forma, x deve ser maior que zero e menor que Ⱥ/6 ou maior que 5Ⱥ/6 e menor que Ⱥ: 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 14 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 5(0, ) | 0 6 6 S x x ou xS SS S ½ � � � �® ¾¯ ¿ RESPOSTA: A 6. UFRN ± COMPERVE ± 2009) Considere a figura abaixo, na qual a circunferência tem raio igual a 1. Nesse caso, as medidas dos segmentos ON, OM e AP correspondem, respectivamente, a a) sen x , sec x e cot gx . b) cos x , sen x e tgx . c) cos x , sec x e cossec x . d) tgx , cossec x e cos x . RESOLUÇÃO: ON está sobre o eixo x, logo é o cos x. OM está sobre o eixo y, logo é o sen x. AP está sobre o eixo da tangente, logo é a tg x. RESPOSTA: B 7. PUC-RS ± VESTIBULAR ± 2011) Ao visitar o Panteon, em Paris, Tales conheceu o Pêndulo de Foucault. O esquema abaixo indica a posição do pêndulo fixado a uma haste horizontal, num certo instante. Sendo L o seu comprimento e x o ângulo em relação a sua posição de equilíbrio, 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 então a altura h do pêndulo em relação à haste horizontal é expressa pela função a) h(x) = L cos (x) b) h(x) = L sen (x) c) h(x) = L sen (2x) d) h(x) = L cos (2x) e) h(x) = 2L cos (x) RESOLUÇÃO: Veja a Figura abaixo: O triângulo retângulo em destaque tem como um de seus catetos a altura h(x) do pendulo em relação à haste horizontal. Já a hipotenusa desse triângulo é o próprio comprimento do pêndulo L. O ângulo x está entre o cateto h(x) e a hipotenusa L. Assim, o cosseno de x é dado por: cos x = h(x) / L h(x) = L cos x RESPOSTA: A 04178253905Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 8. UECE ± UECE/CEV ± 2010 - adaptada) Se x é um arco entre 0° e 90°, tal que tgx, senx e 2sen x x , nesta ordem, são os três primeiros termos de uma progressão geométrica, então o vigésimo segundo termo desta progressão é RESOLUÇÃO: Esta questão foi anulada pela banca, mas vamos resolvê-la mesmo assim. Veja que do primeiro termo (tgx) para o segundo (senx) simplesmente multiplicamos o primeiro por cosx. Do segundo termo para o terceiro (sen2x/x) novamente multiplicamos por cosx. Logo, estamos diante de uma PG de termo inicial tgx e razão q = cosx. O termo geral da PG é dado por 1 1 n na a q � u . Assim, o vigésimo segundo termo desta progressão é: a20 = tgx cos21x a20 = senx cos20x RESPOSTA: senx cos20x 9. CEDERJ ± CECIERJ ± 2014) O valor máximo da função real f(x) = 1 /(2+cos(x)) é: a) 1/3 b) 1/2 c) 1 d) 3 RESOLUÇÃO: Como o cosseno está no denominador, o valor máximo de f(x) virá quando o cosseno atingir seu mínimo, que é -1. Logo: f(x) = 1 /(2+cos(x)) f(x) = 1 /(2-1) f(x) = 1 RESPOSTA: C 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 17 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 10. UECE ± UECE/CEV ± 2010) Se x é um arco localizado no segundo quadrante e cosx = - 3/5 , então o valor de cosx + senx + tgx + cotgx + secx + cossecx é a) -2,3. b) -3,4. c) -4,5. d) -5,6. RESOLUÇÃO: Sabemos que sen2x + cos2x = 1. Substituindo cosx = -3/5, encontraremos senx = 4/5, tendo em vista que x está no segundo quadrante. Assim: tgx = senx/cosx = -4/3 cotgx = 1/tgx = -3/4 secx = 1/cosx = -5/3 cossecx = 5/4 Fazendo a soma, temos: cosx + senx + tgx + cotgx + secx + cossecx = = -3/5 + 4/5 - 4/3 - 3/4 - 5/3 + 5/4 = (-36 + 48 ± 80 - 45 ± 100 + 75)/60 = -138/60 = -2,3 RESPOSTA: A 11. UFF ± VESTIBULAR ± 2008 - adaptada) A equação do tempo é a função que mede a diferença, ao longo de um ano, entre os tempos lidos a partir de um relógio de sol e de um relógio convencional. Ela pode ser aproximada pela função y = f(B) = 9,87 sen (2B) ± 7,53 cos (B) ± 1,5 sen (B) 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 18 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Sendo 2 ( 81) / 364B nS � e n o número do dia, isto é, n = 1 para 1 de janeiro, n = 2 para 2 de janeiro, e assim por diante. É correto afirmar que: a) f(B) = 9,87 sen(2 B) ± 7,53 cos(B) ± 0,75 sen(2 B) b) f(B) = 19,74 sen(B) ± 7,53 cos(B) ± 1,5 sen(B) c) f(B) = [19,74 sen(B) ± 7,53] cos(B) ± 1,5 sen(B) d) f(B) = 9,87 [2 (cos(B))2 ± 1] ± 1,5 sen(B) ± 7,53 cos(B) e) f(B) = 8,37 sen(2 B) ± 7,53 cos(B) RESOLUÇÃO: Sabemos que sen (2B) = 2 sen(B)cos(B). Logo, temos: f(B) = 9,87 sen (2B) ± 7,53 cos (B) ± 1,5 sen (B) f(B) = 9,87 [2 sen(B)cos(B)]± 7,53 cos (B) ± 1,5 sen (B) f(B) = [19,74 sen(B) ± 7,53] cos(B) ± 1,5 sen(B) RESPOSTA: C 12. UNESP ± VUNESP ± 2011) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.) 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 19 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo TXH�FRV�Į�؆ �������RQGH�Į�p� o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28 · 32 · 93,4 ؆ 215 100, a velocidade média, em km/h, com que a 1.ª onda do tsunami atingiu a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. RESOLUÇÃO: Da Geometria Plana temos a Lei dos cossenos assim definida: 2 2 2 2 cos( )a b c bc A � � Veja o triângulo abaixo: 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 20 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Nosso objetivo é encontrar x, ou seja, a distância entre Sendai e o Epicentro. Utilizando a lei dos cossenos temos: x2 = 3202 + 3602 ± 2 . 320 . 360 . cos(a) x2 = 3202 + 3602 ± 2 . 25 . 10 . 22 . 32 . 10 . 0,934 x2 = 3202 + 3602 ± 28 . 32 . 93,4 Como 28 · 32 · 93,4 ؆ 215 100 temos: x2 = 102.400 + 129.600 - 215 100 x2 = 16.900 x = 130 km A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. Logo, a onda percorreu 130 kilômetros em 13 minutos. Em 60 minutos, ela percorre: 130 kilômetros ------------------- 13 minutos x ---------------------------- 60 minutos x = 600 km/h RESPOSTA: E 13. UNICENTRO ± VESTIBULAR ± 2012) A figura representa parte do gráfico cartesiano da função f(x) igual a a) senx b) cosx 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 21 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 c) cotgx d) tgx e) tg2x RESOLUÇÃO: Veja o gráfico abaixo: Os pontos em vermelho são pontos em que a função assume valor nulo (-Ⱥ, 0, Ⱥ, 2Ⱥ, 3Ⱥ, ...). Já os pontos em azul são aqueles em que a função atinge seu mínimo (-Ⱥ/2, 3Ⱥ/2...) ou seu máximo (Ⱥ/2, 5Ⱥ/2,...). Basta agora olharmos o ciclo trigonométrico e identificarmos qual função apresenta esse comportamento. É a função seno que apresenta máximos e mínimos em múltiplos inteiros de Ⱥ/2 e também que apresenta valor nulo nos múltiplos inteiros de Ⱥ. RESPOSTA: A 14. UNEAL ± COPEVE/UFAL ± 2013) As funções trigonométricas são funções angulares importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 22 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário >«@�� Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Função_trigonométrica Dadas as relações sobre as funções trigonométricas, I. sen2 x + cos2 x = 1 II. tg2 x = sec2 x ± 1 III. cosec2 x = cotg2 x + 1 verifica-se que, considerando os domínios das funções envolvidas, a) apenas I é verdadeira. b) apenas I e II são verdadeiras. c) apenas I e III são verdadeiras. d) apenas II e III são verdadeiras. e) todas são verdadeiras. RESOLUÇÃO: Sabemos que a relação I é válida. A partir dela, podemos obter II. Veja: sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x = 1 - cos2 x Dividindo os dois lados por cos2x temos: tg2 x = 1/ cos2 x ± 1 tg2 x = sec2 x ± 1 A partir de I,podemos obter III. Veja: sen2 x + cos2 x = 1 sen2 x = 1 - cos2 x Dividindo os dois lados por sen2x temos: 1 = 1/sen2x - cos2 x/sen2x 1 = cosec2 x ± cotg2 x 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 23 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 cosec2 x = cotg2 x + 1 Portanto, as três relações são verdadeiras. RESPOSTA: E 15. PUC/RJ ± CESGRANRIO ± 2013) Assinale a alternativa correta: a) cos(2000o ) < 0 b) sen(2000o ) > 0 c) sen(2000o ) = cos(2000o ) d) sen(2000o ) = - sen(2000o ) e) sen(2000o ) = - cos(2000o ) RESOLUÇÃO: Repare que 2000º equivale a 5 voltas inteiras (5 x 360º) mais 200º. O ângulo 2000º terá, portanto, o mesmo seno, cosseno e tangente do ângulo 200º. O ângulo 200º pertence ao terceiro quadrante. Logo, terá seno e cosseno negativos e tangente positiva. A única resposta que se encaixa no que aqui foi dito é a letra A. RESPOSTA: A 16. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2012) 6H� WJLJ� � �� H� LJ� SHUWHQFH� DR� SULPHLUR�TXDGUDQWH��HQWmR�FRVLJ�p�LJXDO�D� a) 0 b) 1 2 c) 2 2 d) 3 2 e) 1 RESOLUÇÃO: WJLJ� �� 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 24 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 senLJ = cosLJ Pela tabela dos ângulos que devemos memorizar, sabemos que o ângulo do primeiro quadrante que tem seno igual a cosseno é 45º, cujo cosseno é 2 2 . No entanto, caso você não se lembrasse era só fazer: sen2LJ + cos2LJ = 1 cos2LJ + cos2LJ = 1 2cos2LJ = 1 cos2LJ = 1/2 cosLJ = ± 2 2 Como o ângulo é do primeiro quadrante, nos interessa apenas a resposta cosLJ = ± 2 2 . RESPOSTA: C 17. UFG ± CS/UFG ± 2010) O para-brisa frontal de um carro tem formato plano retangular, medindo 1,41 m de comprimento por 1 m de altura. Os limpadores de para-brisa desse carro funcionam no sistema oposto, ou seja, contêm duas palhetas idênticas, fixadas nos cantos inferiores do para-brisa, como mostra a figura. 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 25 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Ao serem acionadas, as palhetas fazem um movimento em sentido circular para limpar o vidro. Considere que as pontas das palhetas ficam rentes uma da outra ao passarem pelo ponto A, em que o menor ângulo formado entre as palhetas é LJ, tal que cosLJ=-0,125. Tendo em vista estes dados, o tamanho da palheta é, em metros, a) 0,80 b) 0,94 c) 1,00 d) 1,08 e) 1,41 RESOLUÇÃO: Repare no triângulo isósceles formado no interior da figura, que tem base igual a 1,41 m, lados iguais às palhetas, cujo comprimento vamos chamar de x, e ângulo LJ entre esses lados. Aplicando a Lei dos cossenos, temos: 2 2 2 2 cos( )a b c bc A � � 1,412 = x2 + x2 ± 2 . x . x . cosLJ 1,412 = 2x2 (1 ± cosLJ) 1,98 = 2x2 (1 + 0,125) 1,76 = 2x2 x2 = 0,88 x = 0,94 m RESPOSTA: B 18. UNICAMP ± COMVEST ± 2013) Seja x real tal que cos x = tan x. O valor de sen x é a) ( 3 1) / 2� b) (1 3) / 2� c) ( 5 1) / 2� d) (1 5) / 2� 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 26 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 RESOLUÇÃO: cos x = tan x cos x = sen x / cos x cos2x = sen x 1 ± sen2x = sen x sen2x + sen x ± 1 = 0 delta = 1 ± 4 (1)(-1) = 5 sen x = (-1 ± ¥���� sen1x = (-1 - ¥�����Æ resposta inválida Æ valor de seno em módulo > 1 sen2x = (-1 + ¥�����Æ resposta válida RESPOSTA: C 19. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x. RESOLUÇÃO: f(x) = sen x f(Ⱥ) = sen Ⱥ f(Ⱥ) = 0 g(x) = 1/2 + cos x g(-4Ⱥ/3) = 1/2 + cos(-4Ⱥ/3) Ⱥ corresponde a 180 graus. Dessa forma, -4Ⱥ/3 equivale a -240 graus, que por sua vez equivale a 120 graus. Este nada mais é do que um múltiplo de 60 graus que se encontra no segundo quadrante, tendo, portanto, o cosseno igual em módulo ao de 60º mas com sinal inverso. Assim, temos: g(-4Ⱥ/3) = 1/2 - 1/2 = 0 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 27 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Logo, está certo. RESPOSTA: CERTO 20. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2011) Para resolver uma discussão entre dois alunos sobre a definição da função cossecante, um deles foi à Biblioteca Central. Como resultado da pesquisa, ele encontrou a definição de cossec x , que é a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: Da geometria temos que a cossecante é o inverso da função seno: cossec(a) = 1 / sen(a) RESPOSTA: E 21. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2012) Um candidato procurou a coordenação do Curso de Matemática para saber do uso desta disciplina nas diversas áreas de conhecimento. Foi-lhe dito que vários problemas são resolvidos com conhecimentos de Matemática do Ensino Médio, tais como os apresentados a seguir. Uma formiga percorre uma circunferência trigonométrica partindo de sua origem. Ela para no ponto P(x, 1/5) do primeiro quadrante. O cosseno do arco percorrido pela formiga é D��¥���� E��¥���� 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 28 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 c) 24/5 d) 4/5 e) 2/5 RESOLUÇÃO: Veja a representação do problema na figura abaixo: A ordenada do ponto P nos dá o seno do arco percorrido pela formiga. Portanto, sen a = 1/5. Para achar o cosseno, basta fazer: sen2x + cos2x = 1 (1/5)2 + cos2x = 1 cos2x = 1 ± 1/25 cos2x = 24/25 cos x = ¥���� RESPOSTA: A 22. UEG ± UEG ± 2007) Sendo x um número real qualquer, a expressão (sen x + cos x )2 - sen2x é igual a a) 1. b) -2. F���¥�� 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 29 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 G��¥�� RESOLUÇÃO: (senx + cos x )2 - sen2x = = (sen2x + 2senxcosx + cos2x ) ± 2senxcosx = sen2x + cos2x + 2senxcosx ± 2senxcosx = 1 RESPOSTA: A 23. UECE ± UECE/CEV ± 2010) Se x é um arco do primeiro quadrante e sen4x ± cos4x = 1/2 , então tgx é igual a a) 1. E��¥���� F��¥���� G��¥� RESOLUÇÃO: Se x é um arco do primeiro quadrante, só nos interessa valores de sen x e cos x positivos. sen4x ± cos4x = 1/2 sen4x ± cos2x cos2x = 1/2 sen4x ± (1 - sen2x) (1 - sen2x) = 1/2 sen4x ± (1 - 2sen2x + sen4x) = 1/2 sen4x ± 1 + 2sen2x - sen4x = 1/2 ± 1 + 2sen2x = 1/2 sen2x = 3/4 senx = ¥3/2 cos2x = 1 - sen2x cos2x = 1 ± 3/4 cosx = 1/2 tgx = senx / cosx 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 30 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOSCOMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 tgx = ¥3/2 / (1/2) tgx = ¥3 RESPOSTA: D 24. UNIFESP ± VUNESP ± 2005) Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x, então sen (2x) é igual a a) b) c) d) e) RESOLUÇÃO: Se x é um arco do primeiro quadrante, só nos interessa valores de sen x e cos x positivos. cos2x = 1 - sen2x cos2x = 1 ± (3 cos x)2 cos2x = 1 ± 9 cos2x 10cos2x = 1 cosx = ¥(1/10) sen x = 3 cos x sen x = 3¥(1/10) 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 31 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 sen (2x) = 2 senx cosx sen (2x) = 2 3¥(1/10) ¥(1/10) sen (2x) = 6/10 = 3/5 RESPOSTA: B 25. UECE ± UECE/CEV ± 2013) O período e a imagem da função periódica f: R ĺR definida por f(x) = cos2x ± sen2x, são respectivamente, D���Ⱥ�H�>-1,1]. E���Ⱥ�H�>-2,2]. F��Ⱥ�H�>-2,2]. G��Ⱥ�H�>-1,1]. RESOLUÇÃO: Chamamos de período de uma função um valor p para o qual f(x) = I�[���S���2X�VHMD��D�FDGD�³S´�YDORUHV�D� IXQomR�VH� UHSHWH�� ,VVR�DFRQWHFH� com a função seno e cosseno, que se repetem a cada 2Ⱥ radianos. Nas alternativas temos duas opções de períodos: 2Ⱥ e Ⱥ. Vamos testá-las: Período p = Ⱥ f(x+Ⱥ) = cos2(x+Ⱥ) ± sen2(x+Ⱥ) Æ o cosseno de x+Ⱥ teria sinal inverso ao de x, no entanto, o cosseno está elevado ao quadrado, assumindo valor positivo. Da mesma forma ocorre com o seno: o seno de x+Ⱥ teria sinal inverso ao de x, no entanto, o seno está elevado ao quadrado, assumindo valor positivo. Logo: f(x+Ⱥ) = cos2(x+Ⱥ) ± sen2(x+Ⱥ) = cos2(x) - sen2(x) = f(x) Período p = 2Ⱥ f(x+2Ⱥ) = cos2(x+2Ⱥ) ± sen2(x+2Ⱥ) Æ o cosseno e o seno de x+2Ⱥ são iguais ao de x, visto que 2Ⱥ é uma volta completa no ciclo trigonométrico. Logo: f(x+2Ⱥ) = cos2(x+2Ⱥ) ± sen2(x+2Ⱥ) = cos2(x) ± sen2(x) = f(x) 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 32 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Portanto, tanto para p = Ⱥ quanto para p = 2Ⱥ provamos que f(x+p) = f(x). O que isso quer dizer? Quer dizer que a função tem período p = Ⱥ. Como 2Ⱥ é múltiplo de Ⱥ, a função volta a se repetir também se considerarmos esse período. Mas o menor valor para o qual a função se repete é p = Ⱥ. Logo, esse é o período da função f(x). A imagem de f(x) são os valores que f(x) pode assumir. Veja que: f(x) = cos2x ± sen2x f(x) = cos2x ± (1 - cos2x) f(x) = 2cos2x ± 1 O cosx assume valores de -1 a 1. Logo, o cos2x assume valores de 0 a 1. 2cos2x assume valores de 0 a 2. 2cos2x assume valores de -1 a 1. RESPOSTA: D 26. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2014) Sendo x um arco satisfazendo S /2 < x < S ; e sen(x) = 24/25, o valor de cos (x/2) é a) 1/25 b) - 1/5 c) 1/5 d) - 3/5 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 33 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 e) 3/5 RESOLUÇÃO: cos2x = 1 ± sen2(x) = 1 ± (24/25)2 cos2x = 49/625 cos x = ±7/25 No entanto, S /2 < x < S . Logo, cos x = -7/25 cos (x/2) = ±¥[(1 + cos x)/2] cos (x/2) = ±¥[(1 - 7/25)/2] cos (x/2) = ±¥[(18/25)/2] cos (x/2) = ±¥(9/25) cos (x/2) = ±3/5 Se x está entre S /2 e S , então x/2 está entre 0 e S /2. Assim, o cos(x/2) > 0 Æ cos (x/2) = 3/5. RESPOSTA: E 27. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2015) O calçadão de Copacabana é um dos lugares mais visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado na praça do Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do mar. Quando vemos seus desenhos, fica evidente que podemos pensar na representação gráfica de uma função, a) logarítmica. b) exponencial. c) seno ou cosseno. d) polinomial de grau 1. 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 34 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 e) polinomial de grau 2. RESOLUÇÃO: Veja abaixo o gráfico de uma função seno: O gráfico da função cosseno é bem semelhante, apresentado uma defasagem em relação ao da função seno. Como vimos nas aulas anteriores, o gráfico das funções apresentadas nas outras alternativas são EHP� GLIHUHQWHV� GR� ³RQGXODGR´� DSUHVHQWDGR� QR� HQXQFLDGR� GD� TXHVWmR�� Portanto, letra C. RESPOSTA: C 28. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x O conjunto imagem da função [f(x)]2 + [g(x)]2 é o intervalo RESOLUÇÃO: [f(x)]2 + [g(x)]2 = = [sen x]2 + [1/2 + cos x]2 = sen2x + 1/4 + cos x + cos2x = 1 + 1/4 + cos x = 5/4 + cos x A função cos x tem como imagem [-1, 1]. Logo, a função 5/4 + cosx tem como imagem [1/4, 9/4]. Portanto, a alternativa está errada. RESPOSTA: ERRADO 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 35 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 29. FGV ± VESTIBULAR ± 2015) 1R� LQWHUYDOR�GH���D�Ⱥ��D� IXQomR�TXH� permite calcular a área A da região limitada pelo eixo x, pelas retas de equações x = p e x = q e pelo gráfico da função definida por y = sen x é dada por A = cos p ± cos q. Com base na informação fornecida, observe a figura a seguir. A área da região sombreada nessa figura é, aproximadamente, igual a a) 2,64. b) 2,14. c) 1,86. d) 1,14. e) 0,86. RESOLUÇÃO: A área é dada por A = cos p ± cos q. Na segunda figura do enunciado, vemos que a reta x = p está sobre o eixo y, portanto, x = p = 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 36 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 0. Já a outra reta é x = q = Ⱥ. Assim, a área na cor branca da figura abaixo fica sendo: Abranca = cos p ± cos q Abranca = cos 0 ± cos Ⱥ Abranca = 1 ± (-1) Abranca = 2 A área da região sombreada fica sendo a área do retângulo subtraído da área da região branca. Logo: Asombreada = Aretângulo - Abranca Asombreada = Ⱥ ± 2 Asombreada = 3,14 ± 2 Asombreada = 1,14 RESPOSTA: D 30. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x. 1R� LQWHUYDOR� >��� �Ⱥ@�� DV� FXUYDV� TXH� representam graficamente as duas funções intersectam-se uma única vez. RESOLUÇÃO: As funções intersectam-se nos pontos em que elas assumem valores iguais. Logo: f(x) = g(x) sen x = 1/2 + cos x sen x = 1/2 + ¥(1 ± sen2x) 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 37 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 sen x ± 1/2 = ¥(1 ± sen2x) (sen x ± 1/2)2 = 1 ± sen2x sen2x ± sen x + 1/4 = 1 ± sen2x 2sen2x ± sen x ± 3/4 = 0 Delta = (-1)2 ± 4(2)(-3/4) Delta = 7 sen x = (1 ± ¥7)4 sen x1 = (1 + ¥��/4 Æ x1 = arcsen (0,91) sen x2 = (1 - ¥�����Æ x2 = arcsen (-0,41) Portanto, nR� LQWHUYDOR�>��� �Ⱥ@�� DV� FXUYas que representam graficamente as duas funções intersectam-se duas vezes. RESPOSTA: ERRADO Fim de aula!!! Nos vemos na aula 15. Abraço, Prof. Arthur Lima Periscope: @ARTHURRRL Facebook: www.facebook.com/ProfArthurLima 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 38 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 1. ENEM ± 2015) Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. A partir de uma série história, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função , onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro. Na safra, o mês de produção máxima desse produto é (A) janeiro. (B) abril. (C) junho. (D) julho. (E) outubro. 2. ENEM - 2010) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 39 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por � � � � 5865 1 0,15 0,06 r t cos t � 8P� FLHQWLVWD�PRQLWRUD� R�PRYLPHQWR� GHVVH� VDWpOLWH� SDUD� FRQWURODU� R� VHX� afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de A) 12765 km. B) 12000 km. C) 11730 km. D) 10965 km. E) 5865 km. 3. FGV - VESTIBULAR ± 2014) 6H�����FRV�Į���FRV2Į���FRV3Į���FRV4Į��� ... = ���FRP�����Į���Ⱥ����HQWmR��VHQ�Į�p�LJXDO�D a) 0,84. b) 0,90. c) 0,92. d) 0,94. e) 0,96. 4. UNIFESP ± VUNESP ± 2005) A expressão sen(x ± y)cosy + cos(x ± y)seny é equivalente a a) sen (2 x + y). b) cos ( 2 x ). c) sen x. d) sen ( 2 x ). e) cos (2 x + 2 y). 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 40 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 5. UNESP ± VUNESP ± 2013) O conjunto solução (S) para a inequação 2·cos2x + coV��[��!����HP�TXH�����[���Ⱥ��p�GDGR�SRU� a) 5(0, ) | 0 6 6 S x x ou xS SS S ½ � � � �® ¾¯ ¿ b) 2(0, ) | 3 3 S x xS SS ½ � �® ¾¯ ¿ c) 2(0, ) | 0 3 3 S x x ou xS SS S ½ � � � �® ¾¯ ¿ d) 5(0, ) | 6 6 S x xS SS ½ � �® ¾¯ ¿ e) ^ `(0, )S x S 6. UFRN ± COMPERVE ± 2009) Considere a figura abaixo, na qual a circunferência tem raio igual a 1. Nesse caso, as medidas dos segmentos ON, OM e AP correspondem, respectivamente, a a) sen x , sec x e cot gx . b) cos x , sen x e tgx . c) cos x , sec x e cossec x . d) tgx , cossec x e cos x . 7. PUC-RS ± VESTIBULAR ± 2011) Ao visitar o Panteon, em Paris, Tales conheceu o Pêndulo de Foucault. O esquema abaixo indica a posição do pêndulo fixado a uma haste horizontal, num certo instante. Sendo L o 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 41 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 seu comprimento e x o ângulo em relação a sua posição de equilíbrio, então a altura h do pêndulo em relação à haste horizontal é expressa pela função a) h(x) = L cos (x) b) h(x) = L sen (x) c) h(x) = L sen (2x) d) h(x) = L cos (2x) e) h(x) = 2L cos (x) 8. UECE ± UECE/CEV ± 2010 - adaptada) Se x é um arco entre 0° e 90°, tal que tgx, senx e 2sen x x , nesta ordem, são os três primeiros termos de uma progressão geométrica, então o vigésimo segundo termo desta progressão é 9. CEDERJ ± CECIERJ ± 2014) O valor máximo da função real f(x) = 1 /(2+cos(x)) é: a) 1/3 b) 1/2 c) 1 d) 3 10. UECE ± UECE/CEV ± 2010) Se x é um arco localizado no segundo quadrante e cosx = - 3/5 , então o valor de cosx + senx + tgx + cotgx + secx + cossecx é a) -2,3. b) -3,4. 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 42 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 c) -4,5. d) -5,6. 11. UFF ± VESTIBULAR ± 2008 - adaptada) A equação do tempo é a função que mede a diferença, ao longo de um ano, entre os tempos lidos a partir de um relógio de sol e de um relógio convencional. Ela pode ser aproximada pela função y = f(B) = 9,87 sen (2B) ± 7,53 cos (B) ± 1,5 sen (B) Sendo 2 ( 81) / 364B nS � e n o número do dia, isto é, n = 1 para 1 de janeiro, n = 2 para 2 de janeiro, e assim por diante. É correto afirmar que: a) f(B) = 9,87 sen(2 B) ± 7,53 cos(B) ± 0,75 sen(2 B) b) f(B) = 19,74 sen(B) ± 7,53 cos(B) ± 1,5 sen(B) c) f(B) = [19,74 sen(B) ± 7,53] cos(B) ± 1,5 sen(B) d) f(B) = 9,87 [2 (cos(B))2 ± 1] ± 1,5 sen(B) ± 7,53 cos(B) e) f(B) = 8,37 sen(2 B) ± 7,53 cos(B) 12. UNESP ± VUNESP ± 2011) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.) 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 43 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 Baseando-se nos dados fornHFLGRV�H�VDEHQGR�TXH�FRV�Į�؆ �������RQGH�Į�p� o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 28 · 32 · 93,4 ؆ 215 100, a velocidade média, em km/h, com que a 1.ª onda do tsunami atingiu a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600. 13. UNICENTRO ± VESTIBULAR ± 2012) A figura representa parte do gráfico cartesiano da função f(x) igual a a) senx b) cosx c) cotgx d) tgx e) tg2x 14. UNEAL ± COPEVE/UFAL ± 2013) As funções trigonométricas são funções angulares importantes no estudo dos triângulos e na modelagem de fenômenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário >«@�� Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Função_trigonométrica Dadas as relações sobre as funções trigonométricas, 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br44 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 I. sen2 x + cos2 x = 1 II. tg2 x = sec2 x ± 1 III. cosec2 x = cotg2 x + 1 verifica-se que, considerando os domínios das funções envolvidas, a) apenas I é verdadeira. b) apenas I e II são verdadeiras. c) apenas I e III são verdadeiras. d) apenas II e III são verdadeiras. e) todas são verdadeiras. 15. PUC/RJ ± CESGRANRIO ± 2013) Assinale a alternativa correta: a) cos(2000o ) < 0 b) sen(2000o ) > 0 c) sen(2000o ) = cos(2000o ) d) sen(2000o ) = - sen(2000o ) e) sen(2000o ) = - cos(2000o ) 16. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2012) 6H� WJLJ� � �� H� LJ� SHUWHQFH� DR� SULPHLUR�TXDGUDQWH��HQWmR�FRVLJ�p�LJXDO�D� a) 0 b) 1 2 c) 2 2 d) 3 2 e) 1 17. UFG ± CS/UFG ± 2010) O para-brisa frontal de um carro tem formato plano retangular, medindo 1,41 m de comprimento por 1 m de altura. Os limpadores de para-brisa desse carro funcionam no sistema 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 45 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 oposto, ou seja, contêm duas palhetas idênticas, fixadas nos cantos inferiores do para-brisa, como mostra a figura. Ao serem acionadas, as palhetas fazem um movimento em sentido circular para limpar o vidro. Considere que as pontas das palhetas ficam rentes uma da outra ao passarem pelo ponto A, em que o menor ângulo formado entre as palhetas é LJ, tal que cosLJ=-0,125. Tendo em vista estes dados, o tamanho da palheta é, em metros, a) 0,80 b) 0,94 c) 1,00 d) 1,08 e) 1,41 18. UNICAMP ± COMVEST ± 2013) Seja x real tal que cos x = tan x. O valor de sen x é a) ( 3 1) / 2� b) (1 3) / 2� c) ( 5 1) / 2� d) (1 5) / 2� 19. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x. 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 46 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 20. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2011) Para resolver uma discussão entre dois alunos sobre a definição da função cossecante, um deles foi à Biblioteca Central. Como resultado da pesquisa, ele encontrou a definição de cossec x , que é a) b) c) d) e) 21. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2012) Um candidato procurou a coordenação do Curso de Matemática para saber do uso desta disciplina nas diversas áreas de conhecimento. Foi-lhe dito que vários problemas são resolvidos com conhecimentos de Matemática do Ensino Médio, tais como os apresentados a seguir. Uma formiga percorre uma circunferência trigonométrica partindo de sua origem. Ela para no ponto P(x, 1/5) do primeiro quadrante. O cosseno do arco percorrido pela formiga é D��¥���� E��¥���� c) 24/5 d) 4/5 e) 2/5 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 47 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 22. UEG ± UEG ± 2007) Sendo x um número real qualquer, a expressão (sen x + cos x )2 - sen2x é igual a a) 1. b) -2. F���¥�� G��¥�� 23. UECE ± UECE/CEV ± 2010) Se x é um arco do primeiro quadrante e sen4x ± cos4x = 1/2 , então tgx é igual a a) 1. E��¥���� F��¥���� G��¥� 24. UNIFESP ± VUNESP ± 2005) Se x é a medida de um arco do primeiro quadrante e se sen x = 3 cos x, então sen (2x) é igual a a) b) c) d) e) 25. UECE ± UECE/CEV ± 2013) O período e a imagem da função periódica f: R ĺR definida por f(x) = cos2x ± sen2x, são respectivamente, 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 48 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 D���Ⱥ�H�>-1,1]. E���Ⱥ�H�>-2,2]. F��Ⱥ�H�>-2,2]. G��Ⱥ�H�>-1,1]. 26. PUC/RJ ± VESTIBULAR ± 2014) Sendo x um arco satisfazendo S /2 < x < S ; e sen(x) = 24/25, o valor de cos (x/2) é a) 1/25 b) - 1/5 c) 1/5 d) - 3/5 e) 3/5 27. PUC/RS ± VESTIBULAR ± 2015) O calçadão de Copacabana é um dos lugares mais visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado na praça do Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do mar. Quando vemos seus desenhos, fica evidente que podemos pensar na representação gráfica de uma função, a) logarítmica. b) exponencial. c) seno ou cosseno. d) polinomial de grau 1. e) polinomial de grau 2. 28. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 49 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 O conjunto imagem da função [f(x)]2 + [g(x)]2 é o intervalo 29. FGV ± VESTIBULAR ± 2015) 1R� LQWHUYDOR�GH���D�Ⱥ��D� IXQomR�TXH� permite calcular a área A da região limitada pelo eixo x, pelas retas de equações x = p e x = q e pelo gráfico da função definida por y = sen x é dada por A = cos p ± cos q. Com base na informação fornecida, observe a figura a seguir. A área da região sombreada nessa figura é, aproximadamente, igual a a) 2,64. b) 2,14. c) 1,86. d) 1,14. e) 0,86. 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 50 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 30. UFBA ± VESTIBULAR ± 2013) Para responder a essa questão, considere as funções reais f(x) = sen x e g(x) = 1/2 + cos x. No intervalo >��� �Ⱥ@�� DV� FXUYDV� TXH� UHSUHVHQWDP� JUDILFDPHQWH� DV� GXDV� funções intersectam-se uma única vez. 04178253905 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 51 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS P/ ENEM TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 14 01 D 02 B 03 E 04 C 05 A 06 B 07 A 08 * 09 C 10 A 11 C 12 E 13 A 14 E 15 A 16 C 17 B 18 C 19 C 20 E 21 A 22 A 23 D 24 B 25 D 26 E 27 C 28 E 29 D 30 E * senx cos20x 04178253905
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