Exercícios Resolvidos sobre: I - Conceitos Elementares

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Exercícios Resolvidos sobre: 
I - Conceitos Elementares 
 
Grupo I – Análise da Evolução de Séries Temporais 
 
Questão 1 
a) No quadro temos uma série temporal relativa ao período entre 0 e 4 para a variável 
X. 
 Comecemos por calcular as taxas de crescimento simples para cada período 
para em seguida calcular a respectiva média aritmética. 
t.c.t 
1 0
1
0
120 100. .
100
X Xt c
X
− −= = =0,2 
2 1
2
1
132 120. .
120
X Xt c
X
− −= = =0,1 
3 2
3
2
264 132. .
132
X Xt c
X
− −= = =1 
4 3
4
3
277, 2 264. .
264
X Xt c
X
− −= = =0,05
 A média aritmética das taxas de crescimento é dada pela soma de todas as 
taxas a dividir pelo número total de taxas: 
 1 2 3 4. . . . . . . . 0, 2 0,1 1 0,05Média aritmética t.c. 0,3375
4 4
t c t c t c t c+ + + + + += = = 
 Em média, a nossa variável cresceu à taxa de 33,75% ao ano. 
 
b) A média geométrica das taxas de crescimento somadas à unidade, t.c.g, é dada pela 
raiz do produto de todas as taxas somadas à unidade sendo o radical igual ao número 
total de taxas: 
44
1 2 3 41 . . (1 . . ) (1 . . ) (1 . . ) (1 . . ) (1 0,2) (1 0,1) (1 1) (1 0,05) 1, 29gt c t c x t c x t c x t c x x x+ = + + + + = + + + + =
 Vamos deixar a interpretação deste valor para a alínea seguinte. 
 
c) Na alínea c pedem-nos para calcular taxas de crescimento médio e não médias, 
aritméticas ou geométricas, das taxas de crescimento, como fizemos nas alíneas 
anteriores. 
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Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 2 
Para calcular a taxa média de crescimento temos que atender à definição da 
mesma: é a taxa de crescimento, igual para todos os períodos, que aplicada ao valor 
inicial da variável e assim sucessivamente período após período permite obter o valor 
final da mesma. 
Vamos calculá-la pelos dois processos que conhecemos embora só 
necessitássemos de utilizar um deles. Pela forma como os dados são fornecidos o 
processo mais fácil é aquele que se baseia nos valores inicial e final da variável. 
 
( i ) Para o período entre 0 e 3, a taxa de crescimento médio é dada por: 
 
Processo 1 
3 330 3
0
264. . . 1 1 1,382 1 0,382
100
Xt c m
X−
= − = − = − = 
 
Processo 2 
3
0 3 1 2 3. . . (1 . . )(1 . . )(1 . . ) 1t c m t c t c t c− = + + + − 
3
0 3
3
0 3
. . . (1 0,2)(1 0,1)(1 1)(1 0,05) 1
. . . 2,64 1 0,382
t c m
t c m
−
−
= + + + + −
= − = 
 Entre o período 0 e o período 3 a variável cresceu à taxa média de 38,2% por 
período, ou seja, se aplicarmos esta taxa ao valor inicial (X0=100) da variável e assim 
sucessivamente até ao período 3 vamos obter o valor final, X3=264. 
 
( ii ) Para o período entre 0 e 4, a taxa de crescimento médio é dada por: 
 
Processo 1 
4 440 4
0
277,2. . . 1 1 1, 2903 1 0,29
100
Xt c m
X−
= − = − = − = 
 
Processo 2 
4
0 4 1 2 3 4. . . (1 . . )(1 . . )(1 . . )(1 . . ) 1t c m t c t c t c t c− = + + + + − 
4
0 4
4
0 4
. . . (1 0, 2)(1 0,1)(1 1)(1 0,05) 1
. . . 2,772 1 0,29
t c m
t c m
−
−
= + + + + −
= − = 
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 Entre o período 0 e o período 4 a variável cresceu à taxa média de 29% por 
período, ou seja, se aplicarmos esta taxa ao valor inicial (X0=100) da variável e assim 
sucessivamente até ao período 4 vamos obter o valor final, X4=277,2 (o mesmo 
raciocínio pode ser feito entre 0 e 3). 
 Se compararmos este resultado com o da alínea a) verificamos que a taxa 
média de crescimento não é uma média aritmética das taxas de crescimento simples. 
Com efeito, se aplicarmos a média aritmética das taxas ao valor inicial da variável e 
assim sucessivamente período após período não obtemos o valor final da mesma. 
 Por outro lado, se compararmos o resultado com a alínea b) verificamos que a 
taxa média de crescimento é igual à média geométrica das taxas de crescimento 
simples somadas à unidade. 
 Podemos ainda constatar que a taxa média de crescimento para o período entre 
0 e 3 é superior à taxa média de crescimento para o período entre 0 e 4. Isto acontece 
porque a taxa de crescimento simples do período 4 é inferior às dos restantes períodos 
o que vai puxar a média geométrica das taxas de crescimento simples somadas à 
unidade ou taxa média de crescimento para baixo, entre o período 0 e o período 4. 
 
Questão 2 
Consideremos o gráfico seguinte que contém uma série temporal relativa à 
produção, com observações trimestrais para 6 anos, de 2010 a 2105. 
Produção Industrial
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
140.00
i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv i ii iii iv
trimestres
2010-2015
ín
di
ce
s
 
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 Cada ponto do gráfico refere-se à observação da produção relativa a um 
trimestre de um determinado ano. 
 Através da análise do gráfico podemos efectuar diferentes análises da 
evolução da produção: 
 
a) Podemos querer saber a tendência da evolução da produção ao longo do conjunto 
dos 6 anos em análise. 
A tendência de evolução de uma série pode ser interpretada como a característica 
dominante da evolução anual, crescente ou decrescente. 
Apesar da informação ser trimestral, se verificarmos que em todos os trimestres 
entre dois anos consecutivos a produção cresceu, então entre os dois anos também terá 
crescido (um ano é soma dos quatro trimestres). 
Os valores do primeiro trimestre crescem em todos os anos excepto em 2013 em 
que estagnam. Os valores do segundo trimestre crescem em todos os anos excepto em 
2014. Os valores do terceiro crescem em todos os anos. Os valores do quarto trimestre 
crescem excepto em 2014. 
 2010 a 2011 2011 a 2012 2012 a 2013 2013 a 2014 2014 a 2015 
1ºTrimestre cresce cresce estagna cresce cresce 
2ºTrimestre cresce cresce cresce decresce cresce 
3ºTrimestre cresce cresce cresce cresce cresce 
4ºTrimestre cresce cresce cresce decresce cresce 
Ano=Soma dos 
trimestres 
CRESCE CRESCE CRESCE ESTAGNA/ 
DECRESCE 
CRESCE 
Olhando para o quadro e lendo coluna a coluna constatamos que houve: 
crescimento em todos os trimestres em 2011 (relativamente a 2010); crescimento em 
todos os trimestres em 2012 (relativamente a 2011) e crescimento em todos os 
trimestres em 2013 (relativamente a 2012), logo neste três primeiros anos a produção 
industrial cresceu em todos os anos. Em 2014 (relativamente a 2013), nos primeiro e 
terceiro trimestres a produção industrial cresce, mas nos segundo e quarto trimestre 
decresce, pelo que em termos anuais terá havido uma estagnação caso as variações de 
sinal contrário se compensem exactamente, ou um decrescimento caso a diminuições 
registadas seja mais fortes do que o aumentos. Em 2015 (relativamente a 2014), a 
produção volta a crescer em todos os trimestres e logo em termos anuais. 
Temos para o período de 2010 a 2015, quatro anos de crescimento e apenas um de 
decrescimento pelo que podemos concluir que a tendência de evolução da série foi 
crescente. 
 
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b-i) Podemos também querer saber como se comporta a produção em cada ano, ou 
seja, de trimestre para trimestre. 
Verificamosque a produção cresce no segundo trimestre, decresce no terceiro e 
torna a crescer no quarto em todos os anos. 
 2010 2011 2012 2013 2014 2015 
1ºT-2ºT cresce cresce cresce cresce cresce cresce 
2ºT-3ºT decresce decresce decresce decresce decresce decresce 
3ºT-4ºT cresce cresce cresce cresce cresce cresce 
Se observarmos os seis anos verificamos que a evolução trimestral se repete em 
todos eles. 
Este fenómeno é conhecido por sazonalidade: variações que ocorrem entre os sub-
períodos do ano e que se repetem ano após ano, podendo resultar, por exemplo, de 
factores climatéricos ou culturais (Verão, Natal,etc.). 
Por exemplo, em Setembro, período em que se inicia um novo ano lectivo, 
verifica-se um aumento da procura de livros relativamente aos restantes meses do ano. 
Temos aqui um factor cultural a determinar uma variação da procura de livros que se 
repete todos os anos. Nos meses de Verão aumenta a produção de frutas relativamente 
aos restantes meses do ano o que deriva de um factor climatérico. 
 
b-ii) Além das flutuações em cada ano podemos analisar as flutuações ao longo do 
período total com base na nossa análise anual inicial. 
Olhando para o primeiro quadro constatamos que: 
- entre 2010 e 2013 todos os trimestres crescem excepto o primeiro em 2013 
pelo que podemos dizer que foi um período de crescimento; 
- em 2014, o primeiro e terceiro trimestre crescem mas o segundo e o quarto 
decrescem: se as duas evoluções opostas se compensam temos estagnação se o 
decrescimento é mais forte temos decrescimento; 
- em 2015 todos os trimestres voltam a crescer. 
 Temos então crescimento de 2010 a 2013, decrescimento em 2014 e 
novamente crescimento em 2015. 
 
c) Já sabemos que a tendência de evolução da produção entre 2010 e 2015 foi de 
crescimento (alínea a). Mas também sabemos que determinados anos se comportaram 
de forma diferente (alínea b-ii). 
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No período total podemos então identificar sub-períodos de evolução, isto é, 
identificar os anos em que a produção cresceu, aqueles em que estagnou e aqueles em 
que decresceu. Atendendo à análise da alínea anterior, os sub-períodos de crescimento 
são dois: 2010 a 2013 e 2015; e temos também um sub-período de decrescimento (ou 
estagnação), 2014. 
 
d) Para concluir, face às diversas análises que realizámos podemos dizer que, se o 
nosso objectivo é efectuar uma análise da evolução anual da produção mas as 
observações referem-se a subperíodos do ano, a trimestres, então temos que comparar 
os mesmos trimestres dos diferentes anos. 
Se utilizássemos trimestres diferentes de anos consecutivos estaríamos a 
enviesar a nossa análise devido ao fenómeno da sazonalidade: diferentes trimestres 
estão sujeitos a influências diferentes, para além daquelas que afectam anualmente 
todos os trimestres e que variam de ano para ano. 
 
Questão 3 
 Consideremos o quadro com os valores trimestrais de X para dois anos, 1998 e 
1999. Como os valores são trimestrais e queremos uma análise da evolução anual 
temos que calcular as respectivas taxas de crescimento homólogas anuais: 
Trimestre/ano X Trimestre/ano X t.c.h.s(t) 
I/1998 100 I/1999 135 
(1999)
(1999)
(1998)
135. . . 1 1
100
I
I
I
X
t c h
X
= − = − =0,35 
II/1998 110 II/1999 150 
(1999)
(1999)
(1998)
150. . . 1 1
110
II
II
II
X
t c h
X
= − = − =0,36 
III/1998 125 III/1999 170 
(1999)
(1999)
(1998)
170. . . 1 1
125
III
III
III
X
t c h
X
= − = − =0,3
6 
IV/1998 130 IV/1999 175 
(1999)
(1999)
(1998)
175. . . 1 1
130
IV
IV
IV
X
t c h
X
= − = − =0,35
 Como podemos verificar as taxas homólogas anuais são semelhantes dado que 
tivémos em conta o fenómeno da sazonalidade. Já se tivéssemos comparado o valor 
do quarto trimestre do ano 1999 com o do primeiro trimestre do ano 1998 tínhamos 
obtido uma taxa de 0,75 enviesada para cima uma vez que X cresce trimestre a 
trimestre em cada ano. 
 
 
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Questão 4 
Com o exercício 4 pretendemos comparar a evolução da produção de cimento 
no país A e no país B que, como podemos constatar, têm valores com ordem de 
grandezas muito diferentes (A na casa das centenas e B na casa das centenas de 
milhares). 
 Podemos efectuar esta análise através de um gráfico. A questão é saber se esta 
análise comparada é mais fácil utilizando um gráfico com valores absolutos ou com 
valores relativos (índices). 
Comecemos por desenhar o gráfico com valores absolutos. Como se trata da 
representação gráfica de séries temporais, no eixo horizontal ou eixo das abcissas 
inscrevemos os períodos aos quais se referem as observações, neste caso o ano, e no 
eixo vertical ou eixo das ordenadas inscrevemos as toneladas de cimento. 
Produção de cimento nos países A e B
0
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991
ano
to
ne
la
da
s
País A
País B
 
 Como podemos constatar, a diferença na ordem de grandeza dos valores da 
produção de cimento nos dois países não permite a comparação da evolução da 
mesma utilizando um único gráfico. Para representarmos ambas as evoluções no 
mesmo gráfico, a escala utilizada faz com que a produção no país A pareça igual a 
zero em qualquer dos anos e sem variação. 
 
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Vamos então calcular as séries de números índices e desenhar o respectivo 
gráfico: 
It/85 
País A País B 
I85/85=100 I85/85=100 
I86/85= 100
101
111 x =109,9 I86/85= 100
398172
437989 x =110 
I87/85= 100
101
139 x =137,6 I87/85= 100
398172
547486 x =137,5 
I88/85= 100
101
142 x =140,6 I88/85= 100
398172
558436 x =140,2 
I89/85= 100
101
153 x =151,5 I89/85= 100
398172
603111 x =151,5 
I90/85= 100101
176 x =174,3 I90/85= 100398172
693578 x =174,2 
 
 Utilizando números índices é então fácil de verificar que a evolução da 
produção de cimento nos dois países é praticamente a mesma: relativamente ao ano 
base, 1985, em qualquer dos países a produção de cimento aumentou na mesma 
proporção em todos os anos. Apesar dos valores absolutos da produção de cimento 
serem muito diferentes nos dois países a sua evolução neste período foi idêntica. 
 Passando agora à representação gráfica das séries em índices verificamos que 
não existe já qualquer dificuldade em representar as duas séries no mesmo gráfico 
sendo imediata a percepção de idêntica evolução das duas séries. 
Produção de cimento nos países A e B (índices)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
ano
ín
di
ce
 (1
98
5=
10
0)
País A
País B
 
 Note-se que quando dispomos apenas de séries em números índices apenas 
podemos efectuar uma comparação da evolução das séries. Nada podemos dizer 
acerca dos respectivos valores absolutos. 
 
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Exercício 5 
a) Se quisermos comparar a evolução do peixe negociado na lota nos dois anos 
podemos começar por representar graficamente os respectivos valores. 
Como se trata da representação gráficade séries temporais, no eixo horizontal 
ou eixo das abcissas inscrevemos os períodos aos quais se referem as observações, 
neste caso os meses do ano, e no eixo vertical ou eixo das ordenadas inscrevemos as 
toneladas de peixe negociado em cada mês. 
O gráfico vai ser composto por duas curvas, uma para o ano de 1990 e uma 
para o ano de 1991 e terá o seguinte aspecto: 
Evolução do peixe negociado na lota em 1990 e 1991
0
2
4
6
8
10
12
14
Ja
ne
iro
Fe
ve
rei
ro
Ma
rço Ab
ril
Ma
io
Ju
nh
o
Ju
lho
Ag
os
to
Se
tem
bro
Ou
tub
ro
No
ve
mb
ro
De
ze
mb
ro
meses
to
ne
la
da
s
Ano1990
Ano1991
 
 A partir do gráfico podemos ver que a quantidade de peixe negociado na lota 
evolui de forma semelhante ao longo dos dois anos: diminui em Fevereiro, aumentou 
até Julho/Agosto e em seguida diminui sempre até Dezembro. 
 
b-i) Podemos também retratar a evolução da quantidade de peixe negociado 
escrevendo as séries na forma de números índices. Se tomarmos como período de 
referência ou período base o mês de Fevereiro de 1991 os índices para os restantes 
meses virão: 
 100
91
91/ xX
XI
Fev
t
Fevt = 
sendo X a quantidade de peixe negociado em cada mês e t o mês em questão. 
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 10 
 
It/Fev91 
IJan90/Fev91= 100
7,7
5,8 x =110 IJul90/Fev91= 100
7,7
1,12 x =157 IJan91/Fev91= 100
7,7
6,8 x =112 IJul91/Fev91= 100
7,7
3,12 x =160 
IFev90/Fev91= 100
7,7
9,7 x =103 IAg90/Fev91= 100
7,7
4,12 x =161 IFev91Fev91=100 IAg91/Fev91= 1007,7
6,11 x =151 
IMar90/Fev91= 100
7,7
3,9 x =121 ISet90/Fev91= 100
7,7
8,11 x =153 IMar91/Fev91= 100
7,7
3,8 x =108 ISet91/Fev91= 100
7,7
9,10 x =142 
IAb90/Fev91= 100
7,7
1,10 x =131 IOut90/Fev91= 100
7,7
3,10 x =134 IAb91/Fev91= 100
7,7
1,9 x =118 IOut91/Fev91= 100
7,7
11 x =143 
IMaio90/Fev91= 100
7,7
5,11 x =149 INov90/Fev91= 100
7,7
1,9
x =118 IMaio91/Fev91= 100
7,7
12 x =156 INov91/Fev91= 100
7,7
1,10 x =131 
IJun90F/ev91= 100
7,7
2,12 x =158 IDez90/Fev91= 100
7,7
7,8 x =113 IJun91/Fev91= 100
7,7
8,11
x =153 IDez91/Fev91= 100
7,7
9,8 x =116 
 
b-ii) Se, por qualquer razão, quisermos alterar o período base da série em números 
índices apenas necessitamos dos valores na base antiga. 
 Tomando o mês de Agosto de 1990 como novo período base, os índices para 
os restantes meses virão: 
 100
91/90
91/
90/ xI
II
FevAg
Fevt
Agt = 
It/Ag90 
IJan90/Ag90= 100
161
110 x =69 IJul90/Ag90= 100
161
157 x =98 IJan91/Ag90= 100
161
112 x =69 IJul91/Ag90= 100
161
160 x =99 
IFev90/Ag90= 100
161
103 x =64 
IAg90/Ag90=100 
IFev91/Ag90= 100
161
100 x =62 IAg91/Ag90= 100
161
151 x =94 
IMar90/Ag90= 100
161
121 x =75 ISet90/Ag90= 100
161
153 x =95 IMar91/Ag90= 100
161
108 x =67 ISet91/Ag90= 100
161
142 x =88 
IAb90/Ag90= 100
161
131 x =81 IOut90/Ag90= 100
161
134 x =83 IAb91/Ag90= 100
161
118 x =73 IOut91/Ag90= 100
161
143 x =89 
IMaio90/Ag90= 100
161
149 x =93 INov90/Ag90= 100
161
118 x =73 IMaio91/Ag90= 100
161
156 x =97 INov91/Ag90= 100
161
131 x =81 
IJun90/Ag90= 100
161
158 x =98 IDez90/Ag90= 100
161
113 x =70 IJun91/Ag90= 100
161
153 x =95 IDez91/Ag90= 100
161
116 x =72 
 
c) A partir dos valores mensais é possível calcular valores médios trimestrais, ou seja, 
saber como é que se portou em média o mês de um determinado trimestre. 
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 11 
 O valor médio trimestral é a média aritmética dos meses que fazem parte do 
trimestre: 
 
3
MarFevJan
Ia
XXX
X
++= 
3
JunMaioAb
IIa
XXX
X
++= 
3
SetAgJul
IIIa
XXX
X
++= 
3
DezNovOut
IVa
XXX
X
++= 
Médias trimestrais 
1990 1991 
3
3,99,75,8 ++=IaX =8,6 3
3,87,76,8 ++=IaX =8,2 
3
2,125,111,10 ++=IIaX =11,3 3
8,11121,9 ++=IIaX =10,9 
3
8,114,121,12 ++=IIIaX =12,1 3
9,106,113,12 ++=IIIaX =12,6 
3
7,81,93,1 ++=IVaX =9,4 3
9,81,1011 ++=IVaX =10 
 
 Temos uma nova série relativa ao peixe negociado na lota, agora composta por 
valores médios trimestrais. 
 
d) A série anterior pode também ser escrita na forma de números índices. 
Para calcularmos a série de números índices vamos considerar como base não 
um dos valores médios trimestrais mas o valor médio anual de 1990. Como o ano é 
composto por doze meses ou quatro trimestres, o valor médio de 1990 pode ser 
calculado de duas formas: 
 
32,10
4
4,91,123,116,8
4
32,10
12
7,81,93,108,114,121,122,125,111,103,99,75,8 
12
90909090
90
90
=+++=+++=
=+++++++++++=
=+++++++++++=
IVIIIIII
a
DezNovOutSetAgJulJunMaioAbMarFevJan
a
aXaXaXaX
X
XXXXXXXXXXXX
X
 Já estamos em condições de calcular os índices trimestrais: 
 100
90
90/ xaX
aX
I tMédiat = 
designando t os trimestres. 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 12 
It/média90 
II90/média90= 100
10
6,8 x =82,97 II91/média90= 100
10
2,8 x =79,6 
III90/média90= 100
10
3,11 x =109,12 III91//média90= 100
10
9,10 x =106,2 
IIII90/média90= 100
10
1,12 x =117,2 IIII91/média90= 100
10
6,11 x =112,3 
IIV90/média90= 100
10
4,9 x =90,72 IIV91/média90= 100
10
10 x =96,9 
 
 
Questão 6 
a) O quadro contém uma série temporal relativa à produção sob a forma de números 
índices: 
Tendo esta série e o valor absoluto da produção ou quantidade produzida de pelo 
menos um dos anos é possível determinar as quantidades produzidas nos restantes 
anos com base na fórmula do índice simples. 
 Se o valor absoluto fornecido fosse o do ano base podíamos de imediato 
calcular o valor absoluto dos outros anos já que este valor entra no cálculo do índice 
para todos eles. 
 Como o valor fornecido se refere a 1993 vamos começar por, com base na 
fórmula do índice de 1993, calcular o valor absoluto da produção no ano base, 1988: 
 I1993/1988 =
1988
1993
X
X
x100 
 112,4=
1988
1000
X
x100 
 X1988=
4,112
1000 x100 
 X1988=890 ton 
 Agora é então imediato calcular o valor absoluto da produção nos restantes 
anos: 
 It/1988 =
1988X
X t x100 
 Xt= 
100
198888/ xXI t 
 Xt= 
100
89088/ xI t 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 13 
Valor absoluto ou quantidade produzida 
X1985= 
100
89088/85 xI =
100
8905,77 x
=690 X1990= 
100
89088/90 xI =
100
8901,103 x
=918 
X1986= 
100
89088/86 xI =
100
8902,89 x
=794 X1991= 
100
89088/91 xI =
100
8902,107 x
=954 
X1987= 
100
89088/87 xI =
100
89098x
=872 X1992= 
100
89088/92 xI =
100
8908,109 x
=977 
X1989= 
100
89088/89 xI =
100
8905,101 x
=903
 
 
b) Pode acontecer que haja necessidade de mudar o ano base de cálculo da série de 
números índices (em geral porque a base antiga se vai desactualizando e deixa de ser 
considerada como um período de referência). 
 A mudança de base é efectuada facilmente através da série de números índices 
na base antiga. 
 Se b designar a base antiga e k a nova base, então o índice de t na nova base é 
dado por, 
 It/k =
bk
bt
I
I
// x100 
Ou seja, obtém-se dividindo o índice de t na base antiga pelo índice de k, a nova base, 
na base antiga. 
 Para o nosso exercício, a base antiga é o ano de 1988 e a nova base o ano de 
1985, pelo que os índices na nova base vêm: 
 It/85 =
88/85
88/
I
I t x100 
Índice de Produção 
(1985=100) 
I85/85 =100 I90/85 =
88/85
88/90
I
I
 x100=
5,77
1,103
 x100=133 
I86/85 =
88/85
88/86
I
I
 x100=
5,77
2,89
 x100=115,1 I91/85 =
88/85
88/91
I
I
 x100=
5,77
2,107
 x100=138,3 
I87/85 =
88/85
88/87
I
I
 x100=
5,77
98
 x100=126,5 I92/85 =
88/85
88/92
I
I
 x100=
5,77
8,109
 x100=141,7 
I88/85 =
88/85
88/88
I
I
 x100=
5,77
100
 x100=129 I93/85 =
88/85
88/93
I
I
 x100=
5,77
4,112
 x100=145 
I89/85 =
88/85
88/89
I
I
 x100=
5,77
5,101
 x100=131 
 
 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 14 
Questão 7 
i) Sendo 1989 o ano base vamos comparar os valores da produção de cada um dos 
sabonetes com o respectivo valor no ano base. 
Índices da Produção (1989=100) 
Sabonete A Sabonete B 
I89/89 =100 I89/89 =100 
I90/89 =
89
90
)(
)(
AX
AX
 x100=
1250000
1318000
 x100=105,44 I90/89 =
89
90
)(
)(
BX
BX
 x100=
970000
985000
 x100=101,55
I91/89 =
89
91
)(
)(
AX
AX
 x100=
1250000
1189000
 x100=95,12 I91/89 =
89
91
)(
)(
BX
BX
 x100=
970000
1070000
 x100=110,31
I92/89 =
89
92
)(
)(
AX
AX
 x100=
1250000
1020000
 x100=81,6 I92/89 =
89
92
)(
)(
BX
BX
 x100=
970000
1112000
 x100=114,64
X(A) – produção do sabonete A; X(B) – produção do sabonete B 
 
 A produção de A cresceu em 1990 mas decresceu em 1991 e 1992, 
relativamente a 1989. Já a produção de B cresceu sempre relativamente a 1989. 
 
ii) Sendo 1989 o ano base vamos comparar os preços de cada um dos sabonetes com o 
respectivo valor no ano base. 
Índices de Preço (1989=100) 
Sabonete A Sabonete B 
I89/89 =100 I89/89 =100 
I90/89 =
89
90
)(
)(
AP
AP
 x100=
15
5,17
 x100=116,67 I90/89 =
89
90
)(
)(
BP
BP
 x100=
60
68
 x100=113,33 
I91/89 =
89
91
)(
)(
AP
AP
 x100=
15
16
 x100=106,67 I91/89 =
89
91
)(
)(
BP
BP
 x100=
60
70
 x100=116,67 
I92/89 =
89
92
)(
)(
AP
AP
 x100=
15
5,18
 x100=123,33 I92/89 =
89
92
)(
)(
BP
BP
 x100=
60
5,78
 x100=130,83 
P(A) – produção do sabonete A; P(B) – produção do sabonete B 
 
 O preço de A cresceu sempre relativamente a 1989. O preço de B também 
cresceu sempre relativamente a 1989 e mais do que o de A excepto em 1990. 
 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 15 
Questão 8 
 O valor da produção de um país designa-se por Produto Interno Bruto (PIB). 
Como num país se produzem inúmeros bens e serviços, avaliados em termos físicos 
em unidades diferentes, se queremos conhecer o valor da respectiva produção temos 
que reduzir a produção dos diferentes bens a uma unidade comum, a unidade 
monetária, no caso português o euro (€). O valor da produção de um país é então 
função das quantidades produzidas e dos preços utilizados na avaliação das 
quantidades produzidas. Consoante o ano a que se referem os preços utilizados na 
avaliação das quantidades produzidas podemos ter três conceitos diferentes de PIB: o 
PIB a preços correntes que utiliza, como o nome indica, os preços do ano corrente; o 
PIB a preços constantes que utiliza sempre os mesmos preços de um ano escolhido 
como referência; e o PIB a preços do ano anterior que utiliza, como o nome indica, os 
preços do ano anterior. 
 Para respondermos à questão 8 vamos dividi-la em três alíneas 
correspondentes a cada uma das três colunas que nos pedem para preencher. 
Comecemos por interpretar os valores de cada coluna. Na primeira coluna temos o 
PIB a preços correntes, ou seja, as quantidades produzidas num determinado ano 
avaliadas a preços desse mesmo ano. Por exemplo, o PIB a preços correntes de 1995 
corresponde às quantidades produzidas em 1995 avaliadas a preços de 1995, o PIB a 
preços correntes de 1996 corresponde às quantidades produzidas em 1996 avaliadas a 
preços de 1996, o PIB a preços correntes de 1997 corresponde às quantidades 
produzidas em 1997 avaliadas a preços de 1997, e assim sucessivamente. 
Na segunda coluna temos o PIB a preços do ano anterior, ou seja, as quantidades 
produzidas num determinado ano avaliadas a preços do ano anterior. Por exemplo, o 
PIB a preços do ano anterior de 1996 corresponde às quantidades produzidas em 1996 
avaliadas a preços de 1995, o PIB a preços do ano anterior de 1997 corresponde às 
quantidades produzidas em 1997 avaliadas a preços de 1996, o PIB a preços do ano 
anterior de 1998 corresponde às quantidades produzidas em 1998 avaliadas a preços 
de 1997, e assim sucessivamente. 
Na terceira coluna temos a taxa de crescimento do PIB a preços constantes de 
1995. O PIB a preços constantes de 1995 é um valor monetário que resulta de avaliar 
as quantidades produzidas nos diferentes anos sempre aos mesmos preços, os preços 
do ano de 1995 no nosso exercício. Assim, por exemplo, o PIB a preços constantes 
para o ano de 1999 corresponde a avaliar as quantidades produzidas em 1999 a preços 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 16 
de 1995; o PIB a preços constantes para o ano de 2000 corresponde a avaliar as 
quantidades produzidas em 2000 a preços de 1995. Os valores da terceira coluna 
correspondem então à taxa de crescimento anual desta variável, em percentagem. Em, 
1996 o PIB a preços constantes aumentou 3,54%, em 1997 aumentou 3,96%, e assim 
sucessivamente. 
 
8.1. Como calcular o valor do PIB a preços constantes de 1995? Uma vez que 
conhecemos a respectiva taxa de crescimento basta-nos conhecer um dos valores do 
PIB a preços constantes para podermos calcular todos os outros. 
Nenhum valor do PIB a preços constantes é dado directamente mas, atendendo à 
definição de PIB a preços correntes e de PIB a preços constantes, sabemos que no ano 
ao qual se referem os preços base, 1995 neste caso, o PIB a preços constantes coincide 
com o PIB a preço correntes. 
O PIB a preços correntes para o ano de 1995 corresponde às quantidades 
produzidas em 1995 avaliadas a preços de 1995, o ano corrente. O PIB a preços 
constantes para o ano de 1995, tomando como referência os preços do ano de 1995, 
corresponde às quantidades produzidas em 1995 avaliadas aos preços do ano base que 
é também 1995. Assim, e apenas no ano base para o cálculo do PIB a preços 
constantes podemos escrever: 
PIB a preços correntes em 1995=PIB a preços constantes em 1995=80827 
Estamos já em condições de preencher a quinta coluna da tabela: 
Anos Tx.cresc. 
PIB a preços constantes de 
1995 (%) 
PIB a preços constantes de 1995 
1995 80827 
1996 3,54 80827x(1+0,0354)=83688 
1997 3,96 83688x(1+0,0396)=87002 
1998 4,58 87002x(1+0,0458)=90987 
1999 3,80 90987x(1+0,0380)=94445 
2000P 3,69 94445x(1+0,0369)=97930 
2001P 1,64 97930x(1+0,0164)=99536 
 
8.2. Para calcular a taxa de crescimento do PIB a preços correntes temos apenas 
que aplicar a fórmula da taxa de crescimento simples. 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007)Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 17 
Anos PIB preços 
correntes 
Tx.cresc. PIB a preços correntes 
1995 80827 
1996 86230 (86230/80827)-1=0,0668 ou 6,68% 
1997 93014 (93014/86230)-1=0,0787 ou 7,87% 
1998 100962 (100962/93014)-1=0,0854 ou 8,54% 
1999 108030 (108030/100962)-1=0,0700 ou 7% 
2000 115546 (115546/108030)-1=0,0696 ou 6,96% 
2001 122978 (122978/115546)-1=0,0643, ou 6,43% 
 
8.3. Como calcular a taxa de crescimento dos preços, t.c.p.t? Temos dois processos 
de resolução desta questão. 
Se, para cada ano, compararmos o valor do PIB a preços correntes com o valor do 
PIB a preços do ano anterior temos a taxa de crescimento dos preços uma vez que 
entre os dois valores apenas se alteram os preços, mantendo-se as quantidades 
produzidas: 
PIB a preços correntes do ano t-PIB a preços do ano anterior do ano t. . .
PIB a preços do ano anterior do ano tt
t c p = 
 
Anos PIB preços 
correntes 
PIB preços
ano anterior
Tx. Cresc. preços 
1995 80827 
1996 86230 83692 86230-83692
83692
=0,0304 ou 3,04% 
1997 93014 89645 93014-89645
89645
=0,0376 ou 3,76% 
1998 100962 97274 100962-97274
97274
=0,0379 ou 3,79% 
1999 108030 104800 108030-104800
104800
=0,0308 ou 3,08% 
2000 115546 - - 
2001 122978 - - 
 
Uma vez que nos é dada a taxa de crescimento do PIB a preços constantes ou taxa 
de crescimento do PIB real e calculámos já a taxa de crescimento do PIB a preços 
correntes ou PIB nominal, podemos também resolver a questão atendendo à relação 
entre as taxas de crescimento do PIB nominal, do PIB real e dos preços: 
(1+t.c.n.t)=(1+t.c.r.t)x(1+t.c.p.t) 
Resolvendo em ordem à taxa de crescimento dos preços: 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 18 
t
t
t
1+t.c.n.t.c.p. 1
1+t.c.r.
= − 
Anos Tx.cresc. 
PIB a preços correntes 
Tx.cresc. 
PIB a preços constantes 
Tx. Cresc. 
preços 
1995 
1996 0,0668 0,0354 1+0,0668 1
1+0,0354
− = 
0,0304 
1997 0,0787 0,0396 1+0,0787 1
1+0,0396
− = 
0,0376 
1998 0,0854 0,0458 1+0,0854 1
1+0,0458
− = 
0,0379 
1999 0,0700 0,0380 1+0,0700 1
1+0,0380
− = 
0,0308 
2000 0,0696 0,0369 1+0,0696 1
1+0,0369
− = 
0,0315 
2001 0,0643 0,0164 1+0,0643 1
1+0,0164
− = 
0,0471 
Obtemos exactamente os mesmos resultados pelos dois processos de cálculo. 
 
Questão 9 
O salário pode ser entendido de duas formas: 
- salário nominal (SN), ou seja, a quantidade de moeda que o trabalhador 
recebe; 
- salário real (SR), a quantidade de bens e serviços que o trabalhador pode 
adquirir com o salário nominal que recebe. 
A um trabalhador interessa que o seu salário real cresça pois isso significa que 
pode adquirir mais bens e serviços com o seu salário nominal. 
Mas para que o salário real cresça não basta que aumente o salário nominal. Se o 
crescimento dos preços for superior ao crescimento do salário nominal o trabalhador 
pode receber uma maior quantidade de moeda mas a quantidade de bens e serviços 
que consegue adquirir com essa quantidade de moeda diminui. 
Para conhecermos a evolução do salário real temos então que descontar à taxa de 
crescimento do salário nominal a taxa de crescimento dos preços: 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 19 
N t
R t
 t
1+t.c.St.c.S = -1
1+t.c.IPC
 
sendo o Índice de Preços no Consumidor um índice que traduz a evolução do preço 
médio de um cabaz de bens e serviços considerado representativo dos hábitos de 
consumo dos trabalhadores. 
Para analisarmos a evolução do salário real na Indústria Transformadora e na 
Construção necessitamos da taxa de crescimento do salário nominal e da taxa de 
crescimento dos preços. 
Como já conhecemos a taxa de crescimento dos preços (é a variação relativa do 
IPC) e temos séries em números índices das remunerações nominais, a primeira coisa 
a fazer é, utilizando os índices, calcular as taxas de crescimento do salário nominal. 
Em seguida, podemos já utilizar a relação entre taxa de crescimento do salário real, 
do salário nominal e dos preços para calcular a primeira. 
 
Passo 1: calcular a taxa de crescimento simples do salário nominal1: 
 / 80 1/ 80
 1/ 80
 t. . N t N t
N t
S S
N
S
I I
t c S
I
−
−
−= 
 
t.c.SN t 
Indústria Transformadora Construção 
78 / 80
78
77 / 80
69,3. . 1 1
59,5
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,16 78 / 80
78
77 / 80
66,6. . 1 1
58,1
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,15 
79 / 80
79
78 / 80
80, 4. . 1 1
69,3
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,16 79 / 80
79
78 / 80
79,6. . 1 1
66,6
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,20 
80 / 80
80
79 / 80
100. . 1 1
80,4
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,24 80 / 80
80
79 / 80
100. . 1 1
79,6
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,26 
81/ 80
81
80 / 80
121,7. . 1 1
100
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,22 81/ 80
81
80 / 80
128,1. . 1 1
100
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,28 
82 / 80
82
81/ 80
143,5. . 1 1
121,7
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,18 82 / 80
82
81/ 80
160,1. . 1 1
128,1
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,25 
83 / 80
83
82 / 80
169,1. . 1 1
143,5
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,18 83 / 80
83
82 / 80
196,1. . 1 1
160,1
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,22 
 
1 Para calcular uma taxa de crescimento simples é indiferente utilizar os valores absolutos ou os valores 
em índices (de base fixa) da variável. 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 20 
84 / 80
84
83 / 80
199,7. . 1 1
169,1
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,18 84 / 80
84
83 / 80
218, 4. . 1 1
196,1
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,11 
85 / 80
85
84 / 80
240,5. . 1 1
199,7
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,20 85 / 80
85
84 / 80
268,9. . 1 1
218, 4
N
N
S
N
S
I
t c S
I
= − = − =0,23 
 O salário nominal cresceu em todos os anos quer na Indústria Transformadora 
quer na Construção. Mas os preços também cresceram sempre, logo o salário real 
pode não ter aumentado. 
 
Passo 2: Calcular a taxa de crescimento do salário real2: 
N t
R t
 t
1+t.c.St.c.S = -1
1+t.c.IPC
 
t.c.SRt 
Indústria Transformadora Construção 
N 78
R 78
78
1+t.c.S 1 0,16t.c.S = -1 1
1+t.c.IPBC 1 0, 221
+= −+ =-0,05 
N 78
R 78
78
1+t.c.S 1 0,15t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,221
+= −+ =-0,06
N 79
R 79
79
1+t.c.S 1 0,16t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,242
+= −+ =-0,07 
N 79
R 79
79
1+t.c.S 1 0, 20t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0, 242
+= −+ =-0,04
N 80
R 80
80
1+t.c.S 1 0, 24t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,166
+= −+ =0,07 
N 80
R 80
80
1+t.c.S 1 0, 26t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,166
+= −+ =0,08
N 81
R 81
81
1+t.c.S 1 0,22t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,20
+= −+ =0,01 
N 81
R 81
81
1+t.c.S 1 0, 28t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,20
+= −+ =0,07 
N 82
R 82
82
1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0, 224
+= −+ =-0,04 
N 82
R 82
82
1+t.c.S 1 0,25t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0, 224
+=−+ =0,02
N 83
R 83
83
1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0, 255
+= −+ =-0,06 
N 83
R 83
83
1+t.c.S 1 0, 22t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,255
+= −+ =-0,02
N 84
R 84
84
1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0, 293
+= −+ =-0,09 
N 84
R 84
84
1+t.c.S 1 0,11t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,293
+= −+ =-0,14
N 85
R 85
85
1+t.c.S 1 0, 20t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,193
+= −+ =0,01 
N 85
R 85
85
1+t.c.S 1 0, 23t.c.S = -1 1
1+t.c.IPC 1 0,193
+= −+ =0,03
 
 Apesar do salário nominal ter crescido sempre foram mais os anos de 
diminuição do salário real do que de aumento. Isto aconteceu devido ao forte 
crescimento dos preços em qualquer dos anos. 
 Na indústria transformadora, o salário nominal cresceu sempre mas só em 
1981, 82 e 85 se traduziu num crescimento do salário real. Nos outros anos o 
 
2 Para calcular a taxa de crescimento do salário real temos que dividir a taxa de crescimento dos preços 
por 100 pois o valor que nos é dado está em percentagem. 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 21 
crescimento dos preços foi superior ao crescimento do salário nominal do que resultou 
uma diminuição do salário real. 
 Na construção, o salário nominal cresceu sempre mas só em 1980, 81, 82 e 85 
se traduziu num crescimento do salário real. Nos outros anos o crescimento dos 
preços foi superior ao crescimento do salário nominal do que resultou uma diminuição 
do salário real. 
 
Questão 10 
Vamos designar por VN0 o capital inicial de que dispomos para emprestar e por iN 
a taxa de juro que cobramos pelo empréstimo, ou seja, a taxa de juro nominal: 
 VN0=25 euros iN=0,06 
 
a) Vamos emprestar os nossos 25 euros durante um ano e, no final desse ano, vamos 
receber um montante superior, o montante inicial mais os juros: 
VN0=25 euros VN1=? 
 
0 1 
VN1= VN0 (1+iN)=25x1,06=26,5 
 
No final do ano recebemos 26,5 euros, um montante superior ao que tínhamos 
inicialmente. Mas será que estes 26,5 euros nos permitem adquirir mais bens e 
serviços do que os que adquiríamos no período 0 com os nosso 25 euros? 
 
b) A inflação durante este ano foi de 15%. Isto significa que o preço dos bens em 
geral cresceu 15%, ou seja, cresceram mais do que o nosso capital que só cresceu à 
taxa de 6%. Assim, apesar de termos mais dinheiro no ano 1 o montante de bens e 
serviços que conseguimos comprar é inferior ao que conseguíamos comprar com os 
25 euros que tínhamos no ano 0. 
Para verificar o que dissemos atrás acerca do poder de compra do estudante 
podemos então calcular a taxa de juro real do seu empréstimo, que nos dá a evolução 
da quantidade de bens e serviços que pode adquirir com o seu dinheiro: 
 1
1
1 −+
+=
P
N
R i
ii = 1
15,01
06,01 −+
+ =-0,08 
 A taxa de juro real é negativa logo esta aplicação não foi uma boa opção. 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 22 
Assim, apesar de dispormos de um capital superior o nosso poder de compra 
diminuiu pelo que não realizámos o objectivo da nossa aplicação que era aumentar a 
quantidade de bens e serviços adquirida. 
Este problema é conhecido por ilusão monetária: os agentes económicos 
interpretam as variações nominais como equivalentes a variações reais não tendo em 
atenção as variações dos preços e acabando por perder poder de compra quando os 
preços aumentam a um ritmo superior ao dos valores nominais. 
 
c) O estudante ao aplicar o seu dinheiro deve estipular um valor objectivo para a 
evolução do seu poder de compra, ou seja, deve escolher a aplicação em função da 
taxa de juro real pretendida e não da taxa de juro nominal. 
 Se ele tivesse fixado como objectivo aumentar o seu poder de compra em 3% 
então a taxa de juro a que devia ter emprestado o dinheiro seria, partindo da expressão 
da taxa de juro real: 
1
1
1 −+
+=
P
N
R i
ii , iP=0,15 e iR=0,03. 
iN=(1+iR)x(1+iP)-1=1,03x1,15-1=0,1845 
 Para poder aumentar o seu poder de compra em 3%, a taxa de juro do 
empréstimo teria de ser de 18,45%, face ao aumento registado nos preços. 
 Actualmente, caso o estudante realize poupança, deve escolher uma aplicação 
com uma taxa de juro igual ou superior a 2% se não quiser ver o seu poder de compra 
diminuir. 
 
 
Questão 11 
a)Este problema é semelhante ao anterior mas agora o prazo do empréstimo é 
superior. 
Fez-se um contrato de empréstimo por três anos, novamente com o objectivo 
de, ao fim dos três anos, vermos o nosso poder de compra aumentado. 
Conhecendo nós o problema da ilusão monetária sabemos que, para termos um 
ganho real, a taxa de juro a ter em conta não é a taxa de juro nominal (8%) mas a taxa 
de juro real. 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 23 
No início do período do nosso empréstimo, ou seja, quando realizamos o 
contrato, apenas dispomos de uma estimativa da taxa de juro real face à inflação 
anunciada pela Governo. 
Temos então que começar por calcular a taxa de juro real prevista para cada 
um dos três anos e em seguida calcular a taxa de juro real prevista para o período, 
problema semelhante ao do cálculo de uma taxa de crescimento médio. 
 
8% 8% 8% iN 
8% 6% 4% iP esperada 
0 1 2 3 
 
Passo 1 
 1
08,01
08,011
1
1
1
1
1
−+
+=−+
+=
P
N
R i
i
i =0 
 1
06,01
08,011
1
1
2
2
2
−+
+=−+
+=
P
N
R i
i
i =0,019 
 1
04,01
08,011
1
1
3
3
3
−+
+=−+
+=
P
N
R i
i
i =0,038 
 No primeiro ano o ganho real esperado com o empréstimo é nulo, nos 
seguintes já é positivo. Mas o que interessa é a taxa de juro real média para o conjunto 
dos três anos. 
 
Passo 2 
 
019,01019,11057722,1 
1)038,01()019,01()01(1)1()1()1(
3
33
321
=−=−=
=−+++=−+++= xxixixii RRRR 
 A taxa de juro real prevista à data da realização do empréstimo é de 1,9% ano. 
 
b-i) Ao fim dos três anos já podemos calcular qual foi efectivamente o nosso ganho 
real face à inflação que na realidade se verificou. 
 Os passos para a resolução desta alínea são os mesmos da alínea anterior. 
8% 8% 8% iN 
10% 13% 15% iP efectiva 
0 1 2 3 
 
 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 24 
Passo 1 
 1
1,01
08,011
1
1
1
1
1
−+
+=−+
+=
P
N
R i
i
i =-0,018 
 1
13,01
08,011
1
1
2
2
2
−+
+=−+
+=
P
N
R i
i
i =-0,04 
 1
15,01
08,011
1
1
3
3
3
−+
+=−+
+=
P
N
R i
i
i =-0,06 
 Efectivamente, ao contrário do esperado, em todos os anos houve uma perda 
real e não um ganho. Novamente o que interessa é a taxa de juro real média para o 
conjunto dos três anos. 
 
Passo 2 
 
04,019605,018861568,0 
1)06,01()04,01()018,01(1)1()1()1(
3
33
321
−=−=−=
=−−−−=−+++= xxixixii RRRR 
 A taxa de juro real efectiva foi de -4% ano, ou seja, as nossas expectativas no 
início do período da realização do empréstimo foram totalmente frustradas. 
 
b-ii) À medida que vão passando os anos do nosso empréstimo podemos ir revendo as 
nossas expectativas iniciais, ou seja, podemos rever os nosso cálculos da taxa de juro 
real média com base na inflação já verificada.No final do segundo ano já conhecemos a inflação verificada nos dois 
primeiros anos, respectivamente, 10% e 13%. Para o terceiro ano a inflação esperada 
é de 4%. 
8% 8% 8% iN 
iP efectiva: 10% iP efectiva: 13% iP esperada: 4% 
0 1 2 3 
 Utilizando os resultados das alíneas anteriores sabemos que a taxa de juro real 
efectiva para os dois primeiros anos foi de, respectivamente, -4,% e –6%, e a taxa de 
juro real esperada para o terceiro ano foi de 3,8%. 
 Assim, a taxa de juro real média prevista no final do segundo ano é dada por: 
 
007,01992796,0197854336,0 
1)038,01()06,01()04,01(
3
3
−=−=−=
=−+−−== xxiR 
Introdução à Economia – Licenciaturas em Sociologia e em Relações Internacionais (2006/2007) 
Exercícios sobre I – Conceitos Elementares 
Exercícios Resolvidos – Marta Simões 25 
 Ao fim do segundo ano e face à inflação prevista para o terceiro ano já se 
prevê uma perda real de 0,7%. 
 
c) Em situações deste género, em que a inflação efectiva se desvia muito da inflação 
anunciada pelo Governo, os agentes económicos que dispõem de capital para aplicar 
deixam de o fazer pois não conseguem fazer uma previsão fiável dos ganhos reais da 
sua aplicação. Ora estas aplicações servem para financiar o investimento na economia 
pelo que situações deste género podem pôr em causa a sua capacidade de crescimento.