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Análise das Variações 
Variações Lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise das Variações Lineares 
 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
Introdução 
 
Essa aula tem como objetivo expor você a uma situação simples, mas de grande 
importância: as variações lineares. 
 
Para isso vamos analisar um problema simples, do dia a dia de muitas pessoas, e que 
ainda não é um problema de engenharia. Ao longo dessa disciplina analisaremos 
problemas com grau crescente de complexidade e cada vez mais relevantes para a 
Engenharia. 
 
É fundamental que você tente acompanhar e se dedique para resolver este desafio 
para que a próxima aula presencial consiga atingir seu objetivo principal, que é 
finalizar este desafio através da colaboração dos alunos. 
 
Esse esforço será recompensado porque a ideia é expor você a um problema do dia a 
dia cuja solução está associada a um recurso matemático que será exposto quase de 
forma intuitiva. 
 
Dessa forma, espera-se que você não faça a pergunta clássica das aulas tradicionais 
de matemática: Por que estou estudando isso? 
 
Situação Problema 
 
A ideia é guiar você em uma análise financeira muito simples. Vamos estudar 
superficialmente a implantação de um ponto de venda para cachorro-quente. A 
ideia é oferecer um produto diferenciado, tanto no tamanho como nos ingredientes, 
o que inclui molhos sofisticados e pães especiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análise das Variações Lineares 
 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
Vamos começar com algumas hipóteses simplificadoras: 
 
� Você ganhou o ponto de venda; 
� O local de vendas já está decidido; 
� O potencial de vendas para o produto diferenciado é de 100 unidades 
por dia a um valor de R$7,50 cada; 
� Vamos trabalhar com material fresco. 
 
A lista de compras é longa. Além dos pães, das salsichas e linguiças, temos o molho 
tradicional e os acompanhamentos como os molhos especiais, milho, ervilha, 
azeitona, passas, ovos de codorna, queijo ralado e batata palha. Também temos que 
comprar guardanapo, papel alumínio e considerar o gás. 
 
A busca por fornecedores nos levou a um valor de R$300 de investimento para 
produzir 100 unidades. 
 
Análise 1: Receita 
Vamos iniciar definindo receita como o valor acumulado pelas vendas, ou seja, o 
dinheiro que entra. 
Sabendo que cada unidade será vendida por R$7,50, preencha a tabela abaixo com 
os valores de receita associados a cada quantidade vendida. 
Quantidade Receita (R$) 
0 
10 
25 
50 
75 
100 
 
Criamos uma relação entre duas grandezas (Quantidade e Receita). 
Para completar a tabela, você sistematizou uma operação matemática que envolve a 
quantidade considerada, o preço de venda de 1 unidade e a receita. 
Análise das Variações Lineares 
 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
Vamos formalizar esta operação, chamando a quantidade de Q, a receita de R$. O 
preço de venda pode ser incluído na operação pelo seu valor (R$7,50). 
 
Preencha a expressão no quadro abaixo, na forma R$ = ?: 
 
 
 
Esta expressão estabelece como a receita varia em função da quantidade, ou seja, 
para se saber o valor da receita associada a uma quantidade qualquer vendida, basta 
substituir o valor da quantidade na expressão e calcular a Receita. 
 
Vamos dar o próximo passo? 
 
Construa um gráfico “Quantidade x Receita” com os pontos da tabela e ligue-os por 
linhas retas. Se você fizer isso a mão livre, vamos apenas ter ideia da representação 
gráfica. Se você fizer de forma cuidadosa, poderemos até consultar o gráfico para 
descobrir valores estabelecidos pela relação e que não fazem parte da tabela. Para 
que isso seja possível, você deve fazer o gráfico “em escala”, ou seja, mantendo a 
proporcionalidade entre valores de quantidade e de despesa. 
 
Sugestão 1: Utilize uma folha a parte e uma régua comum. Marque, no eixo 
horizontal (abscissas), os valores referentes às quantidade da seguinte forma: cada 
centímetro representa 5 unidades. Dessa forma, devem ser marcadas as quantidades 
0, 10 (2 cm), 25 (5 cm), 50 (10 cm), 75 (15 cm) e 100 (20 cm). 
 
No eixo vertical (ordenadas), marque os valores calculados para as receitas de forma 
que cada centímetro represente R$50. Avalie a necessidade de utilizar a folha 
“deitada”. 
 
Sugestão 2: Caso você saiba utilizar o Excel ou não saiba e goste de desafios, 
preencha a tabela em uma planilha e utilize a ferramenta de criação automática de 
gráficos oferecida pelo software. 
Aprender a usar o Excel é fundamental para a sua carreira! A verdade é que saber 
usar o Excel hoje é uma obrigação. Portanto, pode-se considerar que saber o básico 
do Excel não conta pontos, mas não saber faz você perder... 
 
R$ = 
Análise das Variações Lineares 
 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
 
Sugestão 3: Faça “na mão” e no Excel. 
 
Agora tente responder essas perguntas. Elas são muito importantes! 
 
� O gráfico deve ser uma linha reta. Foi isso que você obteve? 
� Quantas unidades você terá que vender para repor o dinheiro investido nas 
compras ? 
� O que acontece com o gráfico se alterarmos o valor de venda da unidade para 
um valor superior? Por exemplo R$10,00? 
� E se alterarmos o valor da venda para um valor inferior? Por exemplo R$5,00? 
� Como já foi dito o gráfico obtido é uma linha reta. Qual é a característica da linha 
reta que é alterada quando mudamos o valor de venda? 
� Agora vamos retornar à expressão construída por você no preenchimento da 
tabela. Substitua o valor de R$7,50 por preço. Faça uma associação entre a 
expressão e o gráfico e comente. 
 
Análise 2: Saldo 
Vamos iniciar definindo saldo como o valor de dinheiro acumulado no processo 
como um todo. Vamos imaginar que compramos os ingredientes por R$300,00. 
Portanto, enquanto não vendermos, estamos com um saldo negativo de R$300,00 
que será revertido conforme as vendas forem acontecendo. Vai chegar um momento 
em que teremos o retorno do nosso investimento (saldo zero) e, se tudo der certo, 
começaremos a ter saldo positivo. 
Inicialmente vamos pensar apenas no investimento inicial. Ele varia conforme as 
vendas vão sendo realizadas ou trata-se de um valor fixo de R$300,00? 
Quanto você terá gasto para comprar o material para produzir as 100 unidades se 
não conseguir vender uma única unidade? 
E se vender todas? 
 
 
Agora vamos construir a tabela do Investimento inicial 
Preencha a tabela utilizando o raciocínio usado para responder as duas perguntas 
anteriores. 
Análise das Variações Lineares 
 
Prof. Luiz Gil Solon Guimarães 
Quantidade Investimento (I$) 
0 
10 
25 
50 
75 
100 
 
Também é importante formalizar esta operação, chamando a quantidade de Q, e o 
valor investido de I$. 
 
Preencha a expressão no quadro abaixo: 
 
 
 
O valor do investimento inicial varia conforme as vendas vão acontecendo? 
 
Vamos representar graficamente o investimento inicial no gráfico de Receita x 
Quantidade. 
 
O gráfico do investimento inicial também é uma reta. 
Quando desenharmos a reta do investimento no gráfico de receita, as duas retas vão 
se cruzar (interceptar). Em qual ponto? Qual é o significado deste ponto? 
 
Agora vamos pensar um pouco diferente. 
Vamos pensar no saldo e construir um novo gráfico. 
 
Como estamos na economia informal, não pensaremos em impostos, ok? 
Todo dinheiro que entrar irá para seu bolso. 
 
Vamos construir a tabela “Quantidade Vendida x Saldo (S$)” 
 
I$ = 
Análise das Variações Lineares 
 
Prof. Luiz Gil Solon GuimarãesQuantidade Saldo (S$) 
0 
10 
25 
50 
75 
100 
 
Vamos formalizar esta operação, chamando a quantidade de Q e o saldo de S$. O 
preço de venda pode ser incluído na operação pelo seu valor (R$7,50). 
Preencha a expressão no quadro abaixo, na forma S$ = ?: 
 
 
 
 
Agora vamos construir o gráfico “Quantidade Vendida x Saldo ($)”. 
 
Considere que as três sugestões associadas ao primeiro gráfico estejam valendo. 
 
No gráfico construído temos alguns pontos muito importantes. 
Responda as perguntas seguintes. 
 
� Qual é o significado do ponto em que o gráfico corta o eixo vertical? 
� Qual é o significado do ponto em que o gráfico corta o eixo horizontal? 
� Qual é a influência, no gráfico do preço cobrado por cada unidade vendida? 
� E se encontrássemos um fornecedor mais barato? O que aconteceria no gráfico 
se conseguíssemos comprar por R$250,00, por exemplo? 
� E se os preços aumentassem e minhas compras fossem para R$350,00? 
� Tente comparar os gráficos construídos e comente o que você conseguir 
observar. 
S$ =

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