Análise de Estruturas 1 Prof. Fernando Uchôa Slide 03

Prévia do material em texto

ExercExercíícios de Princcios de Princíípio dos Trabalhos Virtuaispio dos Trabalhos Virtuais
1) Determinar a rotação relativa das seções adjacentes à rótula A do
pórtico, sabendo que E= 2,05 x 108 kN/m2 e J= 1,60 x 10-4 m4. O 
tracejado do lado de cada barra na representação da estrutura indica
a posição do observador para efeito de convenção dos esforços
seccionais. 
Trata-se de um pórtico triarticulado isostático, de DMF representado na
parte da direita. 
Para determinar a rotação relativa, aplicamos momentos unitários nas
seções adjacentes à rótula A, carregamento este que implica no DMF
representado na parte direita. 
Sabendo que EJ = 2,05 x 108 x 1,60 x 10-4 = 3,28 x 104 kNm2.
Utilizando as tabelas para a integração ∫ M Mu dx
θ = 176,35 / 3,28 x 104 = 5,38 x 10-3 rad
2) Para o pórtico plano hiperestático em que todas as barras têm as
propriedades J= 1,538 x 10-2 m2 e E = 20 GPa, e de DMF
representado na parte direita, determinar a rotação da seção A, 
considerando apenas a deformação por momento fletor. 
Aplicando-se um momento unitário na seção em que se deseja
determinar a rotação, o DMF do pórtico está representado na parte
direita.
Assim: EJ = 20 x 106 x 1,538 x 10-2 = 3,076 x 105 kNm2 
Utilizando as tabelas para a integração ∫ M Mu dx
θ= -356,07 / 3,076 x 105 = -1,16 x 10-3 rad
(o sentido da rotação é o horário) 
3) Calcular a rotação da corda BC da grelha da figura, cujas barras têm
EJ/GJt = 2 e EJ = 104 kNm2. 
O carregamento virtual, composto por duas cargas P, provoca:
O carregamento externo aplicado produz ao seguintes diagramasO carregamento externo aplicado produz ao seguintes diagramas::
Cálculo da rotação:
EJ δ = ∫ M M ds + (EJ/GJt) ∫ T T ds
EJ δ = ∫03 (x2) (x/3) dx + 2 ∫04 (-9) (-1) dx = 315/4 = 78,75
δ = 78,75 / 104 = 7,875 x 10-3 rad
Deslocamentos devidos a recalques de apoio:Deslocamentos devidos a recalques de apoio:
Os apoios da estrutura sofrem os recalques indicados. ParaOs apoios da estrutura sofrem os recalques indicados. Para
calcular os deslocamentos provocados por esses recalques,calcular os deslocamentos provocados por esses recalques,
aplicamos o PTV.aplicamos o PTV.
O TV das forO TV das forçças externas seras externas seráá PPδδ + + ΣΣ RRρρ, sendo R as , sendo R as 
reareaçções de apoio no estado de carregamento e ões de apoio no estado de carregamento e ρρ osos
recalques a elas correspondentes no estado de deformarecalques a elas correspondentes no estado de deformaçção.ão.
Trabalho virtual das forças internas: nulo, visto que as 
deformações relativas às ações externas são nulas.
PPδδ ++ ΣΣ RRρρ = 0 (expressão que resolve o problema) = 0 (expressão que resolve o problema) 
4) Calcular a rota4) Calcular a rotaçção relativa das tangentes ão relativa das tangentes àà eleláástica em E devida aosstica em E devida aos
recalques indicados. recalques indicados. 
Temos as reações R no estado de carregamento indicadas na figura
seguinte.
Assim:
δ = - Σ Rρ = - (-1 x 10-3 – 1/3 x 10-2 – 1/3 x 2 x 10-2) = 11 x 10-3 rad
( o sentido arbitrado estava correto)
5) Calcular o deslocamento vertical de A da grelha devido a reca5) Calcular o deslocamento vertical de A da grelha devido a recalqueslques
verticais de cima para baixo de 2 cm em B e F e de 4 cm em D.verticais de cima para baixo de 2 cm em B e F e de 4 cm em D.
Aproveitando a simetria, as reações de apoio as indicadas na seguir.
2 δA = -Σ Rρ = -2 x 1 (-2 x 10-2) = 4 x 10-2 m
O ponto A descerá, então, 2 cm. 
Os recalques de apoio ocorrem, evidentemente, devido ao
carregamento atuante. Para calcular os deslocamentos que o
conjunto (carregamento + recalques) provoca na estrutura,
usamos o princípio as superposição dos efeitos. 
Deslocamentos devidos a efeitos de variaDeslocamentos devidos a efeitos de variaçção ão 
de temperatura:de temperatura:
∆∆L = L = αα t Lt L
αα (coeficiente de dilata(coeficiente de dilataççãoão
ttéérmica (1/ rmica (1/ °°C)C)
(10(10--55 / / °°C C –– aaçço e concreto)o e concreto)
A variaA variaçção da temperatura não produz esforão da temperatura não produz esforçço cortante nemo cortante nem
de torde torçção.ão.
ΣΣ PP δδ = = ∫∫ MM ddϕϕ + + ∫∫ NN ∆∆ds + ds + ∫∫ QQ dh + dh + ∫∫∫∫∫∫∫∫ T dT dθθ (I)(I)
Considerando: Considerando: ddϕϕ/ds = M/EJ /ds = M/EJ →→ ddϕϕ = (M/EJ) ds= (M/EJ) ds
∆∆ds/ds = N/EA ds/ds = N/EA →→ ∆∆ds = (N/EA) dsds = (N/EA) ds
ΣΣ PP δδ = = ∫∫ ((M M M/EJ) ds + M/EJ) ds + ∫∫ N N (N/EA) ds(N/EA) ds
Voltando Voltando àà expressão (I) e calculando dexpressão (I) e calculando dϕϕ e e ∆∆dsds
para a variapara a variaçção de temperatura:ão de temperatura:
ddϕϕ = a/h = = a/h = αα (t(tii –– ttss) ds / h = ) ds / h = αα ∆∆t ds / ht ds / h ∆∆ds = ds = αα ttgg dsds
ΣΣ PP δδ = = ∫∫ ((M M αα ∆∆t/h) ds + t/h) ds + ∫∫ NN αα ttgg dsds
∆∆t = tt = ti i –– ttss
ConvenConvençção adotada:ão adotada:
►► EsforEsforçço Normal: Trao Normal: Traçção (+);ão (+);
►► Momento Fletor: TraMomento Fletor: Traçção na fibra interna (+);ão na fibra interna (+);
►► ∆∆t t éé positiva quando tpositiva quando tii > > ttss ((∆∆t = tt = tii –– ttss););
►► ttgg éé positiva para elevapositiva para elevaçção de temperatura.ão de temperatura.
6) Calcular o deslocamento vertical de C, sabendo que a altura 6) Calcular o deslocamento vertical de C, sabendo que a altura da seda seççãoão
h dos elementos mede 50 cm.h dos elementos mede 50 cm.
tg = (65 + (-15)) / 2 = 25 °C
∆t = 65 – (-15) = 80 °C
Diagrama de Esforços Normais:
Constante com valor -0,5 (comp.)
Diagrama de Momentos Fletores:
Representado ao lado →
Barra: (Barra: (αα ∆∆t/h) t/h) ∫∫ M M ds + ds + αα ttgg ∫∫ NN dsds
�� -- ((αα ∆∆t/h) x (t/h) x (--5) x 2,5/2 + 5) x 2,5/2 + αα ttg g x (x (--0,5) x 50,5) x 5
�� -- ((αα ∆∆t/h) x (t/h) x (--5) x 2,5/2 + 5) x 2,5/2 + αα ttg g x (x (--0,5) x 50,5) x 5
�� -- ((αα ∆∆t/h) x (t/h) x (--5) x 2,5/2 + 5) x 2,5/2 + αα ttg g x (x (--0,5) x 50,5) x 5
�� -- ((αα ∆∆t/h) x (t/h) x (--5) x 2,5/2 + 5) x 2,5/2 + αα ttg g x (x (--0,5) x 50,5) x 5
PP x dx dvc vc = 10= 10--55 x 80 x (x 80 x (--25)/0,5 + 1025)/0,5 + 10--55 x 25 x (x 25 x (--10) =10) =
Como Como PP = 1, d= 1, dvc vc = (= (-- 0,04) + (0,04) + (-- 0,0025) = 0,0025) = -- 0,0425 m (0,0425 m (↑↑))
Como a resposta Como a resposta éé negativa, o sentido negativa, o sentido éé o oposto ao da o oposto ao da 
carga carga PP aplicada.aplicada.
7) Para a grelha da figura, cujas barras têm se7) Para a grelha da figura, cujas barras têm seçção retangular de 0,5 m ão retangular de 0,5 m 
de altura e cujo material possui de altura e cujo material possui αα = 10= 10--55/ / °°C, C, calcular os seguintescalcular os seguintes
deslocamentosdeslocamentos, , quando suas fibras superiores forem aquecidas de 20quando suas fibras superiores forem aquecidas de 20
°°C e as inferiores tiverem mantida a sua temperatura em relaC e as inferiores tiverem mantida a sua temperatura em relaçção ão àà dodo
dia de sua execudia de sua execuçção.ão.
a) Rotaa) Rotaçção da corda BC perpendicular ao plano ABC;ão da corda BC perpendicular ao plano ABC;
b) Deslocamento do ponto C na direb) Deslocamento do ponto C na direçção BC. ão BC. 
a) Rotaa) Rotaçção da corda BC: ão da corda BC: 
δ = (α ∆t / h) AM = 10-5 x (-20)/0,5 (-0,5 x 1 x 4) = 0,8 x 10-3 rad
b) Deslocamento de C na direção BC:
tg = 10 °°C e C e ∆t = 0 °°CC
(No (No plano da estrutura não hplano da estrutura não háá
variavariaçção relativa de ão relativa de 
temperatura) temperatura) 
δ = α tg AN = 10-5 x 10 x 4
= 0,4 mm 
Caso de VariaCaso de Variaçção Uniforme de Temperatura:ão Uniforme de Temperatura:
PP δδ = = ∫∫ ((M M αα ∆∆t/h) ds + t/h) ds + ∫∫ NN αα ttgg dsds
Como Como ∆∆t = 0, a equat = 0, a equaçção fica: ão fica: PP δδ = = ∫∫ NN αα ttgg dsds
Então trabalharemos com as Então trabalharemos com as ááreasdos diagramas de esforreas dos diagramas de esforçço normal.o normal.
88) Calcular o deslocamento horizontal de C, para uma eleva) Calcular o deslocamento horizontal de C, para uma elevaçção ão 
uniforme de temperatura de 20 uniforme de temperatura de 20 °°C.C.
Dado: Dado: αα ttg g = 10= 10--55 x 20 = 0,0002x 20 = 0,0002
ddhChC = = ∫∫ N N αα tg dstg ds
Calculando em mm:Calculando em mm:
2 x 102 x 10--44 x 10x 103 3 = 0,2= 0,2
ddhChC = = --0,89 x 6,32 x 0,2 + 0 + 0,60 x 6 x 0,2 = 0,89 x 6,32 x 0,2 + 0 + 0,60 x 6 x 0,2 = 
= = --0,405 mm (0,405 mm (→→))
Como a resposta Como a resposta éé negativa, o sentido negativa, o sentido éé o oposto ao dao oposto ao da
carga P aplicada.carga P aplicada.
CCáálculo de deslocamentos lculo de deslocamentos –– PTVCPTVC
EsforEsforçços a serem considerados:os a serem considerados:
a) Estruturas planas trabalhando a) Estruturas planas trabalhando àà flexão:flexão:
M ( a contribuiM ( a contribuiçção de N e Q ão de N e Q éé pequena);pequena);
b) Arcos:b) Arcos:
M e N;M e N;
c) Trelic) Treliçças:as:
N;N;
d) Grelhas:d) Grelhas:
M e T M e T 
Teorema de BettiTeorema de Betti
Imaginemos uma estrutura sob a aImaginemos uma estrutura sob a açção de forão de forçças as PP
em equilem equilííbrio com as reabrio com as reaçções R1 e R2. Vamosões R1 e R2. Vamos
atribuir a esta viga, previamente carregada, umatribuir a esta viga, previamente carregada, um
deslocamento compatdeslocamento compatíível com as leis elvel com as leis eláásticas,sticas,
fazendo aplicar um sistema de forfazendo aplicar um sistema de forçças P queas P que
produza deslocamentos y na direproduza deslocamentos y na direçção das forão das forçças as PP. . 
O PTV afirma que a soma dos trabalhos virtuaisO PTV afirma que a soma dos trabalhos virtuais
externo e interno das forexterno e interno das forçças as P P (virtuais)(virtuais) para ospara os
deslocamentos causados pelas fordeslocamentos causados pelas forçças P (reais) as P (reais) éé
nula. nula. 
Se, ao contrSe, ao contráário, existe previamente orio, existe previamente o
carregamento real de forcarregamento real de forçças P e aplicamos foras P e aplicamos forççasas
PP que produzem deslocamentos virtuais que produzem deslocamentos virtuais yy nana
diredireçção das forão das forçças reais, o PTV estabelece que aas reais, o PTV estabelece que a
soma dos trabalhos virtuais externo e interno dassoma dos trabalhos virtuais externo e interno das
forforçças P (reais) para os as P (reais) para os yy virtuais virtuais éé nula. nula. 
A energia total acumulada serA energia total acumulada seráá::
Primeiro caso: E = TPrimeiro caso: E = TPP + TP + T+ TP + TPPPP
Segundo caso: E = TP + TSegundo caso: E = TP + TPP + TP+ TPPP
onde Tonde TPP e TP são os trabalhos de deformae TP são os trabalhos de deformaçção ão 
realizados pelos sistemas de forrealizados pelos sistemas de forçças as PP e P atuandoe P atuando
isoladamente. Tisoladamente. TPPP P éé o trabalho virtual que as o trabalho virtual que as 
forforçças as P P realizaram devido realizaram devido àà introduintroduçção das forão das forççasas
P; e TPP; e TPPP éé o trabalho virtual das foro trabalho virtual das forçças P devido as P devido àà
introduintroduçção das forão das forçças as PP. . 
Das expressões: TDas expressões: TPPP = TPP = TPP P 
ΣΣ P P δδPPP = P = ∫∫ ((MPMP MP/EJ) dx = MP/EJ) dx = 
∫∫ (MP (MP MPMP/EJ) dx = /EJ) dx = ΣΣ PP δδPPPP
Teorema de MaxwellTeorema de Maxwell
Seja uma peSeja uma peçça sob a aa sob a açção de uma forão de uma forçça unita unitááriaria
no ponto A e seja no ponto A e seja δδ o deslocamento provocado poro deslocamento provocado por
esta foresta forçça no ponto B. Imaginemos, agora, umaa no ponto B. Imaginemos, agora, uma
situasituaçção recão recííproca, ou seja, uma forproca, ou seja, uma forçça unita unitáária emria em
B que provoca um deslocamento B que provoca um deslocamento δδ’’ em A.em A.
O Teorema de Betti estabelece que δδ = = δδ’’
Teorema da Reciprocidade dos EsforTeorema da Reciprocidade dos Esforççosos
Seja uma peSeja uma peçça que, sob a aa que, sob a açção de uma forão de uma forçça P noa P no
ponto A, provoca no ponto A, provoca no ponto B um deslocamentoponto B um deslocamento
unitunitáário. Imaginemos, agora, uma situario. Imaginemos, agora, uma situaççãoão
recrecííproca, ou seja, uma forproca, ou seja, uma forçça Pa P’’ em B que provocaem B que provoca
um deslocamento unitum deslocamento unitáário em A.rio em A.
O Teorema de Betti estabelece que P = P= P’’
Teorema da Reciprocidade MistaTeorema da Reciprocidade Mista
Seja uma peSeja uma peçça que, sob a aa que, sob a açção de uma forão de uma forçça unita unitááriaria
no ponto A, provoca no no ponto A, provoca no ponto B um esforponto B um esforçço de reao de reaççãoão
R. Imaginemos, agora, que seja atribuR. Imaginemos, agora, que seja atribuíída uma rotada uma rotaççãoão
unitunitáária no ponto B, ria no ponto B, àà qual corresponde um deslocamentoqual corresponde um deslocamento
δδ no ponto A (para atribuir a rotano ponto A (para atribuir a rotaçção em B temos queão em B temos que
libertar este ponto do engaste e aplicar um esforlibertar este ponto do engaste e aplicar um esforçço K.o K.
O Teorema de Betti estabelece que R = = δδ
ExercExercíícios:cios:
1) Calcular o deslocamento horizontal do ponto B se a estrutura 1) Calcular o deslocamento horizontal do ponto B se a estrutura da da 
figura, com material que tem figura, com material que tem αα = 10= 10--55 / / °°C e com barras com seC e com barras com seççãoão
retangular de 0,5 m de altura, sofrer a variaretangular de 0,5 m de altura, sofrer a variaçção de temperatura ão de temperatura 
indicada abaixo, em relaindicada abaixo, em relaçção ao dia de sua execuão ao dia de sua execuçção.ão.
δδ = = αα ttgg AAN N + (+ (αα ∆∆t / h) At / h) AMM = 10= 10--55 x (+30) (6 x 1) + x (+30) (6 x 1) + 
= [10= [10--55 x (70+10) / 0,5] x (2 x 1/2 x 4 x 4 + 6 x 4) =x (70+10) / 0,5] x (2 x 1/2 x 4 x 4 + 6 x 4) =
= 6580 x 10= 6580 x 10--5 5 mm
O ponto B se deslocarO ponto B se deslocaráá de 6,58 cm para a direita. de 6,58 cm para a direita. 
2) Para a estrutura da figura, pede2) Para a estrutura da figura, pede--se:se:
a) o deslocamento horizontal da sea) o deslocamento horizontal da seçção em A;ão em A;
b) o mb) o móódulo e o sentido da fordulo e o sentido da forçça horizontal P a ser aplicada na sea horizontal P a ser aplicada na seççãoão
A, de forma a anular o deslocamento horizontal de A do iteA, de forma a anular o deslocamento horizontal de A do item m aa;;
c) obter o diagrama de momentos fletores da estrutura para a ac) obter o diagrama de momentos fletores da estrutura para a aççãoão
concomitante do carregamento original com a forconcomitante do carregamento original com a forçça P calculada noa P calculada no
item item bb;;
Adotar E = 3,0 x 10Adotar E = 3,0 x 1077 kNkN/m/m22 e J = 5,4 x 10e J = 5,4 x 10--33 mm44..
Resolvendo para o carregamento aplicado (apenas DMF): Resolvendo para o carregamento aplicado (apenas DMF): 
Σ Fx = 0 → HB = 0
Σ Fy = 0 → VA + VB = 10,0 x 4 = 40,0 VB = 20,0 kN 
Σ MA = 0 → 8,6 VB – 10,0 x 4 x 4,3 = 0 VA = 20,0 kN
Resolvendo para a carga unitResolvendo para a carga unitáária aplicada em A:ria aplicada em A:
Σ Fx = 0 → 1,0 - HB = 0 ∴ HB = 1
Σ Fy = 0 → VA = VB
Σ MA = 0 ∴ VB = VA = 0
a) Deslocamento horizontal da sea) Deslocamento horizontal da seçção em A:ão em A:
δδHHÁÁ = = ∫∫ (Mo M1 / EJ) dx = (Mo M1 / EJ) dx = --[ 1/3 x 46 x 4 x 4,61 x 2 + 46 x 4 x 4 +[ 1/3 x 46 x 4 x 4,61 x 2 + 46 x 4 x 4 +
+ 2/3 x 20 x 4 x 4] / EJ = + 2/3 x 20 x 4 x 4] / EJ = -- 1514,83 / EJ = 1514,83 / EJ = -- 9,35 x 109,35 x 10--33 mm
( deslocamento da direita para a esquerda) ( ( deslocamento da direita para a esquerda) ( ←← ) )b) Forb) Forçça horizontal em A para anular o deslocamento devido a horizontal em A para anular o deslocamento devido àà carga:carga:
O deslocamento em A devido O deslocamento em A devido àà uma foruma forçça unita unitáária aplicada em A ria aplicada em A éé
calculado por:calculado por:
δδHHÁÁ1 1 = = ∫∫ (M(M1 M1 / EJ) dx = [1/3 x 4 x 4 x 4,61 x 2 + 4 x 4 x 4] / EJ 1 M1 / EJ) dx = [1/3 x 4 x 4 x 4,61 x 2 + 4 x 4 x 4] / EJ 
= 113,17 / EJ = 6,99 x 10= 113,17 / EJ = 6,99 x 10--44 m (m (→→))
A forA forçça necessa necessáária para anular o deslocamento ria para anular o deslocamento éé::
δδHHÁÁ1 1 x P + x P + δδHHÁÁ = 0 (equa= 0 (equaçção a ser atendida)ão a ser atendida)
P = P = -- δδHHÁÁ / / δδHHÁÁ11 = = -- ((--1514,83 / EJ) x (EJ / 113,17) = 13,38 kN1514,83 / EJ) x (EJ / 113,17) = 13,38 kN
( ( →→ ))
c) Diagrama de momentos fletores para a ac) Diagrama de momentos fletores para a açção concomitante doão concomitante do
carregamento e da forcarregamento e da forçça calculada no item a calculada no item bb::
M = M0 + M1 x PM = M0 + M1 x P
Grau de Hiperestaticidade:Grau de Hiperestaticidade:
3) Classifique as estruturas quanto ao equilíbrio estático. Para as 
hiperestáticas determine os graus de hiperestaticidade e 
apresente um sistema principal válido.
Respostas:Respostas:
(28) gext = 0; gint = 6; gtotal = 6 (28) gext = 0; gint = 6; gtotal = 6 
(29) gext = 1; gint = 3; gtotal = 4 (29) gext = 1; gint = 3; gtotal = 4 
(30) gext = 0; gint = 12; gtotal = 12 (30) gext = 0; gint = 12; gtotal = 12 
(31) gext = 3; gint = 6; gtotal = 9 (31) gext = 3; gint = 6; gtotal = 9 
(32) gext = 1; gint = 4; gtotal = 5 (32) gext = 1; gint = 4; gtotal = 5 
(33) gext = 0; gint = 3; gtotal = 3 (33) gext = 0; gint = 3; gtotal = 3 
(34) estrutura hipost(34) estrutura hipostáática tica 
(35) gext = 9; gint = 21; gtotal = 30 (35) gext = 9; gint = 21; gtotal = 30 
(36) (37)
(38) (39)
Respostas:Respostas:
(36) gext = 1; gint = 3; gtotal = 4 (36) gext = 1; gint = 3; gtotal = 4 
(37) gext = 1; gint = 0; gtotal = 1 (37) gext = 1; gint = 0; gtotal = 1 
(38) gext = 1; gint = 4; gtotal = 5 (38) gext = 1; gint = 4; gtotal = 5 
(39) gext = 1; gint = 0; gtotal = 1 (39) gext = 1; gint = 0; gtotal = 1 
ExercExercíício de estrutura em arco:cio de estrutura em arco:
3) Calcular o deslocamento vertical do ponto C.3) Calcular o deslocamento vertical do ponto C.
Dados: EJ constanteDados: EJ constante
∫∫ coscos33θθ = sen= senθθ --1/3 sen1/3 sen33θθ
Carregamento Real: 
Ms = qR R(1 - cos θ) – qR2/2 –
- q R2(1 - cos θ)2/2 
Ms = - qR2 cos2θ
Carregamento Virtual:
Ms = R(1 - cos θ) – R =
- R cos θ
ds = R dθ
EJ dEJ dCC = = ∫∫00pipi/2/2 ((- qR2 cos2θ) (- R cos θ) R dθ
EJ ddCC = = ∫∫00pipi/2 /2 ((qR4/2) (cos3θ) dθ =
EJ ddCC = = ((qR4/2) ∫∫00pipi/2 /2 (cos3θ) dθ =
EJ ddCC = = ((qR4/2) [sen [sen θθ -- 1/3 sen1/3 sen33θθ]] =
EJ ddCC = [1 = [1 –– 1/3 1/3 –– 0 + 0] 0 + 0] ((qR4/2) =
EJ ddCC = 2/3 = 2/3 ((qR4/2) = qR4/3 (↓)