Cap. 4a Juros Compostos

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Cap. 4 – OPERAÇÕES A JUROS COMPOSTOS
As operações a Juros Compostos levam em conta a variação dos valores do Capital, pois a cada período, os Juros produzidos são CAPITALIZADOS, ou seja, os Juros são SOMADOS ao Capital.
No período seguinte, os juros são calculados sobre o valor do novo Capital ocorrendo, então, o que chamamos de JUROS SOBRE JUROS. Dessa forma, os novos juros dos períodos seguintes serão cada vez maiores tornando a relação entre juros e tempo, uma função exponencial.
As definições das variáveis envolvidas nessas operações continuam as mesmas, havendo apenas algumas alterações na sua TERMINOLOGIA. 
CONCEITOS E DEFINIÇÕES
Capital (C)		Valor Presente (VP ou PV em inglês)
Montante (M)		Valor Futuro (VF ou FV em inglês)
Taxa (i)			Taxa (i)
Tempo (t)		Período (n)
TERMINOLOGIA
OPERAÇÕES A JUROS COMPOSTOS
No caso, o Valor Presente (ou Capital Inicial da operação financeira) vai se modificando ao longo do tempo pelo fato de ter os juros capitalizados. Não tem sentido falar em um Capital fixo, pois o valor inicial vai se alterando com os juros.
Na verdade, não são calculados os Juros, mas sim o VALOR FUTURO da operação financeira.
OPERAÇÕES A JUROS COMPOSTOS
A Taxa deve ser considerada em DECIMAL sempre que for aplicada a uma FÓRMULA. Para as calculadoras financeiras a Taxa será sempre em PORCENTAGEM. 
Todas as definições de Taxa consideradas em Juros Simples também valem para o sistema de Juros Compostos: taxa nominal; taxa proporcional; taxa efetiva; e, taxa equivalente.
Quando houver diferença entre as unidades de Tempo e Taxa, deve-se reduzir o TEMPO e não a Taxa. A Taxa, para ser reduzida em uma outra unidade, deverá ser transformada em TAXA EQUIVALENTE e não em Taxa Proporcional. Mais à frente veremos como fazer esse cálculo.
FÓRMULA PARA CÁLCULO DO VALOR FUTURO
OPERAÇÕES A JUROS COMPOSTOS
Considere uma aplicação de R$ 10.000,00 com taxa de 10% am.
Os Juros produzidos no primeiro mês serão iguais a R$ 1.000,00 (10% de 10.000). Aqui vamos utilizar a fórmula de Juros Simples considerando o tempo sempre igual a 1 mês (período por período).
Dessa maneira, o Valor Presente (PV) a ser considerado no segundo período será 10.000 + 1.000 = 11.000 e os juros do segundo período serão calculados sobre R$ 11.000,00, o que resulta em juros de R$ 1.100,00 (10% de 11.000).
Para o terceiro período, o Valor Presente a ser considerado será de 11.000 + 1.100 = 12.100 e os juros serão iguais a R$ 1.210,00 (10% de 12.100) o que resulta num PV de R$ 13.310,00.
FÓRMULA PARA CÁLCULO DO VALOR FUTURO
OPERAÇÕES À JUROS COMPOSTOS
Genericamente, temos:
Data zero: FV0 = PV(1+i)0 = PV 
no 1º. mês: FV1 = PV + PV.i = PV(1+i)1
no 2º. mês: FV2 = PV(1+i)1 + PV(1+i)1.i = PV(1+i)(1+i) = PV(1+i)2
no 3º. mês: FV3 = PV(1+i)2 + PV(1+i)2.i = PV(1+i)2(1+i) = PV(1+i)3
Percebe-se que o expoente de cada fórmula é o período a que a operação financeira se refere. Portanto, podemos generalizar a fórmula e escrever:
FV = PV(1 + i)n 
FATOR DE CAPITALIZAÇÃO
OPERAÇÕES À JUROS COMPOSTOS
Na fórmula do Valor Futuro (FV) o termo (1 + i)n é chamado de FATOR DE CAPITALIZAÇÃO. Esse fator depende, exclusivamente, da Taxa e do Período o que permite a elaboração de uma Tabela. Ex.:
n
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
 
 
 
 
 
 
 
1
1,002500
1,005000
1,007500
1,010000
1,012500
1,015000
2
1,005006
1,010025
1,015056
1,020100
1,025156
1,030225
3
1,007519
1,015075
1,022669
1,030301
1,037971
1,045678
4
1,010038
1,020151
1,030339
1,040604
1,050945
1,061364
5
1,012563
1,025251
1,038067
1,051010
1,064082
1,077284
Na primeira linha estão as Taxas em porcentagem e, na primeira coluna, os Períodos. Essas tabelas caíram em desuso, tornando-se obsoletas.
1) Determine os juros produzidos numa aplicação de R$ 10.000,00, em 3 meses, à taxa de 5% ao mês.
PV = R$ 10.000,00	 n = 3m		i = 5% am
(Período em meses e Taxa ao mês – tudo bem!)
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
FV = 10.000 (1 + 0,05)3 	FV = 10.000 (1,05)3 	1,05 ^ 3 = 1,157625
 
FV = 10.000 x 1,157625 	FV = R$ 11.576,25	j = FV – PV
j = 11.576,25 – 10.000	j = R$ 1.576,25	
Pela calculadora científica o cálculo é feito da seguinte forma:
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Pela calculadora financeira, tomando como referência a calculadora HP 12C, temos:
f CLX			limpa os registros da calculadora
10000	PV		entrada do Valor Presente
5	 i		entrada da Taxa
3		 n		entrada do Período
FV		11.576,25	Valor Futuro de R$ 11.576,25
Para calcular os juros, fazemos: J = FV – PV Portanto, na calculadora, temos:
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
11576,25	Enter	entrada do FV
10000		entrada do PV
 – 			operação subtração
1.576,25		resposta: Juros de R$ 1.576,25
2) Determine o Valor Futuro de uma aplicação de R$ 6.200,00, em 7 meses, à taxa de 1,5% ao mês.
PV = R$ 6.200,00 n = 7 m i = 1,5% am
(Período em meses e Taxa ao mês – tudo bem!)
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
FV = 6.200 (1 + 0,015)7 FV = 6.200 (1,015)7 1,05 ^ 7 = 1,109845
 FV = 6.200 x 1,1098 45 FV = R$ 6.881,04
Na calculadora financeira, temos: f CLX 6200 PV 1,5 i 7 n
FV 6.881,04 Portanto: FV = R$ 6.881,04
3) Determine o Valor Presente de uma aplicação que rendeu um Valor Futuro de R$ 13.347,00, em 4 meses, à taxa de 1,25% ao mês.
13.347 = PV (1 + 0,0125)4 PV = 13.347 / (1,0125)4 1,0125 ^ 4 = 1,050945 
 PV = 13.347 / 1,050945		PV = R$ 12.700,00
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Na calculadora financeira, fazemos: 
f CLX	 13347 FV 1,25 i 4 n PV 12.700,00 
 PV = R$ 12.700,00
4) Calcule qual foi a taxa utilizada numa aplicação de R$ 9.120,00, em 3 meses, que rendeu um Valor Futuro de R$ 9.326,70.
9.326,70 = 9.120 (1 + i)3 9.326,70 / 9.120 = (1 + i)3
(1 + i )3 = 1,022664
Na calculadora científica, fazemos cálculo de radiciação da seguinte forma:
1,022664 2ndF √ 3 = 1,0075 1 + i = 1,0075 i = 1,0075 – 1
i = 0,0075 (taxa decimal) Portanto: i = 0,75% am
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
f CLX	 9120 CHS PV 9326,70 FV 3 n i 0,75 
resposta i = 0,75% am
Obs.: Na calculadora financeira, sempre que você entrar com dois valores em dinheiro (PV e FV, por exemplo) um deles deverá ser NEGATIVO (tecla CHS = Change Signal – mude o sinal). 
Assim, para resolvermos este exercício na calculadora financeira, fazemos:
O sinal negativo pode ser colocado no FV ao invés de no PV.
O importante é que um deles esteja negativo.
5) Em quanto tempo um Valor Presente de R$ 40.000,00 produz um Valor Futuro de R$ 43.091,36 considerando taxa de 1,5% am?
43.091,36 = 40.000(1 + 0,015)n 43.091,36 / 40.000 = (1 + 0,015)n
1,077284 = (1 + 0,015 )n Portanto, (1,015)n = 1,077284
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Na calculadora científica, fazemos cálculo de logaritmo (base 10) que será mais detalhado nas próximas aulas. Assim, fica:
n = log 1,077284 / log 1,015 n = 0,03233021 / 0,00646604 n = 4,9999
 Portanto: n = 5 m
Na Matemática o cálculo do expoente é feito por logaritmo.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Na calculadora financeira:
f CLX	 40000 CHS PV	 43091,36 FV	 1,5 i	 n 5
A calculadora HP 12C arredonda os valores de Período que ela calcula. Por isso, é preciso verificar se a resposta de Período que ela calculou está realmente correta. Fazemos o seguinte:
f CLX 40000 PV 1,5 i 5 n FV 43.091,36
A resposta de FV confere com o dado do problema (R$ 43.091,36). Assim, o Período calculado está correto: n = 5 meses. 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Para quem utiliza a HP 12C, apenas a título de verificação, considere o exercício anterior, mas com Valor Futuro igual a R$ 43.000,00.
Calcule o novo período.
PV = R$ 40.000,00 FV = R$ 43.000,00 i = 1,5% am
Repare que a resposta também é 5 meses, mas está ERRADO porque com 5 meses de aplicação, a resposta do Valor Futuro será de R$ 43.091,36, portanto, R$ 91,36 a mais. O período deveria ser menor do que 5 meses. Então, qual é o Período correto? Veremos isso mais adiante, nas Considerações sobre Período.
Na calculadora financeira, fica:
f CLX 40000 CHS PV 43000 FV 1,5 i n 5