Elementos Altimétricos

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Elementos Elementos altimétricosaltimétricos
Profa . Luc iana Rohde
Proje to Geométr ico de Es tradas - ECV 5115
RS-235 Fonte: Albano, 2009
1. Introdução1. Introdução
1
29%
2
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Vias urbanas Porto Alegre – RS
� Dias de chuva – automóveis patinam
� Tráfego de veículos comerciais proibido! (2)
� Indicado para vias urbanas - < 15%
19%
Silveira, 2007
29%
Silveira, 2007
1. Introdução1. Introdução
Silveira, 2007
19°°°°
35%
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Rua mais inclinada do mundo 
Nova Zelândia
� Veículo com tração simples
� i ≤ 35% (Silveira, 2007)
• SERRA DO RIO DO RASTRO SC480
18%
35%
Wikipedia, 2012
� Perfil ideal � custo da estrada (custo da terraplenagem). 
Condições geológicas e geotécnicas � escolha do perfil. 
Execução de cortes e aterros � condições desfavoráveis 
do solo natural podem exigir a execução de serviços 
especiais de alto custo, como escavações em rocha, obras 
1. Introdução1. Introdução
especiais de alto custo, como escavações em rocha, obras 
especiais de drenagem, estabilização de taludes e outros. 
Serviços dispendiosos em relação ao custo da 
terraplenagem.
� Busca-se perfil homogêneo para operação uniforme = 
rampas com pequena variação de inclinação e curvas de 
concordância vertical com raios semelhantes.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
1. Introdução1. Introdução
� Estrada deve ser confortável e esteticamente 
agradável ao motorista que a percorre.
� O perfil da estrada deve acompanhar o perfil natural 
do terreno, corrigindo as deficiências topográficas 
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
do terreno, corrigindo as deficiências topográficas 
naturais por meio de cortes e aterros.
� Um bom projeto deve apresentar poucas curvas 
verticais com grandes raios.
1. Introdução1. Introdução
� Raios
� 12.000 m para curvas côncavas;
� 20.000 m para curvas convexas.
Curvas verticais e horizontais devem corresponder-
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Curvas verticais e horizontais devem corresponder-
se gerando curvas tridimensionais.
� Curvas horizontais devem começar antes e terminar 
depois das verticais correspondentes.
� Usar rampas suaves e curvas verticais de raios 
grandes�velocidade uniforme.
1. Introdução1. Introdução
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Veículos de passageiros: rampas de 4% a 5% � perda de 
velocidade muito pequena. 
� Até 3%, comportamento próximo aos trechos em nível.
� Caminhões: perda de velocidade em rampas > do que a dos 
veículos de passageiros. 
2. Rampas máximas e mínimas2. Rampas máximas e mínimas
veículos de passageiros. 
� Caminhões médios conseguem manter velocidades da ordem 
de 25 km/h em rampas de até 7% e caminhões pesados, apenas 
velocidades da ordem de 15 km/h, nessas rampas.
� Nas rampas ascendentes, a velocidade de caminhão depende 
da inclinação e comprimento da rampa, peso e potência, 
velocidade de entrada na rampa, habilidade e vontade do 
motorista.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Rampa máxima DNIT (DNER, 1999)
2. Rampas máximas e mínimas2. Rampas máximas e mínimas
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Até 3% 
� alta velocidade de projeto;
� permite o movimento de veículos sem restrições;
� afetam pouco a velocidade dos caminhões leves e médios.
� Até 6%
2. Rampas máximas e mínimas2. Rampas máximas e mínimas
� Até 6%
� Baixa velocidade de projeto;
� Pouca influência sobre os veículos de passageiros
� Afetam muito o movimento dos caminhões
� Superior a 6%
� Estradas secundárias de baixo volume de tráfego ou
� Estradas para tráfego exclusivo de veículos de passageiros.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Rampa mínima – 1% (drenagem)
� Comprimento crítico – rampa ascendente
2. Rampas máximas e mínimas2. Rampas máximas e mínimas
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Comprimento crítico das rampas
� Trechos de estradas com sucessão de rampas muitos curtas 
devem ser evitados;
� Sucessão de rampas curtas: problemas de visibilidade para 
2. Rampas máximas e mínimas2. Rampas máximas e mínimas
� Sucessão de rampas curtas: problemas de visibilidade para 
ultrapassagem;
� Rampas com grande extensão: problemas de capacidade de 
tráfego (redução da velocidade);
� Alterar i (%)
� Faixa adicional.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Projeto em planta definido
� Dimensionar o greide em um plano vertical
� Projeto em perfil ou Projeto Altimétrico
3. Projeto 3. Projeto altimétricoaltimétrico
� Escalas de representação:
� 1:2000 – áreas rurais
� 1:1000 – áreas urbanas
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Geometria do greide
� Trechos retos – greide reto
� Trechos em curva vertical – greide curvo
4. 4. GreideGreide
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Representação do eixo da estrada em perfil
� Escala vertical 10x maior que a horizontal
� Distâncias sempre tomadas horizontalmente, sem 
interessar referências a distâncias inclinadas
4. 4. GreideGreide
interessar referências a distâncias inclinadas
� Inclinações dos trechos retos do greide
� Expressas em proporções (1:x) ou em %
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Subidas: sinal (+i%)
4. 4. GreideGreide
Função do sentido do estaqueamento!
São os aclives ou rampas.
� Descidas: sinal (-i%)
São os declives ou contra-rampas.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5. Curvas verticais5. Curvas verticais
� PCV Ponto de Concordância Vertical 
� PIV Ponto Intersecção Vertical 
� PTV Ponto de Tangência Vertical 
Fonte: Mendes, 2008
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5. Curvas verticais5. Curvas verticais
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.1. Tipos básicos5.1. Tipos básicos
� Curva circular
� PCV e PTV em estacas fracionárias
� Não proporciona transição suave.
� Elipse
Cálculos complexos� Cálculos complexos
� Não apresenta vantagem em relação às demais
� Parábola cúbica
� Entradas de curvas côncavas, ferrovias em relevos acidentados
� Parábola do 2° grau
� Adotado no Brasil!
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.2. Parábola de 5.2. Parábola de 22°° graugrau
� Equação analítica simples.
� Possibilita a locação dos pontos PCV e PTV em 
estacas inteiras.
� Também recomendada pelas normas americanas e 
alemãs.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.3. Propriedades 5.3. Propriedades geométriasgeométrias da parábolada parábola
� 1 - Todos os diâmetros da parábola são paralelos ao 
seu eixo.
� Parábola vertical – nas concordâncias do greide o 
eixo e todos os diâmetros da parábola são sempre 
verticaisverticais
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.3. Propriedades 5.3. Propriedades geométriasgeométrias da parábolada parábola
� 2 – A taxa de variação da declividade da parábola é 
constante
• EQUAÇÃO DA PARÁBOLA VERTICAL
• DECLIVIDADE DA RETA TANGENTE À PARÁBOLA EM UM 
PONTO QQ = COEFICIENTE ANGULAR
• TAXA DE VARIAÇÃO DA DECLIVIDADE
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
y = ordenada (m); x = abcissa (m); C = cte da parábola (m-1); i = declividade
5.3. Propriedades 5.3. Propriedades geométriasgeométrias da parábolada parábola
� 3 – As ordenadas de pontos da parábola, em relação a 
uma tangente qq à curva tomada como eixo das abcissas
são iguais ao produto da cte C pelo quadrado das 
distâncias horizontais do ponto de tangência aos pontos 
considerados da parábola.considerados da parábola.
� A partir de uma ordenada é possível calcular as demais.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.3. Propriedades 5.3. Propriedades geométriasgeométrias da parábolada parábola
� 4 – Numa concordância com uma parábola vertical o 
diâmetro que passa no PIV intercepta a corda que 
liga o PCV ao PTV num ponto D, dividindo a corda 
ao meio
Profa. Luciana Rohde - ECV 51155.3. Propriedades 5.3. Propriedades geométriasgeométrias da parábolada parábola
� 5 – A parábola intercepta o segmento ID do diâmetro 
que liga o PIV ao ponto D exatamente no meio deste 
segmento, o ponto E.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
5.3. Propriedades 5.3. Propriedades geométriasgeométrias da parábolada parábola
� 6 – A tangente à parábola no ponto E é paralela à 
corda que liga o PCV ao PTV.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Elementos básicos
� Ramos
� Concordância constituída por 2 RAMOS:
� PCV-PIV
� PIV-PTV� PIV-PTV
� Comprimentos (L):
� 1o ramo = L1 e 2o ramo = L2;
� Comprimento da concordância = L
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Ordenadas (O)
� Valor nulo nos pontos de concordância com os trechos retos do 
greide (PCV e PTV)
� Ordenadas aumentam gradativamente em direção ao PIV
� Maior valor = ordenada máxima = flexa (Omáx ou F)� Maior valor = ordenada máxima = flexa (Omáx ou F)
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
L1 = L2 = 1/2L 
Parábola simples ou 
simétrica
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
L1 ≠ L2 
Parábola composta
� Sinais mantidos!
A>0 �curva vertical parabólica CONVEXA� ∩∩∩∩
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� A>0 �curva vertical parabólica CONVEXA� ∩∩∩∩
� A<0 � curva CÔNCAVA �∪∪∪∪
� Podem ser dispensadas curvas verticais quando a 
diferença algébrica entre rampas contíguas for inferior 
a 0,5 %.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
1. Parâmetro de curvatura → K
� Caracteriza numericamente a parábola
� Suavidade e drenagem (quantos m para ↓1% a i)
� Parábola simples
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Parábola simples
K = parâmetro de curvatura (m/%)
L = comprimento da parábola (m)
A = diferença algébrica de rampas (%) 
� Equação da parábola
x = abcissa da parábola (m)
y = ordenada da parábola (m)
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
� Parâmetro de curvatura → K
� Valor pequeno de K
�curvatura mais acentuada
�distâncias de visibilidade reduzidas ao longo da curva
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Valor elevado de K
� curvaturas mais suaves
�distâncias de visibilidade maiores ao longo da curva
�maior atenção à drenagem, especialmente nas 
curvas côncavas
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
2. Raio mínimo da curvatura (ρ)
� Raio de curvatura em qualquer ponto da parábola
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Raio mínimo = vértice da parábola 
� Numerador ≥ 1
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
3. Comprimento das concordâncias
� Limitações quanto a Lmáx e Lmín
� DNIT
� Aparência do traçado;
� Condições de drenagem superficial;
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Condições de drenagem superficial;
� Condições de conforto para o usuário;
� Condições de segurança 
� Distâncias de visibilidade
� Arredondar para múltiplos de 20 m
� Estacas inteiras, múltiplos de 10 ou 5 m
� Mínimo = 20 m
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
3.1. Critério do mínimo absoluto (Lmín)
� Distância (m) percorrida por veículo em 2 segundos à V 
(km/h).
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
EE
3.2. Critério da máxima aceleração centrífuga 
admissível
� Trecho reto do greide→ veículo sujeito à g.
� Trecho em curva vertical → ação adicional de ar atuando 
perpendicularmente à pista.
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
perpendicularmente à pista.
� Curva côncava (∪∪∪∪) → ar atuando soma seus efeitos à g → ↑
peso do veículo → desconforto aos passageiros + sobrecarga 
no sistema de suspensão do veículo.
� Curva convexa (∩∩∩∩) → ar é subtraída de g → ↓ peso do veículo 
→ sensação de flutuação. 
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
3.2. Critério da máxima aceleração centrífuga 
admissível
� Em ambos os casos - efeitos significativos para raios 
verticais pequenos.
� Limitar as acelerações radiais.
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Limitar as acelerações radiais.
� DNIT – valores admissíveis de a:
� amáx = 1,5% da aceleração normal da gravidade para rodovias de 
elevado padrão;
� amáx= 5% da aceleração normal da gravidade para rodovias de 
padrão reduzido.
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
3.2. Critério da máxima aceleração centrífuga 
admissível
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
EE
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
g = 9,8 m/s2
3.3. Critério da drenagem
� Seções mistas e em corte → sarjetas devem ter declividades 
suficientes para o escoamento das águas.
� Adotar declividades longitudinais i ≥ 1% para sarjetas e 
greide.
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
greide.
� Locais onde não se pode manter a declividade desejável → imín ≥
0,5 respeitando mínimo absoluto imín abs ≥ 0,35%.
� Trechos em corte localizados em curvas verticais convexas 
concordando trechos retos com declividades de sinais 
contrários → admissível até 30 m com i< 0,35% → logo Kmáx
= 43 m/%
� Dificulta declividade da sarjeta!!!
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3.4. Critério da distância de visibilidade
� Curva convexa – motorista enxerga objeto (ambos dentro da 
curva)
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
3.4. Critério da distância de visibilidade
� Curva convexa – motorista antes da curva enxerga objeto 
situado após a curva
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Lmin= comprimento mínimo da concordância (m)
Dp = distância de visibilidade de parada (m)
A = diferença algébrica entre rampas (%)
3.4. Critério da distância de visibilidade
� Curva côncava → Os faróis do veículo, situados antes da 
curva, iluminam o ponto mais distante, localizado após a 
curva 
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Lmin= comprimento mínimo da concordância (m)
Dp = distância de visibilidade de parada (m)
A = diferença algébrica entre rampas (%)
3.4. Critério da distância de visibilidade
� Curva côncava - Os faróis do veículo e o ponto mais distante 
iluminado estão dentro da curva 
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
K
K= comprimento da curva na horizontal (m) para 1% de variação de 
declividade longitudinal = parâmetro da curva
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
3.5. Escolha dos comprimentos das concordâncias
� 4 ábacos – determinação dos comprimentos
� CONVEXA 
� distância de visibilidade mínima
� Distância de visibilidade desejável
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Distância de visibilidade desejável
� CÔNCAVA 
� distância de visibilidade mínima
� Distância de visibilidade desejável
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Valores de K
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
4. Cálculo da flecha ou ordenada máxima (omáx)
� Concordância com parábola simplesProfa. Luciana Rohde - ECV 5115
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
4. Cálculo da flecha ou ordenada máxima (omáx)
� Concordância com parábola composta
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
5. Cálculo das ordenadas (o)
� Tomando-se cada ramo da parábola em separado, pode-se 
expressar a ordenada oj em qualquer ponto J, situado a uma 
distância dj do ponto de concordância do 2º ramo:
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
6. Parâmetros de curvatura na parábola composta
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
7. 7. Cálculo Cálculo do do greidegreide
� Após a fixação dos trechos retos e dos comprimentos 
das concordâncias verticais
� Determinação das cotas dos trechos retos do greide;
� Cálculo das ordenadas da parábola;
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Cota Cota greidegreide ==
Cota Cota greidegreide retoreto
Ordenada da parábolaOrdenada da parábola
±±±±±±±±
6. Cálculo das concordâncias verticais6. Cálculo das concordâncias verticais
� Não são necessárias curvas verticais de transição
� maioria das curvas verticais apresenta curvatura suave
� não há problemas de dirigibilidade
� (aceleração da gravidade contribui para manter o veículo na 
pista)
� Caso de pequena diferença algébrica entre as rampas� Caso de pequena diferença algébrica entre as rampas
� Em geral, são dispensáveis curvas verticais quando A ≤ 0,5 %
� Em países como Alemanha e Austrália normas 
recomendam controle de aparência das curvas para 
0,2 % ≤ A ≤ 1,0 %
� Lmin = f(Vp)
� Raios mínimos de curvatura resultam bastante elevados
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115
Referências Bibliográficas
� Antas, P.M.; Vieira, A.; Gonçalo, E.A.; Lopes, L.A.S.
Estradas – Projeto Geométrico e de Terraplenagem. 1 ed. 
Rio de Janeiro: Interciência, 2010.
� Brasil. DNER. Manual de Projeto Geométrico de 
Rodovias. Rio de Janeiro: IPR, 1999.
Lee, S. H. Introdução ao Projeto Geométrico de � Lee, S. H. Introdução ao Projeto Geométrico de 
Rodovias. 3 ed. Florianópolis: Editora da UFSC, 2008.
� Silveira, F. L. Inclinações das ruas e das estradas. 
Revista Física na Escola. São Paulo, 2007.
� http://www.dnit.gov.br
� http://www2.mainroads.wa.gov.au
Profa. Luciana Rohde - ECV 5115