CA3 Aula 3

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Cálculo	
  3	
  
Aula	
  3	
  
Funções	
  de	
  duas	
  variáveis	
  
 O gráfico de uma função f de duas variáveis 
reais x e y é o conjunto das ternas ordenadas (x, y, 
f(x, y)) para (x, y) percorrendo o domínio da função. 
 Embora a definição vista aqui se extenda para 
funções de um número qualquer de variáveis, nosso 
interesse se restringirá ao caso de duas variáveis. 
 Como no caso da função de uma variável, tal 
representação nos dá uma idéia do comportamento 
da função. 
Exemplo aula passada: f(x, y) = x2 + y2 (parabolóide) 	
  
Mais	
  exemplos	
  
•  Da equação do plano 
podemos, supondo explicitar 
ou, de forma análoga, 
 
obtendo uma função cujo gráfico é um plano. 
 
 
 
ax +by + cz + d = 0,
c ≠ 0,
z = − a
c
x − b
c
y − d
c
,
z = Ax + By +C,
Sendo A = -4, B = 3 e C =12, z = −4x+3y +12,
•  Da equação que é da 
superfície esférica de centro na origem e raio r.	
  	
  
x2 + y2 + z2 = r2 r > 0( ),
z = r2 − x2 − y2 (metade superior da esfera)
ou
z = − r2 − x2 − y2 (metade superior da esfera)
•  Metade	
  superior	
  da	
  esfera	
  de	
  raio	
  1	
  e	
  centro	
  na	
  origem:	
  
•  Considere f(x, y) = x2. 
 O fato de não aparecer a variável y na fórmula da 
função significa que ao longo a direção do eixo y o 
gráfico permanece inalterado. 
•  Considere a função constante z = 3. Seu gráfico é 
um plano, paralelo ao plano xy, que interceta o 
eixo z em 3. 
•  Em z = 2y, também temos um plano, com 
corportamento constante na direção do eixo x. 
Outra forma de apresentar 
graficamente um plano: 
Mais	
  exemplos	
  de	
  paraboloides	
  	
  •  Todo paraboloide elíptico tem como equação: 
• z = a2x2 +b2 y2 + c, se a concavidade for 
voltada para cima,
• z = −a2x2 −b2 y2 + c, se a concavidade for 
voltada para baixo,
•  Todo paraboloide hiperbólico tem como equação: 
• z = a2x2 −b2 y2 + c, 
ou
• z = −a2x2 +b2 y2 + c, como 
na figura, onde c = 0.
Agora	
  é	
  com	
  você!	
  
Esboce	
  os	
  seguintes	
  gráficos,	
  determinando	
  o	
  
domínio	
  e	
  a	
  imagem	
  de	
  cada	
  função:	
  
	
   • z = 3x2 + 2y2
• z = x2 + y2 +1
• z = −3x2 − 2y2 +1
• z = 2y2
• z = −2y2 +1
• z = −4x − 2y +8
• z =1
• z = − 4− x2 − y2
• z = 4− x2 − y2
• z = 1− x2 − y2 + 2