AulaTeorica 10 Aplicações de Derivadas

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1 
 
 
Aplicações da 
Derivada 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
Prof. Victor Simões Barbosa 
2 
Conteúdos da Aula 
 Análise do Comportamento de uma 
Função; 
 Construção de Gráficos; 
 Fórmula de Taylor; 
 Problemas de Maximização e 
Minimização. 
 
3 
Construção de Gráficos 
Etapas Procedimento Definições e 
Teoremas 
1a Encontrar D(f) ---------- 
2a Calcular os pontos de 
intersecção com os eixos 
---------- 
3a Encontrar os pontos críticos f’(x) = 0 
f’(x) não existe 
4a Determinar os intervalos de 
crescimento e 
decrescimento de f(x) 
Usar f’(x)>0 e 
f’(x)<0. 
4 
Construção de Gráficos 
Etapas Procedimento Definições e 
Teoremas 
5a Encontrar os máximos e 
mínimos relativos 
- Teste da Derivada 1ª 
- Teste da Derivada 2ª 
6a Determinar a concavidade e 
os pontos de inflexão da 
função 
Usar f’’(x)>0 e 
f’’(x)<0 
7a Encontrar as assíntotas 
horizontais e verticais, se 
existirem 
Definições de 
assíntotas 
8a Esboçar o gráfico ---------- 
5 
Relembrando - Assíntotas 
6 
Relembrando - Assíntotas 
7 
Relembrando - Assíntotas 
 Definição: 
 A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = 
f(x), se pelo menos uma das seguintes afirmações for 
verdadeira: 












)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
xfiv
xfiii
xfii
xfi
ax
ax
ax
ax
8 
Relembrando - Assíntotas 
 Definição: 
 A reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de y = f(x), 
se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira: 
bxfii
bxfi
x
x




)(lim)(
)(lim)(
9 
Exemplo 4: 
 Esboçar o gráfico da função: 
  2683 234  xxxxf
 Basta seguir as 8 etapas mencionadas 
10 
Etapas Procedimento Resultado 
1a Encontrar D(f) ? 
2a Calcular os pontos de 
intersecção com os eixos 
? 
3a Encontrar os pontos críticos ? 
4a Determinar os intervalos de 
crescimento e 
decrescimento de f(x) 
? 
  2683 234  xxxxf
11 
Construção de Gráficos 
Etapas Procedimento Resultado 
1a Encontrar D(f) D(f) = IR 
2a Calcular os pontos de 
intersecção com os eixos 
? 
3a Encontrar os pontos críticos ? 
4a Determinar os intervalos de 
crescimento e 
decrescimento de f(x) 
? 
  2683 234  xxxxf
12 
Construção de Gráficos 
Etapas Procedimento Resultado 
1a Encontrar D(f) D(f) = IR 
2a Intersecção com o eixo dos 
y 
f(0) = 2 
3a Encontrar os pontos críticos ? 
4a Determinar os intervalos de 
crescimento e 
decrescimento de f(x) 
? 
  2683 234  xxxxf
13 
Construção de Gráficos 
Etapas Procedimento Resultado 
1a Encontrar D(f) D(f) = IR 
2a Intersecção com o eixo dos 
y 
f(0) = 2 
3a Encontrar os pontos críticos x1 = 0 e 
x2 = 1 
4a Determinar os intervalos de 
crescimento e 
decrescimento de f(x) 
? 
  2683 234  xxxxf
14 
Construção de Gráficos 
Etapas Procedimento Resultado 
1a Encontrar D(f) D(f) = IR 
2a Intersecção com o eixo 
dos y 
f(0) = 2 
3a Encontrar os pontos 
críticos 
x1 = 0 e 
x2 = 1 
4a Determinar os intervalos 
de crescimento e 
decrescimento de f(x) 
x  0 (crescente) 
e 
x  0 (decrescente) 
 
  2683 234  xxxxf
15 
Construção de Gráficos 
Etapa Procedimento Resultado 
5a Encontrar os máximos e 
mínimos relativos 
? 
6a Determinar a 
concavidade e os pontos 
de inflexão da função 
 
? 
7a Encontrar as assíntotas 
horizontais e verticais, se 
existirem 
 
? 
8a Esboçar o gráfico ? 
  2683 234  xxxxf
16 
Construção de Gráficos 
Etapa Procedimento Resultado 
5a Encontrar os máximos e 
mínimos relativos 
f”(0)=12>0 f(0) = 2-mínimo 
f”(1)=0 nada podemos afirmar 
6a Determinar a 
concavidade e os pontos 
de inflexão da função 
 
? 
7a Encontrar as assíntotas 
horizontais e verticais, se 
existirem 
? 


  2683 234  xxxxf
17 
Construção de Gráficos 
Etapa Procedimento Resultado 
5a Encontrar os máximos e 
mínimos relativos 
f”(0)=12>0 f(0) = 2-mínimo 
f”(1)=0 nada podemos afirmar 
6a Determinar a 
concavidade e os pontos 
de inflexão da função 
(, 1/3)  (1, ) - côncava p/ 
cima 
(1/3, 1) - côncava p/ baixo 
x = 1/3 e 1 (inflexão) 
7a Encontrar as assíntotas 
horizontais e verticais, se 
existirem 
? 
  2683 234  xxxxf


18 
Construção de Gráficos 
Etapa Procedimento Resultado 
5a Encontrar os máximos e 
mínimos relativos 
f”(0)=12>0 f(0) = 2-mínimo 
f”(1)=0 nada podemos afirmar 
6a Determinar a 
concavidade e os pontos 
de inflexão da função 
(, 1/3)  (1, ) - côncava p/ 
cima 
(1/3, 1) - côncava p/ baixo 
x = 1/3 e 1 (inflexão) 
 
7a Encontrar as assíntotas 
horizontais e verticais, se 
existirem 
 
Não existem 
  2683 234  xxxxf


19 
Exemplo 4: 
 Esboço o gráfico de: 
  2683 234  xxxxf
20 
Problemas de 
 Maximização e Minimização 
 Uma lata cilíndrica é feita para receber um 1 
litro de óleo. Encontre as dimensões que 
minimizarão o custo do metal para produzir a 
lata. 
Exemplo 5: 
21 
 A área da superfície total da lata cilíndrica é: 
rhrA  22 2 
 Onde o 1o termo corresponde as áreas da base circular 
e o 2o a área retangular. 
22 
 Volume do cilindro: 
 Temos V = 1L = 1000cm3, isolando h, temos: 
32 cm 1000hr
 Que fornece: 
 
 
1000
2r
h


 Substituindo h na expressão para a área A, temos: 
r
r
r
rrA
2000
2
1000
22 2
2
2 





 
hrV 2
23 
 A função a ser minimizada é: 
  0p/ , 20002 2  r
r
rrA 
 Encontrando os pontos críticos: 
 
 
 
50042000
4)(
2
3
2
'
r
r
r
rr
dr
dA
rA



24 
 Quando: 
5003 r
 Ponto crítico: 
 
 Calculando a derivada segunda de 𝐴, obtemos: 
𝐴′′(𝑟) =
12𝜋𝑟4 − 8𝑟(𝜋𝑟3 − 500)
𝑟4
 
 
Aplicando no ponto segue que 
𝐴′′
500
𝜋
3
> 0, logo ponto de mínimo. 
3
500

r
3
500

r
25 
 Conclusão: 
 Para minimizar o custo da lata, 
 o raio deve ser: 
cm 
500
3

r
 e a altura: 
cm 
500
2 3

h
 Da relação entre h e r para 1 litro, temos: 
   
3
3 23
3 3
322
500
2
500
1000
500
1000
 
1000
  rh
26 
Problemas de 
 Maximização e Minimização 
Estudar: 
 Exemplos 5.11.1: 1 (p. 218), 2 (p. 219), 3 (p. 220), 4 (p. 
221), 5 (p. 222), 6 (p. 223). 
FLEMING, D. M. & GONÇALVES, M. B. Cálculo A. Vol. 1; 
6ª edição, 
Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2007. 
27 
Polinômio de Taylor 
 Definição: 
 Seja f : I  IR uma função que admite derivadas até 
ordem n num ponto c do intervalo I. O polinômio de 
Taylor de ordem n de f no ponto c, que denotamos por 
Pn(x), é dado por: 
).()( , Em
.)(
!
)(
...)(
!2
)(
))(()()(
)(
2
''
'
cfcPcx
cx
n
cf
cx
cf
cxcfcfxP
n
n
n
n


28 
Exemplo 7: 
 Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 da 
função f(x) = ex no ponto c = 0. 
 
Lembrete: polinômio de Taylor de ordem n: 
).()( , Em
.)(
!
)(
...)(
!2
)(
))(()()(
)(
2
''
'
cfcPcx
cx
n
cf
cx
cf
cxcfcfxP
n
n
n
n


29 
Exemplo7: 
 Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 da 
função f(x) = ex no ponto c = 0. 
 
.1)0(...)0()0(
assim e
.)(...)()(
0)('
)('


efff
exfxfxf
iv
xiv
 Resolvendo: 
 
30 
Exemplo 7: 
.1)0(...)0()0( 0)('  efff iv
.)(
!
)(
...)(
!2
)(
))(()()(
)(
2
''
' n
n
n cx
n
cf
cx
cf
cxcfcfxP 
 Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 da 
função f(x) = ex no ponto c = 0. 
  Resolvendo: 
 
432
4 )0(
!4
1
)0(
!3
1
)0(
!2
1
)0(11)(  xxxxxP
!4!3!2
1)( 
432
4
xxx
xxP 
31 
Fórmula de Taylor 
Dado o polinômio de 
Taylor de grau n de uma 
função f(x), chamamos de 
resto, e denotamos por 
𝑅𝑛 𝑥 , a diferença 
𝑹𝒏 𝒙 = 𝒇 𝒙 − 𝑷𝒏(𝒙) 
32 
Polinômio de Taylor 
)()(
!
)(
...
)(
!2
)(
))(()()(
)(
2
''
'
xRcx
n
cf
cx
cf
cxcfcfxf
n
n
n


com ),(para proximaçãouma é )( Logo xfxPn
)()()(
ou
)()()( Resto
xRxPxf
xPxfxR
nn
nn


33 
 Proposição: (Dem. baseada no Polinômio de Taylor) 
 
; em relativo máximo um tem ,0)( epar é se )( )( cfcfni n 
 Seja f: (a, b)  IR uma função derivável n vezes e cujas 
derivadas f’, f ’’, ..., f(n) são contínuas em (a, b). Seja c  (a, 
b) um ponto crítico de f tal que 
 f’(c) = ... = f(n-1)(c) = 0 e f(n)(c)  0. Então, c; em relativo mínimo um tem ,0)( epar é se )( )( fcfnii n  inflexão. de ponto um é ímpar, é se )( cniii
34 
Exemplo 8: 
 Determinar os extremos da função: 
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 6. 
 
35 
 Resolvendo: 
Temos 𝑓´ 𝑥 = 6 𝑥 − 2 5. Logo 𝑥 = 2 é o único ponto 
crítico de 𝑓. Calculando as derivadas seguintes em 𝑥 = 2: 
𝑓′′ 𝑥 = 30 𝑥 − 2 4, 𝑓′′ 2 = 0 
𝑓′′′ 𝑥 = 120 𝑥 − 2 3, 𝑓′′′ 2 = 0 
𝑓𝑖𝑣 𝑥 = 360 𝑥 − 2 2, 𝑓𝑖𝑣 2 = 0 
 𝑓𝑣 𝑥 = 720 𝑥 − 2 , 𝑓𝑣 2 = 0 
 𝑓𝑣𝑖 𝑥 = 720 ≠ 0, 𝑓𝑣𝑖 2 = 720 > 0 
Logo, pela proposição anterior temos que 𝑥 = 2 é um ponto 
de mínimo relativo.