341032 LOGARITMOS

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LOGARITMO 
 
DEFINIÇÃO 
 
Sejam a e b reais positivos, com a  1, chama-se logaritmo de b na base a ao expoente x tal que ax = b. 
baxblog xa 
 com a>o e a  1 e b>o 
 
 onde: b é o logaritmando, a é a base e x é o logaritmo 
 
Exemplos: 
 
a) 24 = 16 
O expoente 4 é o logaritmo de 16 na base 2. Indica-se: 
4162 log
 
 b) 32 = 9 
 O expoente 2 é o logaritmo de 9 na base 3. Indica-se: 
293 log
 
 c) 3x = 20 
O expoente x é o logaritmo de 20 na base 3. Indica-se: 
x203log
 
 
 
CONSEQÜÊNCIAS DA DEFINIÇÃO 
 
a) 
01 alog
 b) 
1aalog
 c) 
mama log
 
 d) 
ba
ba 
log e) 
cbcb aa  loglog
 
 
 
SISTEMAS DE LOGARITMOS 
 
 O conjunto formado por todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a>0 e a  1) 
é chamado de sistemas de logaritmos de base a. 
 Existem dois sistemas de logaritmos que são os mais usados em Matemática: 
 
 a) o sistema de logaritmos decimais, que é o de base 10, foi desenvolvido pelo matemático inglês 
Briggs (1536-1630) 
 
 b) o sistema de logaritmos neperianos, que é o de base 
...71828,2e
. O nome neperiano deriva de 
Jonh Napier (1550-1617), matemático escocês. 
 
 Na calculadora: 
 
Tecle 2  LOG e obterá 0,30103..., tecle 2  LN e obterá 0,69315.... 
 
 Isto indica que: 
..,logln....,log , 693150223010302 718210  e
 
 
Isto também indica que: 
 
• 0,30103 é expoente ao qual devo elevar 10 para obter o resultado 2  10 0,30103 = 2 
 
• 0,69315 é o expoente ao qual devo elevar 2,718 para obter o resultado 2  2,718 0,69315 = 2 
EXERCÍCIOS 
 
1) Aplicando a definição de logaritmos, calcule o valor de x: 
 
a) 
x497log
 b) 
x256log8
 c) 
x
243
1
9log
 d) 
x0001010 ,log
 
 
e) 
x32 64log
 f) 
x4
8
log
 g) 
x49
3 7
log
 h) 
x0010
5 10
,log
 
 
i) 
x
64
1
4
1log
 j) 
x00006405 ,log
 l) 
x224log
 m) 
x3927log
 
 
n) 
225 xlog
 o) 
3343 xlog
 p) 
3
2
1 xlog
 q) 
2
2
xlog
 
r) 
13 xlog
 s) 
x32
4
1log
 t) 
06 xlog
 u) 
481 xlog
 
 
2) Dê o valor dos logaritmos, aplicando as conseqüências da definição: 
 
a) 
17log
 b) 
133log
 c) 
1313log
 d) 
5151log
 
e) 






10
1
10
1log
 f) 
37 7log
 g) 
25 5log
 h) 
322log
 
 i) 
1282log
 j) 

2733
log l) 755log m)  32 55 log 
 
3) Calcule o valor de x: 
 
a) 
866 loglog x
 b) 
168 33 loglog 
x
 c) 
42 loglog x
 
 
4) Calcule o valor das expressões: 
 
 a) 
20log
1084
77001,0logln21log4log  eY
. 
 b) 
27log.128log
1log.3001,0log5
3
3
2
12log
5 
Y
 
 c) 
4 3
1135
7log
11log.
25
1
log
121log.901,0log 12
Y
 
 
Respostas: 
 
 1) a) x = 2 b) x = 
3
8
 c) x = 
2
5

 d) x = -4 e) x = 2 f) x = 
3
4
 g) x = 6 h) x = -15 i) x = 3 j) x = 6 
 l) x = 
4
3
 m) x = 
6
5
 n) x = 5 o) x = 7 p) x = 8 q) x = 2 r) x = 3 s) x = 
2
5

 t) x = 1 u) x = 3 
 
 2) a) 0 b) 0 c) 1 d) 1 e) 1 f) 3 g) -2 h) 5 i) 7 j) 27 l) 7 m) 75 
 
 3) a) x = 8 b) x = 
3
4
 c) x = 

2 
 4) a) Y = 26 b) Y = 
7
18
 c) Y = -10 
 
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS 
 
 
a) 
cbcb aaa loglog).(log 
 ex.) 
813813 333 loglog)(log 
 
b) 
cb
c
b
aaa logloglog 





 ex.) 
64512
64
512
222 logloglog 





 
c) 
bmb a
m
a loglog 
 ex.) 
25232 2
5
22 logloglog 
 
d) 
b
n
m
bb aa
n m
a
n
m
log.loglog 
 ex.) 
9
2
7
99 3
2
7
3
7
3 log.loglog 
 
 
 
Exemplo: 
 Sejam os seguintes logaritmos decimais 
 
 log 2 = 0,301 log 3 = 0,477 
 log 6 = 0,778 log 8 = 0,903 
 
 Observe as propriedades operatórias dos logaritmos: 
 
a) log 2 + log 3 = log 6 
 0,301 + 0,477 = 0.778 , ou seja, log 2 + log 3 = log (2.3) 
 
b) log 6 - log 3 = log 2 
 0,778 - 0,477 = 0,301 , ou seja, log 6 – log 3 = log (6/3) 
 
c) log 8 = 3 . log 2 
 0,903 = 3 . 0,301 , ou seja, log 8 = log 23 = 3 . log 2 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
5) Sabendo que log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule: 
a) log 12 b) log 
272
 c) log 
5 36
 d) log 
9
165
 
 
6) Desenvolva, aplicando as propriedades operatórias dos logaritmos: 
 a) 
CBA ..log
 b) 
C
BA.
log2
= c) 
3
25
QP
NM
.
.
log
= d) 
3
4
P
MA
e
.
log
 = 
7) Determine o valor de Y: 
 
 a) log Y = log 6 + log m + log n b) log Y = log p + 5.log q - 
2
1
 log r 
 c) log b Y = 3.log b A + 2.log b B – 5.log b C d) log Y = 
5
2
.log M + 
3
1
.log N – 
7
3
.log S 
 
Respostas: 
 
5) a) 1,079 b) 1,0165 c) 0,3112 d) -0,7132 
 
6) a) 
CBA logloglog 
 b) 
CBA 222 logloglog 
 c) 
QPNM log.3loglog.2log.5 
 
 d) 
PMA eee log.
3
1
log.
2
1
log.4 
 
7) a) 
nmY ..6
 b) 
r
qp
Y
5.

 c) 
5
23.
C
BA
Y 
 d) 
7
3
3
1
5
2
.
S
NM
Y 
 
 
MUDANÇA DE BASE 
 
 A mudança de base consiste em dado um logaritmo de um número em uma certa base, calcular o 
logaritmo desse mesmo número em outra base 
 
 
a
b
b
c
c
a
log
log
log 
 
 
Exemplos: 
 
a) Calcule o valor de x mudando o logaritmo para a base 2: 
324logx
 
Resolução: 
2
5
2
2
4
32
2
2
5
2
2
2 
log
log
log
log
x
 
 
b) Calcule o valor de x na equação: 
 
Resolução: 3 x = 5 
 
 
4651
4770
6990
3
5
53
,
,
,
log
log
log


x
x
 S = {1,465} 
 
COLOGARITMO 
 
Ao oposto do logaritmo de um número na mesma base denominamos cologaritmo desse número, isto é: 
 
 
blogblogco aa 
 , com b > 0, a > 0 e ≠ 1. 
 
Exemplo: 
 
626464 6222  logloglogco
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
8) Calcule o valor das seguintes expressões: 
 a) 
2103 32 log.log.log
 b) 
352 523 log.log.log
 c) 
815 253 log.log
 d) 
34125 534 log.log.log
 
9) Calcule o valor de x mudando os logaritmos para a base 3: 
 a) 
9
1
27logx
 b) 
39logx
 c)
81
3
logx
 
10) Calcule ovalor de x nas equações dadas: 
 a) 3x = 11 b) 2x = 13 c) 5x = 7 d) 11x = 30 
 
11) Determine o valor das expressões: 
 a) 
285 22 loglog. coY 
 b) 
253272 53 log.log. coY 
 c) 
81
1
325 32 loglog. coY 
 
Respostas: 
8) a) 1 b) 1 c) 2 d) 3 9) a) x = 
3
2

 b) x = 
4
1
 c) x = 8 
10) a) x = 2,18 b) x = 3,70 c) x = 1,21 d) x = 1,42 11) a) 
2
29
Y
 b) 
12Y
 c) 
2
17
Y
 
EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS 
 
 São equações que envolvem logaritmos. Para resolver uma equação logarítmica usamos a definição e as 
propriedades operatórias, observando sempre as condições de existência. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
12) Resolva as equações logarítmicas: (Observe as condições de existência: a>o e a  1 e b>o) 
 a) 
  1202220  xxlog
 b) 
  2782 323 loglog  xx
 
 c) 
  2152  xxlog
 d) 
  65 323 loglog  xx
 
 e) 
  28 2  xxxlog
 f) 
  xxx 222 3 loglog 
 
 g) 
  22022  xxlog
 h) 
  21021  xxlog
 
 i) 
    2742 333 logloglog  xx
 j) 
    132 22  xx loglog
 
 l) 
    3471 22  xx loglog
 m) 
    113 22  xcox loglog
 
Respostas: 
 
12) a) S= {0, 2} b) S = {-7, 5} c) S = {-5, 20} d) S = {-1, 6} e) S = {4} f) S = { } g) S = {2} 
 h) S = { 3} i) S = {5} j) S = {4} l) S {12} m) S = {5} 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 
1) Uma imobiliária acredita que o valor de um imóvel varia segundo a lei v = 60000. (0,9)t, em que t é o 
número de anos contados a partir de hoje. Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$ 35.429,00? 
 
2) O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro logo depois de ter bebido uma 
considerável quantidade de cachaça. Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula 
N(t) = 2. (0,5)t, onde t é o tempo medido em horas a partir do momento em que o nível foi constatado. Quanto 
tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo, se o limite de álcool no sangue para dirigir com 
segurança é de 0,8 grama por litro? 
3) A intensidade de um terremoto na escala Richter é definida por 







0
log.
3
2
E
E
I
, em que E é a energia 
liberada no terremoto em quilowatt-hora (kWh) e E0 = 7.10 – 3 kWh. Qual é a energia liberada em um 
terremoto de intensidade 8 na escala Richter? 
 
4) A expressão N(t) = 1500. 20,2t permite o cálculo do número de bactérias existentes em uma cultura, ao 
completar t horas do início de sua observação (t = 0). Após quantas horas da primeira observação haverá 
250 000 bactérias nessa cultura? 
 
5) A massa de uma substância, que se desintegra segundo uma taxa de 5% ao ano, é dada por M = M0 .e – i t , 
onde M0 é a massa num instante t = 0, t é dado em anos e meses e i é a taxa anual de desintegração. Nestas 
condições M0 = 200g. Em quanto tempo (a/m) esta massa estará reduzida a 100g? 
 
6) A área de uma floresta vem diminuindo 20% ao ano devido à exploração humana. Se isso continuar 
acontecendo, em quanto tempo (a/m/d) a área ficará reduzida à quinta parte de sua área atual? 
 
7) Uma central telefônica emite transmissão com uma potência de 0,1 w. A transmissão vai perdendo 5% 
dessa potência a cada quilômetro de cabo telefônico. Depois de quantos quilômetros de cabo a potência cai à 
metade da inicial? 
 
8) Uma região tem 20 milhões de habitantes. Se essa população cresce 2% ao ano, em quanto tempo (a/m/d) 
ela será de 120 milhões de habitantes? 
 
9) Um material radioativo perde diariamente 2% de sua massa. Em quantos dias a massa deste material 
ficará a décima parte da atual? 
 
Respostas: 
 
1) t 

 5 anos 2) t = 1,32h ou 1h e 19min 3) E = 7.109 kwh 4) t 

 37h 
5) 13,86 anos ou 13 anos 10 meses e 9,6 dias 6) 7,21 anos ou 7 anos 2 meses e 15,6 dias 
7) 13,68 Km 8) 86,44 anos ou 86 anos 5 meses e 8,4 dias 9) t 

111 dias 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
 Uma função f: IR +*  IR, definida por y = loga x , a constante positiva e diferente de 1, denomina-se 
função logarítmica. 
 
 D(f) = IR +* Im(f) = IR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 y = 
xlog 2
 y = 
xlog
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Função Exponencial e Função Logarítmica são funções inversas.