Matemática em Contexto Função exponencial, logaritmica e sequências (36)

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Veja os exemplos.
	a) 




log
2
3
5 5 log5 2 2 log5 3 	b) 




log
1
8
2 5 log2 1 2 log2 8 5 0 2 log2 2
3 5 23
•	 Logaritmo de uma potência: em uma base qualquer a, o logaritmo de uma potência de base real positiva 
é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo, na base a, da base da potência.
loga M
N 5 N ? loga M
Acompanhe a demonstração.
Consideramos loga M
N 5 r e loga M 5 m.
Pela definição de logaritmo, obtemos: ar 5 MN e am 5 M.
Então:
ar 5 MN 5 (am)N 5 aNm
Se ar 5 aNm, então r 5 Nm e, portanto:
loga M
N 5 N ? loga M
Veja alguns exemplos.
	a) log3 8
4 5 4 ? log3 8
	b) log 102 5 2 ? log 10 5 2 ? 1 5 2
	c) log7 5
3 5 3 ? log7 5
	d) 5 5 ? 5 ? 5log 4 log 4
1
3
log 4
1
3
2
2
3
2
3
2
1
3
2
Mudan•a de base de um logaritmo
Algumas vezes, é adequado mudar a base de um logaritmo para facilitar o cálculo do valor dele, por 
exemplo. Para fazermos isso, podemos dividir o logaritmo do logaritmando pelo logaritmo da base, ambos 
em uma mesma nova base.
logb N 5 
N
b
a
a
log
log
(Com N, a e b números reais positivos, a = 1 e b = 1.)
Acompanhe a demonstração.
Consideramos logb N 5 p; loga N 5 q e loga b 5 r.
Então obtemos, pela definição de logaritmo: bp 5 N; aq 5 N e ar 5 b.
Fazendo as substituições, obtemos: 
N 5 aq 5 bp 5 (ar)p 5 arp
Se aq 5 arp, então q 5 rp; portanto, p 5 
q
r
 e logb N 5 
N
b
a
a
log
log
.
Também podemos aplicar essa 
propriedade no logaritmo de uma raiz 
(quando existir).
5 5 ?M M
N
Ma
N
a
N
alog log
1
log
1
Fique atento
Veja o que acontece nessa propriedade quando fazemos N 5 a.
5 5a
a
b b
b
a
a a
log
log
log
1
log
Então, quando existirem os logaritmos envolvidos, podemos escrever: logb a 5 
ba
1
log
 ou logb a ? loga b 5 1
Fique atento
Como garantir que 
r = 0?
Reflita
Temos que r 5 loga b, 
a e b são números reais 
positivos e a = 1 e b = 1. 
Então a r = 1 ~ r = 0.
Veja alguns exemplos.
	a) 5log 5
log 5
log 7
7
2
2
 (na base 2)
	b) 5log 5
log 5
log 7
7 (na base 10)
	c) 5 ^ 5log 25 2 log 5
1
2
5 25
	d) 5 2 ^ 5 2log
3
4
log
4
3
a bb a
77
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O que significa 
desenvolvimento 
logarítmico?
Reflita
O desenvolvimento 
logarítmico utiliza 
as propriedades 
para expandir uma 
expressão, de maneira 
que nos permita 
calcular o logaritmo 
de um produto, 
quociente ou potência 
conhecendo apenas os 
logaritmos dos termos 
das operações.
	 5.	Determine o desenvolvimento logarítmico da expressão 
a b
c




log .
3
Resolução
5
?
5 ?
a b
c
a b
c
a b( )








log log log
3
1
2
3
1
2 2 log c3 5 log a 1 blog
1
2 2 log c3 5
5 log a 1 
1
2
 ? log b 2 3 ? log c
Portanto, 5 1
a b
c
a




log log
1
23 ? log b 2 3 ? log c.
	 6.	Sabendo que log 2 5 a e log 3 5 b, expresse log 72 em função de a e b.
Resolução
log 72 5 log (23 ? 32) 5 log 23 1 log 32 5 3 ? log 2 1 2 ? log 3 5 3a 1 2b
Então, log 72 5 3a 1 2b.
	 7.	Escreva log2 8 usando logaritmos na base 10.
Resolução
5 ~ 5N
N
a
a
b
b
log
log
log
log 8
log 8
log 2
2
10
10
Atividades resolvidas
	 7.	Adotando as aproximações log 2 5 0,3 e log 3 5 0,5, 
determine o valor aproximado de cada logaritmo.
	a) log 6
	b) log 9
	c) log 1,5
	d) log 24
	e) log 144
	 f) log 5
	 8.	Determinado computador processa certa quantidade 
x de bits em log x milissegundos (ms). Sabendo que 
log 5 â 0,7, quantos milissegundos são necessários 
para que esse computador processe 125 000 bits? 
E 5 000 000 bits?
	 9.	Retome a situação do início deste capítulo, na página 
67, e observe a equação exponencial que representa a 
medida de intervalo de tempo x, em anos, para a qual 
dobrará a quantidade de pessoas com 60 anos ou mais 
na América Latina e no Caribe.
(1,034)x 5 2
Com os conhecimentos de logaritmo que você já ad-
quiriu e considerando log2 (1,034) â 0,05, reescreva 
no caderno essa igualdade usando logaritmo e calcule 
em quantos anos a quantidade de habitantes dessa 
população dobrará.
Perceba que você vai usar o conceito de logaritmo e o 
valor do logaritmo de um número dado para resolver 
uma equação exponencial.
Fique atento
	10.	Considerando log 2 â 0,3 e as concentrações de íons H1 
dadas em cada item, de diferentes soluções, calcule o 
valor do pH de cada solução.
Aproximadamente 0,8.
Aproximadamente 1.
Aproximadamente 0,2
Aproximadamente 1,4.
e) Aproximadamente 2,2. f) Aproximadamente 0,7.
Aproximadamente 5,1 ms. Aproximadamente 6,7 ms.
Aproximadamente 20 anos.
	a) 2 ? 1025 mol/L
	b) 0,5 ? 1024 mol/L
	c) 0,2 ? 1026 mol/L
	11.	(FGV-SP) Em uma máquina fotográfica, a abertura na 
lente, pela qual passa a luz, é indicada pela letra f. Ad-
mita que a fórmula que fornece a medida da luz (S) que 
passa pela abertura, em função do valor de f, para uma 
câmera de lente 35 mm, seja dada por S 5 log2 f 
2. 
A imagem indica uma lente 35 mm 
de abertura máxima igual a 1,4. Ado-
tando log 2 5 0,301 e log 7 5 0,845, 
o valor de S para a abertura máxima 
dessa lente é, aproximadamente:
	a) 0,91. 	b) 0,93. 	c) 0,95. 	d) 0,97. 	e) 0,99.
	12.	Calcule em quantos anos a medida de massa radioativa 
inicial Q0 de uma substância se reduz a 
1
9
, sabendo 
que a meia-vida dela é de 3 anos. (Dados: log 2 â 0,30 e 
log 3 â 0,48.)
Lembre-se de que meia-vida é a medida de intervalo 
de tempo que deve decorrer para que, em certo 
momento, metade dos átomos de uma substância 
radioativa se estabilize.
Fique atento
	13.	Reelabore o enunciado da atividade anterior de 
modo que na resolução você precise usar os valores 
log 2 â 0,30 e log 7 â 0,85.
Aproximadamente 4,7.
Aproximadamente 4,3.
Aproximadamente 6,7.
Alternativa d.
Aproximadamente 9,6 anos.
Resposta pessoal.
Atividades Não escreva no livro.
R
e
p
ro
d
u
ç
ã
o
/F
G
V
-S
P,
 2
0
1
9
.
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