Teoremas de Thevenin e Norton

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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5 
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Esta aula: 
 Teorema de Thévenin, 
 Teorema de Norton. 
 
Suponha que desejamos determinar a tensão (ou 
a corrente) em um único bipolo de um circuito, 
constituído por qualquer número de fontes e de 
outros resistores. 
 R
i
vR
i
vR
i
v
 
 
 
O Teorema de Thévenin nos diz que podemos 
substituir todo o circuito, com exceção ao 
bipolo em questão, por um circuito equivalente 
contendo uma fonte de tensão em série com um 
resistor. 
 
Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que 
podemos substituir todo o circuito, com 
exceção ao bipolo em questão, por circuito 
equivalente contendo uma fonte de corrente em 
paralelo com um resistor. 
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R
i
v
Teorema de 
Thevenin
Teorema de 
Norton
R
i
vThv
ThR
R
i
vNi NR
R
i
vR
i
vR
i
v
Teorema de 
Thevenin
Teorema de 
Norton
R
i
vThv
ThR
R
i
vThv
ThR
R
i
vNi NR R
i
vNi NR
 
 
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Consideremos um circuito elétrico que foi 
rearranjado na forma de outros dois circuitos, 
denotados por A e B. 
 
Circuito A: deve ser um circuito linear: 
 fontes independentes, 
 bipolos lineares e 
 fontes dependentes lineares. 
 
Circuito B: pode conter também elementos não 
– lineares. 
 
Restrição importante: Nenhuma fonte 
dependente do circuito A pode ser controlada 
por uma corrente ou tensão do circuito B e vice 
versa. 
 
Circuito
B
Circuito
B
Circuito 
Equivalente 
Thèvenin do 
circuito A
Circuito
A
Circuito
B
Circuito
B
Circuito 
Equivalente 
Thèvenin do 
circuito A
Circuito
A
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
B
Circuito 
Equivalente 
Thèvenin do 
circuito A
Circuito
A
Circuito
A
 
 
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Teorema de Thévenin: 
Defina uma tensão 
cav
 como a tensão que 
aparece nos terminais de A se o circuito B é 
desconectado, de forma que nenhuma corrente 
fluí do circuito A para o circuito B. Então, as 
tensões e correntes em B permanecerão 
inalteradas se desativarmos todas as fontes 
independentes de A e uma fonte de tensão 
cav
 
for conectada em série com o circuito A 
“desativado”. 
 
Desativar fontes: 
 Substituir fontes independentes de corrente 
por circuitos abertos, 
 Substituir fontes independentes de tensão 
por curto-circuitos. 
 
Circuito
B
Circuito A 
desativado
ccv
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente
Circuito
B
Circuito
B
Circuito A 
desativado
Circuito A 
desativado
ccv
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente
 
 
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Teorema de Norton 
Defina uma corrente 
cci
 como a corrente que 
flui nos terminais de A se os pontos de conexão 
entre A e B são curto-circuitados, de forma que 
nenhuma tensão é fornecida por A. Então, as 
tensões e correntes em B permanecerão 
inalteradas se desativarmos todas as fontes 
independentes de A e uma fonte de corrente 
cci
 
for conectada em paralelo com o circuito A 
“desativado”. 
 
Circuito
B
Circuito A 
desativado
cci
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente
Circuito
B
Circuito
B
Circuito A 
desativado
Circuito A 
desativado
cci
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente
 
 
Consideremos o circuito abaixo, para o qual 
desejamos determinar os equivalentes de 
Thévenin e de Norton sob o ponto de vista o 
resistor 
1R
. 
 
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V4
mA2
k2 k3
 k11R
V4
mA2
k2 k3
 k11R
 
Tensão em aberto: 
 
V4
mA2
k2 k3
cav1i
mA21 i
  
V8
1021024 33

 cav
V4
mA2
k2 k3
cav1i
mA21 i
  
V8
1021024 33

 cav
 
 
Resistência do circuito desativado: 
 
k2 k3
 k5
k2 k3
 k5
 
 
Portanto, o circuito redesenhado com o 
equivalente de Thévenin é: 
 
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V8
k5
 k11R
V8
k5
 k11R
 
Para construir o equivalente de Norton, 
precisamos determinar a corrente de curto-
circuito: 
V4
mA2
k2 k3
1i 2i
212  ii
0324 21  ii
mA6,12  ccii
cci
V4
mA2
k2 k3
1i 2i
212  ii
0324 21  ii
mA6,12  ccii
212  ii
0324 21  ii
mA6,12  ccii
cci
 
 
Finalmente, o circuito com o equivalente de 
Norton é: 
 
k5  k11R
,6mA1
k5  k11R
,6mA1
 
 
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Note que o equivalente de Norton pode ser 
obtido a partir do equivalente de Thévenin (e 
vice-versa) por meio de princípio da 
equivalência entre fontes de tensão e de 
corrente reais. 
 
Consideremos agora um circuito com uma fonte 
de corrente dependente linear, cujo equivalente 
de Thévenin estamos interessados: 
 
V4
4000
xv
k2 k3
xv
A
B
V4
4000
xv
k2 k3
xv
A
B
 
 
Tensão em aberto: 
A tensão de circuito aberto é a própria tensão de 
controle da fonte de corrente, ou seja 
xca vv 
. 
 
Então, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões 
na malha (note que há apenas uma!), temos: 
 
V80
4000
k24  caxx
x vvv
v 
 
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Resistência do circuito desativado, entre A e 
B: 4000
xv
k2 k3
xv
?ThR
A
B
4000
xv
k2 k3
xv
?ThR
A
B
 
 
Note que não conseguimos calcular a 
resistência entre A e B devido à presença do 
gerador de corrente. 
 
Porém, podemos determinar essa resistência 
indiretamente, por meio da relação entre os 
equivalentes de Thévenin e de Norton: 
 
cav R cci
R
cc
ca
i
v
R 
cav R cci
R
cc
ca
i
v
R 
 
 
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Portanto, precisamos determinar 
cci
. 
 
V4
0
4000
x
v
k2 k3
0xv
V4
k2 k3
cci
mA8,0
A
5000
4

cci
V4
0
4000
x
v
k2 k3
0xv
V4
k2 k3
cci
mA8,0
A
5000
4

cci
 
 
Finalmente, 



k10
108,0
8
3
R , e 
 V8 k10 mA8,0
k10
V8 k10 mA8,0
k10