Apostila principios básicos hidráulica

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IT 144 – Hidráulica Aplicada Março/2009 
 
Prof. Daniel Fonseca de Carvalho 
 
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HIDRÁULICA APLICADA 
 
1. PRINCÍPIOS BÁSICOS E PROPRIEDADES FÍSICAS DOS FLUIDOS 
 
1.1 Definição de Fluidos (Streeter,1909) 
 
 
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a 
uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa 
tensão. Uma força de cisalhamento é uma componente tangencial de força que age 
sobre a superfície e, dividida pela área da superfície, dá origem à tensão de 
cisalhamento média sobre a área. Tensão de cisalhamento num ponto é o valor da 
relação entre a força de cisalhamento e a área quando a área tende a um ponto. 
Na Figura 1, uma substância é colocada entre duas placas paralelas bem 
próximas e grandes de modo que as pertubações nas bordas possam ser desprezadas. 
A placa inferior é fixa, e uma força F é aplicada na placa superior, a qual exerce uma 
tensão de cisalhamento (F/A) na substância entre as placas. A é a área da placa 
superior. Quando a força F movimenta a placa superior com uma velocidade (não nula) 
constante, não importando quão pequena seja a intensidade de F, pode-se concluir que 
a substância entre as duas placas é um fluido. 
 
Figura 1 - Deformação resultante da aplicação de força de cisalhamento constante. 
 
O fluido em contato com a superfície sólida tem a mesma velocidade que a 
superfície; isto é, não há escorregamento na superfície. Este é um fato experimental 
que é observado em ensaios com várias espécies de fluido e materiais de superfície. O 
fluido na área abcd escoa para a nova posição ab’c’d com cada partícula fluida 
movendo-se paralelamente à placa e a velocidade u variando linearmente de zero na 
placa estacionária até U na placa superior. A experiência mostra que, mantendo-se 
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outras grandezas constantes, F é diretamente proporcional a A e a U e inversamente 
proporcional a t. Em forma de equação, 
t
UA
F µ= (1) 
na qual µ é um fator de proporcionalidade que depende do fluido em estudo. Sendo a 
tensão de cisalhamento ( A
F=σ ): 
t
U
µ=σ (2) 
A relação U/t é a velocidade angular do seguimento ab ou é a velocidade de 
deformação angular do fluido, isto é, a velocidade com que o ângulo bad diminui. A 
velocidade angular também pode ser escrita du/dy, pois tanto U/t como du/dy 
expressam a variação de velocidade divida pela distância ao longo da qual a variação 
ocorre. Entretanto, du/dy é mais geral porque continua válida nas situações nas quais 
a velocidade angular e a tensão de cisalhamento variam com y. O gradiente de 
velocidade du/dy pode também ser entendido como a velocidade com a qual uma 
camada se move em relação à outra adjacente. Na forma diferencial, 
dy
du
µ=σ (3) 
é a relação entre a tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação angular para 
um escoamento unidimensional. O fator de proporcionalidade µ é chamado viscosidade 
do fluido, e a equação 3, lei de Newton da Viscosidade. 
Para fins de análise é feita freqüentemente a hipótese de que um fluido é não-
viscoso. Com viscosidade zero, a tensão de cisalhamento é sempre zero, não 
importando o movimento que o fluido possa ter. Se o fluido é também considerado 
incompressível, ele é então chamado fluido perfeito ou ideal. 
 
1.2 Viscosidade 
 
De todas as propriedades dos fluidos, a viscosidade requer a maior 
consideração no estudo dos escoamentos. Viscosidade é a propriedade pela qual um 
fluido oferece resistência ao cisalhamento, ou seja, ao escoamento. A lei de Newton da 
viscosidade (Eq. 3) estabelece que, para uma dada velocidade de deformação angular 
de um fluido, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à viscosidade. 
Melaço e alcatrão são exemplos de líquidos muito viscosos, enquanto que água e ar 
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apresentam viscosidades muito pequenas. Assim, um fluido de maior viscosidade 
apresenta maior resistência ao escoamento que, por sua vez, demandará maior 
energia. 
Um fluido em repouso ou movendo-se de modo que não haja movimento relativo 
entre camadas adjacentes, não apresentará forças de cisalhamento aparente, embora 
tenha viscosidade, porque du/dy é zero em qualquer ponto do fluido. Assim no estudo 
da estática dos fluidos, não se consideram as forças de cisalhamento porque as 
mesmas não existem nessa condição e as únicas tensões atuantes são as tensões 
normais ou pressões. 
As dimensões da viscosidade são determinadas a partir da lei de Newton da 
viscosidade (Eq. 3). Isolando a viscosidade µ: 
dy/du
σ
=µ (4) 
 
Introduzindo as dimensões F, L,T de força, comprimento e tempo: 
 
σ : F L-2 u : LT- 1 y : L 
 
resulta µ com a dimensão F L-2 T. Com a dimensão da força expressa em função da 
massa pelo uso da segunda lei da mecânica de Newton, F � M L T-2, a dimensão da 
viscosidade pode ser expressa como M L-1 T –1. 
A unidade no SI de viscosidade, o newton-segundo por metro quadrado (N s m-2) 
ou o quilograma por metro por segundo (kg m-1 s-1), não tem nome especial. 
 
- Viscosidade cinemática 
 
A viscosidade µ é frequentemente chamada de viscosidade absoluta ou 
dinâmica para se evitar confusão com a viscosidade cinemática, que é a relação entre 
viscosidade e massa específica do fluido: 
ρ
µ
=ν (5) 
A viscosidade cinemática aparece em muitas aplicações, como por exemplo, no 
coeficiente denominado número de Reynolds, utilizado na caracterização dos regimes 
de escoamento. 
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A dimensão de ν é L2T-1. A unidade SI de viscosidade cinemática é 1,0 m2 s-1, e 
a unidade inglesa usual é 1 ft2 s-1. 
Como dito anteriormente, a presença da viscosidade gera uma resistência ao 
deslizamento dos fluidos, tanto no interior da massa líquida (atrito interno) quanto ao 
longo de superfícies sólidas (atrito externo). Quando um líquido escoa em contato com 
uma superfície sólida, junto à mesma é criada uma camada fluida, aderente, que não 
se movimenta. Um exemplo importante é o que ocorre com o escoamento de um 
líquido em um tubo. Forma-se junto às paredes uma película fluida que não participa do 
movimento. Assim, junto à parede do tubo, a velocidade é zero, sendo máxima na parte 
central (Figura 2). 
 
Figura 2 - Perfil de velocidade em uma tubulação. 
 
 Em conseqüência dos atritos e, principalmente, da viscosidade, o escoamento 
de um líquido em uma canalização somente se verifica com certa dissipação de 
energia, comumente denominada por perda de carga (Figura 3). 
 
 
Figura 3 – Demonstração da ocorrência da perda de carga. 
 
 A Tabela 1 os valores de viscosidade cinemática da água, em função da 
temperatura. 
 
 
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Tabela 1 – Valores de viscosidadecinemática da água 
Temperatura (oC) Viscosidade (x 10-6 m2 s-1) 
0 1,79 
5 1,52 
10 1,31 
15 1,14 
20 1,01 
25 0,90 
30 0,80 
40 0,66 
50 0,56 
60 0,48 
70 0,42 
80 0,37 
90 0,33 
100 0,30 
 
 
1.3 Demais propriedades 
 
a) Coesão e adesão 
 
A primeira propriedade permite às partículas fluidas resistirem a pequenos 
esforços de tensão. A formação de uma gota d'água deve-se à coesão. 
Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas 
moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre as moléculas do 
próprio líquido. Ocorreu então a adesão. 
 
b) Pressão de vapor 
 
Dependendo da pressão a que está submetido, um líquido entra em ebulição a 
uma determinada temperatura; variando a pressão, varia a temperatura de ebulição. 
Por exemplo, a água entra em ebulição à temperatura de 100oC quando a pressão é 
1,033 kgf cm-2 (1 atm), mas também pode ferver a temperaturas mais baixas se a 
pressão também for menor. Portanto, pressão de vapor corresponde ao valor da 
pressão em que há mudança da fase líquida para a gasosa. 
Todo líquido tem temperatura de saturação de vapor (tv) (quando entra em 
ebulição), que correspondem biunivocamente a pressões de saturação de vapor ou 
simplesmente tensões de vapor (pv). 
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Essa propriedade é fundamental na análise do fenômeno da cavitação, pois 
quando um líquido inicia a ebulição, inicia-se também a cavitação. 
 
c) Massa específica, peso específico e densidade 
 
A massa específica (ρ) de um fluido é definida como sua massa por unidade de 
volume. O peso específico (γ) de uma substância é o seu peso por unidade de 
volume. É variável com a posição, dependendo, portanto, da aceleração da gravidade. 
gρ=γ (6) 
 
É uma interessante propriedade quando se trata da estática dos fluidos ou de líquidos 
com uma superfície livre. 
A densidade (d) de uma substância é a relação entre seu peso e o peso de um 
igual volume de água nas condições normais. Pode também ser expressa como 
relação entre sua massa ou peso específico e os da água. 
 A Tabela 2 apresenta alguns valores de massa específica, peso específico e 
pressão de vapor d´água em função da temperatura. 
 
Tabela 2 – Valores de massa específica, peso específico e pressão de vapor d´água 
Temperatura (oC) 
Massa específica 
(kg m-3) 
Peso específico 
(N m-3) 
Pressão de vapor 
d´agua (Pa) 
0 999,8 9.805 611 
2 999,9 9.806 --- 
4 1.000,0 9.810 --- 
5 999,9 9.806 873 
10 999,7 9.803 1.266 
15 999,1 9.798 1.707 
20 998,2 9.780 2.335 
25 997,1 9.779 3.169 
30 995,7 9.767 4.238 
40 992,2 9.737 7.377 
50 988,1 9.697 12.331 
60 983,2 9.658 19.924 
70 977,8 9.600 31.166 
80 971,8 9.557 47.372 
90 965,3 9.499 70.132 
100 958,4 9.438 101.357 
 
 
 
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1.4 Símbolos adotados e unidades usuais em Mecânica dos fluidos 
 
As grandezas físicas são compatíveis entre si através de medidas homogêneas, 
ou seja, referidas à mesma unidade. Os números sem dimensão de medidas nada 
informam em termos práticos: o que é maior: 8 ou 80? A pergunta necessita de sentido 
porque não há termo de comparação. Evidentemente que 8 m3 significa mais que 80 
litros (80 dm3). Poderia ser de outra forma: 8 kg e 80 kg. As "unidades" de grandezas 
físicas (dimensões de um corpo, velocidade, força, trabalho ou potência) permitem 
organizar o trabalho científico e técnico sendo que, com apenas sete grandezas 
básicas é possível formar um sistema que abranja todas as necessidades. 
Tradicionalmente a Engenharia usava o denominado sistema MKS (metro, quilograma, 
segundo) ou CGC (centímetro, grama, segundo), ou Sistema Gravitacional, em que 
unidades básicas (MKS) são: 
 
Tabela 3 – Grandezas e unidades do sistema gravitacional 
GRANDEZAS UNIDADE SÍMBOLO DIMENSIONAL 
Força quilograma - força kgf F 
Comprimento metro m L 
Tempo segundo s T 
 
Entretanto, observou-se que esse sistema estabelecia uma certa confusão entre 
as noções de peso e massa, que do ponto de vista físico são coisas diferentes. A 
massa de um corpo refere-se à sua inércia e o peso de um corpo refere-se à força que 
sobre este corpo exerce a aceleração da gravidade (g). Entre a força (F) e a massa de 
um corpo existe uma relação expressa pela equação (2ª lei de Newton): 
 kmaF = (7) 
em que 
k = constante; 
m = massa do corpo; e 
a = aceleração. 
 
Há dois sistemas de unidades que tornam a constante k igual a 1 (um): o SI ( 
Sistema Internacional) ou absoluto e o gravitacional. No absoluto, k é igual a 1 (um) 
pela definição da unidade de força e no gravitacional pela definição da unidade de 
massa, ou seja: 
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Sistema Absoluto � a unidade de força é aquela que, ao agir sobre um corpo com 
a massa de um quilograma, ocasiona uma aceleração de um metro por segundo, por 
segundo (1m s-2), e se denomina “Newton”. A unidade de massa nesse sistema é 
correspondente a um bloco de platina denominado quilograma – protótipo, guardado 
em Sevres (França). 
 
Sistema Gravitacional � a unidade de força é igual a unidade de massa por 
unidade de comprimento por segundo, por segundo, logo a unidade de massa neste 
sistema é igual a g gramas. Melhor explicando, o Sistema Gravitacional torna o k igual 
à unidade pela definição da unidade de massa. “Se um corpo de peso unitário cai 
livremente, a força unitária atuará e a aceleração será g”; logo, para que a força 
unitária produza uma aceleração unitária, a unidade de massa será equivalente a g 
unidades de peso. 
No sistema métrico seria: 
 1kgf = unidade de massa x 1(m/s2), logo 
unidade de massa = )kg(g
)ms(1
)kgf(1
2
=
−
 
 
Em outras palavras, a força gravitacional comunica à massa de 1 kg a 
aceleração g: 1,0 kgf = g x 1,0 kg. O importante é entender que o peso de um corpo 
pode se reduzir a zero ao sair da gravidade terrestre, mas sua massa permanecerá a 
mesma. 
Por convenção internacional de 1960, foi criado o Sistema Internacional de 
Unidades (SI), também conhecido por Sistema Absoluto, legalmente em vigor no Brasil 
e na maioria dos países do mundo, do tipo MLT (massa, comprimento, tempo) e não 
FLT (força, comprimento, tempo) como era o Sistema Gravitacional. 
As unidades básicas desse sistema são o quilograma (neste caso seria um 
quilograma massa), o metro e o segundo. Deve-se atentar para a coincidência de 
nomenclatura entre a antiga unidade peso e a atual de massa, evitando-se, assim, as 
confusões daí advindas, infelizmente tão freqüentes. A Tabela 4 apresenta as 
grandezas que compõe o SI. 
As abreviaturas das unidades SI são escritas com letras minúsculas nos termos 
como horas (h), metros (m) e segundos (s). A exceção é o litro, que ao invés de se 
abreviar por “l”, utiliza-se a letra “L”. Quando uma unidade é designada por um nome 
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próprio, a abreviatura (mas não o nome por extenso) é escrita com letra maiúscula. 
Exemplos são o watt (W), o pascal (Pa) e newton (N).Tabela 4 – Grandezas básicas componentes do SI 
GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO 
Comprimento Metro m 
Massa Quilograma kg 
Tempo Segundo s 
Intensidade de corrente Ampére A 
Temperatura termodinâmica Kelvin K 
Intensidade luminosa Candela cd 
Quantidade de matéria mol mol 
 
Os múltiplos e submúltiplos, expressos em potências de 103, são indicados por 
prefixos, os quais também são abreviados. Os prefixos usuais são mostrados na 
Tabela 5. 
 
Tabela 5 – Prefixos usualmente utilizados 
Múltiplo 
Prefixo 
SI 
Abreviatura Múltiplo 
Prefixo 
SI 
Abreviatura 
109 giga G 10-3 mili m 
106 mega M 10-6 micro µ 
103 kilo k 10-9 nano n 
10-2 centi c 10-12 pico p 
 
Apresenta-se a seguir as grandezas mais freqüentes, com suas respectivas 
unidades para os cálculos relacionados com as atividades da hidráulica. 
 
Tabela 6 – Grandezas e unidades mais utilizadas 
Grandeza Símbolo Unidades 
Relação com as 
unidades básicas 
Dimensional 
Área m² L² 
Volume m³ L³ 
Velocidade m s-1 L T-1 
Aceleração m s-² L T-2 
Massa específica kg m-³ M L-3 
Força N Newton kg m s-² M L T-2 
Pressão Pa Pascal N m-² M L-1 T-2 
Energia J Joule N m M L² T-2 
Potência W Watt J s-1 M L² T-3 
Viscosidade dinâmica P Poise 0,1 N s m-² M L-1T-1 
Viscosidade cinemática St Stokes 10-4 m2 s-1 L² T-1 
Momento de inércia m4 L4 
Peso específico N m-3 M L-2.T-2 
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2. ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
É a parte da Hidráulica que estuda os líquidos em repouso, bem como as forças 
que podem ser aplicadas em corpos neles submersos. 
 
2.1 Pressão e Empuxo 
 
Quando se considera a pressão, implicitamente relaciona-se uma força à 
unidade de área sobre a qual ela atua. Considerando-se, no interior de certa massa 
líquida, uma porção de volume V, limitada pela superfície A (Figura 4), se dA 
representar um elemento de área nessa superfície e dF a força que nela atua 
(perpendicularmente), a pressão será: 
dA
dF
p = 
Considerando-se toda a área, o efeito da pressão produzirá uma força resultante 
que se chama empuxo (E), sendo, às vezes chamada de pressão total. Essa força é 
dada pela integral: ∫=
A
pdAE 
Se a pressão for a mesma em toda a área, o empuxo será: E = p A. 
 
 
Figura 4 - Massa líquida em repouso, com área “A”. 
 
2.2 Lei de Pascal 
 
 Seja um líquido homogêneo e em equilíbrio, no interior do qual isola-se um 
prisma com altura dy, largura dx e comprimento unitário (Figura 5). Se o prisma estiver 
em equilíbrio, a somatória das forças atuantes na direção “X” será nula. (ΣFx = 0). 
ds
dy
sen;.dssen.ps.dypx =θ1θ=1 
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 pspx;
ds
dy
ps
ds
dy
px;
ds
dy
dspsdypx === 
 
Figura 5 – Forças atuantes em um prisma. 
 
 Na direção “Y” deve ocorrer o mesmo: ΣFy = 0, havendo o equilíbrio. Logo: 
dwcos.dsps.dxpy +θ1=1 
2
1
γ+θ=
.dxdy
cos.dspsdxpy 
Sendo o prisma elementar, suas dimensões são infinitesimais e, portanto, a 
força resultante de seu peso é desprezível. Portanto: 
pspy;
ds
dx
ps
ds
dx
py;
ds
dx
dspsdxpy === 
Então, px = py = ps. 
 
Este é o princípio de Pascal, que se anuncia: “Em qualquer ponto no interior de 
uma massa líquida em repouso e homogênea, a pressão é a mesma em todas as 
direções”. 
 
 A prensa hidráulica é uma importante aplicação desta lei. Na Figura abaixo, 
considere que o diâmetro do êmbulo maior seja de 4 vezes o diâmetro do êmbulo 
menor. Se for aplicada uma força F1 = 50 N, a pressão do fluido transmitirá, ao êmbulo 
maior, uma força F2 de 16 x 50 N, ou seja, F2 = 800 N. 
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Obs: P1 = P2 � F1A2 = F2A1 
 
2.3 Lei de Stevin 
 
Na Figura 6, A é a área das faces, P é o peso da massa líquida e h é a diferença 
de nível entre os pontos considerados. Como V.P γ= e h.AV = então h.A.P γ= . 
Se o sistema estiver em equilíbrio, ΣFy = 0 e, portanto: 
 
Figura 6 – Demonstração da Lei de Stevin. 
 
h
pp
ouhpp
AhApAp
0ApAhAp
0ApPAp
12
12
12
21
21
=
γ
−
γ
γ=−
γ=−
=−γ+
=−+
 
 
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“A diferença de pressão entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio 
é igual à diferença de nível entre os pontos, multiplicada pelo peso específico do 
líquido”. 
 
2.4 Manometria 
 
As pressões são grandezas físicas muito importantes no trabalho com fluidos, 
haja vista a equação fundamental da Estática dos fluidos, que é expressa em termos 
de pressões e esforços. 
No século XVII Torricelli executou sua conhecida e célebre experiência ao nível 
do mar, quando, ao emborcar uma proveta cheia de mercúrio em uma cuba, o líquido 
fluiu da proveta para a cuba permanecendo apenas uma coluna de 762 milímetros de 
altura. 
A conclusão lógica era de que o ar atmosférico tinha peso, por conseguinte 
exercia pressão. Esta pressão, medida ao nível do mar, correspondia a uma coluna de 
mercúrio de 762 mm de altura. Este valor de pressão foi chamado de "uma atmosfera 
Física". Como o peso específico do mercúrio é 13.600 kgf m-3, vem: 
 
13.600 kgf m-3 x 0,762 m = 10.363 kgf m-2 = 1,036 kgf cm-2 
 
Como a densidade do mercúrio é 13,6, a mesma pressão atmosférica 
equilibraria uma coluna de água de: 13,6 x 0,762 = 10,36 m. 
Na prática da hidráulica se utiliza a atmosfera "técnica" que vale 735 mm Hg. 
735 mmHg = 10 mca = 10.000 kgf m-2 = 1,0 kgf cm-2 = 1,034 atm. 
 
A pressão atmosférica é medida por barômetros ou por barógrafos, que são 
barômetros registradores. A pressão atmosférica varia com a altitude; para cada 100 
metros de elevação de altitude ocorre um decréscimo na pressão atmosférica de 0,012 
atm (0,12 mca); desta forma, em um local de altitude igual a 920 metros, a pressão é: 
 
patm = 1,034 atm - (0,012 . 9,2) = 1,034 - 0,110 = 0,92 atm 
 
Exercício: A Figura 7 reproduz a experiência de Torricelli em uma certa localidade, 
quando foi utilizado o mercúrio como líquido manométrico. Se, ao invés de mercúrio, 
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tivesse sido utilizado um óleo com densidade de 0,85, qual teria sido a altura da coluna 
de óleo? 
 
Figura 7 – Exemplo da experiência de Torricelli. 
 
 
2.4.1 Tipos de pressão 
 
A um fluido com pressão atmosférica pode-se “acrescentar” ou "retirar” pressão. 
Tais pressões são denominadas “efetivas" ou manométricas, por que são medidas por 
manômetros e podem ser positivas ou negativas. 
Imaginem uma vasilha hermeticamente fechada contendo ar à pressão 
atmosférica local. Ligando-se o compressor indicado pelo sinal (+), mais ar será 
injetado dentro do recipiente e a pressão irá subindo concomitantemente, o que será 
mostrado pelo manômetro. O ponteiro girará para a direita (área positiva) partindo do 
valor zero. 
Suponha que o compressor tenha sido desligado quando a pressão 
manométrica era de 1,2 kgf cm-2. Em seguida, ligando-se a bomba de vácuo, ilustrada 
com o sinal (-), a pressão irá caindo (o ar estasendo retirado) voltando ao valor inicial 
(zero). Neste ponto a pressão reinante no interior do recipiente é somente a pressão 
atmosférica, a qual não é acusada por manômetros. 
Com a continuação do processo, a pressão passará a ser negativa, com o 
ponteiro do manômetro girando para a esquerda; estará ocorrendo o que denomina-se 
"vácuo" ou depressão. Desligando-se o conjunto, o manômetro estará marcando uma 
pressão negativa (efetiva) de, por exemplo, -0,2 kgf cm-2. 
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Praticamente um fluido está sujeito, portanto, a dois tipos de pressão: a 
atmosférica e a efetiva. A somatória dos valores das duas pressões dará o que 
denomina-se pressão absoluta. No exemplo considerado, sendo por hipótese a 
pressão igual a 0,9 atm, as pressões absolutas serão: 
 
a) para pressão efetiva nula (ar à pressão atmosférica no interior do recipiente) 
Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 0,0 = 0,9 atm 
b) para pressão efetiva de 1,2 atm 
 Pabs = Patm + Pef = 0,9 + 1,2 = 2,1 atm 
c) para pressão efetiva de -0,2 atm. 
Pabs = Patm + Pef = 0,9 + (-0,2) = 0,7 atm 
 
Pode-se verificar que na situação do caso c, a pressão absoluta é menor que a 
pressão atmosférica local; logo, há depressão ou vácuo, no interior do recipiente. 
Como já mencionado a pressão efetiva é medida por manômetros. Vacuômetro 
é o manômetro que mede pressões efetivas negativas. 
 
2.4.2 Classificação dos medidores de pressão 
 
a) Manômetro de líquido ou de coluna líquida 
 
São aqueles que medem as pressões em função das alturas da coluna dos 
líquidos que se elevam ou descem em tubos apropriados. Nesta categoria se agrupam: 
 
a1) Tubo Piezométrico, Piezômetro simples ou Manômetro Aberto 
 
É o tipo mais simples desses aparelhos. Consiste de um tubo transparente 
inserido no interior do ambiente onde se deseja medir a pressão. O líquido circulante 
no conduto se elevará no tubo piezométrico a uma altura h, que corrigida do efeito da 
capilaridade, dá diretamente a pressão em altura de coluna líquida. 
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 PA = γ h 
Figura 8 – Esquema de um tubo piezométrico. 
 
A pressão no ponto A será: hPA γ= (Lei de Stevin), em que PA é a pressão em 
A (N m-2 ou kgf m-2); γ é o peso específico do líquido (N m-3 ou kgf m-3) e h é a altura de 
coluna líquida acima do ponto A (m). 
 
Observações: o diâmetro do tubo piezométrico deve ser maior que 1,0 cm, quando o 
efeito da capilaridade é desprezível. O tubo piezométrico pode ser inserido em 
qualquer posição em torno de uma tubulação que o líquido atingirá a mesma altura h, 
acima de A. 
 
 
a2) Manômetro de tubo em U 
 
É usado quando a pressão a ser medida tem um valor grande ou muito pequeno. 
Para tanto é necessário o uso de líquidos manométricos que permitam reduzir ou 
ampliar as alturas da coluna líquida. Esta redução ou ampliação da coluna é obtida 
utilizando-se um outro líquido que tenha maior ou menor peso específico, em relação 
ao líquido escoante. Este outro líquido é denominado líquido manométrico, e deve 
apresentar algumas características, como: 
 
- não ser miscível com o líquido escoante; 
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17
- formar meniscos bem definidos; 
- ter densidade bem determinada. 
 
Para pequenas pressões os líquidos manométricos mais comuns são: água, 
cloreto de carbono, tetracloreto de carbono, tetrabrometo de acetileno e benzina. Para 
grandes pressões, o líquido mais usado é o mercúrio. 
Nos manômetros de tubo em U, a pressão já não é dada diretamente pela altura 
da coluna líquida, mas através de equações que caracterizam o equipamento. 
Para se conhecer a pressão em A, deve-se proceder da forma seguinte: 
1) Demarque os meniscos separando assim as diferentes colunas líquidas e 
cancele as colunas equivalentes; 
2) Começando em uma das extremidades escreva o valor da pressão nesse 
ponto; sendo incógnita use um símbolo; 
3) Escreva em continuação o valor da pressão representada por uma a uma 
das colunas líquidas; para isto, multiplique a altura da coluna pelo peso 
específico do fluido; cada parcela será precedida do sinal (+) se a coluna 
tender a escoar para adiante sob a ação da gravidade e (-) em caso 
contrário; 
4) Atingindo-se o último menisco a expressão será igualada à pressão nesse 
ponto, seja ela conhecida ou incógnita. 
 
Baseando-se nestes preceitos, chega-se a dois pontos: 1 e 2, onde: 
 
Figura 9 – Esquema de um tubo em U. 
PA+ γ1y - γ2h = Patm = 0 
 
h 
y 
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18
O índice 2 se refere às características do líquido manométrico. 
 
 
Figura 10 – Esquema de um manômetro de Duplo U. 
321 PPP ≠≠ ; CB PP = ; ED PP = 
Quando o manômetro é em forma de duplo U ou mais (triplo U), é preferível 
começar por um dos ramos até chegar ao outro. 
0hyh)hx(P 2211211A =γ−γ+γ−+γ+ 
0)hh()hyx(P 22111A =γ+−γ+++ 
 
Exercício: A Figura abaixo representa um manômetro instalado em uma tubulação. 
Calcule a pressão no Ponto A, expressando-a em kgf m-2, kgf cm-2 e Pa. Considere: 
- líquido escoando na tubulação: água; 
- líquido manométrico: mercúrio; 
- x = 15 cm; y = 20 cm; z = 8 cm; h = 22 cm; j = 20 cm. 
 
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19
 
Figura 11 – Manômetro de duplo U. 
 
a3) Manômetro Diferencial 
 
É o aparelho usado para medir a diferença de pressão entre dois pontos. 
 
B231A Pyh)hyx(P =γ−γ−γ+++ 
 
123BA )hyx(yhPP γ++−γ+γ=− 
Outro método: 
 
21 PP = 
1A1 )hyx(PP γ+++= e hyPP 32B2 γ+γ+= 
hyP)hyx(P 32B1A γ+γ+=γ+++ 
132BA )hyx(hyPP γ++−γ+γ=− 
 
em que PA – PB é a diferença de pressão entre A e B. 
 
 
Figura 12 – Esquema de um manômetro diferencial. 
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20
a4) Manômetro inclinado 
 
Aparelho usado para medir pressões ou diferenças de pressões muito pequenas. 
A inclinação do tubo em por finalidade ampliar a escala de leitura. 
 
Figura 13 – Esquema de um manômetro inclinado. 
 
hPA γ= . Mas θ= senLh . Portanto: θγ= senLPA 
 
Figura 14 – Esquema de um manômetro inclinado diferencial. 
 
 B121A PxhyP =γ−γ+γ+ → h)xy(PP 21AB γ+−γ=− 
 
Exercício: Considere o manômetro conectado a uma tubulação, como mostra a 
Figura 10. Sabendo que a densidade do óleo é 0,83, calcule a diferença de pressão 
entre os pontos 1 e 2. 
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21
 
Figura 15 – Exemplo de um manômetro diferencial. 
 
b) Manômetro metálico ou de Bourdon 
 
São os manômetros metálicos os mais utilizados na prática, pois permitem 
leitura direta da pressão em um mostrador. As pressões são determinadas pela 
deformação de uma haste metálica oca, provocada pela pressão do líquido na mesma. 
A deformação movimenta um ponteiroque se desloca em uma escala. É constituído de 
um tubo metálico transversal (seção reta) elíptica que tende a se deformar quando a 
pressão P aumenta. Com isso a seção reta tende a ser circular que por sua vez 
acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metálico e movimenta o ponteiro 
sobre a escala graduada diretamente para medir a pressão correspondente à 
deformação. São usados para medir pressões muito grandes 
 
 
 
 
Figura 16 – Esquema de um manômetro metálico. 
 
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22
2.4.3 Relações entre as unidades de pressão 
 
Atmosfera padrão 
1 atm = 760 mmHg = 1,033 kgf cm-2 = 10,33 mca = 14,7 psi = 101.337 Pa = 
10330 kgf m-2 = 1,013 bar = 1013 mbar 
 
Atmosfera técnica 
1 atm = 735 mmHg = 1,0 kgf cm-2 = 10,0 mca = 14,7 psi = 105 Pa = 104 kgf m-2 = 
1,0 bar = 1000 mbar 
 
 
2.5 Empuxo exercido por um líquido sobre uma superfície plana imersa 
 
Freqüentemente, o engenheiro encontra problemas relativos ao projeto de 
estruturas que devem resistir às pressões exercidas por líquidos. Tais são os projetos 
de comporta, registros, barragens, tanques, canalizações e outros. 
 
2.5.1 Grandeza e direção do empuxo 
 
A Figura 17 mostra uma área de forma irregular, situada em um plano que faz 
um ângulo θ com a superfície livre do líquido. 
 
 
Figura 17 – Representação do empuxo. 
 
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23
Para a determinação do empuxo que atua em um dos lados da mencionada 
Figura, essa área será subdividida em elementos dA, localizada em profundidade 
genérica h e a uma distância de y da interseção 0. 
A força agindo em dA será: dAsenyhdApdAdF θγ=γ== 
Cada uma das forças dF será normal às respectivas áreas. 
A resultante ou empuxo (total) sobre total área, também normal, será dado por 
.ydAsendAysendFF
AA ∫∫ θγ=θγ=∫= 
∫A ydA é o momento da área em relação à interseção 0. Portanto yAydAA =∫ , 
expressão onde y é a distância do centro de gravidade da área até 0, e A área total. 
AsenyF θγ= 
Como 
y senθ = h � F = γhA 
 
O empuxo exercido sobre uma superfície plana imersa é uma grandeza tensorial 
perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao centro 
de gravidade da área. 
 
2.5.2 Determinação do centro de pressão 
 
A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o teorema 
dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à interseção 0 deve 
igualar-se aos momentos das forças elementares dF. 
 
 
Figura 18 - Determinação do centro de pressão 
 
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24
F yp= ∫ dF y 
 Na dedução anterior, 
dAysendF θγ= e AsenyF θγ= . 
 Substituindo, 
dAysendAysenyAyseny A A
2
p ∫ ∫θγ=θγ=θγ 
 Logo: 
yA
I
yA
dAy
y
2
A
p ==
∫ , 
 
Nesta expressão, “I” é o momento de inércia em relação ao eixo-interseção. 
Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo 
centro de gravidade, sendo conveniente a substituição. 
 yA I I 2o += (Teorema de Huygens) 
yA
yAI
yp
2
0 +
= ∴ 
yA
I
yy 0p += 
 
Como 20 = k
A
I
, quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo, passando 
pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, 
y
k
+y=y
2
p . 
O centro de pressão está sempre abaixo do centro de gravidade a uma distância 
igual a 
y
k2
, medida no plano da área. 
 
Exercício: Numa barragem de concreto está instalada uma comporta circular de ferro 
fundido com 0,20 m de raio, situada a 4,0 m abaixo do nível da água. Determinar o 
empuxo que atua na comporta. 
 
 
 
 
 
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25
3. HIDRODINÂMICA (Princípios gerais do movimento e Teorema de Bernoulli) 
 
 3.1 Movimento dos fluidos 
 
A Hidrodinâmica tem por objetivo o estudo dos movimentos dos fluidos. 
Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo as diversas posições dos 
seus pontos a um sistema de eixos retangulares 0x, 0y, 0z. 
O movimento desses fluidos ficará perfeitamente determinado se, em qualquer 
instante t, forem conhecidas a grandeza e a direção da velocidade v, relativa a 
qualquer ponto; ou, então, o que vem a ser o mesmo, se forem conhecidas as 
componentes vx, vy, e vz, dessa velocidade, segundo os três eixos considerados. 
Além disso, há de se considerar também, os valores da pressão p e da massa 
específica ρ, que caracterizam as condições do fluido em cada ponto considerado. 
O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos comporta, portanto, 
cinco incógnitas, vx, vy, vz, p e ρ, que são funções de quatro variáveis independentes, x, 
y, z, e t. A resolução do problema exige um sistema de cinco equações. 
As cinco equações necessárias compreendem: as três equações gerais do 
movimento, relativas a cada um dos três eixos; a equação da continuidade, que 
exprime a lei de conservação das massas; e uma equação complementar, que leva em 
conta a natureza do fluido. 
São dois os métodos gerais para a solução de problema; o método de Lagrange, 
que consiste em acompanhar as partículas em movimento, ao longo da suas 
trajetórias, e o de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a 
variação das grandezas mencionadas. O método de Euler será adotado, por ser muito 
mais simples e cômodo. 
 
3.2 Vazão ou descarga 
 
Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, o volume de líquido 
que atravessa essa seção na unidade de tempo. 
Na prática, a vazão é expressa em m³ s-1 ou em outras unidades múltiplas ou 
submúltiplas. Assim, para o cálculo de canalizações, é comum empregarem-se litros 
por segundo (L s-1); os perfuradores de poços e fornecedores de bombas costumam 
usar litros por hora (L h-1) ou metros cúbicos por hora (m3 h-1). 
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26
3.3 Classificação dos movimentos 
 
Movimento permanente é aquele cujas características (força, velocidade, 
pressão) são função exclusiva de ponto e independem do tempo. Com o movimento 
permanente, a vazão é constante em um ponto da corrente. Matematicamente: 
0
t
;0
t
p
;0
t
v
=
∂
ρ∂
=
∂
∂
=
∂
∂
 
As características do movimento não permanente, além de mudarem de ponto 
para ponto, variam de instante em instante, isto é, são função do tempo. De maneira 
semelhante: 0
t
;0
t
p
;0
t
v
≠
∂
ρ∂
≠
∂
∂
≠
∂
∂
 
O movimento permanente é uniforme quando a velocidade média permanece 
constante ao longo da corrente ( 0
L
v
=
∂
∂
). Neste caso, as seções transversais da 
corrente são iguais. No caso contrário, o movimento permanente pode ser acelerado 
ou retardado ( 0
L
v
≠
∂
∂
), ou seja, não uniforme. 
Um rio pode servir para ilustração. Há trechos regulares em que o movimento 
pode ser considerado permanente e uniforme. Em outros trechos (estreitos, 
corredeiras, etc.), o movimento, embora permanente (vazão constante), passa a ser 
acelerado. Durante as enchentes ocorre o movimento não permanente:a vazão altera-
se. 
 
Figura 19 - Movimento permanente uniforme (a), acelerado (b) e não permanente (c). 
 
3.4 Regimes de movimento 
 















permanenteNao
tardadoRe
Acelerado
uniformeNao
Uniforme
Permanente
Movimento
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27
A observação dos líquidos em movimento leva- nos a distinguir dois tipos de 
movimento, de grande importância: 
a) regime laminar; 
b) regime turbulento. 
 
Figura 20 - Regimes laminar e turbulento. 
 
Com o regime laminar, as trajetórias das partículas em movimento são bem 
definidas e não se cruzam. Já o regime turbulento caracteriza-se pelo movimento 
desordenado das partículas. 
 
3.5 Linhas e tubos de corrente 
 
Em um líquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas 
orientadas segundo a velocidade do líquido e que gozam da propriedade de não 
serem atravessadas por partículas do fluido. 
 
Figura 21 - Linhas e tubo de corrente. 
 
Em cada ponto de uma corrente passa, em cada instante t considerado, uma 
partícula de fluido animada de uma velocidade v. As linhas de corrente são, portanto, 
as curvas que no mesmo instante t considerado, se mantém tangentes em todos os 
pontos à velocidade v. Pelo próprio conceito, essas curvas não podem cortar-se. 
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28
Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contínuo, pode-se considerar 
um tubo de corrente como uma figura imaginária, limitada por linhas de corrente. Os 
tubos de corrente, sendo formados por linhas de corrente, gozam da propriedade de 
não poderem ser atravessados por partículas de fluido: as suas paredes podem ser 
consideradas impermeáveis. Esses conceitos são de grande utilidade no estudo do 
escoamento de líquidos. 
 
3.6 Equações Gerais do Movimento 
 
Seja no interior da massa líquida (em movimento) um ponto M, fixo, de 
coordenadas x, y, e z, ao redor do qual tomamos um cubo infinitesimal de arestas dx, 
dy e dz. A massa contida no cubo é ρdxdydz (Figura 22). 
 
 
Figura 22 - Volume líquido elementar. 
 
Sejam vx, vy, vz, as componentes da velocidade V com que as partículas 
atravessam nos sucessivos instantes de tempo o cubo em questão. Sejam ainda P e ρ 
as pressões e massas específicas, grandezas que são funções contínuas e uniformes 
das coordenadas. 
Sobre o prisma, agem os seguintes esforços: 
 
- as forças externas que dependem do volume considerado, como o peso, por 
exemplo, e que podem ser expressas por suas componentes segundo cada eixo e 
por unidade de massa: X, Y e Z. Os esforços totais em cada eixo serão: 
ρXdxdydz ρYdxdydz ρZdxdydz 
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29
- os esforços decorrentes das pressões atuantes nas faces do prisma; essas 
pressões são normais a cada face, como já visto na estática, e segundo o eixo X 
tem como resultante: 
dydz)dx
x
P
P(Pdydz'P
∂
∂
+−= 
dxdydz
x
P
PdydzPdydz'P
∂
∂
−−= � dxdydz
x
P
∂
∂
− 
e segundo os outros eixos: dzdy dx 
y
p
∂
∂
− e dzdy dx 
z
p
∂
∂
− 
 
Sendo m a massa de uma partícula em movimento, “a” sua aceleração e F a 
força resultante, pode-se escrever: amF = � 
dt
dv
mF = � 
2
2
dt
xd
mF = 
Com relação ao eixo X, tem-se então: 
 F 
dt
xd
m x2
2
Σ= 
 
 
dt
xd
m
2
2
= dzdy dx . 
x
p
 - X . dz dy dx 
∂
∂
ρ ou 
 
dzdy dx 
x
p
 - dz dy dx X 
dt
xd
 . dz dy dx 
2
2
∂
∂
ρ=ρ 
 
O primeiro membro da equação anterior representa a força de inércia do 
movimento; o primeiro termo do segundo membro, a ação da força externa, F, e o 
segundo termo, a ação da pressão do fluido circundante. 
Simplificando a equação: 
 
x
p
 . 
1
 - X 
dt
xd
2
2
∂
∂
ρ
= (8) 
 
Na equação acima, 
2
2
dt
xd
 é a componente da aceleração da partícula considerada 
conforme o eixo X. Essa componente é a derivada da componente da velocidade em 
relação ao tempo t. Logo: 
 
 
dt
dv
 
dt
xd x
2
2
= 
 
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30
 Por outro lado, como Vx é função de x, y, z, t, pode-se escrever: 
 
 
dt
zd
 
z
v
 
dt
yd
 
y
v
 
dt
dx
 
x
v
 
t
v
 
dt
dv
 xxxxx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
 Equação que pode ser escrita assim: 
 
 
z
v
 v 
y
v
 v 
x
v
 v 
t
v
 
dt
dv
 xz
x
y
x
x
xx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
 
Portanto, substituindo na equação 10, tem-se: 
 
z
v
 v 
y
v
 v 
x
v
 v 
t
v
 xz
x
y
x
x
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
x
p
 . 
1
 - X 
∂
∂
ρ
= 
 
Por analogia, pode-se escrever para os demais eixos: 
 
z
p
 . 
1
 - Z 
z
v
 . v 
y
v
 . v 
x
v
. v 
t
v
y
p
 . 
1
 - Y 
z
v
 . v 
y
v
 . v 
x
v
. v 
t
v
z
z
z
y
z
x
z
y
z
y
y
y
x
y
∂
∂
ρ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
ρ
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
 
Estas são as equações gerais do movimento dos fluidos perfeitos, denominadas 
“Equações de Euler”. Para a solução do problema do movimento dos fluidos são 
necessárias ainda duas equações que serão vistas adiante. 
 
3.7 Movimento Permanente 
 
Analisando a equação 8, pode-se escrever para os três eixos: 
 
x
p
 . 
1
 - X 
dt
dv x
∂
∂
ρ
= � 
dt
dv
 - X 
x
p
 . 
1 x=
∂
∂
ρ
 
y
p
 . 
1
 - Y 
dt
dv y
∂
∂
ρ
= � 
dt
dv
 - Y 
y
p
 . 
1 y=
∂
∂
ρ
 
z
p
 . 
1
 - Z 
dt
dv z
∂
∂
ρ
= � 
dt
dv
 - Z 
z
p
 . 
1 z=
∂
∂
ρ
 
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31
 
Multiplicando-se as equações por dx, dy e dz, respectivamente, e somando-se membro 
a membro, obtém-se: 
 
)
dt
dz
dv
dt
dy
dv
dt
dx
dv(ZdzYdyXdx)dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
(
1
zyx ++−++=∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
 
 
Obs: a transformação anterior implica fisicamente que não há variação de vx, vy e vz 
com o tempo, ou seja, que o regime de escoamento é permanente. 
 
 O termo entre parênteses no primeiro membro da equação é a diferencial total 
de “p”. Logo é igual a dp. 
 
)
dt
dz
dv
dt
dy
dv
dt
dx
dv(ZdzYdyXdxdp
1
zyx ++−++=ρ
 ou 
)
2
v
(dZdzYdyXdxdp
1 2
−++=
ρ
 (9) 
 
A equação anterior é a Equação de Euler para regime permanente, também chamada 
de equação das forças vivas. 
 
3.8 Equação da conservação das massas – Equação da continuidade 
 
Se no interior do cubo não há vazios (Figura anterior), ou seja, se ele permanece 
cheio de fluido durante o movimento, segue-se que a diferençaentre a massa que 
entrou e a que saiu durante o tempo dt é igual à variação da massa no interior do 
mesmo. 
A massa fluida que durante o intervalo de tempo dt entra pelas três faces do 
prisma é: 
dxdydtvdxdzdtvdydzdtv zyx ρ+ρ+ρ 
 
A massa que no mesmo intervalo sai pelas faces opostas: 
+
∂
∂
+
∂
ρ∂
+ρ dydzdt)
x
v
v)(dx
x
( xx 
+
∂
∂
+
∂
ρ∂
+ρ dxdzdt)
y
v
v)(dy
y
(
y
y 
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32
dxdydt)
z
v
v)(dz
z
( zz ∂
∂
+
∂
ρ∂
+ρ 
 
A diferença entre as duas é: 
 
dxdydzdt)
z
)v(
y
)v(
x
)v(
( zyx
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
− (10) 
Por outro lado, a massa contida no prisma no instante t é ρdxdydz e no instante t 
+ dt é: 
dxdydz)dt
t
(
∂
ρ∂
+ρ 
A variação da massa é, portanto: 
dxdydzdt
t∂
ρ∂
 (11) 
Sendo as equações 10 e 11 equivalentes: 
 
dxdydzdt)
z
)v(
y
)v(
x
)v(
( zyx
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
− = dxdydzdt
t∂
ρ∂
 
0
z
)v(
y
)v(
x
)v(
dt
t
zyx =
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
+
∂
ρ∂
 
 
Esta é a equação da Lei da Conservação da Massa. É a quarta equação para o 
estudo do movimento. A quinta é a equação de estado dos fluidos, que será 
apresentada a seguir. 
Para os líquidos incompressíveis, ρ = constante. Assim: 
0
z
v
y
v
x
v zyx =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
 
Considerando um trecho de um tubo de corrente, indicado na Figura 20, com as 
seções A1 e A2 e velocidades respectivas v1 e v2, a quantidade de líquido de massa 
específica ρ que passa pela primeira seção, na unidade de tempo, será: 111
1 Av
dt
dm
ρ= 
Para a outra seção: 222
2 Av
dt
dm
ρ= 
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No movimento permanente, a quantidade de líquido que atravessa A1 é igual à 
quantidade que atravessa A2. Assim: 
222111 AvAv ρ=ρ 
Se o líquido for incompressível, ρ1=ρ2. Logo: 
QAvAv 2211 == 
Esta é a equação da continuidade e mostra que no regime permanente, o volume de 
líquido que, por unidade de tempo, atravessa todas as seções da corrente é sempre o 
mesmo. 
 
 
3.9 Equação de estado dos fluidos 
 
A última equação da Hidrodinâmica necessária ao sistema de cinco equações é 
obtida considerando-se uma característica particular do fluido. Esta equação 
representa uma relação envolvendo a massa específica com a pressão e com a 
temperatura, para cada fluido. 
Nos casos dos fluidos homogêneos e incompressíveis, ρ é constante. 
Para os gases perfeitos, tem-se a equação geral: 
gRT
p
ρ
= constante 
Esta equação introduziria uma sexta variável que é a temperatura. Por isso, admitindo 
a temperatura constante, tem-se: 
ρ
p
= constante. 
 
 
3.10 Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos 
 
 O Teorema de Bernoulli decorre da aplicação da equação de Euler aos fluidos 
sujeitos à ação da gravidade (líquidos), em movimento permanente. 
Nessas condições: 
 
X = 0, Y = 0, Z = -g 
 
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Substituindo na equação 9: 
)
2
v
(dgdzdp
1 2
−−=
ρ
 
Dividindo-se a equação anterior por g: 
 0)
g2
v
(d
g
dp
dz
2
=+
ρ
+ 
Sabendo que ρg = γ (peso específico), e dividindo-se todos os termos por ds (dx, dy, 
dz), obtem-se: 
=+
γ
+→=+
γ
+
g2
vp
z0)
g2
vp
z(
ds
d 22
constante 
 
A Figura 23 mostra parte de um tubo de corrente, no qual escoa um líquido de 
peso específico γ. Nas duas seções indicadas, de áreas A1 e A2, atuam as pressões p1 
e p2, sendo as velocidades, respectivamente, v1 e v2. 
 
 
Figura 23 - Tubo de corrente utilizado para demonstração do Teorema de Bernoulli. 
 
As partículas, inicialmente em A1, num pequeno intervalo de tempo, passam a 
A´1, enquanto que as que estão em A2 movem-se para A´2. 
Investigando apenas as forças que produzem trabalho, temos a variação da 
energia cinética: 2211
2
22 mv2
1
vm
2
1
vm
2
1
=− 
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Sendo o líquido incompressível, VdSAdSA 2211 == . V é o volume do líquido 
e a soma dos trabalhos das forças externas (empuxo e gravidade, pois não há atrito � 
líquido perfeito) será: 
 
)ZZ(VdSApdSAp 21222111 −γ+− 
Igualando as duas equações anteriores: 
)ZZ(VdSApdSApvm
2
1
vm
2
1
21222111
2
11
2
22 −γ+−=− 
)ZZ(V)pp(V)vv(V
g2
1
2121
2
1
2
2 −γ+−=−
γ
 
Simplificando: 
 
21
21
2
1
2
2 ZZ
pp
g2
v
g2
v
−+
γ
−
γ
=− 
 
=+
γ
+=+
γ
+ 2
2
2
2
1
1
2
1 Z
p
g2
v
Z
p
g2
v
constante 
Este é o importante Teorema de Bernoulli que pode ser anunciado: 
“Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas cinética (
g2
v2
), 
piezométrica (
γ
p
) e geométrica ou potencial (Z)”. Este teorema é o próprio princípio da 
conservação da energia. Cada um dos termos da equação representa uma forma de 
energia. É importante notar que cada um dos termos pode ser expresso em metros, 
constituindo o que se denomina carga. 
 
3.11 Demonstração experimental do Teorema de Bernoulli 
 
 Em 1875, Froude apresentou importantes experiências sobre o teorema de 
Bernoulli. Uma delas consiste numa canalização horizontal e de diâmetro variável, 
conectada a um reservatório de nível constante. 
Instalando-se piezômetros nas diversas seções, verifica-se que a água sobe à 
alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto, 
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também é maior a carga cinética, resultando menor carga de pressão. Como as seções 
são conhecidas, podem-se verificar a distribuição e a constância da carga total (soma 
das alturas). 
 
Figura 24 - Ilustração do Teorema de Bernoulli. 
 
Exercício: Um líquido incompressível de massa específica igual a 800 kg m-3 
escoa pelo duto representado na Figura 25 com vazão de 10 L s-1. Admitindo o 
escoamento como ideal e em regime permanente, calcule a diferença de 
pressão entre as seções 1 e 2. (1 N = 1 kg m s-2). 
 
 
Figura 25 – Exemplo da aplicação da equação de Bernoulli.