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08/05/2017
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IV - FUNÇÕES
4.1 - Funções - Definições
Uma função é um tipo particular de relação entre conjuntos, que possui uma
propriedade especial.
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação (ou correspondência) que
associa a cada elemento de A um único elemento em B.
Cada elemento x  A está associado a um único elemento y  B
Dizemos então que R é uma função de A em B.
Uma relação f de A em B é função se, e somente se, todo elemento de A estiver
associado, através de f, a um único elemento de B.
Usaremos a notação f : A  B para indicar que f é função de A em B.
x yf
Ex.:
As relações f e g são funções, pois:
 todo elemento de A está associado,
através de f, a um único elemento de B
 todo elemento de C está associado,
através de g, a um único elemento de D
A relação t não é função, pois o
elemento 4 está associado através de
t a mais de um elemento de O (1 e 6)
Ex.:
Como uma função f de A em B é uma relação, os conceitos de domínio (D),
contradomínio (CD) e conjunto imagem (Im) continuam válidos.
No exemplo temos:
D(f) = A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} DOMÍNIO
CD(f) = B = {18, 19, 16, 13, 15} CONTRADOMÍNIO
Im(f) = {16} IMAGEM
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Ex.:
A = {a, b, c, d, e} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
• a
• b
• c
• d
• e
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
A
B
x  A y  B
a 2
b 3
c 5
d 7
e 1
Essa relação é uma função porque
a todo elemento de A corresponde
um único elemento em B. Tal
relação também poderia ser
descrita pela tabela em que cada x
 A tem um único correspondente
y  B.
Também poderia ser descrita por um conjunto f de pares ordenados do tipo (x, y) em que x  A e y  B:
f = { (a,2) (b,3) (c,5) (d,7) (e,1) }
Ex.:
A = {a, b, c, d, e} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
De um modo geral, se f é um conjunto de pares ordenados (x, y) que define uma função de A em B,
indicamos:
f : A  B
Se, nessa função, y  B é imagem de x  A, indicamos:
y = f(x) 
No exemplo, temos:
f(a) = 2; f(b) = 3; f(c) = 5; f(d) = 7; f(e) = 1
f = { (a,2) (b,3) (c,5) (d,7) (e,1) }
Ex.: A lei que associa cada número racional x ao número racional y, sendo y o dobro 
de x, é uma função f definida pela fórmula:
FUNÇÕES DEFINIDAS POR FÓRMULAS
y = 2x ou f(x) = 2x
Ex.: A função f que associa a cada número natural x o número natural y, sendo y o 
cubo de x, é definida pela fórmula:
f(5) = f(-3) = f(11,5) = y = 7 então x = 
y = x³ ou f(x) = x³
f(2) = f(5) = y = 64 então x = 
Exercícios
53) Seja a função f: R  R definida por 𝑓 𝑥 = −
3𝑥+8
5
54) Seja f: R  R definida por f(x) = 4x + m, em que m é uma constante real. 
Calcular m, sabendo que f(-2) = 5
Calcular:
f(3); f(-2); f(1/4); f(2)
55) Dados o conjunto A = {3, 7, 9} e o conjunto B = {1, 5, 11, 13}, além das relações 
R1 = {(3, 1), (9, 13)}, R2 = {(3, 5), (7, 5), (7, 11), (9, 13)} e R3 = {(3, 1), (7, 11), (9, 1)}, 
quais destas relações não se tratam de funções de A em B, sendo que R1, R2 e R3
são relações de A em B? 
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Exercícios
56) Quais dos diagramas abaixo se encaixa na definição de função de A em B,
onde A={a,b,c} e B={1,2,3}.
57) Quais dos diagramas abaixo não representa uma função de A em B, onde
A={a,b,c} e B={1,2,3}.
Exercícios
58) Dada a função real f(x)=2x+3 definida sobre o conjunto A={1,2,3,4}, apresente o
conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.
59) Dada a função f:R  R definida por:
determinar: f(0), f(-4), f(2) e f(10).
60) Qual conjunto é formado pelos valores f(0), f(-3), f(2) e f(10), se a função de R×R 
está definida por f(x)=x²-4x+7?
a. {67, 3, 4, 7} b. {0, -3, 2, 10}
c. {7, 28, 3, 67} d. {10, 2, -3, 0}
61) Calcular os valores: f(3), f(1), f(0) e f(-10), para a função real f=f(x) definida por:
4.2 - Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
4.2.1 - FUNÇÕES SOBREJETORAS ou SOBREJETIVAS
O conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o seu contradomínio.
O conjunto imagem é o conjunto formado por todos os elementos do contradomínio que
estão associados a pelo menos um elemento do domínio.
No exemplo, todos os elementos de B estão associados a pelo menos um elemento de A,
logo nesta função o contradomínio é igual ao conjunto imagem.
4.2.1 - Funções Sobrejetoras
Em uma função sobrejetora não existem elementos no contradomínio que não estão
flechados por algum elemento do domínio.
No exemplo temos:
Domínio: D(f) = { -2, -1, 1, 3 }
 
Contradomínio: CD(f) = { 12, 3, 27 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 12, 3, 27 }
CD(f) = Im(f)
Embora esta função seja sobrejetora, ela não é uma função injetora.
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4.2 - Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
4.2.2 - FUNÇÕES INJETORAS OU INJETIVAS
Nem todos os elementos de B estão associados aos elementos de A, isto é, nesta função o
conjunto imagem difere do contradomínio, portanto esta não é uma função sobrejetora.
Esta função tem uma outra característica distinta da função anterior.
Não há nenhum elemento em B que está associado a mais de um elemento de A, ou seja,
não há em B qualquer elemento com mais de uma flechada. Em outras palavras não há
mais de um elemento distinto de A com a mesma imagem em B.
Domínio: D(f) = { 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 1, 2, 3, 5 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 1, 3, 5 }
4.2 - Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
4.2.3 - FUNÇÕES BIJETORAS ou BIJETIVAS
Funções que são tanto sobrejetora, quanto injetora, são classificadas como funções
bijetoras.
É o diagrama de uma função sobrejetora, pois não há elementos em B que não foram
flechados.
Também é uma função injetora, já que todos os elementos de B recebem uma única
flechada.
Domínio: D(f) = { -1, 0, 1, 2 }
Contradomínio: CD(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Conjunto Imagem: Im(f) = { 4, 0, -4, -8 }
Exercícios
62) Qual dos gráficos representa uma função injetora?
63) Seja a função f definida sobre o conjunto A={x,y,z} com imagem em B={1,2,3}.
Qual das alternativas contém os pares ordenados (x,y) de elementos em A×B que
representam uma função bijetora (injetora e sobrejetora).
a. {(x,3),(y,1),(z,2)} b. {(x,1),(y,2),(x,3),(z,1)}
c. {(y,2),(x,2),(z,3)} d. {(x,1),(y,3),(z,2),(z,1)}
4.3 - Composição de Funções
Existem muitas situações em que uma função depende de uma variável que, por sua
vez, depende de outra, e assim por diante.
Podemos dizer, por exemplo, que a concentração de monóxido de carbono na
atmosfera, de uma determinada cidade, depende da quantidade de carros que
trafega por ela, porém a quantidade de carros varia com o tempo.
Consequentemente, a concentração de monóxido de carbono varia com o tempo.
Nestas situações, compondo-se as funções de modo apropriado, podemos expressar
a quantidade original como função da última variável.
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4.3 - Composição de Funções
Definição: Sejam g: A  B e f: Im(g)  C. Definimos a composta de f com g, e
denotamos por fog ( lê-se f ´´bola´´ g), a função dada por (fog )(x) = f(g(x)).
A função h(x) = f(g(x)) é chamada função composta de f com g, aplicada em x.
OBS: Esta definição só faz sentido se a imagem de g estiver contida no domínio de f.
Consequentemente, o domínio de fog é o conjunto dos valores de x no domínio de g, tal
que g(x) esta no domínio de f.
Ex.:
Utilizaremos as funções f(x) = 4x – 5 e g(x) = 3x² + 2
Vamos obter (fog)(x)
f(g(x)) = 4 g(x) – 5 = 4(3x² + 2) – 5 = 12x² + 8 – 5 = 12x² + 3
Agora vamos obter (gof)(x)
g(f(x)) = 3(f(x))² + 2 = 3(4x - 5)² + 2 = 3(16x² - 40x + 25) + 2 =
= 48x² - 120x + 75 + 2 = 48x² - 120x + 77
Exercícios
64) Se f(x)=3x-5, g(x)=x²+2x-3 e (gof)(x)=g(f(x)), obter (fog)(2), (gof)(-3), (gof)(x) e
(fog)(x).
65) Sejam as funções reais definidas por g(x)= 3x-2 e
Obter (gof)(1), (fog)(3), (fof)(2) e (gog)(-4).
4.4 - Função Inversa
Definição: Seja f: A  B uma função injetora com domínio A e imagemB. A função
inversa é a função f -1 : A  B, com domínio B e imagem A tal que: f -1(f(a)) = a para
a  A e f (f -1(b)) = b para b  B.
Então x = f -1 (y)  y = f(x) para todo y em B.
De uma maneira bem simples, podemos dizer que a inversa de uma função f,
denotada por f-1 , é a função que desfaz a operação executada pela função f.
OBS: Para determinar se uma função possui inversa é 
preciso verificar se ela é bijetora.
Se for bijetora a função admite inversa.
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Ex.:
Dada a função y = 3x - 5 determinaremos a sua inversa.
1o passo: isolar x 
y = 3x – 5
y + 5 = 3x
x = (y + 5)/3
2o passo: troca-se x por y e y por x
y= (x+ 5) / 3
Portanto f(x) = 3x – 5 terá como inversa f -1 (x) = (x+ 5) / 3
Exercícios
66) Determine a função inversa:
a) 𝑓 𝑥 =
2𝑥+3
3𝑥 −5
b) 𝑦 = 𝑥 + 5
c) 𝑦 =
𝑥+2
𝑥 −2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 2
d) 𝑦 = 4𝑥 + 2
e) 𝑦 =
𝑥 − 4
𝑥 + 1
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ −1
Exercícios
67) Analise as funções e responda conforme o código seguinte:
S= função sobrejetora I = função injetora B = função bijetora
O = função não é injetora nem sobrejetora
a) f:{-2, -1, 0, 1, 2}  {0, 1, 4}, definida por f(x) = x²
b) f:{0, 1, 2, 3}  {5, 3, 1, 7}, definida por f(x) = 2x + 1
c) f:{-1, 0, 1, 2}  {0, 1, 2, 3, 4, 5}, definida por f(x) = x + 1
d) f:{-1, 0, 1, 2}  {-1, 0, 1, 2}, definida por f(x) = x
Exercícios
68) Sejam A = {0, 1, 2, 3} e B = {3, 5, 7, 9} e f:AB, definida por f(x) = 2x + 3.
Verifique se f é inversível e, em caso afirmativo, encontre a lei que define f-1 .
69) Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x) = 4x + 3 e g(x) = x – 1. Determine o
valor de:
a) f(g(3)) b) g(f(3)) c) g(f(0)) d) f(f(1))
70) Sejam as funções reais f e g, definidas por f(x) = 2 e g(x) = 3x – 1. Obtenha as leis
que definem fog e gof.
71) Nas funções bijetoras abaixo, de R em R, obtenha a lei de correspondência que
define a função inversa.
a) f(x) = 2x + 3 b) g(x) =
4𝑥 −1
3
c) h(x) = x³ + 2
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4.5 - Funções do 1º. grau
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de R em R
dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é
chamado termo constante.
Ex.:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
Podemos classificar a função do primeiro grau como crescente e decrescente
Exercícios
72) O preço de uma corrida de táxi, em geral, é constituído de uma parte fixa, chamada
bandeirada, e de uma parte variável, que depende do número de quilômetros rodados.
Em uma cidade M a bandeirada é R$10,00 e o preço do quilômetro rodado é R$0,50.
a) Determine a função que representa o preço da corrida.
b) Se alguém pegar um táxi no centro da cidade e se deslocar para sua casa, situada a
8km de distância, quanto pagará pela corrida?
73) Construa o gráfico cartesiano das funções de em :
𝑎) 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑒) 𝑦 = −3𝑥 − 4
𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑓) 𝑦 = −𝑥 + 1
𝑐) 𝑦 = 3𝑥 + 2 𝑔) 𝑦 = −2𝑥 + 3
𝑑) 𝑦 =
2𝑥 −3
2
ℎ) 𝑦 =
4 −3𝑥
2
4.5.1 - Crescimento e Decrescimento
Função Afim Crescente
A função do 1º. grau f(x) = ax + b é crescente se, e somente se, a > 0.
Ex.: f(x) = 2x - 8 é crescente, pois o coeficiente de x, a = 2 é positivo
Função Afim Decrescente
A função do 1º. grau f(x) = ax + b é decrescente se, e somente se, a < 0.
Ex.: f(x) = - 2x + 4 é decrescente, pois o coeficiente de x, a = -2 é negativo
OBS.: a = 0, então a função é constante, ou seja, f(x) = b
4.5.2 - Estudo do sinal da função do 1º. grau
através do gráfico
Estudar o sinal da função do 1º. grau
y = ax + b
é determinar os valores reais de x para os quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0.
 y = 0 se x = - b / a
 y < 0 ou y > 0, devemos considerar o sinal do coeficiente a
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4.5.2 - Estudo do sinal da função do 1º. grau
através do gráfico
1º. caso: Se a > 0, a função é crescente. Nesse caso temos:
 x < - b / a, então, y < 0 (função negativa)
 x > - b / a, então, y > 0 (função positiva)
Ex.: y = 3x - 1
Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1)
Para y = 0, temos 0 = 3x – 1  x = 1/3; portanto, outro ponto é (1/3, 0)
Marcamos os pontos (0, -1) e (1/3, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma
reta.
4.5.2 - Estudo do sinal da função do 1º. grau
através do gráfico
O gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação
da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta.
Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto
em que a reta corta o eixo Oy.
4.5.2 - Estudo do sinal da função do 1º. grau
através do gráfico
2º. caso: Se a < 0, a função é decrescente. Nesse caso temos:
 x > - b / a, então, y < 0 (função negativa)
 x < - b / a, então, y > 0 (função positiva)
Ex.: y = - 2x + 10
Para x = 0, temos y = -2 · 0 + 10 = 10; portanto, um ponto é (0, 10)
Para y = 0, temos 0 = -2x + 10 x = 10/2 = 5; portanto, outro ponto é (5, 0)
Marcamos os pontos (0, 10) e (5, 0) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma
reta.
y
10
5 x
4.5.3 - Estudar as raízes da função do 1º. grau
Calcular o valor da raiz da função é determinar o valor em que a reta cruza o eixo x,
para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta
intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representação gráfica a seguir:
y = ax + b
y = 0 
ax + b = 0 
ax = -b 
x = -b/a 
Portanto, para calcularmos a raiz de uma função do 
1º grau, basta utilizar a expressão x = -b/a. 
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4.5.3 - Estudar as raízes da função do 1º. grau
Ex.: 
Determine a raiz da função y = -2x + 10
y = 0
- 2x + 10 = 0
- 2x = - 10 (-1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = - 2x + 10 intersecta o eixo x no valor: 5
4.6 - Funções do 2º. grau
A função quadrática é um ótimo exemplo para uma série de situações problemas das mais
variadas. Seu aspecto gráfico (a parábola) é bastante conhecido e, nesta aula, a fim de
construirmos e analisarmos os gráficos de funções de segundo grau, começaremos
obtendo e estudando os pontos notáveis da parábola.
Toda função do tipo y = ax² + bx + c, com {a, b, c}  R e a ≠ 0, é chamada de função
quadrática ou função do 2º. grau.
Ex.: y = 3x² - x - 2 f(x) = 4x² - 2 
A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo.
Considerando a parábola de equação f(x) = ax² + bx + c,
Se a > 0, a parábola possui concavidade para cima
Se a < 0 , a parábola possui concavidade para baixo.
Exercícios
74) Construa o gráfico cartesiano das funções de em :
𝑎) 𝑦 = 𝑥² − 1
𝑏) 𝑦 = −𝑥² + 1
𝑐) 𝑦 = 𝑥²
𝑑) 𝑦 = −𝑥²
𝑒) 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥
𝑓) 𝑦 = −2𝑥2 − 4𝑥
𝑔) 𝑦 = −3𝑥2 − 3
ℎ) 𝑦 = 𝑥² − 2𝑥 + 4
4.6.1 - Pontos Notáveis da Parábola
Alguns pontos da parábola, por facilitarem a construção do gráfico da função do 2º. grau,
merecem destaque.
- Intersecção com o eixo Ox
Para obtê-los a partir de y = ax² + bx + c, basta atribuirmos o valor zero à variável y e
resolver a equação:
ax² + bx + c = 0
Utilizamos a fórmula de Baskara,
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2𝑎
onde,
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
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4.6.1 - Pontos Notáveis da Parábola
- Intersecção com o eixo Ox
ax² + bx + c = 0
Se a equação tiver  > 0, então terá duas raízes reais e distintas: x1 ≠ x2
Assim, os pontos de intersecção da parábola com o eixo Ox são (x1, 0) e (x2, 0)
Se a equação tiver  = 0, então terá duas raízes reais e iguais: x1 = x2
Assim, a parábola será tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2
Se a equação tiver  < 0, então não terá raízes reais
Assim, a parábola não terá ponto em comum com o eixo Ox
4.6.1 - Pontos Notáveis da Parábola- Intersecção com o eixo Ox
Ex.:
y = 2x² - x – 1
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: 
2x² - x - 1 = 0 onde, a = 2 b = -1 c = -1
 = b² - 4ac 
 = (-1)² - 4.2.(-1) = 1 – (-8) = 1 + 8 = 9
Como  > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos:
(x1, 0) e (x2, 0)
onde x1 e x2 são as raízes da equação.
Determinando x1 e x2, temos:
𝑥 =
− −1 ± 9
2.2
=
1 ± 3
4
𝑥1 =
1+3
4
=
4
4
= 1 𝑥2 =
1−3
4
=
−2
4
= −
1
2
Como o coeficiente de x² é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima.
Ex.:
y = - 4x² - 12x - 9
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: 
-4x² - 12x - 9 = 0 onde, a = -4 b = -12 c = -9
 = b² - 4ac 
 = (-12)² - 4.(-4).(-9) = 144 – 144 = 0
Como  = 0, temos duas raízes reais e iguais (x1 = x2). Portanto a parábola 
tangencia o eixo Ox no ponto de abscissa x1 = x2. 
Determinando essas raízes, temos:
𝑥 =
− −12 ± 0
2. (−4)
=
12 ± 0
−8
𝑥1 = 𝑥2 = −
12
8
= −
3
2
Como o coeficiente de x² é negativo (a < 0), a parábola tem concavidade para baixo.
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4.6.1 - Pontos Notáveis da Parábola
- Intersecção com o eixo Oy
ax² + bx + c
Basta atribuirmos o valor zero à variável x.
Assim, o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0, y)
Ex.: y = x² - 6x + 5
 pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Oy: 
Fazendo x = 0  y = 5
Então, a parábola intercepta o eixo Oy no ponto (0, 5) 
Ex.:
y = x² - 6x + 5
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: 
x² - 6x + 5 = 0 onde, a = 1 b = -6 c = 5
 = b² - 4ac 
 = (-6)² - 4.(1).(5) = 36 – 20 = 16
Como  > 0, a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos:
(x1, 0) e (x2, 0)
onde x1 e x2 são as raízes da equação.
Determinando x1 e x2, temos:
𝑥 =
− −6 ± 16
2.1
=
6 ± 4
2
𝑥1 =
6+4
2
=
10
2
= 5 𝑥2 =
6−4
2
=
2
2
= 1
Como o coeficiente de x² é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima.
4.6.1 - Pontos Notáveis da Parábola
-O vértice da parábola
Outro ponto notável da parábola é o seu vértice.
O vértice V é o ponto de intersecção da parábola com seu eixo de simetria.
O vértice V(xv, yv) da parábola de equação
y = ax² + bx + c, com {a, b, c}  R e a ≠ 0, é o ponto
𝑉 = −
𝑏
2𝑎
,−
∆
4𝑎
onde
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Ex.:
No exemplo anterior y = x² - 6x + 5
 pontos de intersecção de seu gráfico com o eixo Oy: (0, 5) 
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: (5, 0) e (1, 0)
x² - 6x + 5 = 0 onde, a = 1 b = -6 c = 5
 = b² - 4ac 
 = (-6)² - 4.(1).(5) = 36 – 20 = 16
Determinando xv e yv, temos:
𝑥𝑣 = −
(−6)
2.1
=
6
2
= 3 𝑦𝑣 = −
16
4.1
= −
16
4
= −4
Portanto, o vértice da parábola é o ponto V(3, -4)
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4.7 - Máximo e Mínimo de uma Função
Seja f uma função real de variável real.
A função f admite valor máximo se, e somente se, existe xmax, com xmax D(f), tal que:
f(xmax)  f(x),  x, x  D(f)
O número f(xmax) é chamado de valor máximo da função f .
Seja f uma função real de variável real.
A função f admite valor mínimo se, e somente se, existe xmin, com xmin D(f), tal que:
f(xmin)  f(x),  x, x  D(f)
O número f(xmin) é chamado de valor mínimo da função f .
4.7 - Máximo e Mínimo de uma Função
4.7.1 - Conceito de Máximo e Mínimo Aplicado à
Função do 2º. Grau
Seja f : R  R tal que 
f(x) = ax² + bx + c, com {a, b, c}  R e a ≠ 0
 f admite valor de máximo se, e somente se, a < 0. 
Seu valor de máximo é yv = −
∆
4𝑎
e o ponto máximo é xv = −
𝑏
2𝑎
 f admite valor de mínimo se, e somente se, a > 0. 
Seu valor de mínimo é yv = −
∆
4𝑎
e o ponto mínimo é xv = −
𝑏
2𝑎
onde ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐
Note que estes pontos de mínimo e máximo correspondem respectivamente aos 
vértices, quando a > 0 (mínimo) ou a < 0 (máximo).
Ex.:
Determine o valor mínimo e o ponto de mínimo da função y = 2x² + 2x + 1 
2x² + 2x + 1 onde, a = 2 b = 2 c = 1
 = b² - 4ac 
 = (2)² - 4.(2).(1) = 4 – 8 = -4
Determinando o valor mínimo, temos:
𝑦𝑣 = −
(−4)
4.2
=
4
8
=
1
2
Determinando o ponto mínimo, temos:
𝑥𝑣 = −
2
2.2
= −
2
4
= −
1
2
Portanto, a coordenada será V(-1/2, 1/2)
08/05/2017
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4.7.2 - Variação de Sinal de uma Função do 2º.
Grau
De um modo geral, a discussão da variação de sinal de uma função do 2º. grau, 
f(x) = ax2 + bx + c
recairá sempre em um dos seguintes casos:
Ex.:
No exemplo y = 2x² - x – 1
 pontos de intersecção do gráfico com o eixo Ox: 
(1, 0) e (-1/2, 0)
Como o coeficiente de x² é positivo (a > 0), a parábola tem concavidade para cima.
O valor da função será 
negativo para o intervalo do domínio ] -1/2, 1[ 
e positivo, para ] -, - 1/2[ U ] 1, + [