AULA 01

Prévia do material em texto

CÁLCULO IV
Professora online: PATRICIA REGINA DE ABREU LOPES
AULA 1: INTEGRAIS MÚLTIPLAS
INTRODUÇÃO
	Apresentaremos o conteúdo de integral que envolve calcular integrais duplas e suas propriedades como extensões naturais da integral de Riemann de funções reais de uma variável real, mostrando assim a importância da interdisciplinaridade. Esta aula permitirá resgatar conteúdos de disciplinas anteriores e exercitarmos as primeiras integrais duplas. 	Ocorrerá constantemente uma interdisciplinaridade dos conhecimentos adquiridos anteriormente. Verificaremos a interpretação geométrica da integral dupla e acrescentaremos ao conhecimento das disciplinas de cálculo o Teorema de Fubini.
OBJETIVO DESTA AULA
Ao final desta aula, você será capaz de:
1- 	Resolver as primeiras integrais duplas;
2- 	Reconhecer algumas propriedades das integrais duplas;
3- 	Analisar o Teorema de Fubini;
4- 	Avaliar a interpretação geométrica.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
	Nesta aula, aprenderemos integrais múltiplas, mais especificamente integrais duplas. 
	Contudo, para iniciarmos é necessário recordar a integral já estudada, aí então poderemos estender esse conhecimento para chegarmos à integral dupla.
 	Na disciplina de Cálculo, apresentada anteriormente, aprendemos sobre integral definida.
	Vamos relembrar?
INTEGRAL DEFINIDA
	Seja f uma função definida ao menos no intervalo fechado [a, b]. 
	Então, a área com sinal sob o gráfico de f entre x = a e x = b é denotada por:
	Portanto, podemos escrever: 
	Agora iremos acrescentar um símbolo de integral a esta aprendida anteriormente.
	Você sabe o que a Integral dupla terá como notação?
	Acertou se você pensou: 
	Observe que se antes a função era de uma variável f(x), agora estamos trabalhando com duas integrais e, portanto com funções de diversas variáveis.
	No caso deste exemplo a função será f(x, y), denotaremos como z = f(x, y).
	Outra observação é o intervalo que antes era fechado em [a, b], agora trabalharemos com a função real f(x, y) e esta será definida e contínua no retângulo [a, b] x [c, d].
	Agora já estamos prontos.
	Vamos à interpretação Geométrica da Integral Dupla?
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA
	Considere uma função real z = f(x, y) definida e contínua no retângulo R = [a, b] x [c, d]. 
	O retângulo R pode ser escrito também como: 
	R = {(x, y) | a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}.
	É possível que você esteja se perguntando...ambas as notações podem ser usadas?
	A resposta é sim, pois estão descrevendo a mesma região.
	Antes com a integral definida nossa região descrevia a área da função y = f(x) no intervalo [a, b].
Geometricamente seria descrita por:
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA
	Agora com a integral definida como , suponhamos que f(x, y) ≥ 0 em R, então z = f(x, y) é uma superfície situada acima do retângulo R.
	A região que se formará no espaço chamaremos de W e será definida pelo retângulo R e os quatro planos:
• x = a
• x = b
• y = c 
• y = d
	Observe na figura.
	Podemos observar que agora a região W estará definindo um volume. Chamaremos este volume de integral dupla de f sobre R, denotado por:
 ou 
	Vamos agora exercitar a visualização da figura.
	EXEMPLO 
	Se f(x, y) = 1 - x e R = [0,1] x [0,1]. 
	A região R será definida pelos pontos: 
f(x, y) no ponto x = 0, y = 0 será f(x, y) = 1. Então teremos o ponto (0, 0,1). 
f(x, y) no ponto x = 0, y = 1 será f(x, y) = 0. Então teremos o ponto (0, 1, 0). 
f(x, y) no ponto x = 1, y = 0 será f(x, y) = 0. Então teremos o ponto (1, 0, 0). 
f(x, y) no ponto x = 1, y = 1 será f(x, y) = 0. Então teremos o ponto (1, 1, 0). 
	Observe as figuras a seguir. A função f(x, y) é o plano vermelho e a região R.
	Observe, pela interpretação geométrica, que uma das aplicações para integral dupla é o volume de figuras. Mais adiante apresentaremos algumas aplicações dentre elas o cálculo de volume. 
	Agora que já temos uma visão geométrica da integral dupla vamos aprender como resolver essa integral.
RESOLVENDO A PRIMEIRA INTEGRAL DUPLA
	Vamos voltar ao exemplo anterior. 
Se: 
• f(x, y) = 1 – x; 
• R = [0,1] x [0,1].
	...usando a definição de integral dupla aprendida anteriormente escrevemos:
	Onde a é o limite inferior da integral mais externa e b o limite superior da integral mais externa, da mesma forma c é o limite inferior da integral mais interna e d o limite superior da integral mais interna.
	Mas com integrar a integral dupla?
	Iniciamos sempre pela integral mais interna, ou seja:
	Esta integral será feita como aprendido anteriormente na disciplina de cálculo, usando as mesmas propriedades.
	Neste caso teremos:
	Agora entramos na segunda etapa da resolução da integral dupla.
	É muito simples, pegaremos o resultado da primeira resolução (da integral mais interna) e aplicaremos na segunda integral, ficará:
	Resolvendo esta integral teremos aplicando os limites de integração teremos como resultado ·.
	Portanto, a integral dupla terá como resultado , podemos escrever então:
	Reparou que a integral dupla nada mais é do que o mesmo processo aprendido na disciplina de Cálculo?
	Porém, você estará resolvendo duas vezes o processo de integração.
	Portanto todas as propriedades de integral que usava continuará a valer agora na integral dupla.
 	Passaremos agora para a definição mais rigorosa da integral dupla através do método das somas de Riemann (Este método foi apresentado anteriormente na disciplina de cálculo para integral de funções de uma variável, agora estenderemos este teorema a integral dupla).
INTEGRAL DUPLA SOBRE UM RETÂNGULO
	Usando a ideia da soma de Riemann aplicado na disciplina de cálculo anteriormente podemos desenvolver o raciocínio:
 	Suponha que z = f(x, y) é uma função real limitada em R.  
	Se calcularmos a região de cada sub-retângulo e somarmos todos os valores encontraremos a região do retângulo R.
	Quanto mais particionamos a região R, mais retângulos estaremos somando e mais próximo do valor exato estaremos.
	Agora vamos ver como podemos escrever a soma de Rimann de f sobre R?
	Formalmente podemos escrever a soma de Rimann de f sobre R como:
Z = f (x, y) é uma função real limitada em R
Rjké o sub - retângulo [xj, xj+1] x [yk, yk+1] e
Cjké um ponto qualquer de Rjk.
	A soma será descrita como:
 onde: 
	Se a sequência das somas de Riemann da função f tem limite s pertencente aos reais quando n tende para o e este limite independe da escolha dos pontos Cjk nos subretângulos Rjk dizemos que f é integrável sobre R.
	Com base neste raciocínio podemos escrever o Teorema:
	Toda função contínua num retângulo R é integrável sobre R.
	Para visualizar a interpretação geométrica da soma de Rimann, aplicada a integral dupla, vamos utilizar novamente a definição:
	Suponha que z = f(x, y) é uma função contínua e positiva num retângulo R = [a, b] x [c, d].
	Considere a região W do espaço limitada pelo gráfico de z = f(x, y), o retângulo e os planos x = a, x = b, y = c e y = d.
	Se tomarmos Cjk um ponto de máxima de f(x, y) no sub - retângulo Rjk, então f(Cjk) x y representa o volume da caixa retangular de base Rjk e altura f(Cjk).
ATENÇÃO
	Lembre-se: volume da caixa retangular é base vezes altura.
	Repare que quanto mais particionamos a região R mais próximos ao volume real de f(x, y) chegaremos.
	Veja:
Observe que...
	Utilizando novamente o mesmo raciocínio da disciplina de Cálculo poderemos afirmar que se a função z = f(x, y) é limitada no retângulo R = [a, b] x [c, d] mas possui um conjunto de pontos de descontinuidade podemos descrever f como uma união finita de gráficos de funções contínuas, então f continuará a ser integrável sobre R.
	Finalmente podemos escrever, baseados no teorema de Riemann, a integral dupla como: , se esse limite existir.
	Lembre - se: dA = dx dy
EXEMPLO 
	Determinar o volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do paraboloide elíptico z = 16 – x2 – 2y2.
	Os quadrados estão ilustrados na figura e a área de cada um vale1 (uma unidade). Aproximando o volume pela soma de Riemann:
	Volume será aproximadamente o somatório: , desenvolvendo o somatório teremos f(1,1) A + f(1,2) A + f(2,1) A + f(2,2) A = 13 (1) + 7 (1) + 10(1) + 4 (1) = 34, onde base = 2 - 1 = 1, altura = 2 - 1 = 1 e A = base x altura = 1. 
	Lembre-se a partição é regular. Então 34 será o volume aproximado da caixa. 
	Veremos a seguir algumas propriedades de integral dupla, estudadas na disciplina de Cálculo, quando aprendemos integral indefinida. Elas continuam válidas para integrais múltiplas.
PROPRIEDADES
	Veremos agora algumas propriedades fundamentais para integral dupla:
LINEARIDADE
	Sejam e funções integráveis em um retângulo R e , constantes reais.
	Então f + é integrável sobre R.
	Podemos escrever:
	De uma maneira menos formal podemos dizer que a constante pode sair da integral, ficando apenas a função f(x,y) para ser integrada.
MONOTONICIDADE
		Sejam e funções integráveis em um retângulo R e f(x, y) g(x, y) , então:
	De um jeito menos formal podemos dizer que se conhecemos duas funções e podemos afirmar que uma é menor ou igual a outra, esta propriedade será preservada na integral dupla.
ADITIVIDADE
	Se o retângulo R é subdividido em n retângulo e se f é integrável sobre cada Ri, i = 1, ..., n, então f é integrável sobre R, podemos escrever:
	Informalmente podemos dizer que se a função possui um conjunto de pontos de descontinuidade poderemos descrever f como uma união finita de gráficos de funções contínuas, então f continuará a ser integrável sobre R.
TEOREMA DE FUBINE
	Apresentaremos agora esse importante teorema que muitas vezes será fundamental para resolver a integral dupla.
	Vejamos:
	Se z = f(x, y) é contínua no retângulo R = {(x, y) | a < x < b, c < y < d}, então a integral dupla de f sobre R pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja:
	Observe que quando trocamos a ordem de resolução da integral o diferencial da variável independente muda junto, ou seja, o dx esta amarrado ao limite  a < x < b  e dy esta amarrado a  c < y < d.
	Além disto observe que ainda será válida a afirmação de que se f é descontínua apenas numa região finita de gráficos de funções contínuas.
	Usando o teorema de Fubini, por exemplo, para a função f(x, y) em R = [-1,1] x [0,     ], podemos escrever:
EXEMPLO
	Primeiro resolveremos a integral mais interna:
	Com o resultado desta integral resolveremos outra integral:
	Podemos fazer:
	A pergunta imediata será: Então sempre poderei escolher a ordem que desejo fazer?
	Infelizmente, nem sempre. Ocorrerá, na maioria das vezes, que uma ordem vai facilitar seu trabalho para integrar e outra vai complicar. A visão geométrica dos limites de integração irá nos ajudar a decidir. Vamos então prosseguir e ver o que pode nos ajudar a decidir por onde caminhar.
INTEGRAIS DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS
	O conceito de integral dupla nas regiões de integração retangulares pode ser estendida para regiões mais gerais, para isto definiremos:
	Seja:
D um subconjunto limitado e fechado do plano xy;
R = [a, b] x [c, d] um retângulo que contém D; 
f uma função contínua, portanto limitada em D.
	Definimos uma nova função g (limitada) em R por:
	g é contínua, exceto, possivelmente, na fronteira de D. 
	Se a fronteira de D consiste de um número finito de gráficos de funções continuas, então g é integrável sobre R conforme definimos anteriormente.
 	Portanto, definiremos os dois tipos de regiões D que trabalharemos com integral dupla.
 	DOIS TIPOS DE REGIÕES D
	TIPO DE REGIÃO I 
	Definiremos como região do tipo I a região onde são funções contínuas em [a, b] e . Observe abaixo a figura que representa a região do tipo I, veja que se traçarmos uma reta paralela ao eixo y (x = t, onde t [a, b]), esta interceptará D entre as curvas y = e y = . 
	Podemos afirmar que esta região é fechada e limitada porque e são continuas em [a, b]. 
	Portanto, escreveremos a integral como: 
TIPO DE REGIÃO II 
	Definiremos como região do tipo II a região onde são funções contínuas em [c, d] e . Observe a figura que representa a região do tipo II, veja que se traçarmos uma reta paralela ao eixo x (y = t, onde t [c, d]), ela interceptará D entre as curvas x = e x = . Podemos afirmar que esta região é fechada e limitada porque e são continuas em [c, d]. 
	Portanto escreveremos a integral como: 
	Observe que ao definir o tipo de região, definimos a ordem que a integral tem que ser resolvida. 
	Vamos aplicar esta teoria em um exercício clássico, ou seja, que pode ser encontrado em todos os livros. 
	Se f(x, y) = 1 para todo (x, y) D, a integral dupla será a área da região D. Podemos escrever: 
= área de D. 
	Considere D uma região do tipo I, descrita por 
Exemplo: 
	Determine a área da região limitada pelas curvas x2 + 2y - 16 = 0 e x + 2y + 4 = 0. Primeiro vamos desenhar o gráfico com estas curvas
	x2 + 2y - 16 = 0 é uma parábola voltada para baixo com raízes -4 e 4. 
	x + 2y + 4 = 0 é uma reta que passar nos pontos (-4, 0) e (0, -2). 
	Interseção das duas curvas nos pontos (-4, 0) e (5, 0). 
	Agora que temos a região de integração não precisamos resolver com a integral dupla, usaremos a integral definida.
	Neste caso, estaremos integrando a região em azul (R1) e a região em laranja (R2). A área total será R1 + R2. 
	Você deverá resolver este exercício como atividade. 
	O resultado que deverá achar será . 
EXEMPLO: 
	Seja D o triangulo de vértices (-1,0), (0,1) e (1,0). Calcule a integral dupla da função f(x, y) = x + y em D. 
	Primeiro passo: Escrever a integral dupla de acordo com a definição, ou seja, .
	Segundo passo: Desenhar a figura e decidir se usará a região do tipo I ou do tipo II. Com base na sua decisão, escreva a integral com os limites de integração.
	A reta em vermelho pode ser escrita usando a teoria que aprendemos em disciplinas estudas anteriormente como Geometria Analítica. Um dos modos de se achar esta reta é verificar que temos dois pontos (-1,0) e (0,1) e queremos definir a reta que passa por eles. 	
	Portanto, aplicando a equação geral da reta y - y0 = m (x - x0) definimos que esta equação será y = x + 1, lembre-se que m é o coeficiente angular da reta. 
	Da mesma forma definimos a reta em azul a partir dos pontos (0,1) e (1,0) encontramos a reta y = 1 - x. 
	Observe que para y = 0.5 temos uma reta paralela ao eixo x passando no ponto y = 0.5, que corta a reta vermelha e depois a azul, portanto temos y - 1 ≤ x ≤ 1 - y. Se fixarmos qualquer ponto y entre 0 e 1 chegaremos a mesma conclusão (o valor de y na figura vai de 0 a 1). 	
	Portanto, a região D é do tipo II e a integral poderá ser escrita no formato:
	Passando os limites de integração e simplificando chegamos a segunda integral a ser resolvida:
	Observação: A integral a ser feita primeiro sempre será a que tem as funções como limite de integração e por último a que tem as constantes. Este exercício pode ser encontrado no material didático. 
	Outra maneira de se resolver este exercício é definir como região do tipo I. Para isso teríamos que trabalhar com duas regiões D1 e D2, onde D = D1 D2, conforme pode ser visualizado na figura a seguir. 
	Definiríamos . Neste caso resolveríamos duas integrais, uma com a região D1 e outra com a região D2. A integral em D seria a soma do resultado das duas integrais em D1 e em D2, chegando à mesma conclusão.
_______________________________________________________________
Professora aula teletransmitida: Ana Lucia de Sousa Tempo: 50min 23seg
AULA 1: INTEGRAIS MÚLTIPLAS
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Integrais múltiplas
Integral Dupla 
Definição
Interpretação Geométrica da Integral Dupla
Resolução da Integral Dupla
Propriedades
Teorema de Fubine
Integrais Dupla sobre regiões mais gerais 
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Objetivos da aula: 
Conhecer e Calcular as Integrais Duplas
Interpretação geométrica da integral dupla
Conhecer suas propriedades
Conhecer o Teorema de Fubine
INTEGRAL DEFINIDADefinição:
 	Seja f uma função definida ao menos no intervalo fechado [a, b]. Então a área com sinal sob o gráfico de f entre x = a e x = b é denotada por 
	Portanto, podemos escrever, 
	Acrescentando mais um símbolo de integral a esta aprendida anteriormente. Agora ela recebe o nome de integral dupla. 
Integral dupla → 
Vamos denotar f(x, y) por z = f(x, y)
Exemplo
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA
	Considere uma função real z = f(x, y) definida e contínua no retângulo R = [a, b] x [c, d]. 
	O retângulo R pode ser escrito como: 
R = {(x, y) 2| a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d } 
	Ambas as notações podem ser usadas, pois estão descrevendo a mesma região.
	Integral definida → 
 	Área da função y = f(x) no intervalo [a, b] e geometricamente seria descrita por: 
	Agora vamos analisar a integral dupla.
z = f(x, y) é uma superfície situada acima do retângulo R. 
	A região que se formará no espaço chamaremos de W e será definida pelo retângulo R e os quatro planos 
x = a, x = b, y = c e y = d
	A região W define um volume. Ele será chamado de volume de integral dupla de f sobre R, denotado por:
EXEMPLO
	Se f(x, y) = 1 - x e R = [0,1] x [0,1].
	A região R será definida pelos pontos:
f(x, y) no ponto x = 0, y = 0 será f(x, y) = 1. Então teremos o ponto (0,0,1).
f(x, y) no ponto x = 0, y = 1 será f(x, y) = 0. Então teremos o ponto (0,1,0).
f(x, y) no ponto x = 1, y = 0 será f(x, y) = 0. Então teremos o ponto (1,0,0).
f(x, y) no ponto x = 1, y = 1 será f(x, y) = 0. Então teremos o ponto (1,1,0).
	Observe nas figuras abaixo que a função f(x, y) é o plano vermelho e a região R. 
CÁLCULO DA INTEGRAL DUPLA
Resolvendo a primeira integral dupla
Seja f(x, y) = 1 – x e R = [0,1] x [0,1].
Resolver primeiro a integral mais interna
Resolver agora a segunda integral a partir do resultado da primeira.
Portanto,
DEFINIÇÃO DA INTEGRAL DUPLA ATRAVÉS DO MÉTODO DAS SOMAS DE RIEMANN.
	Seja z = f(x, y) definida numa região fechada e limitada R do plano xy.
	Agora vamos considerar os retângulo Rk contidos na região R e enumerados de 1 a n.
	Em cada retângulo Rk vamos escolher um ponto (xk, yk).
Agora veja:
 
A área do retângulo Rk : ∆Ak = ∆xk . ∆yk 
	Agora podemos formar a seguinte soma:
	A partir dela temos:
	Se o limite existe, então chamamos integral dupla de f(x, y) sobre a região R.
	Quanto mais particionamos a região R mais próximos ao volume real de f(x, y) chegaremos. 
	Observe as figuras abaixo:
Quando z = f(x, y) ≥ 0, a integral dupla é interpretada como um volume.
A soma de Riemann representa uma aproximação do volume da porção do espaço compreendido abaixo do gráfico de z = f(x, y) e acima da região R do plano xy.
	Portanto, quando f(x, y) ≥ 0, 
	Temos o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f(x, y), e inferiormente pela região R. 
TEOREMA: 
	Toda função contínua definida num retângulo R é integrável sobre R.
PROPRIEDADES
Linearidade
	Seja f e g funções integráveis num retângulo R e c1, c2 constantes reais. Então c1 f + c2 g é integrável sobre R.
Monotonicidade
	Seja f e g funções integráveis num retângulo R e f(x, y) ≥ g(x, y), (x, y) , então:
	Ou seja, se conhecemos duas funções e uma é menor ou igual a outra, então esta propriedade será preservada na integral dupla.
Aditividade
	Se o retângulo R é subdividido em n retângulos e se f é integrável sobre cada Ri, i =1, ..., n, então f é integrável sobre R, podemos escrever: 
	Ou seja, se a função possui um conjunto de pontos de descontinuidade poderemos descrever f como uma união finita de gráficos de funções contínuas. A função f continuará a ser integrável sobre R.
Se a região R é composta de duas sub-regiões R1 e R2 que não têm pontos em comum, excetos os pontos de suas fronteiras, então
TEOREMA DE FUBINE
	Se z = f(x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] x [c, d], então a integral dupla de f sobre R pode ser obtida através de integrais iteradas, ou seja:
	O Teorema de Fubine é prático para o cálculo de integrais duplas através de duas integrações sucessivas de funções de uma variável. 
EXEMPLO
	Seja f(x, y) em R = [-1,1] x [0, π/2].
	Podemos escrever:
OBSERVAÇÃO
		As integrais duplas surgiram para cálculo de volume, mas também podem ser usadas para calcular áreas.
		A integral dupla será escrita da seguinte forma:
INTEGRAIS DUPLA SOBRE REGIÕES MAIS GERAIS
		Vamos definir dois tipos de regiões:
Região do tipo I
EXEMPLO
	Use a integral dupla para calcular a área da região R limitada por y = x2, y = 0 e x = 2.
Região do tipo II
EXEMPLO
	Use a integral dupla para calcular a área da região R limitada por y = x2, y = 0 e x = 2
EXERCÍCIO 1
	Calculo onde R é a região do triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1).
 
EXERCÍCIO 2
	Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = 4 – x – y, inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 e e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.
	Vamos desenhar a região R, de acordo com as informações dadas.