correção aula ATIVIDADE TUTOR Cálculo Diferencial e Integral IV TELEAULA 01

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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV 
Teleaula: 01 
 
Título: Séries 
Prezado(a) tutor(a), 
A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e 
conteúdos relacionados à Unidade de Ensino: Séries. Oriente os alunos seguindo todas 
as orientações indicadas e estimule-os a tirar as dúvidas que surgirem. 
 
Bom trabalho! 
 
 
 
Resolução de exercícios 
 
Para a questão 1 considere a seguinte equação: 
1
1 − 𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ = ∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=0
 
 
Questão 1 
Podemos empregar as séries de potências na representação de funções visando a identificação 
de aproximações para elas a partir de expressões polinomiais. 
Com base nesse tema, estude a função de uma variável real definida por 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
 
e represente a função 𝑓(𝑥) como uma série de potências. 
Gabarito: 
Queremos representar 𝑓(𝑥) na forma de série de potências. Note inicialmente que 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
=
1
1 − (−𝑥2)
 
Assim, aplicando a expressão 
1
1 − 𝑘
= 1 + 𝑘 + 𝑘2 + 𝑘3 + ⋯ = ∑ 𝑘𝑛
∞
𝑛=0
 
 
 
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com 𝑘 = −𝑥2 teremos que: 
𝑓(𝑥) =
1
1 − (−𝑥2)
= 1 + (−𝑥2) + (−𝑥2)2 + (−𝑥2)3 + ⋯ = ∑(−𝑥2)𝑛
∞
𝑛=0
 
Ou ainda, 
𝑓(𝑥) =
1
1 + 𝑥2
= 1 − 𝑥2 + 𝑥4 − 𝑥6 + ⋯ = ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛
∞
𝑛=0
 
Portanto, a função 𝑓 pode ser representada como série de potências na forma 
𝑓(𝑥) = ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛
∞
𝑛=0
 
 
Para a questão 2 considere as seguintes definições: 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ. Dizemos que 𝑓 é uma função par quando 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo 𝑦. 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ. Dizemos que 𝑓 é uma função ímpar quando 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) para todo 
𝑥 ∈ ℝ. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem. 
 
Questão 2 
O estudo das funções é essencial para a resolução dos mais variados problemas, inclusive 
quando desejamos empregar séries de funções para contribuir com a representação e a 
interpretação de fenômenos. Nesses casos, o conhecimento das propriedades das funções se 
faz necessário para que seja possível identificar qual a melhor categoria para representar o 
fenômeno em estudo. 
Considere as funções de uma variável real apresentadas a seguir: 
𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3 
𝑔: ℝ → ℝ dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 2,5𝑥 
ℎ: ℝ → ℝ dada por ℎ(𝑥) = cos(𝑥) 
𝑘: ℝ → ℝ dada por 𝑘(𝑥) = |𝑥| 
Classifique cada uma das funções apresentadas como par ou ímpar. 
Gabarito: 
Seja a função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3. A representação gráfica de 𝑓 é: 
 
 
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Como o gráfico de 𝑓 é simétrico em relação ao eixo 𝑦 podemos concluir que 𝑓 é par. Outra 
forma de verificar esse fato é analisar que 
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)2 − 3 = 𝑥2 − 3 = 𝑓(𝑥) 
para todo 𝑥 real. Logo, 𝑓 é uma função par. 
Considere a função 𝑔: ℝ → ℝ dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 2,5𝑥. O gráfico de 𝑔 é dado por: 
 
O gráfico de 𝑔 é simétrico em relação à origem então 𝑔 é ímpar. Ou ainda, como 
𝑔(−𝑥) = (−𝑥)3 − 2,5(−𝑥) = −𝑥3 + 2,5𝑥 = −(𝑥3 − 2,5𝑥) = −𝑔(𝑥) 
para todo 𝑥 real. Dessa forma, 𝑓 é uma função ímpar. 
Seja a função ℎ: ℝ → ℝ dada por ℎ(𝑥) = cos(𝑥), cujo gráfico é 
 
Como o gráfico de ℎ é simétrico em relação ao eixo 𝑦 podemos concluir que ℎ é par. Outra 
forma de verificar esse fato é analisar que 
ℎ(−𝑥) = cos(−𝑥) = cos(𝑥) = ℎ(𝑥) 
para todo 𝑥 real. Logo, ℎ é uma função par. 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
Considere a função 𝑘: ℝ → ℝ dada por 𝑘(𝑥) = |𝑥|. O gráfico de 𝑘 é: 
 
O gráfico de 𝑘 é simétrico em relação ao eixo 𝑦 então 𝑘 é par. Ou ainda, como 
𝑘(−𝑥) = |−𝑥| = |𝑥| = 𝑘(𝑥) 
para todo 𝑥 real. Dessa forma, 𝑘 é uma função par. 
 
Para a questão 3 considere a seguinte definição: 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ. Dizemos que 𝑓 é uma função periódica quando existir um número positivo 𝑃 
de modo que 𝑓(𝑥 + 𝑃) = 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
 
Questão 3 
As funções periódicas podem ser empregadas na descrição dos mais variados fenômenos, como 
a duração dos dias, as marés, entre outros. Assim, o conhecimento desse tipo de função pode 
auxiliar na interpretação desses fenômenos em que um certo padrão se repete quando 
considerado um intervalo de tempo específico. 
Com base nesse tema, sejam as seguintes funções de uma variável real: 
𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 2 sen(4𝑥) 
𝑔: ℝ → ℝ dada por 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 
ℎ: ℝ → ℝ dada por ℎ(𝑥) = {
−𝑥, −1 ≤ 𝑥 < 0
𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1
, ℎ(𝑥 + 2) = ℎ(𝑥) 
Verifique se as funções apresentadas são periódicas e, em casa afirmativo, determine seu 
período. 
Gabarito: 
Note que a função 𝑓 é periódica e seu gráfico é dado por 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
Temos que o período da função 𝑓, a qual é trigonométrica, é dado por 
𝑃 =
2𝜋
4
=
𝜋
2
 
A função 𝑔 é não periódica, sendo seu gráfico dado por 
 
A função ℎ é periódica e tem gráfico: 
 
A função ℎ tem período 𝑃 = 2. 
 
 
 
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Para a questão 4 considere as seguintes expressões: 
• Série de Taylor: 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(𝑎)
𝑛!
(𝑥 − 𝑎)𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓(𝑎) +
𝑓′(𝑎)
1!
(𝑥 − 𝑎) +
𝑓′′(𝑎)
2!
(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ 
• Série de Maclaurin: 
𝑓(𝑥) = ∑
𝑓(𝑛)(0)
𝑛!
𝑥𝑛
∞
𝑛=0
= 𝑓(0) +
𝑓′(0)
1!
𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 + ⋯ 
 
Questão 4 
Determine as expansões em série: 
a) de Taylor para a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 centrada em 𝑥 = 3; 
b) de Maclaurin para a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥; 
c) de Taylor para a função 𝑓(𝑥) = √𝑥 centrada em 𝑥 = 4. 
Gabarito: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, com 𝑥 = 3 
𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥) = 𝑓′′′(𝑥) = ⋯ = 𝑒𝑥 
Assim, 
𝑓(3) = 𝑓′(3) = 𝑓′′(3) = 𝑓′′′(3) = ⋯ = 𝑒3 
Portanto, 
𝑓(𝑥) = 𝑓(3) +
𝑓′(3)
1!
(𝑥 − 3) +
𝑓′′(3)
2!
(𝑥 − 3)2 + ⋯ 
Isto é, 
𝑓(𝑥) = 𝑒3 +
𝑒3
1!
(𝑥 − 3) +
𝑒3
2!
(𝑥 − 3)2 + ⋯ 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, com 𝑥 = 0 
𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) = 𝑓′′(𝑥) = 𝑓′′′(𝑥) = ⋯ = 𝑒𝑥 
Assim, 
𝑓(0) = 𝑓′(0) = 𝑓′′(0) = 𝑓′′′(0) = ⋯ = 𝑒0 = 1 
Portanto, 
 
 
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𝑓(𝑥) = 𝑓(0) +
𝑓′(0)
1!
𝑥 +
𝑓′′(0)
2!
𝑥2 +
𝑓′′(0)
3!
𝑥3 + ⋯ 
Isto é, 
𝑓(𝑥) = 1 +
𝑥
1!
+
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+ ⋯ 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥
1
2, com 𝑥 = 4 
Função Avaliação em 𝒙 = 𝟒 
𝑓(𝑥) = 𝑥1/2 𝑓(4) = 2 
𝑓′(𝑥) =
1
2
𝑥−1/2 𝑓′(4) =
1
4
 
𝑓′′(𝑥) = −
1
4
𝑥−3/2 𝑓′′(4) = −
1
32
 
𝑓′′′(𝑥) =
3
8
𝑥−5/2 𝑓′′′(4) =
3
256
 
Portanto, 
𝑓(𝑥) =
2
0!
+
(
1
4
)
1!
(𝑥 − 4) +
(−
1
32
)
2!
(𝑥 − 4)2 +
(
3
256
)
3!
(𝑥 − 4)3 + ⋯ 
𝑓(𝑥) = 2 +
1
4
(𝑥 − 4) −
1
64
(𝑥 − 4)2 +
1
512
(𝑥 − 4)3 + ⋯ 
 
Para as questões 5 e 6 considere a seguinte expressão que caracteriza a série de Fourier para 
uma função 𝑓 periódica de período 2𝐿: 
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑎0 + ∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
 
com 
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
, 𝑛 ≥ 0 
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
, 𝑛 ≥ 1 
 
Questão 5 
Considere a função: 
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑒 − 𝜋 < 𝑥 < 0
𝜋, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
 
cuja representação gráfica é dada por: 
 
 
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Determine a expansão em série de Fourier para a função apresentada. 
Gabarito: 
Devemos calcular primeiramente os coeficientes de Fourier: 
𝑎0 =
1
𝜋
[∫ 0𝑑𝑥
0
−𝜋
+ ∫ 𝜋
𝜋
0
𝑑𝑥] =
1
𝜋
[𝜋𝑥]0
𝜋 =
1
𝜋
[𝜋 ⋅ 𝜋 − 𝜋 ⋅ 0] = 𝜋 
𝑎𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
=
1
𝜋
[∫ 0 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
0
−𝜋
+ ∫ 𝜋 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
]
=
1
𝜋
𝜋 [
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛
]
0
𝜋
 =
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)
𝑛
= 0 
𝑏𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) sen(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
=
1
𝜋
[∫ 0 sen(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
0
−𝜋
+ ∫ 𝜋 sen(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
] =
1
𝜋
𝜋 [−
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)
𝑛
]
0
𝜋
= [−
𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋)
𝑛
− (−
𝑐𝑜𝑠(𝑛 ⋅ 0)
𝑛
)] =
1 − cos(𝑛𝜋)
𝑛
= {
0, se 𝑛 é par
2
𝑛
, se 𝑛 é ímpar
 
Substituindo na expressão da série de Fourier: 
𝑓(𝑥) =
𝜋
2
+ ∑ [0 ⋅ cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
=
𝜋
2
+ 2 sen(2𝑥) +
2
3
sen(3𝑥) +
2
5
sen(5𝑥)+
2
7
sen(7𝑥) + ⋯ 
 
Questão 6 
As séries de Fourier podem ser empregadas na representação de funções descontínuas para, 
por exemplo, empregá-las na resolução de equações diferenciais, como é o caso da equação do 
calor, por exemplo. 
Com base nesse tema, analise a função 𝑔 de uma variável real definida por 
𝑔(𝑥) = 2𝑥, −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 
periódica de período 2𝜋 e cuja representação gráfica é dada por: 
 
 
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Em relação à função apresentada, analise as seguintes afirmações: 
I. A função 𝑔 pode ser caracterizada como uma função par. 
II. A função 𝑔 possui sua representação em séries de Fourier como uma série de senos. 
III. A função 𝑔 admite representação em série de Fourier como 
𝑔(𝑥) = ∑
2(−1)𝑛+1
𝑛
sen(𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
 
Considerando as afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta: 
a) Apenas a afirmação II está correta. 
b) Apenas as afirmações I e II estão corretas. 
c) Apenas as afirmações I e III estão corretas. 
d) Apenas as afirmações II e III estão corretas. 
e) As afirmações I, II e III estão corretas. 
Gabarito: 
A alternativa correta é a D. 
Observamos o gráfico que caracteriza a função 𝑔, a qual admite descontinuidades, podemos 
observar que ele é simétrico em relação à origem, logo a função 𝑔 é ímpar, donde segue que a 
afirmação I está incorreta. 
Como a função 𝑔 é ímpar, podemos concluir que 𝑔 admite uma representação em séries de 
Fourier como uma série de senos, ou seja, 𝑔 assume a forma 
𝑔(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
 
Assim, a afirmação II está correta. 
Vamos construir a série de senos que representa a função 𝑔. Temos que 𝑔 é ímpar e periódica 
de período 2𝐿 = 2𝜋, assim, sua série de Fourier é na forma 
𝑔(𝑥) = ∑ 𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
)
∞
𝑛=1
= ∑ 𝑏𝑛 sen(𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
 
com 
 
 
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𝑏𝑛 =
2
𝜋
∫ 𝑥 sen(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝑛2𝜋
∫ 𝑦 sen(𝑦) 𝑑𝑦
𝑛𝜋
0
=
2
𝑛2𝜋
[−𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑦)]0
𝑛𝜋
=
2
𝑛2𝜋
[−𝑛𝜋 cos(𝑛𝜋) + sen(𝑛𝜋) + 0 − sen(0)] = −
2
𝑛
cos(𝑛𝜋)
= (−
2
𝑛
) (−1)𝑛 = (−1) ⋅
2
𝑛
⋅ (−1)𝑛 =
2(−1)𝑛+1
𝑛
 
Portanto, a série de Fourier de 𝑔 é dada por 
𝑔(𝑥) = ∑
2(−1)𝑛+1
𝑛
sen(𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
 
Dessa forma, a afirmação III está correta. 
 
Para a questão 7 considere as seguintes expressões: 
• Série de Fourier para uma função par: 
𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+ ∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
, em que 𝑎𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
• Série de Fourier para uma função ímpar: 
𝑓(𝑥) = ∑ [𝑏𝑛 sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
, em que 𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) sen (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
 
Questão 7 
Considere a função: 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 + 𝜋, se 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
𝑥 + 𝜋, se − 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
 
cuja representação gráfica é dada por: 
 
Determine a expansão em série de Fourier para a função apresentada. 
Gabarito: 
Por se tratar de uma função par, podemos determinar uma expansão em série de Fourier de 
cossenos, em que 2𝐿 = 2𝜋, ou 𝐿 = 𝜋. 
𝑎0 =
2
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos(0) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝜋
∫ (−𝑥 + 𝜋)𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝜋
[−
𝑥2
2
+ 𝜋𝑥]
0
𝜋
=
2
𝜋
(−
𝜋2
2
+ 𝜋2 − 0)
= −𝜋 + 2𝜋 = 𝜋 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
𝑎𝑛 =
2
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝜋
∫ (−𝑥 + 𝜋) cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
2
𝜋
[∫ (−𝑥) cos(𝑛𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 + ∫ 𝜋 cos(𝑛𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥]
= −
2
𝜋
∫ 𝑥 cos(𝑛𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 + 2 ∫ cos(𝑛𝑥)
𝜋
0
𝑑𝑥 = (∗) 
Note que: 
∫ 𝑥 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥 sen(𝑛𝑥)
𝑛
− ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛
𝑑𝑥 =
𝑥 sen(𝑛𝑥)
𝑛
+
cos(𝑛𝑥)
𝑛2
+ 𝐶1 
∫ cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥 =
sen(𝑛𝑥)
𝑛
+ 𝐶2 
Assim, retornando em (∗) teremos: 
𝑎𝑛 = (∗) = −
2
𝜋
[
𝑥 sen(𝑛𝑥)
𝑛
+
cos(𝑛𝑥)
𝑛2
]
0
𝜋
+ 2 [
sen(𝑛𝑥)
𝑛
]
0
𝜋
= −
2
𝜋
[
𝜋 sen(𝑛𝜋)
𝑛
+
cos(𝑛𝜋)
𝑛2
− 0 −
cos(0)
𝑛2
] + 2 [
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋)
𝑛
−
𝑠𝑒𝑛(0)
𝑛
]
= −
2
𝜋
[
cos(𝑛𝜋) − 1
𝑛2
] = −
2
𝑛2𝜋
(cos(𝑛𝜋) − 1) = {
0, 𝑛 é par
4
𝑛2𝜋
, 𝑛 é ímpar
 
Sendo assim, como 
𝑎0 = 𝜋 
𝑎𝑛 = {
0, 𝑛 é par
4
𝑛2𝜋
, 𝑛 é ímpar
 
Logo, 
𝑓(𝑥) =
𝜋
2
+
4
𝜋
cos(𝑥) + 0 +
4
9𝜋
cos(3𝑥) + 0 +
4
25𝜋
cos(5𝑥) + ⋯ 
Portanto, 
𝑓(𝑥) =
𝜋
2
+ ∑
4
(2𝑛 − 1)2𝜋
cos((2𝑛 − 1)𝑥)
∞
𝑛=1
 
 
 
 
Estudando a convergência de séries 
 
Nosso objetivo, nessa tarefa, é investigar o comportamento da série 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
∑
1
2𝑛−1
 
com vistas a obter conclusões a respeito de sua convergência. 
 
Para a realização dessa tarefa, podem ser utilizadas duas opções: o GeoGebra ou uma planilha 
de cálculos. Escolha UMA dessas opções e siga as orientações descritas a seguir. 
 
Opção 1: Uso do GeoGebra 
Nesse caso, antes de desenvolver essa tarefa, é importante que você instale o software em seu 
computador, o qual é livre e gratuito, estando disponível no site: 
<https://www.geogebra.org/download> (acesso em 07 dez. 2022). 
A sugestão é a instalação da versão “GeoGebra Clássico 5”. 
 
Fonte: <https://www.geogebra.org/download>. Acesso em: 07 dez. 2022. 
 
Após abrir o software, inicie com os seguintes procedimentos: 
• Feche a “Janela de Álgebra”. 
• Habilite a planilha, acessando “Exibir → Planilha”, por meio da barra superior. 
• Na barra superior, acesse “Opções → Arredondamento → 15 casas decimais”. 
Vamos investigar o comportamento da série 
∑
1
2𝑛−1
 
Para isso, na célula A1 digite “1”. Na célula A2 digite “=A1+1”. Selecione a célula A2 e arraste a 
parte inferior direita, no formato de quadrado, até a célula A30. Com isso criamos valores para 
n de 1 até 30, ou seja, vamos avaliar a série considerando uma aproximação da soma com 30 
termos. 
Agora, criaremos cada termo da sequência (𝑎𝑛) que gera a série, na coluna B. Para isso, na célula 
B1, digite “=1/(2^(A1-1))”. Selecione a célula B1 e arraste até a célula B30, utilizando o quadrado 
na parte inferior direita. 
Em seguida, criaremos a sequência das somas parciais (𝑆𝑛) da série. Para isso, na célula C1 
construa o primeiro termo “=B1”. Na célula C2, teremos o segundo termo da sequência das 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
somas parciais, então digite “=C1+B2”. Para encontrar as demais somas parciais, selecione a 
célula C2 e arraste por meio do quadrado localizado na parte inferior direita. 
Analisando a planilha, o que está acontecendo com os termos da sequência 
𝑎𝑛 =
1
2𝑛−1, localizados na coluna B? E o que ocorre com os termos da sequência das somas 
parciais (𝑆𝑛)? 
Vamos criar as representações gráficas para as duas sequências, uma para (𝑎𝑛) e outra para 
(𝑆𝑛), considerando os 30 primeiros termos de cada uma delas. 
• Para (𝑎𝑛): digite na célula D1 “(A1,B1)” e arraste até a linha 30. 
• Para (𝑆𝑛): digite na célula E1 “(A1,C1)” e arraste até a linha 30. 
Observando os dois gráficos, o que acontece com os termos das sequências (𝑎𝑛) e (𝑆𝑛)? Isso é 
coerente com o que você havia concluído antes da construção dos gráficos? É possível alterar as 
cores dos gráficos para uma melhor diferenciação entre as sequências correspondentes. 
 
Opção 2: Uso de uma planilha de cálculos 
Para essa segunda opção, você pode utilizar qualquer software do tipo planilha de cálculos, 
como o Microsoft Excel, o Planilhas Google, o Calc do LibreOffice, entre outros. Utilize o que 
você tem maior conhecimentos ou escolha uma ferramenta gratuita, como o Calc, por exemplo. 
Vamos investigar o comportamento da série 
∑
1
2𝑛−1
 
Para isso, na célula A1 digite “1”. Na célula A2 digite “=A1+1”. Selecione a célula A2 e arraste a 
parte inferior direita, no formato de quadrado, até a célula A30. Com isso criamos valores para 
n de 1 até 30, ou seja, vamos avaliar a série considerando uma aproximação da soma com 30 
termos. 
Agora, criaremos cada termo da sequência (𝑎𝑛) que gera a série, na coluna B. Para isso, na célula 
B1, digite “=1/(2^(A1-1))”. Selecione a célula B1 e arraste até a célula B30, utilizando o quadrado 
na parte inferior direita. 
Em seguida, criaremos a sequência das somas parciais (𝑆𝑛)da série. Para isso, na célula C1 
construa o primeiro termo “=B1”. Na célula C2, teremos o segundo termo da sequência das 
somas parciais, então digite “=C1+B2”. Para encontrar as demais somas parciais, selecione a 
célula C2 e arraste por meio do quadrado localizado na parte inferior direita. 
Analisando a planilha, o que está acontecendo com os termos da sequência 
𝑎𝑛 =
1
2𝑛−1, localizados na coluna B? E o que ocorre com os termos da sequência das somas 
parciais (𝑆𝑛)? 
 
 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
Vamos criar as representações gráficas para as duas sequências, uma para (𝑎𝑛) e outra para 
(𝑆𝑛), considerando os 30 primeiros termos de cada uma delas. 
• Para (𝑎𝑛): selecione os dados de B1 até B30, na barra superior selecione a opção inserir 
gráfico e, em seguida, escolha o modelo gráfico de dispersão. 
• Para (𝑆𝑛): selecione os dados de C1 até C30, na barra superior selecione a opção inserir 
gráfico e, em seguida, escolha o modelo gráfico de dispersão. 
Observando os dois gráficos, o que acontece com os termos das sequências (𝑎𝑛) e (𝑆𝑛)? Isso é 
coerente com o que você havia concluído antes da construção dos gráficos? É possível alterar as 
cores dos gráficos para uma melhor diferenciação entre as sequências correspondentes. 
 
Utilize um desses procedimentos para analisar outras séries, como ∑
1
𝑛
 e ∑
1
𝑛(𝑛+1)
. Podemos 
ainda aumentar a quantidade de termos nas sequências para contribuir com uma interpretação 
geométrica a respeito da convergência ou divergência das sequências e, por consequência, da 
série. 
 
Orientações para o desenvolvimento da atividade: 
Essa investigação pode ser realizada em qualquer uma das opções. É importante reforçar ao 
aluno que ele deve escolher apenas UMA das opções. É importante que o aluno faça suas 
análises, observando que, para a série citada, a convergência ocorre para zero. Caso o aluno 
tenha dificuldade, sugira o uso do Planilhas Google em sua versão online, que consiste em uma 
versão mais simples e que não exige instalação prévia. Outra opção seria utilizar os aplicativos 
para celulares dos softwares de planilhas de cálculo, conforme o sistema operacional utilizado 
pelo aluno.