Lista 3

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Lista 3
Ca´lculo B
31 de outubro de 2017
Exercı´cio 1 Calcule o comprimento das curvas:
a) y =
x2
2
− lnx
4
; 2 ≤ x ≤ 4.
b) x =
1
3
√
y(y − 3); 1 ≤ y ≤ 9.
c) x =
y4
8
+
1
4y2
; 1 ≤ y ≤ 2.
d) y = ln(cosx); 0 ≤ x ≤ pi3 .
Exercı´cio 2
Mostre que o comprimento da curva y =
1
4
ex + e−x em qualquer intervalo e´ igual ao valor da
a´rea da regia˜o limitada pela curva.
Exercı´cio 3 Determine o centro´ide da regia˜o limitada por:
a) y = 4 − x2, y = 0; −2 ≤ x ≤ 2
b) y =
√
x, y = 3, x = 0
c) x = y2 − 2y, y = x
d) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4; x ≥ 0, y ≥ 0
e) y = ex, x = 0, x = 1, y = 0
f) y = x + 2, y = x2
g) y = sin x, y = cos x; 0 ≤ x ≤ pi4
h) y = x, y =
1
x
, y = 0, x = 2
1
Exercı´cio 4 Utilize o Teorema de Pappus-Guldin para determinar:
a) O volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o do hexa´gono regular inscrito no cı´rculo
(x − 2)2 + y2 = 1 ao redor do eixo y.
b) O volume do so´lido de revoluc¸a˜o gerado pela rotac¸a˜o do triaˆngulo com ve´rtices nos pontos
(2, 3), (2, 5), (5, 4) ao redor do eixo x.
c) O centro´ide da regia˜o A = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}.
Respostas:
• 1] a)6 + ln2
4
; b)
32
3
; c)
33
16
; d)ln(2 +
√
3).
• 3] a)
(
0,
8
5
)
; b)
(27
10
,
9
4
)
; c)
(3
5
,
3
2
)
; d)
( 28
9pi
,
28
9pi
)
; e)
( 1
e − 1 ,
e + 1
4
)
; f)
(1
2
,
8
5
)
; g)
( pi√2 − 4
4(
√
2 − 1) ,
1
4(
√
2 − 1)
)
;
h)
( 8
3(1 + 2 ln 2)
,
5
6(1 + 2 ln 2)
)
.
• 4]a)6√3pi; b)24pi; c)
( 8
3pi
,
8
3pi
)
.
2