Prof. Rafael Faria - Probabilidade e Estatística - Aula 04

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Probabilidade e Estatística
MAT013
Professor: Rafael Faria
Distribuição de Probabilidades
Distribuição Binomial
Distribuição Geométrica
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição Multinomial
Distribuição de Poisson
Distribuição Uniforme
Distribuição Normal
Sumário
Até agora
Coleta de dados
Análise de dados coletados
Gráficos e tabelas
Probabilidade a partir dos dados coletados
Introdução
Desenvolver métodos e modelos para dizer o que provavelmente acontecerá em vez do que realmente aconteceu
O modelo descreve como se espera que o experimento se comporte
Introdução
É uma variável que tem um único valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento.
Discreta: enumerável, número finito de valores
Contínua: medidas em uma escala contínua
Variáveis Aleatórias
Analogia com função
Variáveis Aleatórias
KKK
KKC
KCK
CKK
KCC
CKC
CCK
CCC
0
1
2
3
É uma descrição que fornece a probabilidade para cada valor da variável aleatória.
Requisitos:
Distribuição de Probabilidade
Tabelas
Distribuição de Probabilidade
Dados
Probabilidade
1
0,1
2
0,3
3
0,1
4
0,2
5
0,2
6
0,1
Gráficos
Distribuição de Probabilidade
Média
Variância
Desvio Padrão
Média, Variância, Desvio Padrão
Variáveis Discretas
Durante os cálculos usar tantas casas decimais quanto possíveis
Arredondar somente no final
Usar uma casa decimal a mais do que as casas decimais dos dados (na maioria dos casos)
Usar bom senso (turbinas de avião)
Regras de Arredondamento
Desvio Padrão
Probabilidade
Não usualmente alto
P(x ou mais) ≤ 0,05
Não usualmente baixo
P(x ou menos) ≤ 0,05
Dados usuais e não usuais
Média – 2σ
Média
Média + 2σ
1000 lançamentos de moedas
501 caras – é usual ou não usual ?
P(501) = 0,0252
P(501 ou mais caras) = 0,487
Dados usuais e não usuais
É designado por E e representa o valor médio dos resultados.
É obtido pela seguinte fórmula:
Valor Esperado
Aposta R$1,00 e pode perder este valor ou ganhar R$4999,00.
Aposta em um número de quatro dígitos.
Loteria
Evento
x
P(x)
x.P(x)
Perder
-1
0,9999
-0,9999
Ganhar
4999
0,0001
0,4999
Valor
Esperado
-0,50
Aposta R$2,00 e pode perder este valor ou ganhar R$50000000,00.
Loteria
Evento
x
P(x)
x.P(x)
Perder
-2
0,99999998
-1,99999996
Ganhar
50000000
0,00000002
1,0
Valor
Esperado
-0,99999996
Os resultados pertencem a duas categorias relevantes: cara/coroa; sobreviveu/morreu
Condições:
Número finito de tentativas
Tentativas independentes
Todos os resultados classificados em duas categorias
Probabilidade de sucesso é constante
Distribuição Binomial
n=número de tentativas
x=sucessos em n tentativas
p=probabilidade de sucesso
q=probabilidade de fracasso (q = 1-p)
P(x)=probabilidade de exatamente x sucessos
Distribuição Binomial
Qual a chance de se obter exatamente 5 caras em 10 lançamentos de moedas? E de apenas uma cara?
Distribuição Binomial
Distribuição Binomial
Se considerar amostragem sem reposição a segunda condição não será satisfeita
Os eventos não serão independentes
Pode-se considerar independente desde que n ≤ 0,05N
N é o número da população
n é o número da amostra
Distribuição Binomial
Todos os requisitos da distribuição binomial são satisfeitos com exceção do número de tentativas não ser fixo
A probabilidade de se obter sucesso na x-ésima tentativa é:
Distribuição Geométrica
Qual a probabilidade de ocorrer um defeito na décima peça fabricada por uma certa empresa? (sabe-se que a probabilidade de ocorrer um defeito é de 1%.
Distribuição Geométrica
Se extrairmos uma amostra sem reposição de uma população pequena a distribuição binomial não deve ser utilizada.
Se a população tem A objetos de um tipo e B de outro tipo e n objetos são selecionados a probabilidade de se obter x objetos do tipo A e n-x objetos do tipo B é:
Distribuição Hipergeométrica
Loteria – de 54 número são escolhidos 6
	Qual a probabilidade de se obter exatamente 3 dos números sorteados.
	
A = 6 sorteados
B = 48 não sorteados
n = 6 escolhidos
x = 3 sorteados dos escolhidos
Distribuição Hipergeométrica
Distribuição Hipergeométrica
Envolve mais de duas categorias
Em n tentativas, sendo P(A)=p1,P(B)=p2 e P(C)=p3, qual a probabilidade de x1 resultados do tipo A, x2 resultados do tipo B e x3 resultados do tipo C é:
Distribuição Multinomial
Experiência genética
Seis genótipos igualmente prováveis (A,B,C,D,E,F)
Probabilidade de, em 20 descendentes, 5 com genótipo A, 4 com B, 3 com C, 2 com D, 3 com E e 3 com F
Distribuição Multinomial
Média, Variância e Desvio padrão
Distribuição Binomial
Distribuição de probabilidade discreta que se aplica a ocorrência de eventos ao longo de intervalos específicos.
A probabilidade de ocorrência do evento x vezes no intervalo é dada por:
Distribuição de Poisson
Requisitos
A variável aleatória x é o número de ocorrência de um evento ao longo de um intervalo
As ocorrência devem ser aleatórias
As ocorrências devem ser independentes umas das outras
As ocorrências devem ser distribuídas uniformemente sobre o intervalo em uso
Distribuição de Poisson
Sul da cidade de Londres
535 bombas
Dividiu a região em 576 regiões de 0,25 km2
Selecionado-se aleatoriamente, qual a probabilidade de uma região ter sido bombardeada duas vezes?
Distribuição de Poisson
Aplica-se Poisson pois lida-se com ocorrências em um intervalo (área)
Distribuição de Poisson
Distribuição de Poisson
Desvio padrão
Poisson X Binomial
Poisson depende apenas de média μ enquanto que a binomial depende do tamanho n da amostra e da probabilidade p.
Valores possíveis da variável aleatória x na binomial são limitados a n, na distribuição de Poisson não há limite superior
Distribuição de Poisson
Requisitos
n ≥ 100
np ≤ 10
Com as duas condições acima satisfeitas, utiliza-se para a média
Poisson como aproximação para a Distribuição Binomial
Qual a probabilidade de ganhar exatamente uma vez na mega sena jogando uma vez por dia, durante o ano inteiro?
n = 365
p = 0,00000002
Pode ser aproximada?
n ≥ 100 (verificado)
np ≤ 10 (verificado)
Poisson como aproximação para a Distribuição Binomial
Portanto:
Pela fórmula da Distribuição Binomial
P(1) = 7.299946856192581.10-6
Poisson como aproximação para a Distribuição Binomial
Seus valores se espalham uniformemente sobre a faixa de valores possíveis.
O gráfico tem a forma retangular
Distribuição Uniforme
Características
Área total sob a curva deve ser 1
Cada ponto na curva tem uma altura vertical maior ou igual a zero (não existem pontos abaixo da curva)
Há correspondência entre a área sob a curva e a probabilidade
Distribuição Uniforme
Distribuição Normal
Características da distribuição normal padrão
Tem forma de Sino
Tem Simetria
μ =0
σ = 1
Distribuição Normal
Tabelas
Referem-se à distribuição normal padrão (média zero e desvio padrão um)
Cada valor é a área acumulada a partir da esquerda até um ponto específico de escore z
Probabilidades para valores dados de Escore z
Termômetro medindo ponto de congelamento da água
Média 0⁰C
Desvio padrão 1⁰C
Qual a probabilidade de que a temperatura seja menor que 1,58 ⁰C ?
Probabilidades para valores dados de Escore z
Probabilidades para valores dados de Escore z
Processo inverso: determinar o escore z a partir de uma probabilidade dada
Para o exemplo anterior, determinar a temperatura correspondente ao P95. Determine a temperatura que separa os 95% inferiores dos 5% superiores.
Probabilidades para valores dados de Escore z
Probabilidades para valores dados de Escore z