Prof. Rafael Faria - Probabilidade e Estatística - Aula 05

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Probabilidade e Estatística
MAT013
Professor: Rafael Faria
Distribuição de Probabilidades
Distribuição Uniforme
Distribuição Normal
Distribuições amostrais
Teorema Central do Limite
Aproximação Binomial para Normal
Sumário
Distribuição Uniforme
Características da distribuição normal padrão
Tem forma de Sino
Tem Simetria
μ =0
σ = 1
Distribuição Normal Padrão
Distribuição Normal Padrão
Tabelas
Referem-se à distribuição normal padrão (média zero e desvio padrão um)
Cada valor é a área acumulada a partir da esquerda até um ponto específico de escore z
Probabilidades para valores dados de Escore z
Tabela – Distribuição Normal Padrão
Termômetro medindo ponto de congelamento da água
Média 0⁰C
Desvio padrão 1⁰C
Qual a probabilidade de que a temperatura seja menor que 1,58 ⁰C ?
Probabilidades para valores dados de Escore z
Probabilidades para valores dados de Escore z
Processo inverso: determinar o escore z a partir de uma probabilidade dada
Para o exemplo anterior, determinar a temperatura correspondente ao P95. Determine a temperatura que separa os 95% inferiores dos 5% superiores.
Probabilidades para valores dados de Escore z
Probabilidades para valores dados de Escore z
Interpolação
Fórmula para interpolação linear
A
B
máxA
máx|B
valor
X
mínA
mínB
Muitas distribuições normais não são padronizadas, ou seja, média e desvio padrão não são 0 e 1 respectivamente.
Não utilizamos estes valores
Padronização da distribuição
Distribuição Normal
Peso do brasileiro (homem) obedece a uma distribuição normal
Média = 80 kg
Desvio padrão = 15 kg
Selecionando-se um homem aleatoriamente, qual a probabilidade de que seu peso seja menor do que 95 kg?
Exemplo 1
Padronizar a distribuição
Achar o valor padronizado
Utilizar a tabela
Determinar a probabilidade
Exemplo 1
Exemplo 1
Qual é o peso limite para que apenas 5% dos homens estejam acima dele?
É o processo inverso
Estabelece o valor do escore z
Transforma o escore z no valor de pesos
Exemplo 2
Exemplo 2
É a distribuição de todos os valores da estatística quando todas as amostras possíveis de mesmo tamanho n são extraídas da mesma população
Distribuição Amostral
Distribuição das proporções amostrais com todas as amostras com mesmo tamanho e tiradas de uma mesma população
Exemplo
Nascimentos de duas crianças.
Análise do resultado para crianças do sexo feminino
Distribuição Amostral das Proporções
Distribuição Amostral das Proporções
Nº de meninas
Probabilidade
0
0,25
1
0,50
2
0,25
Proporção
Probabilidade
0
0,25
0,5
0,50
1
0,25
100 senadores
17 mulheres
83 homens
100 amostras de 10 elementos
10000 amostras de 50 elementos
A média das proporções tende a se igualar à média da população
Aproxima-se de uma distribuição normal
Exemplo
Distribuição de probabilidade das médias amostrais com todas as amostras tendo o mesmo tamanho n e tiradas da mesma população
Distribuição Amostral da Média
População 1,2,5
Amostras de 2 elementos com reposição
Distribuição Amostral da Média
Amostra
Média
Probabilidade
1,1
1
1/9
1,2
1,5
1/9
1,5
3
1/9
2,1
1,5
1/9
2,2
2
1/9
2,5
3,5
1/9
5,1
3
1/9
5,2
3,5
1/9
5,5
5
1/9
A média das médias amostrais é igual a média da população
À medida que o número de amostras aumenta a distribuição das médias tende a se tornar uma distribuição normal.
Distribuição Amostral da Média
O valor de uma estatística pode variar de amostra para amostra pois depende dos valores particulares incluídos na amostra.
A esta variabilidade dá-se o nome de Variabilidade Amostral
Variabilidade Amostral
Estimação de parâmetros populacionais e teste de hipótese
Condições
n>30 – distribuição das médias pode ser aproximada para uma distribuição normal
n≤30 – a população original tem distribuição normal, então as médias tem uma distribuição normal 
Teorema Central do Limite
A distribuição das médias amostrais irá se aproximar de uma distribuição normal à medida que n aumenta
A média de todas as médias amostrais é a média da população
Teorema Central do Limite
A média das médias amostrais e o desvio padrão das médias amostrais são:
Notação
Números aleatórios telefone
Distribuição uniforme
Quando analisamos as médias
Distribuição normal
Exemplo
Dados com distribuição Exponencial com média 1
Exemplo
Peso do brasileiro (homem) obedece a uma distribuição normal
Média = 80 kg
Desvio padrão = 15 kg
Qual a probabilidade de que 8 homens selecionados aleatoriamente tenham peso superior a 95 kg
Limite de peso de um elevador
Aplicação
Estamos lidando com a média da amostra de 8 homens
Determina-se a média e o desvio padrão da distribuição das médias amostrais
Determina-se o escore z com os dados da distribuição de médias amostrais
Determina-se a probabilidade
Aplicação
Sob dada hipóteses a probabilidade de um evento particular é excepcionalmente pequena
Exemplo
Temperaturas corporais
Média = 37ºC
Desvio = 0,4 ºC
Qual a probabilidade de que, numa amostra de 106 pessoas, a média de temperaturas seja de 36,6 ºC ou menos?
Evento Raro
Determina-se
Média das amostras
Desvio padrão amostral
Escore z
Análise deste resultado
Evento Raro
Para aplicar o teorema, supõe-se que a população seja muito grande
Amostragem com reposição
Necessário fazer um ajuste do desvio padrão para populações finitas (e sem reposição e n > 0,05N)
Correção para populações finitas
Fator de correção:
Correção para populações finitas
Condições
np ≥ 5 e nq ≥ 5
Procedimento
Achar valores de média e desvio padrão
Mudar o valor discreto x para o intervalo contínuo de x+0,5 a x-0,5 (correção de continuidade)
Estabelecer o escore
Estabelecer a probabilidade
Aproximação de Normal para Binomial
Avião com 213 lugares
Probabilidade de haver pelo menos 122 homens
(Binomial não é pratica neste caso)
P de homem ou de mulher = 0,5
Condições para a aproximação
np ≥ 5 (verifcado)
nq ≥ 5 (verificado)
Estabelecer valores de média e desvio padrão
Aproximação de Normal para Binomial
Ajuste de continuidade
x = 122 será a faixa entre 121,5 e 122,5
(vamos adotar o valor de x=121,5 pois desejamos saber a área que representa o valor 122)
Determinação do escore
Aproximação de Normal para Binomial
Para z = 2,06 tem-se uma área correspondente de 0,9803
Como desejamos saber a probabilidade de pelo menos 122 homens, fazemos 1-0,9803
Resultado = 0,0197
Aproximação de Normal para Binomial