Lista_01_Metodosclimatios

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Disciplina: Métodos Estatísticos em Climatologia 
 
 
Primeira lista de exercício 
 
1) Defina: 
a) intervalo de classe - é o valor compreendido entre o limite superior e o limite inferior de uma 
classe. Para um mesmo conjunto amostral o valor do intervalo é o mesmo para todas as classes. 
b) amplitude total - é uma medida dada pela diferença de um conjunto de valores entre o maior 
e o menor valor observado. 
c) histograma de frequência - é o gráfico “tipo colunas” (vertical) em que no eixo das abscissas 
se encontram as classes e no eixo das ordenadas a frequência observada para cada classe. 
d) polígono de frequência e ogiva – o polígono de frequência é a distribuição de frequência 
plotada em um gráfico “tipo colunas”, onde os pontos médios de cada classe são unidos, 
formando-se um polígono. A ogivas é um polígono de frequências acumuladas, pode ser traçada 
ligando-se os limites inferiores ou superiores das classes, sendo chamada de ogiva “acima” 
(decrescente) ou “abaixo” (crescente). 
e) média, moda e mediana – a média é dada pela soma de todos os valores amostrais 
multiplicados por sua frequência e dividido pelo número de observações. 
TIPOS DE MÉDIA: Média aritmética simples de um conjunto de números é igual ao 
quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total de valores. 
n
xi
x
n
i

== 1 onde: =x média aritmética dos conjuntos de dados 
 xi= valor genérico do conjunto dados 
 n=tamanho da amostra do conjunto de dados 
 
Média aritmética ponderada é quando a média aritmética deu um conjunto de dados é feita com 
pesos diferentes. A média aritmética ponderada é obtida através do quociente entre o produto dos 
valores da variável pelos respectivos pesos e a soma dos pesos. 
Média geométrica de n valores é definida, genericamente, como a raiz enésima do produto de 
todos eles. A média geométrica pode ser simples ou ponderada 
A média geométrica simples é dada por: 
 
n
ng xxxx ...21 = =gx média aritmética dos conjuntos de dados 
 x1 e x2...xn = valores genéricos do conjunto dados 
 n = tamanho da amostra do conjunto de dados 
A média geométrica ponderada é dada por: 
n fk
k
ff
g xxxx ...
2
2
1
1 = 
Onde 
=
=
k
j
jn fx
1
= número total de observações. 
 f1, f2...fk = são os respectivos pesos para cada valor de x. 
 
Média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos. A média harmônica simples é 
dada por: 
n
xi
x
n
i
h

== 1
1
1
 
A média harmônica ponderada é dada por: 
i
k
j j
h
f
x
n
x

=
=
1
1
 
Média quadrática é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados. 
A média quadrática Simples é dada por: 
 
n
x
x
n
i
i
q

== 1
2
 
Média quadrática ponderada é dada por: 
n
fx
x
k
j
jj
q

=
=
1
2
 
Outras médias menos usadas em estatísticas são a média cúbica e a média biquadrática. 
A média cúbica simples é dada por: 
3
1
3
n
x
x
n
i
i
c

== 
A média cúbica ponderada é dada por: 
3 1
3
n
fx
x
k
j
jj
c

=
= 
A média biquadrática simples é dada por: 
4
1
4
n
x
x
n
i
i
bq

== 
A média biquadrática ponderada é dada por: 
4 1
4
n
fx
x
k
j
jj
bq

=
= 
 
A moda é o valor mais frequente da distribuição entre os valores observados. E a mediana é o 
valor que divide a amostra em duas partes iguais. 
f) variância e desvio-padrão – variância é uma medida da sua dispersão estatística, indicando 
quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado. O desvio-padrão é o quanto 
os dados desviam (para mais ou para menos) do valor da média. 
g) quartil, decil e percentil – O quartil é uma medida que divide o conjunto amostral em que 
quatro partes. O decil é uma medida que divide o conjunto de valores observados em 10 partes 
iguais. E o percentil é uma medida que divide o conjunto de valores observados em 100 partes. 
h) coeficientes de assimetria, curtose e variação. Fale da utilidade de cada um desses 
coeficientes – O coeficiente de assimetria verifica a distribuição dos valores menores e maiores 
que a média. Indica o quanto uma distribuição de frequência é enviesada, deformada ou 
assimétrica. Já o coeficiente de curtose ele mede o grau de afundamento ou de achatamento de 
uma curva simétrica (ou aproximadamente simétrica) em relação à curva normal. E o coeficiente 
de variação quantifica a dispersão dos dados em torno da média, ou seja, o quanto os dados são 
homogêneos. 
i) variável reduzida e variável aleatória - variável reduzida é a variável obtida a partir dos 
limites superiores da classe e seu desvio da média dividido pelo desvio padrão. A variável 
aleatória é uma variável cujo valor não é conhecido até que seja observado. O valor não pode ser 
previsto acumuladamente. A variável aleatória pode ser discreta ou contínua. 
http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Dispers%C3%A3o_estat%C3%ADstica&action=edit&redlink=1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Valor_esperado
j) estatística e análise estatística – a estatística é uma área da ciência que oferece uma coleção 
de métodos para planejar experimentos e levantamentos para obter dados, organizar, resumir, 
analisar, interpretar dados e deles extrair conclusões. A análise estatística vem a consistir no 
processo de observação dos dados organizados e coerentes conclusões e predições. 
l) anomalias de temperaturas da superfície do mar - as anomalias na temperatura da superfície 
do mar (TSM) se baseiam na variação desses valores em relação à média ao longo do tempo. 
Valores positivos ou negativos dessas anomalias significam variação acima ou abaixo da média, 
respectivamente. 
m) função distribuição de probabilidade - seja X uma variável aleatória discreta, portanto, o 
contradomínio de X será formado por um número finito ou enumerável de valores X1, X2,... A 
cada possível resultado X, associaremos um número p(xi) = P (X = xi), i = 1, 2, 3…, denominado 
probabilidade de xi. 
n) estatística descritiva e inferencial - estatística descritiva é a parte da estatística que coleta, 
realiza análise crítica, organiza e representa os dados. A estatística inferencial são os métodos que 
tornam possível o conhecimento de parâmetros populacionais com base em dados amostrais. 
o) tipos de curvas de frequências quanto à simetria e curtose - 
SIMÉTRICA - quando Moxx == ~ , ou seja, os dados são distribuídos uniformemente em torno 
da média. 
 
 
Assimétrica positiva – quando a média está deslocada à direita da moda. xxMo  ~ . 
 
Assimétrica negativa – quando a média está deslocada à esquerda da moda. Moxx  ~ . 
 
CURTOSE – mede o quanto pontiagudo ou achatado é o histograma. 
Mesocúrtica – quando os dados estão distribuídos uniformemente em torno do valor médio. 
 
Leptocúrtica – quando há uma grande concentração de dados próximo à média. 
 
 
 
Platicúrtica – quando os dados diferem bastante do valor médio. 
 
Curva em forma de J, ou em J invertido, o ponto de ordenada máxima ocorre em uma das 
extremidades. 
 
 
Uma curva de frequência em forma de U tem ordenadas máximas em ambas as extremidades. 
 
 
Uma curva de frequência bimodal tem dois máximos. 
 
 
Uma curva de frequência multimodal tem mais de dois máximos. 
 
 
p) teorema do limite central e função geratriz de momento - Teorema do limite central se as 
variáveis aleatórias x1, x2,....,xn formam uma amostra aleatória de tamanho n de uma certa 
distribuição com a média  e variância 2 onde (0 < 2 < ), então para qualquer número fixado 
x. 
 N lim  p x -   x =  (x) 
 /n 
 
A função geratriz de momento tende a considerar uma variável aleatória X, e para cada número 
real t, seja Mx (t) a função. 
Mx (t) = E (e
tx) 
q) a função da variável reduzida Z na fdp de Gauss- a curva da distribuição normal é definida 
pela seguinte função de densidade: 
2
2
1
22
1
)(





 −
−
= 


x
exf 
 
A função depende de dois parâmetros: média μ, e desvio padrão σ, que caracterizam cada uma 
das curvas em particular. Além da simetria, outra característica fundamental da lei de distribuição 
normal é uma propriedade que estabelece que a probabilidade dos indivíduos abaixo da média é 
igual à probabilidade dos indivíduos acima da média. Tratando-se de uma distribuição contínua 
teoricamente a probabilidade de um ponto é nula, sendo esta função de distribuição utilizada para 
estabelecer as probabilidades de a variável aleatória acontecer em intervalos, e não em pontos 
isolados. 
 
 
2) Mostre que a moda é dada por: 
 
Onde: 
Li – limite inferior da classe modal; 
1 – excesso da frequência modal sobre a da classe imediatamente inferior; 
2 – excesso da frequência modal sobre a da classe imediatamente superior; 
C – amplitude de intervalo da classe modal. 
 
 
 
 
 
 
 
cLMo .
21
1
1 







+

+=
 
 
 
 
 
 
 
 
A moda é definida como a abscissa x do ponto de 
intersecção P das linhas QS e RT. 
Sejam X=L1 e X=U1, os limites inferior e 
superior da classe modal e 1 e 2, respectivamente, 
os excessos da frequência da classe modal sobre os 
das classes a sua direita e a sua esquerda. 
 
Nos triângulos semelhantes PQR e PST tem-se EP 
= PF ou x – L1 = U1 – x 
 RQ ST 1 2 
Então: 
2(x-L1) = 1(U1-x) 2x - 2L1 = 1U1 - 1x  
 2x + 1x = 1U1 + 2L1 x (2 + 1) = 1U1 + 2L1 ou x = 1U1 + 2L1 
 2 + 1 
 
Como U1 = L1 + C, em que C é a amplitude do intervalo de classe, a expressão torna-se: 
 
x = 1 (L1 + C) + 2L1 = 1L1 + 1C + 2L1 
 2 + 1 2 + 1 
 
x = (1 + 2)L1+ 1C = (1 + 2)L1 + 1C 
 2 + 1 2 + 1 2 + 1 
 
x = L1 + 1 C 
 2 + 1 
 
A figura ao lado representa a análise gráfica do problema: 
Representação de três retângulos do histograma de uma distribuição de frequência e que o 
retângulo central corresponde à classe modal. Para essa demonstração de moda supõe-se que os 
intervalos têm a mesma amplitude. Esse resultado significa que ao se construir uma parábola que 
passa pelos três pontos médios dos retângulos da figura 11, sua abscissa será a moda. 
 
3) Dada uma amostra qualquer, como obter a primeira informação de que ela se ajusta a 
uma particular f.d.p? 
A primeira informação para o ajuste dos dados observados a uma determinada f.d.p. ocorre na 
observação de polígonos de frequência, cuja curva se adequaria a uma distribuição normal, log-
normal, Gumbell, Gama, etc. 
4) Diga, com suas próprias palavras, o que você entende por “normal climatológica”. 
A normal climatológica consiste nas médias de valores coletados de período no mínimo durante 
30 anos, de diversos parâmetros como: precipitação, temperatura, umidade relativa, pressão, etc., 
servindo de referência para previsão do tempo. 
5) Ajuste os dados da Tabela 1 em anexo a uma particular Função Distribuição de 
Probabilidade e critique o ajuste utilizando os testes Qui-quadrado e Kolmogorov—
Smirnov. 
Tabela 1 Temperaturas mínimas médias mensais (C) em Campina Grande 
CLASSES fi 
Xi Fr Fra = F(x) 
Lim. 
Sup. fi*Xi 
fi*(Xi-
média)^2 Zi P (X<=Zi) 
P 
(X<=Zi,x+1) Ei = n*pi Dmáx 
1 13,46 15 48 14,31 0,1315 0,1315 15,15 686,64 279,2105 -1,7049 0,0495 0,0495 18,0675 0,08201 
2 15,15 17 129 15,99 0,3534 0,4849 16,83 2062,71 68,1468 -0,5138 0,3264 0,2769 101,0685 0,15853 
3 16,83 19 170 17,67 0,4658 0,9507 18,51 3003,9 154,4532 0,6738 0,7673 0,4904 178,996 0,18338 
4 18,51 20 18 19,36 0,0493 1,0000 20,2 348,39 125,2797 1,8650 0,9726 0,4822 176,003 0,0274 
TOTAL 365 67,32 6101,64 627,0903 
OBS1. Calcule média, moda, mediana, desvio-padrão, 1º e 3º quintil, coeficientes de assimetria, 
curtose e variação e critique seus valores. Obs2. Faça os gráficos necessários. 
 
 
 
 
 
 
Média (Me) 16,7168 C. Assim. 1,5414 
Desvio padrão 1,3107 Percentil 10 14,811 
Moda (Mo) 17,67 Percentil 90 18,850 
Mediana (Md) 15,99 Quartil 1 15,569 
Coef. Var. 0,0784 Quartil 3 18,091 
1º Quintil 91,25 está entre 15,15-16,83 Coef. De Curtose 0,312 
3ºQuintil 273,75 está entre 16,83-18,51 
 
 
 
 
Mas, a distribuição do coeficiente de assimetria, é considerado como moderado negativo, desta 
forma, o coeficiente de curtose pode ser tido como platicúrtica. Considerando-se alfa = 0,05 para 
o teste K.S. 
6) Qual o significado da média e da variância amostral do total anual precipitado em uma 
dada localidade? 
A média amostral é uma medida de tendência central em torno da qual os valores estão 
distribuídos, é o valor que representa um conjunto de dados. A variância amostral vem a indicar a 
variabilidade dos dados em torno da média, é a distância dos pontos ao valor médio. 
7) Qual a utilidade dos coeficientes de assimetria, curtose e variação de uma amostra? 
A sua utilidade é verificar as distorções do polígono de frequência em relação à curva de Gauss e 
consequentes a ajustamentos para utilização da distribuição normal como referência. 
8) Considere uma variável X com N ≈ (15, 25): 
N {15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25} = 11 
Média = 15| Variância = 25| Desvio Padrão = 5 
a) Qual a probabilidade de que X assuma valores 16  X  20? 
μ = 15; σ = 5 
%2,26262,05793,08413,0]12,0[
]12,0[]2016[
1
2,0
5
1520
5
1516
==−=
=
=
=
−

−
−
=
ZP
ZPxP
b
a
Z
x
Z
ba
i
i



 
b) Qual a probabilidade de que X assuma valores X  22? 
X  22= {15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22} 
)(
)22(
)22(
Nn
Xn
XP

= 
Onde: P (X  22): probabilidade que X assuma valores menores que 22 
 n (X  22): número de elementos de X  22 = 8 
 n (N): número de elementos do espaço amostral = 11 
 
Então: 
72,0
11
8
)(
)22(
)22( ==

=
Nn
Xn
XP 
Resposta: a probabilidade de que X assuma os valores entre X  22 é de 0,72 ou de 72%. 
9) Mostre que a variável reduzida Z é uma função linear? 
;/ 

xx
Z
xx
Z
i
i
i
i
−=
−
=
 

x
= constante = b ; 

1
= constante = a 
baxZ ii −= 
10) Qual é a utilidade de uma FDP em estudos de climatologia? 
A FDP é um modelo matemático (baseado em parâmetros calculados a partir de uma amostra 
representativa de uma determinada variável). Desta forma é útil em descrever, de forma concisa, 
o comportamento desta variável meteorológica/climatológica podendo assim, ser usado (o 
modelo) para interpolar e/ou extrapolar dados não contidos na amostra de observações. 
11) Dada a função ( )
xef x e
−−= , com imagem igual a 0,1, calcule x 
Aplicando a propriedade ln b = n ↔ en = b. 
f (x) = 0,1 
0,1 = 
Ln 0,1 = - e-x multiplica x (-1) 
(-ln 0,1) = e-x 
Ln (-ln 0,1) = -x 
Ln (-(-2,3026) = -x 
2,3026 = -x (-1) 
- 2,3026 = x 
Assim o valor de x com imagem igual a 0,1 é -2,3026. 
12) Faça a distinção entre amostra e população de dados? 
Reconhece-se por amostra um subconjunto da população, que é obtido usando a amostragem. E 
população é um conjunto que reúne todas as possibilidades de resultado. 
13) Considerando que uma variável X é dependente de outras duas Y e W, que função 
densidade de probabilidade é aconselhada para ajustar X em função de Y e W? 
Se x e y são duas variáveis aleatórias, a distribuição de probabilidades de casos simultâneos pode 
ser representada pela função com valores f (x, y) para qualquer par de valores (x, y). Costuma-se 
referir a esta função como Distribuição de Probabilidade Conjunta de x e y. No caso do exercício, 
a funçãoque melhor ajusta X em função de outras duas variáveis é a função de probabilidade 
conjunta. Para o caso discreto: F (x, y) – P (X = x, Y = y) = f.m.p. ou seja, os valores f (x, y) dão 
a probabilidade dos resultados x e y ocorrerem ao mesmo tempo. 
14) O que você entende por função densidade de probabilidade? Qual a relação dela com a 
frequência relativa percentual? 
Entende-se que função densidade de probabilidade é uma função matemática f (x), com uma 
equação que a caracteriza e um gráfico que a representa, cujos, integrando entre dois limites, 
fornece a área abaixo da curva e entre esses limites, área essa que tem o mesmo valor de a 
probabilidade aleatória estar entre aqueles limites. A relação existente entre um f.d.p. e a 
frequência relativa percentual é que a primeira se refere a populações e a segunda refere-se a 
amostras delas extraídas dadas em percentagem. 
A frequência relativa em percentual, denotada por fi % e definida como: 
fi % = (Fi /n) *100, representando o percentual de observações que pertencem aquela categoria. 
A soma das frequências deve, agora, ser igual a 100%. 
15) O que você entende por função acumulada de probabilidade? Qual a relação dela com a 
frequência acumulada percentual? 
A função acumulada de probabilidade é a integral da função densidade de probabilidade até x, ao 
se derivar a função de distribuição acumulada determina-se a função densidade de probabilidade. 
A relação entre a função acumulada de probabilidade e a frequência acumulada percentual é a 
questão da acumulação das probabilidades, sendo que a segunda fornece informações 
percentuais. 
16) Com base nos dados da Tabela 1 construa a distribuição de frequência com intervalos 
de classes iguais a 0,5, 1,0 e 2,0. Faça o histograma e comente os resultados obtidos. 
Tabela 1 – Estimativa de concentração do Ozônio (parte por centenas de milhões) no centro 
de Los Angeles – EUA 
3,5 1,4 6,6 6,0 4,2 4,4 5,3 5,6 
6,8 2,5 5,4 4,4 5,4 4,7 3,5 4,0 
2,4 3,0 5,6 4,7 6,5 3,0 4,1 3,4 
6,8 1,7 5,3 4,7 7,4 6,0 6,7 11,7 
5,5 1,1 5,1 5,6 5,5 1,4 3,9 6,6 
6,2 7,5 6,2 6,0 5,8 2,8 6,1 4,1 
5,7 5,8 3,1 5,8 1,6 2,5 8,1 6,6 
9,4 3,4 5,8 7,6 1,4 3,7 2,0 3,7 
6,8 3,1 4,7 3,8 5,9 3,3 6,2 7,6 
6,6 4,4 5,7 4,5 3,7 9,4 
Para intervalos: 
0,5 
Nº classe Classes Xi Fi 
1 1,0 - 1,5 1,25 4 
2 1,5 – 2,0 1,75 3 
3 2,0 - 2,5 2,25 3 
4 2,5 – 3,0 2,75 3 
5 3,3 – 3,5 3,25 7 
6 3,5 – 4,0 3,75 6 
7 4,0 - 4,5 4,25 7 
8 4,5 – 5,0 4,75 4 
9 5,0 - 5,5 5,25 7 
10 5,5 – 6,0 5,75 13 
11 6,0 - 6,5 6,25 5 
12 6,5 – 7,0 6,75 8 
13 7,0 - 7,5 7,25 2 
14 7,5 – 8,0 7,75 2 
15 8,0 – 8,5 8,25 1 
16 8,5 – 9,0 8,75 0 
17 9,0 – 9,5 9,25 2 
18 9,5 – 10,0 9,75 0 
19 10,0 – 10,5 10,25 0 
20 10,5 – 11,0 10,75 0 
21 11,0 – 11,5 11,25 0 
22 11,5 – 1,0 11,75 1 
 
1,0 
Nº classe Classes Xi Fi 
1 1 - 2,0 1,5 7 
2 2,0 -3,0 2,5 6 
3 2,0 -3,0 3,5 13 
4 3,0 -4,0 4,5 11 
5 4,0 -5,0 5,5 20 
6 5,0 -6,0 6,5 13 
7 6,0 - 7,0 7,5 4 
8 7,0 -8,0 8,5 1 
9 8,0 - 9,0 9,5 2 
10 9,0 - 10,0 10,5 0 
11 10,0 - 11,0 11,5 1 
 
2,0 
Nº classe Classes Xi Fi 
1 1 - 3,0 2 13 
2 3,0 - 5,0 4 24 
3 5,0 -7,0 6 33 
4 7,0 - 9,0 8 5 
5 9,0 - 11,0 10 2 
6 11,0 - 13,0 12 1 
 
Os histogramas mostram a importância de uma equação para se definir o intervalo entre as 
classes, haja vista que um conjunto de dados pode ser manuseado para se adequar à determinada 
fdp. Como se pode ver com discretizarão igual a 0,5 os dados não apresentariam, à primeira vista, 
ajuste a nenhuma fdp, caso que também persiste quando os dados são discretizados com valor 
igual a 1,0, porém quando os dados são distribuídos em classes com intervalo igual a 2,0 os dados 
mostram uma leve adequação a funções assimétricas positivas, como a Gumbel, Gamma ou Log-
Normal. 
17) Um posto pluviométrico operando há três anos registraram 17 dias com chuvas, em 
junho. As vezes em que essas chuvas ocorreram nas faixas de 2,0 a 10,0 mm, de 12 a 15 mm 
e de 17 a 22 mm foram 5, 5 e 7 respectivamente. Com base nas informações acima 
responda: 
µ = 13,76mm ; ơ = 5,59mm 
a) Qual a probabilidade de que ocorra um dia chuvoso no mês de junho? 
17/30 = 0,56 = 56% 
b) Quais as probabilidades de que ocorram chuvas com 8, 5; 12,3 e 22 mm? 
Para 8,5 a probabilidade é: 5/17 = 0,2941 = 29,41% 
Para 12,3 a probabilidade é: 10/17 = 0,5882 = 58,82% 
Para 22 a probabilidade é: 17/17 = 1 = 100% 
c) Supondo que a distribuição das chuvas, dos anos e mês, supracitado ajusta-se a uma N 
(0,1), estime as probabilidades de ocorrências de chuvas para os valores do item (b) 
acima. 
Para 8,5mm 
P [x = 8,5mm] = P[2 ≤ x < 10] → [(xl.s –µ) / ơ ] 
 = 0,2514 = 25,14% 
Para 12,3mm 
P [x = 12,3mm] = P[12 ≤ x < 15] → [(xl.s –µ) / ơ ] 
 = 0,5871= 58,71% 
 
Para 22mm 
P [x = 22mm] = P[17 ≤ x < 22] → [(xl.s –µ) / ơ ] 
= 0,9292= 92,92% 
d) Quais as probabilidades de que ocorrência de dias com e sem chuvas nos mês em 
questão? 
CLASSES fi fa xi Fr 
Fra= F(x) 
Empírica 
Zi 
P[x ≤Zi]= F’(x) 
Teórica 
2,0 - 10,0 5 5 6 0,2941 0,2941 -0,67 0.2514 
12 - 15 5 10 13,5 0,2941 0,5852 0,22 0,5871 
17 - 22 7 17 19,5 0,4118 1 1,47 0,9292 
TOTAL 17 
 
A probabilidade de dias sem chuva é de 13/30 = 43,33% 
A probabilidade de dias com chuva é de 17/30 = 56,66% 
 
e) Qual a probabilidade de que ocorrência de dias com chuvas inferiores a 1,7 mm? 
P [x  1,7] = 0, não há ocorrência de chuva inferior a 1,7mm. 
 
18) A precipitação anual em um posto pluviométrico durante 85 anos é distribuída da 
seguinte forma: inferior a 150 mm, 6 vezes; entre 150 e 249 mm, 14 vezes; entre 250 e 349 
mm, 20 vezes e superior a 450 mm, 10 vezes. Pergunta-se: 
CLASSES fi fa xi 
0 - 150 6 6 75 
150 - 249 14 20 199,5 
250 - 349 20 40 299,5 
Acima 450 10 50 225 
TOTAL 50 
 
a) Qual a probabilidade mais verossímil de que ocorra chuva superior a 450 mm no futuro? 
%2020,0
50
10
]450[ ===prpP 
b) Qual a probabilidade de ocorrer três anos com chuva superiores a 450 mm? 
%6060,03*
50
10
]450__3[ ===prpanosP 
c) Qual a probabilidade de que ocorra chuva inferior a 249 mm no futuro? 
%404,0
50
20
]249[ ===prpP 
d) Qual a probabilidade de que ocorra chuva inferior a 150 mm no futuro? 
%1212,0
50
6
]150[ ===prpP 
19) Os parâmetros da distribuição Normal são 
2 e . Considerando que são definidos nos 
intervalos −  e  20  , diga o que acontece com a fdp quando esses 
parâmetros assumem os valores extremos desses intervalos. 
Quando  →   e 2 → , a função tende para 0 (zero). 
Quando 2 → 0, a função tende para . 
20) Defina probabilidade condicional, espaço amostral e explique como ele é representado. 
 
A probabilidade condicional é se E1 e E2 são dois eventos, a probabilidade de E2 ocorrer, depois 
de E1 ter acontecido, é definida por Pr {E2 E1} Pr {E2 E1} ou Pr {E2 dado E1}. 
O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento (que pode ser 
de uma, duas, três ou mais dimensões). 
21) Defina variável aleatória discreta, variável aleatória contínua e eventos independentes. 
Temos como variável aleatória discreta aquela que se tomam valores que podem ser contados. A 
variável aleatória contínua é aquela considerada quando pode tomar qualquer valor de 
determinado intervalo. E eventos independentes é se a ocorrência ou não de um evento E1 não 
afetar a probabilidade de ocorrência de um evento E2, então Pr {E2 E1} = Pr {E2} e diz que E1 e 
E2 são eventos independentes. 
22) Supondo que duas variáveis aleatórias contínuas X e Y são independentes, mostre que a 
esperança E [X,Y]=E [X].E[Y]. 
Considere que: 
E[X] =  P [X] 
E[Y] =  P [Y] 
E[X,Y] =  P [X,Y] 
Assim: 
 P[X,Y] =  P [X] .  P [X,Y]  E[X,Y] = E[X] . E [Y]