Resumo Matrizes e Sistemas Lineares

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Matrizes e Sistemas Lineares
Fabiano José dos Santos
20 de fevereiro de 2011
1 Matrizes
Muitas vezes é conveniente representar um conjunto de informações na forma de matriz: um
arranjo retangular de elementos (coeficientes) dispostos em linhas e colunas. Dizemos que uma
matriz com m linhas e n colunas possui ordem m× n (lê-se: m por n).
• As notas de um aluno, por disciplina, nos respectivos bimestres:
Matemática Português Física Química Geografia História
Primeiro 8 5 10 5 9 9
Segundo 6 7 8 4 10 7
Terceiro 5 6 3 7 9 10
Quarto 3 4 7 4 6 9
Esta matriz possui 4 linhas e 6 colunas, ordem 4× 6, logo 24 elementos.
• O custo e o preço de venda de produtos em um estoque:
Custo (R$) Preço de venda (R$)
Caderno 8,00 13,00
Lápis 0,50 1,50
Borracha 0,70 2,00
Caneta 1,20 2,50
Esta matriz possui 4 linhas e 2 colunas, ordem 4× 2, logo 8 elementos.
Usualmente denotamos as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos, ou coeficientes,
pela mesma letra em minúsculo. Assim, a notação A−m×n (lê-se: matriz A,m por n) representa
uma matriz A de ordem m× n e a notação aij representa o coeficiente de A que se encontra na
interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna.
Explicitamente, uma matriz A−m× n pode ser representada nas formas:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 ou A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 .
Abreviadamente escrevemos A = [aij ]m×n, ou A = (aij)m×n, i = 1 . . .m e j = 1 . . . n. Do
ponto de vista formal, uma matriz é uma função definida da seguinte maneira: considere os
subconjuntos de números naturais
I = 1, 2, . . . ,m e J = 1, 2, . . . , n.
1
Uma matriz real m × n é uma função f : I × J −→ R. As imagens de f são dispostas em
um arranjo retangular de m linhas e n colunas, de modo que a imagem f(i, j) se localize na
interseção da i-ésima linha com a j-ésima coluna.
Exemplo 1 Escreva explicitamente a matriz A = [aij ]2×3, em que aij = i+ j.
A matriz tem ordem 2× 3, logo possui 2 linhas e 3 colunas. Seus coeficientes são:
• a11 = 1 + 1 = 2
• a21 = 2 + 1 = 3
• a12 = 1 + 2 = 3
• a22 = 2 + 2 = 4
• a13 = 1 + 3 = 4
• a23 = 2 + 3 = 5
Assim
A =
[
2 3 4
3 4 5
]
.
Se o número de linhas é igual ao número de colunas a matriz se diz quadrada, de forma
geral:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 ou A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 .
Nas matrizes quadradas, a diagonal formada pelos coeficientes aij em que i = j é denominada
diagonal principal. Alguns tipos importantes de matrizes quadradas são:
• matriz diagonal: é qualquer matriz da forma A[aij ]− n× n, tal que aij = 0 se i 6= j. Tem
forma geral:
A =

a11 0 . . . 0
0 a22 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . ann
 .
Como veremos adiante, um tipo importante de matriz diagonal é a matriz identidade,
denotada In, em que todos os elementos diagonais valem 1. Tem a forma geral:
In =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 .
• matriz triangular inferior: é qualquer matriz da forma A[aij ] − n × n, tal que aij = 0 se
i < j. Tem forma geral:
A =

a11 0 . . . 0
a21 a22 . . . 0
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 .
2
• matriz triangular superior: é qualquer matriz da forma A[aij ] − n × n, tal que aij = 0 se
i > j. Tem forma geral:
A =

a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
0 0 . . . ann
 .
2 Operações com matrizes
Igualdade de matrizes
As matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n, de mesma ordem, são ditas iguais, se
aij = bij , ∀ i = 1 . . .m e ∀ j = 1 . . . n.
Adição de matrizes
Define-se a adição das matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n, de mesma ordem, como
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
+

b11 b12 . . . b1n
b21 b22 . . . b2n
...
...
...
...
bm1 bm2 . . . bmn
 =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n
...
...
...
...
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn ++bmn
 ,
ou, de modo abreviado,
A+B = [aij + bij ]m×n, ∀ i = 1 . . .m e ∀ j = 1 . . . n.
Observe que a adição de matrizes só é definida para matrizes de mesma ordem, que é a ordem
da matriz soma. Além disto, cada elemento da matriz soma é obtido pela adição dos elementos
correspondentes das matrizes parcelas.
Multiplicação de escalar por matriz
Define-se a multiplicação do escalar k ∈ R pela matriz A = [aij ]m×n como
k

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 =

k a11 k a12 . . . k a1n
k a21 k a22 . . . k a2n
...
...
. . .
...
k am1 k am2 . . . k amn

ou, de modo abreviado,
k A = [k aij ]m×n, ∀ i = 1 . . .m e ∀ j = 1 . . . n.
Observe que cada elemento é obtido pela multiplicação do escalar pelo elemento correspon-
dente da matriz dada e que a matriz obtida possui a mesma ordem da matriz dada.
Propriedades da adição e multiplicação por escalar
Dadas as matrizes Am×n, Bm×n e Cm×n e quaisquer escalares α, β ∈ R, as operações de
adição de matrizes e multiplicação de escalar por matriz possuem as seguintes propriedades:
(A1) Comutativa: A+B = B +A
3
(A2) Associativa na adição: A+ (B + C) = (A+B) + C
(A3) Existência da matriz nula (todos os elementos são nulos), denotada 0m×n, tal que A+0 = A
(A4) ∀A existe −A (denominada matriz oposta), tal que A+ (−A) = A−A = 0
(M1) Distributiva em relação à soma de matrizes: α(A+B) = αA+ αB
(M2) Distributiva em relação à soma de escalares: (α+ β)A = αA+ βA
(M3) Associativa na multiplicação por escalar: α(βA) = (αβ)A = αβA
(M4) 1A = A
Deixamos a cargo do leitor as provas de tais propriedades. Finalmente salientamos aqui que a
subtração de matrizes não é definida: pela Propriedade (A4), o significado de A−B é A+(−B).
3 Matriz escalonada por linhas - Escalonamento
Iniciamos com a definição de matriz escalonada por linhas.
Definição 1 Uma matriz está na forma escalonada por linhas se:
(i) o primeiro coeficiente não nulo de cada linha, chamado pivô ou coeficiente líder, está
em uma coluna à direita das colunas dos pivôs das linhas anteriores;
(ii) as linhas nulas (linhas cujos coeficientes são todos nulos), se existirem, estão abaixo das
linhas não nulas (linhas nas quais pelo menos um coeficiente é não nulo).
Exemplo 2 Considere as matrizes
A =
 1 −3 4 −20 0 0 −1
0 0 0 0
 , B =
 1 −3 40 0 0
0 0 1
 , C =

−5 2
0 −11
0 0
0 0

D =
 1 2 10 2 3
0 0 5
 , E =
 −3 4 20 −2 7
0 4 5
 , F =
 −5 2 0 −110 4 −2 −1
7 0 0 2

(a) As matrizes A, C e D estão na forma escalonada por linhas, uma vez que satisfazem
ambas propriedades.
(b) As matrizes B, E e F não estão na forma escalonada por linhas: a matriz B não satisfaz
à propriedade (ii); as matrizes E e F não satisfazem à propriedade (i).
4
Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
Para obtermos a forma escalonada de uma matriz utilizamos três operações elementares sobre
suas linhas.
(i) Operação elementar tipo 1: trocar a posição relativa entre duas linhas da matriz. A
notação
Li <=> Lj
indica a troca das posições da i-ésima com a j-ésima linhas.
(ii) Operação elementar tipo 2: multiplicar uma linha da matriz por uma constante não
nula. A notação
Li = kLi , k 6= 0
indica a multiplicação da i-ésima linha por uma constante (não nula) k.
(iii) Operação elementar tipo 3: substituir uma linha da matriz por um múltiplo de outra
linha mais a própria linha a ser substituída. A notação
Li = kLj + Li
indica a substituição da i-ésima linha pela soma de k vezesa j-ésima linha mais a i-ésima
linha.
Exemplo 3 Consideremos a matriz
 0 14 −1 13 −4 5 1
0 −3 2 1
.
(i) Aplicando a operação elementar L1 <=> L2 obtemos
 3 −4 5 10 14 −1 1
0 −3 2 1
 .
(ii) Aplicando a operação elementar L2 = 4L2 obtemos
 3 −4 5 10 1 −4 4
0 −3 2 1
 .
(iii) Aplicando a operação elementar L3 = 3L2 + L3 obtemos
 3 −4 5 10 1 −12 4
0 0 −10 13
 .
Observe que esta última matriz está na forma escalonada.
Exemplo 4 Determine a forma escalonada da matriz dada, indicando as operações elementares
utilizadas. 
1 3 −1 4
3 9 1 5
2 7 1 −1
−4 −11 7 −14

(i) Para escalonar a primeira coluna, aplicamos as operações elementares
L2 = −3L1 + L2
L3 = −2L1 + L3
L4 = 4L1 + L4

1 3 −2 4
0 0 4 −7
0 1 3 −9
0 1 3 2

5
(ii) Trocamos a posição relativa das segunda e terceira linhas, isto é, aplicamos L2 <=> L3
1 3 −2 4
0 1 3 −9
0 0 4 −7
0 1 3 2

(iii) A seguir aplicamos a operação elementar
L4 = −L2 + L4

1 3 −2 4
0 1 3 −9
0 0 4 −7
0 0 0 11

4 Equações lineares
Uma equação linear nas variáveis x1, x2, x3, . . . , xn tem a forma
a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . .+ anxn = b. (1)
As constantes a1, a2, a3, . . . , an são os coeficientes da equação e a constante b é chamada termo
independente. Observe que em uma equação linear todas as variáveis possuem expoente 1 e
não existem produtos de variáveis. Por solução de uma equação linear da forma (1) entende-se
qualquer n-upla ordenada de números que a satisfaça.
Exemplo 5 A equação 2x+ y − 5z = 3, nas variáveis x, y e z, é linear.
• Os coeficientes são 2, 1 e −5 e o termo independente é 3.
• A tripla ordenada (x, y, z) = (1, 6, 1) é solução desta equação, pois 2(1) + 6− 5(1) = 3.
• Obviamente tal equação admite infinitas soluções, uma vez que podemos escolher valores
para duas variáveis e determinarmos o valor da terceira. Por exemplo, tomando-se x = 1
e y = 2, obtemos
2(1) + 1− 5z = 3 ∴ z = 0;
logo a tripla ordenada (x, y, z) = (1, 2, 0) é uma solução da equação.
Exemplo 6 A equação 2x1 − x22 + 4x3 = 2, nas variáveis x1, x2 e x3, é não linear, uma vez que
a variável x2 é quadrática.
Exemplo 7 A equação x−4xy+7x = −4, nas variáveis x, y e z, é não linear, devido ao produto
xy que ocorre entre variáveis.
6
5 Sistemas lineares
Segundo Steve J. Leon "o problema mais importante em Matememática é resolver um sistema de
equações lineares. Mais de 75% de todos os problemas matemáticos encontrados em aplicações
científicas e industriais envolvem a resolução de um sistema linear em alguma etapa. Usando
os métodos da Matemática moderna, muitas vezes é possível reduzir um problema sofisticado em
um único sistema de equações lineares".1
Um sistema linear, com m equações e n variáveis, possui a forma
a11x1 + a12x2 . . . a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 . . . a2nxn = b2
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 . . . amnxn = bm
. (2)
As constantes a11, . . . , amn são os coeficientes do sistema e as constantes b1, b2, . . . , bm são os
termos independentes. Por solução de um sistema linear da forma (2) entende-se qualquer n-
upla ordenada de números que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Exemplo 8 Considere o sistema linear com três equações nas variáveis x, y e z
x − y + 2z = 3
x + y − z = 2
x − 2y + 2z = −1
.
(a) A tripla ordenada (x, y, z) = (1, 4, 3) é solução do sistema, pois{
1 − 4 + 2(3) = 3
1 + 4 − 3 = 2
1 − 2(4) + 2(3) = −1
.
(b) A tripla ordenada (x, y, z) = (2,−1, 0) não é solução do sistema, pois{
2 − (−1) + 2(0) = 3
2 + (−1) − 0 6= 2
2 − 2(−1) + 2(0) 6= −1
.
Se b1 = b2 = . . . = bm = 0 em (2), o sistema é dito homogêneo. Em outras palavras, um
sistema homogêneo é um sistema da forma
a11x1 + a12x2 . . . a1nxn = 0
a21x2 + a22x2 . . . a2nxn = 0
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 . . . amnxn = 0
. (3)
É importante notar que todo sistema linear homogêneo sempre admite a solução (denominada
solução trivial)
(x1, x2, . . . , xn) = (0, 0, . . . , 0).
1Steve J. Leon - Álgebra Linear com Aplicações. Editora LTC. Rio de Janeiro. 1999. Página 1.
7
Forma matricial de um sistema linear
O sistema linear dado em (2) pode ser reescrito na forma matricial da seguinte maneira:
(i) seja A−m× n a matriz dos coeficientes
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 ;
(ii) sejam x − n × 1 a matriz coluna de variáveis e b − m × 1 a matriz coluna de termos
independentes
x =

x1
x2
...
xn
 , b =

b1
b2
...
bm
 .
Podemos então escrever Ax = b, ou seja,
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm
 . (4)
A equivalência entre as equações (2) e (4) pode ser prontamente obtida efetuando-se o produto
matricial em (4) e igualando as respectivas componentes.
Matriz aumentada de um sistema linear
Uma outra maneira de se representar matricialmente um sistema linear é através de sua matriz
aumentada, oumatriz completa. É a matriz de blocos formada da seguinte forma: à esquerda
colocamos a matriz dos coeficientes e à direita a matriz (coluna) de termos independentes. Para
o sistema linear (2), sua matriz aumentada fica
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn bm
 .
Exemplo 9 Dado o sistema linear

3x + y − z + 2w = 3
− 4y + 2z = −7
−x + 2y − 4w = 0
;
(a) sua forma matricial é
 3 1 −1 20 −4 2 0
−1 2 0 4


x
y
z
w
 =
 3−7
0
 ;
(b) sua matriz aumentada é
 3 1 −1 2 30 −4 2 0 −7
−1 2 0 4 0
 .
8
Sistemas lineares equivalentes
Dois sistemas lineares são ditos equivalentes quando admitem a mesma solução.
Exemplo 10 Verifique se os sistemas lineares dados são equivalentes
−x + 3y + 2z = 14
4y + z = 14
7z = 14
e

−x + 3y + 2z = 14
x + y − 2z = −2
3x − 2y + z = −7
(a) Inicialmente observamos que a solução do primeiro sistema linear pode ser facilmente
obtida através de uma substituição retroativa:
• da terceira equação obtemos z = 2;
• substituindo o valor encontrado para z na segunda equação obtemos y = 3;
• substituindo os valores encontrados para y e z na primeira equação obtemos x = −1.
Assim a solução do primeiro sistema linear é a tripla ordenada (x, y, z) = (−1, 3, 2).
(b) A seguir verificamos que esta solução também satisfaz o segundo sistema, pois:
−(−1) + 3(3) + 2(2) = 14
−1 + (3) − 2(2) = −2
3(−1) − 2(3) + (2) = −7
.
Logo os sistemas são equivalentes.
6 Solução de um sistema linear
Podemos determinar a solução de um sistema linear utilizando o escalonamento por linhas. Tal
método, conhecido como método de eliminação de Gauss2, ou simplesmente método de Gauss,
consiste das seguintes etapas:
(i) escreva a matriz aumentada do sistema linear;
(ii) obtenha sua forma escalonada por linhas;
(iii) escreva o sistema equivalente obtido;
(iv) determine (se existir) a solução do sistema equivalente por substituição retroativa.
A idéia do método de eliminação de Gauss consiste em aplicar as operações elementares sobre
as linhas da matriz aumentada de um sistema linear até obter sua forma escalonada por linhas, a
qual representa um novo sistema linear, equivalente ao sistema linear original (logo com mesma
solução), cuja solução (se existir) pode ser facilmente obtida por substituição retroativa.
Exemplo 11 Determine a solução do sistema linear

x1 − 2x2 + x3 = 5
2x1 − 4x2 + 3x3 = 0
3x1 − 5x2 + 4x3 = 7
.
2Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777 - Göttingen 1855).
9
(a) Inicialmente escrevemos a matriz aumentada do sistema:
 1 −2 1 52 −4 3 0
3 −5 4 7
.
(b) A seguir obtemos sua forma escalonada por linhas:
L2 = −2L1 + L2
L3 = −3L1+ L3
 1 −2 1 50 0 1 −10
0 1 1 −8

L2 <=> L3
 1 −2 1 50 1 1 −8
0 0 1 −10
 .
(c) O sistema equivalente fica:

x1 − 2x2 + x3 = 5
x2 + x3 = −8
x3 = −10
.
(d) Obtemos a solução do sistema equivalente por substituição retroativa:
• da terceira equação obtemos x3 = −10;
• substituindo o valor encontrado para x3 na segunda equação obtemos x2 = 2;
• substituindo os valores encontrados para x2 e x3 na primeira equação obtemos x1 = 19.
Logo a solução do sistema equivalente é a tripla ordenada (x1, x2, x3) = (19, 2,−10).
(e) Finalmente, verificamos que esta solução também satisfaz o sistema linear dado:
19 − 2(2) + −10 = 5
2(19) − 4(2) + 3(−10) = 0
3(19) − 5(2) + 4(−10) = 7
.
7 Discussão de um Sistema Linear
Quanto à existência e ao número de soluções, um sistema linear pode ser classificado como:
• possível determinado, quando apresenta uma única solução;
• impossível, quando não apresenta solução;
• possível indeterminado, quando apresenta infinitas soluções.
Discutir um sistema linear significa classificá-lo em uma destas três possibilidades. Os exem-
plos a seguir ilustram a utilização do método de eliminação de Gauss na discussão de sistemas
lineares.
Exemplo 12 Discuta o sistema linear

x1 + 2x2 + 3x3 = 9
3x1 − x3 = 3
2x1 − x2 + x3 = 8
.
(a) Matriz aumentada
 1 2 3 93 0 −1 3
2 −1 1 8
.
10
(b) Forma escalonada da matriz aumentada (registrando as operações elementares utilizadas).
• Aplicando L2 = −3L1 + L2 e L3 = −2L1 + L3 obtemos
 1 2 3 90 −6 −10 −24
0 −5 −5 −10
.
• Aplicando L2 = −12L2 e L3 = −15L3 obtemos
 1 2 3 90 3 5 12
0 1 1 2
.
• Aplicando L2 <=> L3 obtemos
 1 2 3 90 1 1 2
0 3 5 12
.
• Aplicando L3 = −3L2 + L3 obtemos
 1 2 3 90 1 1 2
0 0 2 6
, que está na forma escalonada.
(c) Sistema equivalente

x1 + 2x2 + 3x3 = 9
x2 + x3 = 2
2x3 = 6
.
(d) Solução do sistema linear equivalente por substituição retroativa.
• da terceira equação obtemos x3 = 3;
• substituindo o valor encontrado para x3 na segunda equação obtemos x2 = −1;
• substituindo os valores encontrados para x2 e x3 na primeira equação obtemos x1 = 2.
Assim a solução do sistema equivalente é a tripla ordenada (x1, x2, x3) = (2,−1, 3). Fica
a cargo do leitor verificar que esta solução também satisfaz o sistema dado.
Exemplo 13 Discuta o sistema linear

x + 2y − z = 9
2x − y + z = 8
4x + 3y − z = 3
.
(a) Matriz aumentada
 1 2 −1 92 −1 1 8
4 3 −1 3
.
(b) Forma escalonada da matriz aumentada (registrando as operações elementares utilizadas).
• Aplicando L2 = −2L1 + L2 e L3 = −4L1 + L3 obtemos
 1 2 −1 90 −5 3 −10
0 −5 3 −33
.
• Aplicando L3 = −L2+L3 obtemos
 1 2 −1 90 −5 3 −10
0 0 0 −23
, que está na forma escalon-
ada.
(c) Sistema equivalente

x + 2y − z = 9
5y − 3z = 10
0z = −23
11
(d) Solução do sistema linear equivalente por substituição retroativa: este sistema não possui
solução, uma vez que nenhuma tripla ordenada satisfaz a última equação 0x+0y+0z = −23
(trata-se de uma equação inconsistente). Dizemos então que o sistema é impossível.
Exemplo 14 Discuta o sistema linear

x + 3y − 2z = 1
2x + 5y − 3z = 3
5x + 14y − 9z = 6
.
(a) Matriz aumentada
 1 3 −2 12 5 −3 3
5 14 −9 6
.
(b) Forma escalonada da matriz aumentada (registrando as operações elementares utilizadas).
• Aplicando L2 = −2L1 + L2 e L3 = −5L1 + L3 obtemos
 1 3 −2 10 −1 1 1
0 −1 1 1
.
• Aplicando L3 = −L2+L3 obtemos
 1 3 −2 10 −1 1 1
0 0 0 0
, que está na forma escalonada.
(c) Sistema equivalente: a forma escalonada da matriz aumentada apresenta uma linha
nula (linhas na qual todos os coeficientes são nulos). Uma linha nula pode ser removida da
matriz aumentada do sistema, uma vez que nos leva a uma equação da forma
0x+ 0y + 0z = 0,
que obviamente é satisfeita por qualquer tripla ordenada, não afetando a determinação da
solução. Logo o sistema equivalente (escalonado) possui 2 equações e 3 variáveis{
x + 3y − 2z = 1
− y + z = 1 ,
tratando-se assim de um sistema possível indeterminado, isto é, um sistema com infinitas
soluções, uma vez que na segunda equação podemos escolher (arbitrariamente) valores para
uma das variáveis e então determinar os valores das demais variáveis do sistrema.
Apesar de o sistema linear possuir infinitas soluções, não é qualquer tripla ordenada que o
satisfaz. O conjunto de todas as triplas que satisfaz o sistema é denominado seu conjunto
solução. Para determiná-lo procedemos da seguinte forma:
• pela terceira equação podemos exprimir y em função de z (ou exprimir z em função
de y)
−y = 1− z ∴ y = z − 1.
Neste caso dizemos que z é uma variável livre do sistema.
• Substituindo o valor encontrada para y na primeira equação obtemos
x+ 3(z − 1)− 2z = 1 ∴ x = 4 + z.
• Assim as infinitas soluções do sistema podem ser expressas na forma paramétrica
(onde a variável livre z é o parâmetro)
(4 + z, z − 1, z).
Note que para cada valor atribuído (arbitrariamente) à variável livre z (isto é, ao
parâmetro z) obtemos uma tripla ordenada que é solução do sistema linear dado.
12
Considerações Finais
Pelos exemplos anteriores observamos que um sistema linear pode ser discutido através de
um sistema equivalente na forma escalonada. Temos então as seguintes possibilidades:
(i) se a forma escalonada possui mesmo número de equações (todas consistentes) e de variáveis,
veja Exemplo 12, o sistema apresenta solução única;
(ii) a ocorrência de uma equação inconsistente, veja Exemplo 13, nos mostra que o sistema não
possui solução;
(iii) se a forma escalonada possui um número de equações menor que o número de variáveis,
veja Exemplo 14, o sistema apresenta infinitas soluções; neste caso é importante determinar
tais soluções na forma paramétrica (conjunto solução).
8 Algumas Aplicações Simples
Nesta seção ilustramos algumas aplicações simples envolvendo sistemas lineares.
Exemplo 15 (Planejamento de Produção) Uma fábrica de móveis artesanais produz 3 mod-
elos de cadeiras: colonial, clássico e moderno. Cada cadeira do modelo colonial exige 2 horas
para corte da madeira, 3 horas para montagem e 1 hora para lixamento. O modelo Clássico exige
1 hora para corte, 2 horas para montagem e 1 hora para lixamento. O modelo Moderno exige 1
hora para corte, 2 horas para montagem e 2 horas para lixamento. Se a capacidade operacional
diária da fábrica é de 40 horas de corte, 72 horas de montagem e 42 horas de lixamento, qual
a quantidade diária deve ser produzida de cada cadeira para que a fábrica funcione plenamente
(nenhum processo fique ocioso)?
A tabela (matriz) a seguir sumariza os dados fornecidos no problema
Colonial Clássico Moderno Disponibilidade
Corte 2 1 1 40
Montagem 3 2 2 72
Lixamento 1 1 2 42
Se o número de cadeiras modelo Colonial a serem fabricadas é x, o número de cadeiras modelo
Clássico a serem fabricadas é y e o número de cadeiras modelo Moderno a serem fabricadas é z,
obtemos o sistema linear 
2x + y + z = 40
3x + 2y + 2z = 72
x + y + 2z = 42
,
cuja solução (a ser verificada pelo leitor) é (x, y, z) = (8, 14, 10). Assim, para que nenhum pro-
cesso da fábrica fique ocioso, deverão ser fabricadas diariamente 8 cadeiras do modelo Colonial,
14 cadeiras do modelo Clássico e 10 cadeiras do modelo Moderno.
Exemplo 16 (Interpolação Polinomial) Em muitas ocasiões trabalhamos com funções dadas
na forma tabelada, sem conhecer sua expressão analítica. Quando estes dados tabelados são
marcados no plano cartesiano temos uma idéia aproximada do gráfico da função. Estudaremos
agora como ajustar uma função polinomial por um conjunto de pontos do plano cartesiano. Este
processo é conhecido como interpolação polinomial de Lagrange e o polinômio obtido nos dá uma
13
expressão analítica (aproximada) para a função tabelada.
Dados n pontos doplano cartesiano
(x1, y1) , (x2, y2) , . . . , (xn−1, yn−1) , (xn, yn) ,
onde x1 6= x2 6= . . . 6= xn−1 6= xn, podemos ajustar um (único) polinômio de grau n−1, da forma
P (x) = an−1 xn−1 + . . .+ a2 x2 + a1 x+ a0
que passa por estes n pontos. Devemos então determinar os coeficientes an−1, . . . , a2, a1, a0 para
obtermos o polinômio de ajuste.
Como exemplo numérico, consideremos os pontos A(1, 3), B(3, 13) e C(−1, 9). Por estes 3
pontos ajustaremos um polinômio de grau 2, da forma
P (x) = ax2 + bx+ c.
Logo devemos ter
• P (1) = 3 ∴ a+ b+ c = 3;
• P (3) = 13 ∴ 9a+ 3b+ c = 13;
• P (−1) = 9 ∴ a− b+ c = 9.
Com estas três equações formamos o sistema linear nas variáveis a, b e c (que são os coeficientes
do polinômio procurado) 
a + b + c = 3
9a + 3b + c = 13
a − b + c = 9
,
cuja solução é (a, b, c) = (2,−3, 4). Assim o polinômio quadrático que se ajusta aos pontos dados
é
P (x) = ax2 + bx+ c = 2x2 − 3x+ 4.
Exemplo 17 (Reações Químicas) No estudo das reações químicas, as moléculas são repre-
sentadas por fórmulas químicas, que descrevem sua composição atômica. Por exemplo, o octano
(um dos componentes da gasolina) tem fórmula química C8H18, indicando que cada molécula de
octano é composta de 8 átomos de carbono e 18 átomos de hidrogênio.
As reações químicas são indicadas através de equações químicas, nas quais aparecem as
fórmulas químicas dos reagentes à esquerda e as fórmulas químicas dos produtos à direita.
reagentes −→ produtos
Por exemplo, quando o octano (presente na gasolina) reage com o oxigênio (presente no ar),
produz-se dióxido de carbono e água. Esta reação é indicada pela seguinte equação química
octano oxigênio −→ dióxido de carbono água
C8H18 + O2 −→ CO2 + H2O
Dizemos que uma equação química está equilibrada (ou balanceada) se, para cada elemento
químico, o número de átomos nos reagentes é igual ao número de átomos nos produtos. Para
balancearmos a equação química anterior devemos encontrar inteiros positivos x1, x2, x3 e x4,
tais que
x1C8H18 + x2O2 −→ x3CO2 + x4H2O.
Balanceando os átomos de cada elemento presente na reação obtemos a seguinte tabela
14
Reagentes Produtos
Carbono 8x1 x3
Oxigênio 2x2 2x3 + x4
Hidrogênio 18x1 2x4
,
cujo sistema linear homogêneo correspondente é
8x1 = x3
2x2 = 2x3 + x4
18x1 = 2x4
∴

8x1 − x3 = 0
2x2 − 2x3 − x4 = 0
18x1 − 2x4 = 0
,
A solução deste sistema, na forma paramétrica, é dada por
(x1, x2, x3, x4) =
(
t
9
,
25t
18
,
8t
9
, t
)
.
Tomando-se t = 18, para que todas as variáveis assumam valores inteiros positivos, obtemos
(x1, x2, x3, x4) = (2, 25, 16, 18),
e a equação, balanceada, fica
2C8H18 + 25O2 −→ 16CO2 + 18H2O.
Exemplo 18 (Circuitos Elétricos) Neste exemplo aplicamos as Leis de Kirchoff e a Lei de
Ohm para determinar as correntes que fluem em um circuito elétrico de várias malhas que pos-
suam apenas resistores (tais como lâmpadas incandescentes e resistências de aquecimento) e
geradores de tensão (tais como pilhas e baterias).
A Figura 1 ilustra um circuito deste tipo, contendo 2 malhas, 4 resistores e 2 geradores de
tensão. As setas indicam o sentido postulado das correntes elétricas; quando seu valor numérico
é negativo significa que a corrente tem sentido oposto àquele indicado pela seta.
+
−
8V 2Ω
4Ω 2Ω
3Ω
+
−
9V
A
B
→i1 ←i2
↑i3
←
i1
→
i2↑i3
Figura 1: Circuito com 2 fontes e 4 resistores em duas malhas
Para modelarmos matematicamente estes tipos de circuitos, e assim determinar as diversas
correntes, utilizamos as duas Leis de Kirchoff e a Lei de Ohm:
(i) Lei de Kirchoff das Correntes - LKC: em cada nó, a soma algébrica das correntes
que chegam é igual à soma algébrica das correntes que saem.
(ii) Lei de Kirchoff das Tensões - LKT: em cada ciclo fechado (em cada malha), a
soma da tensões aplicadas é igual a soma das quedas de tensão.
15
(iii) lei de Ohm: a queda de tensão em um resistor é dado por
ER = Ri,
onde:
• ER é a queda de tensão no resistor, em volts (V );
• R é a resistência do resistor, em ohms (Ω);
• i é a corrente que passa pelo resistor, em ampéres (A).
Para o circuito dado na Figura 1 temos:
• a LKC resulta nas equações
para o nó A: i1 + i2 = i3 (5a)
para o nó B: i3 = i1 + i2 (5b)
• a LKT resulta nas equações
malha esquerda: 4i1 + 2i3 = 8 (5c)
malha direita: 5i2 + 2i3 = 9 (5d)
As equações (5a) , (5c) e (5d) nos levam ao sistema linear3
i1 + i2 − i3 = 0
4i1 + 2i3 = 8
5i2 + 2i3 = 9
,
cuja solução é (i1, i2, i3) = (1, 1, 2).
9 Problemas Propostos
1 Para cada sistema linear dado
(i) escreva sua matriz aumentada;
(ii) obtenha a forma escalonada da matriz aumentada (registrando as operações elementares);
(iii) escreva o sistema linear equivalente obtido;
(iv) determine a solução do sistema linear equivalente por substituição retroativa;
(v) verifique que a solução do sistema equivalente também é solução do sistema proposto.
(a)

x + y − z = 4
2x + y − 2z = 6
3x − 2y + z = 6
(b)

x + y − z = −3
x + y = 0
x − y + z = 5
3x + y − z = −1
3A equação (5b) foi suprimida pois é igual à equação (5a), não contribuindo para a solução do sistema (por
quê?).
16
(c)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2x1 + x2 + x4 = 1
x2 − x3 + 2x4 = −6
−x1 + x2 + − 3x4 = 3
(d)

x1 + x2 = 1
2x1 − x3 = 4
x2 + x3 + x4 = −3
x1 + x2 + x3 + x4 = −2
2 Discuta os sistemas lineares a seguir. Caso o sistema apresente solução única, determine-a.
Caso apresente infinitas soluções, escreva-as na forma paramétrica.
(a)

x + y + z = 6
x − y + z = 2
2x − 2y + z = 3
(b)

x − 2y + z = 3
x − y + z = 2
3x − 5y + 3z = 0
(c)

x + 2y + z = 2
x − y + z = 2
3x + 5y + 3z = 6
(d)

x + y + 3z = 1
2x − 3y − 2z = −3
3x − 2y − z = 1
(e)

x1 + x2 = 1
2x1 − x3 = 3
x2 + x3 + x4 = −3
x1 + x2 + x3 + 2x4 = 0
(f)

x1 + x2 + 2x3 + 4x4 = −1
3x1 − x2 + 2x3 + 4x4 = 1
− x2 − x3 + x4 = 1
2x1 − 2x2 + 3x4 = 2
3 Determine o valor da constante k para que o sistema admita: solução única, infinitas soluções,
nenhuma solução.
(a)

3x + y − k2z = −1
3x + 2y − 5z = k
6x + 3y − 14z = 2
(b)

2x + 3y − z = k
2x + 2y + k2z = 7
4x + 5y + 3z = 5
4 Uma editora publica um livro com três encadernações diferentes: brochurão, capa dura e
encadernação de luxo. Cada exemplar de brochurão necessita 1 minuto para montagem, 2 minutos
para costura e de 4 minutos para colagem. Cada exemplar da edição de capa dura necessita 3
minutos para montagem, 2 minutos para costura e de 7 minutos para colagem. Cada exemplar
da encadernação de luxa necessita 4 minutos para montagem, 5 minutos para costura e de 10
minutos para colagem. Se a editora dispõe de 48 horas/dia para montagem, 55 horas/dia para
costura e 134 horas/dia para colagem, quantas unidades diárias de cada tipo de encadernação
devem ser fabricadas para que nenhum processo fique ocioso.
17
5 Uma dieta para aves consiste em 4 tipos de alimentos: farelos (de milho e pão), vitaminas,
alpiste e mistura (sementes de girassol, painço etc). A Tabela 1 mostra a quantidade de nutrientes
(em miligramas) para cada 100 gramas de cada tipo alimento desta dieta (dados fictícios).
Farelos Vitaminas Alpiste Mistura
fibras alimentares 10 5 6 8
carboidratos 4 6 5 7
proteínas 4 6 8 2
gorduras 0 0 2 1
Tabela 1: Composição (g) para 100 g de cada alimento da dieta
A Tabela 2 mostra a quantidade diária a ser ingerida (em miligramas) por uma ave adulta
(dados fictícios).
fibras alimentares carboidratos proteínas gorduras
282 233 194 39
Tabela 2: Consumo diário mínimo para cada ave
Com base nestes dados, qual a quantidade de cada tipo de alimento a ave deve consumir
diariamente para satisfazer suas necessidades nutricionais?
6 Determine o polinômio de grau 3 que se ajusta aos pontos A = (1, 2),B = (2,−12), C =
(−1, 12) e D = (0,−4).
7 Determine o polinômio de grau 4 que se ajusta aos pontos A = (−2, 2), B = (−1,−10),
C = (1,−4) e D = (2, 38), sabendo-se ainda que uma de suas raízes é x = 0.
8 (Necessita de cálculo diferencial) Determine o polinômio de grau 3 que satisfaz as seguintes
propriedades
(i) uma raiz é x = −2;
(ii) possui reta tangente horizontal em x = −1 e x = 3;
(iii) o intercepto com o eixo-y vale 2.
9 (Necessita de cálculo diferencial) Determine o polinômio de graus 3 cujo gráfico apresenta
tangentes horizontais nos pontos (−2, 32) e (2, 0).
10 Equilibre as seguintes equações químicas
(a) C2H5OH +O2 −→ CO2 +H2O Combustão do etanol (álcool etílico)
(b) C3H8 +O2 −→ CO2 +H2O Combustão do propano
(c) CO2 +H2O −→ C6H12O6 +O2 Fotossíntese
(d) C6H12O6 −→ C2H5OH + CO2 Fermentação do açucar
18
11 Para cada circuito dado, determine as correntes i1, i2 e i3.
+
−
16V 2Ω
2Ω
3Ω
A
B
→i1 ←i2
↑i3
←
i1
→
i2↑i3
(a)
2Ω
−
+
38V
4Ω
3Ω 2Ω
A
B
→i1 ←i2↑i3
←
i1
→
i2↑i3
(b)
Figura 2: Circuitos do Problema 11
Apêndice A
• Problema A.1 (pág. 16)
(a) (3, 2, 1) (b) (1,−1, 3) (c) (2,−1, 1,−2) (d) (1, 0,−2,−1)
• Problema A.2 (pág. 17)
(a) Solução única: (x, y, z) = (3, 2, 1)
(b) Nenhuma solução (sistema impossível)
(c) Infinitas soluções: (x, y, z) = (2− t, 0, t), ∀ t ∈ R
(d) Solução única: (x, y, z) =
(
21
10 ,
17
5 ,−32
)
(e) Nenhuma solução (sistema impossível)
(f) Infinitas soluções: (x1, x2, x3, x4) = (0,−1− t, 0, t), ∀ t ∈ R
• Problema A.3 (pág. 17)
(a) Solução única: k 6= ±3; infinitas soluções: k = 3; impossível: k = −3
(b) Solução única: k 6= ±2; infinitas soluções: k = −2; impossível: k = 2
• Problema A.4 (pág. 17) 720 exemplares de brochurão, 480 exemplares de capa dura e 180
exemplares de luxo.
• Problema A.5 (pág. 18) 5 gramas de farelo, 8 gramas de vitamina, 12 gramas de alpiste e
15 gramas de mistura.
• Problema A.6 (pág. 18) p(x) = −7x3 + 11x2 + 2x− 4
• Problema A.7 (pág. 18) p(x) = 4x4 + 2x3 − 11x2 + x
• Problema A.8 (pág. 18) p(x) = x3 − 3x2 − 9x+ 2
• Problema A.9 (pág. 18) p(x) = x3 − 2x+ 16
• Problema A.10 (pág. 18)
19
(a) C2H5OH + 3O2 −→ 2CO2 + 3H2O
(b) C3H8 + 5O2 −→ 3CO2 + 4H2O
(c) 6CO2 + 6H2O −→ C6H12O6 + 6O2
(d) C6H12O6 −→ 2C2H5OH + 2CO2
• Problema A.11 (pág. 19)
(a) (i1, i2, i3) = (5,−2, 3) (b) (i1, i2, i3) = (2, 5, 7)
20