ALGEBRA LINEAR COMPLETO 3PERIODO

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ÁLGEBRA LINEAR
ÁLGEBRA LINEAR
José Tadeu de Almeida
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(Ficha catalográfica elaborada pela Dtcom. Bibliotecária – – Vanessa Gabriele de Araújo - CRB 14/1498)
A447a 
Almeida, José Tadeu de.
Álgebra Linear /José Tadeu de Almeida. – Curitiba, PR: Dtcom, 2018.
192 p.
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-93685-50-7
1. Matemática - Álgebra. 2. Álgebra Linear. I. Título 
CDD 512.5
Reitor Prof. Celso Niskier
Pro-Reitor Acadêmico Maximiliano Pinto Damas
Pro-Reitor Administrativo e de Operações Antonio Alberto Bittencourt
Coordenação do Núcleo de Educação a Distância Viviana Gondim de Carvalho 
Redação Dtcom
Análise educacional Dtcom
Autoria da Disciplina José Tadeu de Almeida
Validação da Disciplina Thiago Graça Ramos
Designer instrucional Milena Rettondini Noboa
Banco de Imagens Shutterstock.com
Produção do Material Didático-Pedagógico Dtcom
Sumário
01 Vetores ........................................................................................................................................7
02 Matrizes ....................................................................................................................................17
03 Operações com matrizes ......................................................................................................25
04 Determinantes .........................................................................................................................34
05 Matrizes invertíveis ................................................................................................................45
06 Sistemas de equações lineares ...........................................................................................56
07 Sistemas de equações lineares de ordem 2 .....................................................................65
08 Operações elementares em sistemas de equações lineares ........................................74
09 Método da redução por linhas .............................................................................................82
10 Método da matriz inversa .....................................................................................................92
11 Espaços vetoriais ................................................................................................................. 102
12 Subespaços vetoriais .......................................................................................................... 111
13 Dependência e independência lineares ........................................................................... 119
14 Base e dimensão de espaços vetoriais ........................................................................... 127
15 Mudança de bases .............................................................................................................. 135
16 Transformações lineares ................................................................................................... 145
17 Núcleo e imagem de tansformações lineares ............................................................... 155
18 Transformações lineares planas ...................................................................................... 162
19 Operadores lineares ............................................................................................................ 172
20 Autovalores e autovetores ................................................................................................. 181
Vetores
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula apresentaremos alguns dos principais elementos de raciocínio a respeito dos 
vetores. Entenderemos a sua função, aplicações e propriedades, com ênfase ao estudo das opera-
ções entre vetores, e do cálculo do ângulo entre os mesmos.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conhecer o conceito de vetor em dimensão qualquer, representando-os geométrica e 
analiticamente;
 • entender como operar vetores entre si e com escalares;
 • compreender o cálculo do ângulo entre vetores;
 • identificar paralelismo e ortogonalidade de vetores.
1 Vetores e suas representações
No cotidiano há ações que comumente efetuamos, como comer, vestir-se ou usar um com-
putador. Para que possamos entender o conceito de vetor, vamos usar um dos exemplos do nosso 
dia a dia: empurrar um mouse. Ao efetuar este movimento, você aplica uma força sobre um objeto 
para que ele se movimente, conforme ilustra a Figura “Força sobre um objeto”.
Figura 1 – Força sobre um objeto
Força
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Mas para sabermos como é realizado este trabalho sobre o objeto, precisamos saber sobre 
a intensidade da força, e também a sua direção. 
Estas informações são fornecidas por vetores, que são elementos com tripla dimensão, pois 
demonstram, por meio de segmentos de reta, uma direção, um sentido e um comprimento, e são 
expressos por números reais. (BOLDRINI et al, 1980)
Os vetores podem ser representados geometricamente em forma de seta, e sua representa-
ção algébrica ocorre por meio de uma letra encimada por uma seta.
Figura 2 – Representação dos vetores
Origem
u
Extremidade
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
O princípio da igualdade entre vetores nos mostra que dois ou mais vetores são iguais quando 
possuem valores iguais para os seus três elementos constituintes: direção, sentido e dimensão 
(em valor absoluto). (VENTURI, 2015)
FIQUE ATENTO!
Quando tratamos o valor absoluto de um vetor estamos interessados na sua di-
mensão, sem considerar se ele tem coordenadas de sentido e direção, que podem 
envolver números negativos. 
A representação de um vetor é importante para compreendermos as formas pelas quais ele 
é determinado em um plano.
2 Vetores definidos por dois pontos
Nos processos que envolvem vetores, utilizamos um plano cartesiano, que consiste em um 
sistema de coordenadas expresso por retas orientadas (com direção e sentido) e que se cruzam. 
(BOLDRINI et al, 1980)
Considere um plano cartesiano com duas retas perpendiculares entre si. Dois pontos, T e K, 
podem ser identificados, respectivamente, a partir de coordenadas de dimensões reais, expressas 
pelos pares ordenados (a, b) e (c, d).
Figura 3 – Vetor em Plano Cartesiano
d
b
a c
T
K
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
A partir dos pontos T e K podemos visualizar o segmento de reta TK

, que é um segmento 
orientado. Entre dois pontos, portanto, pode-se traçar um vetor.
A representação do vetor expresso pelo segmento TK

 indica a sua localização em um plano 
bidimensional. Como as dimensões destes eixos são expressos por valores reais, cada ponto den-
tro do plano exprime uma distância qualquer entre o ponto em questão (o ponto T, por exemplo, 
está a uma distância b da origem em relação ao eixo vertical) e o ponto de origem (0,0) do plano. 
(BOLDRINI et al 1980)
3 Vetores em R² e R³
Como vimos no tópico anterior, a representação de um vetor, por estar inscrita em um plano 
bidimensional que expressa valores reais, demonstra a cada ponto uma intersecção de valores 
reais em duas dimensões. Ou seja, o ponto T (a,b) é um ponto dentro de um plano de dimensão R².
Se substituímos os elementos (a,b) e (c,d) por valores numéricos nos pares (2,3) e (7,6) tere-
mos um vetor representado conforme a figura “Representação de um vetor com coordenadas 
reais em R²”.
Figura 4 – Representação de um vetor com coordenadas reais em R²
6
3
2 7
T
K
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
O segmento TK

, um vetor, está em um plano de dimensão R² e tem sua origem no ponto 
T (2,3) e extremidade no ponto K (7,6).
Os vetores também podem ser representados em três dimensões (R³), dentro de um espaço 
formadopor três eixos, perpendiculares dois a dois, onde cada ponto deste espaço é expresso 
pelas coordenadas (x,y,z) de distância até a origem (VENTURI, 2015).
Figura 5 – Representação de um vetor em um espaço R³
Z
X
y
P = (x,y,z)
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Considere, no caso do vetor pp

, para a Figura “Representação de um vetor com coordenadas 
reais em R²”, as seguintes dimensões:
x = 3; y = 5; z = 7
O ponto P estará inscrito assim na coordenada P(3,5,7).
Já um vetor traçado do ponto O, de origem dos eixos (0,0,0) em direção ao ponto P, será 
expresso pelo segmento OP

 (VENTURI, 2015). Observe a figura “Representação de um vetor com 
coordenadas reais em R³”.
Figura 6 – Representação de um vetor com coordenadas reais em R³
Z
X
y
P = (3,5,7)
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
FIQUE ATENTO!
O ponto de origem é descrito pelas coordenadas (0,0) em um plano R², e (0,0,0) em 
um espaço R³.
4 Operações com vetores
Sendo representados por valores reais, os vetores podem ser adicionados e/ou multiplicados 
entre si ou em relação a valores constantes.
Quando efetuamos a operação de multiplicação de um vetor ν

 por um valor constante k 
qualquer, sendo k maior que zero (k > 0), forma-se um novo vetor n

, sendo n

= k * ν

 (BOLDRINI et 
al, 1980).
Note que o vetor n

 terá a mesma direção e sentido do vetor ν

, e terá como comprimento k 
vezes o comprimento do vetor ν

.
Figura 7 – Multiplicação de vetores por valores constantes positivos
9
3
3 9
M
W
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
No exemplo da Figura “Multiplicação de vetores por valores constantes positivos”, o vetor 
representado pelo segmento OW

, ou seja, da origem (0,0) ao ponto W(3,3) foi multiplicado pelo 
valor constante k=3, de modo que o resultado é expresso pelo vetor representado por OM

, com 
sua extremidade no ponto M(9,9). Assim, OM

= 3 * OW

.
Caso k seja inferior a zero (k<0), o vetor resultante será oposto ao vetor original, e seu compri-
mento será proporcional à constante k. Observe a seguir.
Figura 8 – Multiplicação de vetores por valores constantes negativos
9 M
9-3
R -3
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
No exemplo da Figura “Multiplicação de vetores por valores constantes negativos” supõe-se 
que k = –1/3. Neste caso, o vetor representado por OW

 é multiplicado por k, gerando o vetor OR

, 
oposto a OW

, com extremidade no ponto R (-3, -3).
Por fim, se k = 0, o vetor resultante será nulo e restrito ao ponto de origem (0,0).
SAIBA MAIS!
O tópico 1.1.1. do ebook “Geometria Analítica e Vetorial”, de Daniel Miranda, Rafael 
Grisi e Sinuê Lodovici (2015), denominado “Operações com vetores”, aprofunda os te-
mas estudados nesta aula e, em especial, neste tópico. Acesse: <http://gradmat.ufa-
bc.edu.br/disciplinas/listas/ga/notasdeaulas/geometriaanaliticaevetorial-SGD.pdf>.
Para operações de adição entre vetores, inscritos em um mesmo plano, tem-se que as coorde-
nadas do vetor-soma serão dadas pela soma das coordenadas dos vetores (BOLDRINI et al, 1980):
n

(a,b) + ν

(c,d) = r

((a + c),(b + d))
EXEMPLO
Se temos um vetor n

(87,44) e um vetor y

(43,19), o vetor-soma r

 é dado por 
n

(87,44) + ν

(43,19) = r

((87 + 43) ,(44 + 19)) = r

(130,63)
5 Produto escalar
Dois vetores, representados por segmentos de reta, possuem um determinado ângulo, 
quando posicionados entre si. Mas, para se obter a medida deste ângulo, devemos recorrer ao 
produto escalar.
FIQUE ATENTO!
O ângulo entre dois vetores mede o grau de inclinação dos mesmos quando são 
posicionados sobre um mesmo ponto de origem.
O produto escalar entre dois vetores é a soma do produto das respectivas coordenadas des-
tes vetores (VENTURI, 2015), de modo que:
1ν

(a,b) * 2ν

(c,d) = (a * c) + (b * d)
Por exemplo, considere um plano R² que contém os vetores r

(3,5) e t

(2,8). O produto escalar 
entre estes vetores será dado por:
r

 * t

= (3,5) * (2,8) = (3 * 2) + (5 * 8) = 6 + 40 = 46
A partir do produto escalar, podemos obter o ângulo entre vetores a partir de uma regra que 
utiliza os valores do cosseno dos ângulos e os produtos escalares de dois vetores, r

 e t

, da 
seguinte forma:
*cos( )
| | * | |
r tx
r t
=
 
 
SAIBA MAIS!
O cosseno é uma função trigonométrica que indica a relação entre as dimensões 
do cateto adjacente a um dado ângulo x, e a hipotenusa de um triângulo retângulo.
Perceba que no denominador o produto escalar é descrito em módulo, ou seja, pede-se o 
valor absoluto (positivo) das coordenadas dos vetores (VENTURI, 2015).
O produto do módulo é calculado desta forma:
2| | *r r r=
  
A partir desta equação, você usará a mesma regra de cálculo do produto escalar. E, para 
obter o valor do cosseno de um ângulo, você pode consultar uma tabela trigonométrica (há muitas 
disponíveis na internet).
EXEMPLO
Considere os vetores p

 (3,4) e e

 (6,8)
O cosseno do ângulo x entre estes vetores é dado por:
*cos( )
| | * | |
p ex
p e
=
 
 
Temos que:
22 2 2| | * (3,4) * (3,4) (3 * 3) (4 * 4) 25 5p p p= = = + = =
  
e
2 2| | * (6,8) * (6,8) 10e e e= = =
  
Assim,
* (3 * 6) (4 * 8) 50cos( ) 1
5 *10 50| | * | |
p ex
p e
+
= = = =
 
 
Consultando a tabela trigonométrica, você verá que o valor 1 corresponde ao cos-
seno do ângulo de 0º. Logo, estes vetores são paralelos.
Não se esqueça que o valor dos cossenos de um ângulo é sempre dado para valores de até 
90º. Acima deste valor você deverá dividir o ângulo entre os vetores por 90º e utilizar o valor da 
sobra como referência. Por exemplo, quando dois ângulos estão postos em um ângulo de 225º o 
resultado desta divisão por 90º será igual a 2, com sobra de 45º. Use, portanto, o dado da tabela 
trigonométrica aplicado ao valor de 45º.
6 Paralelismo e ortogonalidade entre vetores
No primeiro tópico desta aula verificamos as situações que envolvem a igualdade entre veto-
res. Agora, discutiremos as condições angulares que determinam se dois ou mais vetores são 
paralelos ou ortogonais. (VENTURI, 2015)
Vetores são paralelos entre si quando o ângulo entre eles é igual a 0º ou a 180º. Observe:
e b
Como os vetores e

 e b

 têm a mesma direção e sentido, o ângulo deles é igual a zero (∀=0º):
e = b
A condição de paralelismo também será verificada quando dois vetores são opostos entre si 
(∀= 180º):
f y
Dois ou mais vetores são ortogonais quando são perpendiculares entre si, de modo que o 
ângulo entre eles seja de 90º:
h
p
Esta condição também se manifesta quando o ângulo é igual a 270º:
p
m
Perceba que nesta condição, o vetor m

 é oposto ao vetor h

 do exemplo anterior. E, da 
mesma forma, o produto escalar entre eles é igual a zero, pois o cosseno do ângulo entre vetores 
que têm inclinação de 90º tem valor nulo.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer e exemplificar vetores e suas representações;
 • identificar as condições de paralelismo, ortogonalidade e ângulo entre vetores;
 • efetuar operações com vetores e apurar seu produto escalar.
Referências 
BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lúcia; WETZLER, Henry. Álgebra 
Linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.
MIRANDA, Daniel; GRISI, Rafael; LODOVICI, Sinuê. Geometria Analítica e Vetorial. Santo André: Uni-
versidade Federal do ABC, 2015. Disponível em: <http://gradmat.ufabc.edu.br/disciplinas/listas/
ga/notasdeaulas/geometriaanaliticaevetorial-SGD.pdf>. Acesso em: 23 jul. 2017.
VENTURI, Jaci. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 10. ed. Curitiba: UFPR, 2015. Disponível em 
<http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/av.pdf>. Acesso em: 23 jul. 2017.
Matrizes
José Tadeu de Almeida
Introdução
Você já organizou uma tabela com informações? Nesta aula, vamos estudar as matrizes, 
arranjos que permitem o entendimento de dados organizados. Aprenderemos também sobre o con-
ceito deste tópico de estudo da Álgebra Linear, assim como suas características,tipos e aplicações.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • conceituar matrizes;
 • reconhecer os tipos especiais de matrizes.
1 Conceito de matriz real
Em nosso dia a dia, frequentemente, utilizamos alguma técnica de organização de dados em 
tabelas para catalogar e ordenar observações relacionadas a uma ou mais variáveis. Observe, a seguir, 
uma tabela de organização de dados relacionada ao peso, altura e idade de um grupo de indivíduos.
Tabela 1 – Rol de indivíduos
Indivíduo Altura (cm) Peso (kg) Idade (anos)
Alfa 168 87 47
Echo 143 49 84
Sierra 178 130 31
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Se retirarmos os elementos descritivos e mantermos os dados observados, de forma organi-
zada, agrupando-os dentro de colchetes, teremos o seguinte arranjo:
168 87 47
143 49 84
178 130 31
 
 =  
  
M
 – 17 – 
TEMA 2
Esta organização corresponde a uma matriz real, que denominamos M (STEINBRUCH; 
WINTERLE, 1997).
Podemos entender uma matriz real M como um arranjo retangular de números reais dis-
postos em linhas e colunas. Logo, apenas números reais são aceitos para a composição de uma 
matriz real. Os chamados números complexos, como 2 1− , por exemplo, não são considerados.
FIQUE ATENTO!
Raízes quadradas de números negativos não são números reais e, portanto, não 
compõem uma matriz real.
Cada número real disposto na matriz, portanto, é um certo elemento a, pertencente a uma 
linha i qualquer, e uma coluna j qualquer. Portanto, cada elemento da matriz tem notação ija (BOL-
DRINI et al, 1980).
Observe agora a segunda linha da matriz M. Ela é formada pelos dados do conjunto {143, 49, 
84}. A segunda coluna, por sua vez, é composta pelos elementos {87, 49, 130}. O dado do meio, 
{49}, portanto, pertence à segunda linha e à segunda coluna. Trata-se, assim, do elemento 22a . O 
elemento 13a , desta forma, é o número 47.
1.1 Igualdade entre matrizes
Duas ou mais matrizes são iguais quando satisfazem as seguintes condições (BOLDRINI 
et al, 1980):
 • os números de linhas e colunas são iguais;
 • os elementos de cada matriz são perfeitamente correspondentes, ou seja, são iguais e 
localizados na mesma posição em relação às matrizes em análise. Assim, para o caso 
de duas matrizes, A e B, temos:
11 11 12 12; ;= = …a b  a b
EXEMPLO
Considere as matrizes 
2 4 8 4
3 6 0,5 6
   
= =   
   
x
A  e B
y
Sabendo que as matrizes A e B satisfazem a condição de igualdade de matrizes, 
temos que 11 11=a b . Logo, 2 8 4= → =x x
Da mesma forma, 21 21=a b , então 0,5 3 6= → =y y .
ÁLGEBRA LINEAR
 – 18 – 
Cada matriz possui infinitas combinações em termos de número de linhas e colunas. Se 
temos uma matriz com quatro linhas e seis colunas, por exemplo, dizemos que esta matriz é uma 
matriz 4x5. A matriz M, citada anteriormente, seria uma matriz 3x3, logo é um caso especial, deno-
minado matriz quadrada, como estudaremos no próximo tópico.
2 Tipos especiais de matrizes
Nem todas as matrizes são perfeitamente simétricas/quadradas, como as que verificamos 
anteriormente. Para entendermos isto, basta pensarmos que determinados conjuntos de dados 
podem estar ligados a apenas uma variável de estudo, de maneira que teremos diversas linhas e 
apenas uma coluna. Este, por exemplo, é um tipo especial de matriz, denominado matriz coluna 
(STEINBRUCH; WINTERLE, 1997; BOLDRINI et al, 1980), como demonstrado a seguir.
=C m
A matriz linha, por sua vez, é a matriz que possui apenas uma linha. Observe:
2214 144 18 4 13 =  G
Já a matriz nula é aquela cujos elementos são todos iguais a zero. Confira a Tabela “Aciden-
tes de trabalho nas filiais de uma empresa” e a matriz O, gerada a partir dos dados da Tabela 02:
Tabela 2 – Acidentes de trabalho nas filiais de uma empresa 
Últimos 7 dias Últimos 30 dias Últimos 360 dias
Matriz 0 0 0
Filial 01 0 0 0
Filial 02 0 0 0
Fonte: elabora pelo autor, 2017.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 
 =  
  
O
Por último temos a matriz quadrada, que é formada por um número igual de linhas e colunas:
2 6 10
3 5 0
1 2 5425
 
 =  
  
Q
ÁLGEBRA LINEAR
 – 19 – 
FIQUE ATENTO!
 Embora uma matriz quadrada seja formada pelo mesmo número de linhas e 
colunas isto não significa que os elementos que compõem a matriz tenham 
de ser iguais.
Sempre que analisamos uma matriz quadrada devemos verificar qual é a sua ordem (ou 
dimensão), ou seja, o número de linhas e colunas. No caso que vimos anteriormente, como a 
matriz Q tem três linhas e três colunas dizemos que ela é de ordem 3. Mas, caso tivesse duas 
linhas e duas colunas, seria de ordem 2, etc (BOLDRINI et al, 1980)
FIQUE ATENTO!
Uma matriz real de dimensão n tem ordem n, ou seja, é uma matriz real quadrada 
com n linhas e n colunas.
Neste momento, cabe enfatizarmos algumas propriedades:
 • se uma matriz não é quadrada, ela será retangular;
 • uma matriz quadrada pode ser ‘cruzada’ diagonalmente. Neste caso, chamamos de 
diagonal principal o conjunto em série dos elementos que possuem índices iguais:
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
 
 
 =
 
 
 
a a a
a a a
A
a a a
a a a
a
a
a
a
Neste caso, o conjunto de dados { }11 22 33 44, , ,a a a a corresponde à diagonal principal da matriz A.
A diagonal secundária, por sua vez, é o conjunto em série dos elementos que possuem índi-
ces iguais a n+1, com n sendo igual à ordem da matriz. No caso da Matriz A, com ordem igual a 4, 
o conjunto de dados { }14 23 32 41, , ,a a a a gera a diagonal secundária (a soma dos índices é igual a 5).
A matriz diagonal é aquela cujos elementos que não pertencem à diagonal principal são 
todos iguais a zero:
1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 9 0
0 0 0 14
 
 
 =
 
 
 
D
Há dois casos especiais de matrizes diagonais. O primeiro deles é a matriz escalar, que contém 
todos os elementos da diagonal principal iguais a um valor constante (k). Observe a tabela a seguir.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 20 – 
Tabela 3 – Disponibilidade de peças em diferentes filiais de uma loja
Vestidos brancos Vestidos azuis Calças amarelas Blusas roxas
Loja 01 7 0 0 0
Loja 02 0 7 0 0
Loja 03 0 0 7 0
Loja 04 0 0 0 7
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Os dados da Tabela “Disponibilidade de peças em diferentes filiais de uma loja” geram a 
matriz K, uma matriz escalar:
7 0 0 0
0 7 0 0
0 0 7 0
0 0 0 7
 
 
 =
 
 
 
K
A matriz identidade contém todos os elementos da diagonal principal iguais a 1. Neste caso, 
a matriz identidade de ordem n é denominada. Para o caso de uma matriz de ordem 4 temos:
4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 
 
 =
 
 
 
I
Note que é importante estar atento à seguinte propriedade para uma matriz identidade 
nI temos que:
1,
0,
=
=  ≠
ij
 se i j
a
 se i j
A matriz triangular superior é observada quando temos uma matriz quadrada sendo os ele-
mentos abaixo da diagonal principal todos nulos:
1 10 9 4
0 2 0 2
0 0 9 12
0 0 0 14
 
 
 =
 
 
 
T
de modo que =m n e 0=ija , para >i j .
Já a matriz triangular inferior possui nulos os elementos acima da diagonal principal. 
Observe a Tabela a seguir e a matriz M gerada a partir dos dados fornecidos.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 21 – 
Tabela 4 – Procedimentos veterinários em uma rede de clínicas
Filial do sítio Filial da cidade Filial da vila
Equinos 18 0 0
Bovinos 10 1 0
Cães e gatos 5 193 109
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
18 0 0
10 1 0
5 193 109
 
 =  
  
M
Assim, =m n e 0=ija , para >i j ..
Dada uma matriz M, com n linhas e m colunas, dizemos que uma matriz A é uma matriz 
transposta de M (com notação tA ) quando as m linhas de M são transpostas em m colunas de A, 
e as n colunas de M são transpostas em n linhas de A:
1 8
1 2 3
2 24 ,
8 24 48
3 48
 
  = =       
tDado A  então A
SAIBA MAIS!
Se a matriz A original tem m linhas e n colunas, ou seja, sendo uma matriz m*nA , sua 
matriz transposta terá n linhas e m colunas, logo, será tn*mA
Uma matriz simétrica é uma matriz quadrada de ordemn onde os elementos que compõem 
as linhas são iguais aos elementos que compõem as colunas, ou seja,
[ ] [ ], , , 1= ≤ ≠ ≤M i j M j i  para quaisquer  i j n
3
3
1 14 3 2
14 18 23 10
3 23 15 7
2 10 7 0
 
 
 =  
 
  
S
A matriz S, portanto, é simétrica de ordem 4.
O exemplo oposto é a matriz antissimétrica, uma matriz quadrada de ordem n onde:
[ ] [ ], , , 1= − ≤ ≠ ≤M i j M j i  para quaisquer  i j n
ÁLGEBRA LINEAR
 – 22 – 
Ou seja, os elementos que compõem as linhas têm igual valor absoluto, mas têm sinal inver-
tido em relação aos elementos que compõem as colunas:
3
3
1 14 3 2
14 18 23 10
3 23 15 7
2 10 7 0
 
 
− =  − − 
 − − − 
S
3 Aplicação de matrizes na resolução de problemas
As matrizes são arranjos de dados dispostos organizadamente segundo alguma variável de 
escolha. Deste modo, perceba que elas não representam condições abstratas. Ao contrário, um 
arranjo matricial permite a execução de operações e estimativas a partir dos elementos de cada 
variável de estudo.
SAIBA MAIS!
Você pode encontrar interessantes estudos de caso no artigo “Aplicação de 
Álgebra Linear na Engenharia”, de Andresa Pescador, Janaína Poffo Possamai e 
Cristiano Roberto Possamai 2011). Consulte, em especial, a seção 3.2, denominada 
“Balanceamento de Equações Químicas”, que traz um exemplo de aplicação de 
matrizes em um problema de Química. Acesse: <http://198.136.59.239/~abengeorg/
CobengeAnteriores/2011/sessoestec/art2127.pdf>.
As matrizes são utilizadas em diferentes áreas do conhecimento humano. Podemos citar 
algumas, como a engenharia, administração, as ciências econômicas e, em especial, a demografia, 
que estuda a dinâmica populacional de um determinado local e suas variações.
EXEMPLO
Se ao longo do tempo a população de n cidades é formada por homens (na linha 1) 
e mulheres, é possível elencar diferentes dados da seguinte forma:
3200 114856 14785
2300 113575 15104
 
=  
 
P
Sabendo-se que a população aumenta 1,1 vezes ao longo de cinco anos, podemos 
apenas efetuar operações sobre a matriz P para obter os resultados, ao invés de cole-
tá-los individualmente. Para calcular a variação em cinco anos, tem-se a matriz P(5):
( )5 1,1=P * P
Em dez anos, a variação será igual a 21,1 :
( ) 210 1,1=P * P
E assim por diante. 
ÁLGEBRA LINEAR
 – 23 – 
\\\\repositorio\\repositorio\\Projetos\\UniCarioca\\UCA001_90_disciplinas\\3_produção\\1_conteudo\\Algebra Linear\\Tema 2\\texto-base\\Você
Utilizamos matrizes, ainda, para apurarmos resultados de cálculos associados a diferentes 
variáveis, como na apuração dos custos de produção de um bem ou serviço, por exemplo (BOL-
DRINI et al, 1980).
Consideremos que um certo bem é composto por diferentes matérias-primas em quantida-
des diferentes:
[ ]0,74 1,27 15 6 1=M
Cada item possui um certo preço, em reais:
[ ]14,64 12,71 1,52 0,97 0,0095=P
Para apurar o preço final de venda é realizada a multiplicação de matrizes:
=V M * P
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • entender o conceito de matriz, suas características básicas e suas aplicações;
 • distinguir e conceituar os diferentes modelos de matrizes especiais.
Referências
BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli Rodrigues; FIGUEIREDO, Vera Lúcia; WETZLER, Henry. Álgebra 
Linear. 3 ed. São Paulo: Harper &Row do Brasil, 1980.
PESCADOR, Andresa; POSSAMAI, Janaína Poffo; POSSAMAI, Cristiano Roberto. Aplicação de Álge-
bra Linear na Engenharia. In:CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA, 39, 2011, 
Blumenau. Anais...Blumenau: Furb, 2011. Disponível em: <http://198.136.59.239/~abengeorg/
CobengeAnteriores/2011/sessoestec/art2127.pdf>. Acesso em: 5 ago. 2017.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Introdução à Álgebra Linear. São Paulo: Pearson, 1997.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 24 – 
http://198.136.59.239/~abengeorg/CobengeAnteriores/2011/sessoestec/art2127.pdf
http://198.136.59.239/~abengeorg/CobengeAnteriores/2011/sessoestec/art2127.pdf
Operações com matrizes
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula vamos conhecer os procedimentos necessários para realizarmos operações que 
envolvem matrizes. Por meio de técnicas específicas, você aprenderá como efetuar adições, multi-
plicações e transposições de matrizes numéricas associadas a uma ou mais variáveis.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como operar matrizes entre si e com números reais;
 • compreender como transpor matrizes de qualquer ordem;
 • reconhecer matrizes triangulares e ortogonais.
1 Adição de matrizes
De acordo com as necessidades do pesquisador, podemos manipular dados de matrizes reais 
por meio de operações matemáticas (ROBBIANO, 2011). Neste tópico vamos estudar os procedi-
mentos de adição que envolvem matrizes reais, ou seja, matrizes formadas por números reais).
Suponha que um indivíduo possui três tipos de contas a pagar, referentes a um período de 
três meses, conforme ilustra a Tabela a seguir.
Tabela 1 – Gastos projetados para meses selecionados
Energia Água e esgoto Serviços de internet
Junho 190 85 117
Julho 220 88 138
Agosto 210 89 116
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Agora, a partir dos elementos descritos, vamos isolar os dados numéricos e compor a matriz 
real G:
190 85 117
220 88 138
210 89 116
 
 =  
  
G
Considere que este mesmo indivíduo organizou os dados de gastos com alimentação, trans-
porte e lazer, para o mesmo período de três meses, gerando a Tabela “Despesas projetadas em 
meses selecionados” e a Matriz H correspondente. 
Tabela 2 – Despesas projetadas em meses selecionados
Alimentação Transporte Lazer
Junho 200 95 110
Julho 190 89 129
Agosto 195 87 134
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
200 95 110
190 89 129
195 87 134
 
 =  
  
H
Você saberia dizer como este consumidor pode avaliar o montante total de recursos que serão 
utilizados ao longo destes três meses? Para isso, basta efetuar uma adição de matrizes. Confira:
190 85 117 200 95 110
220 88 138 190 89 129
210 89 116 195 87 134
   
   + = +   
      
G H
Nesta situação, cada elemento aij da matriz G – ou seja, o elemento que pertence a uma linha 
i qualquer e uma coluna j qualquer – deverá ser adicionado ao elemento aij da matriz H (HOWARD; 
BUSBY, 2006).
Por exemplo, o elemento g21 da Matriz G, que pertence à segunda linha e primeira coluna (g21 = 
220), deve ser adicionado ao elemento h21 da Matriz H (h21 = 190), de modo que:
21 21 220 190 410+ = + =g h
O mesmo procedimento de adição para os outros elementos das matrizes G e H gera uma 
matriz-soma (ROBBIANO, 2011). Acompanhe:
190 85 117 200 95 110 390 180 227
220 88 138 190 89 129 410 177 267
210 89 116 195 87 134 405 176 250
     
     + = + =     
          
G H
O procedimento de subtração entre matrizes envolve os mesmos procedimentos de uma 
adição, apenas invertendo-se o sinal da operação. Deste modo:
190 85 117 200 95 110 10 10 7
220 88 138 190 89 129 30 1 9
210 89 116 195 87 134 15 2 18
− −     
     − = − = −     
     −     
G H
2 Multiplicação por escalar
Para estudar a multiplicação de uma matriz por escalar, considerando que o escalar é um 
valor real e constante, vamos usar novamente os dados da Matriz G do tópico anterior.
FIQUE ATENTO!
O escalar é um valor fixo que multiplica a matriz. Este valor é um número real e 
constante, ou seja, todos os elementos das linhas e colunas da matriz serão multi-
plicados por este valor numérico.
Considere que este consumidor deseja avaliar o montante de recursos necessários para o 
pagamento de suas despesas durante seis meses. Você saberia executar este cálculo? Acompa-
nhe a seguir.
190 85 117 2 190 2 85 2 117 380 170 234
2 2 220 88 138 2 220 2 88 2 138 440 176 276
210 89 116 2 210 2 89 2 116 420 178 232
     
     = = =     
          
* * *
* G * * *
* * *
Desta forma, você deverá multiplicar cada elemento aij da matriz por este escalar (ROBBIANO,2011).
3 Transposição de matrizes
Supondo uma matriz A, com m linhas e n colunas, temos que a matriz At A é uma matriz 
transposta em relação à matriz A quando os elementos das colunas da matriz At são iguais aos 
elementos das linhas da matriz A, e vice-versa (ROBBIANO, 2011). Desta forma:
1 8
1 2 3
2 17 ,
8 17 38
3 38
 
  = =       
tDado A  então A
Se a matriz A original tem m linhas e n colunas, ou seja, sendo uma matriz Am*n, sua matriz 
transposta terá n linhas e m colunas, logo, será Atn*m.
FIQUE ATENTO!
Um arranjo matricial pode organizar de uma a infinitas linhas e colunas.
Dentro do estudo da transposição de matrizes, encontramos casos especiais. 
O primeiro deles é o de uma matriz simétrica, que é uma matriz quadrada de ordem n onde 
os elementos que compõem as linhas são iguais aos elementos que compõem as colunas. Assim, 
caso ela seja transposta, sua disposição será igual à matriz original.
EXEMPLO
A matriz S, com quatro linhas e quatro colunas, é simétrica:
3
3
1 14 3 2
14 18 23 10
3 23 15 7
2 10 7 0
 
 
 =  
 
  
S
O exemplo oposto é a matriz anti-simétrica, onde os elementos que compõem as linhas têm 
igual valor absoluto, mas têm sinal invertido em relação aos elementos que compõem as colunas. 
Ou seja, no procedimento de transposição de matrizes, os elementos das linhas têm o mesmo 
valor absoluto das colunas, mas com sinal contrário. Observe:
3
3
1 14 3 2
14 18 23 10
3 23 15 7
2 10 7 0
 
 
− =  − − 
 − − − 
S
SAIBA MAIS!
As operações com matrizes são importantes em diversas áreas da ciência. No 
artigo “O tempo de pega em gelatinas comerciais: uma experiência da disciplina 
de quimiometria para estudantes de graduação em química” (GUEDES et al, 2013) 
os autores demonstram a transposição de matrizes com o uso de softwares de 
cálculo. Acesse: <http://www.scielo.br/pdf/qn/v36n3/a20ms01.pdf>.
As matrizes triangulares, outro exemplo de tipos especiais de matrizes, podem ser reconhe-
cidas quando os elementos que estão acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. É 
importante destacar que a diagonal principal é formada pelos elementos a partir da primeira linha 
e primeira coluna, de cima para baixo (HOWARD; BUSBY, 2006).
Mas, quando os elementos acima da diagonal principal são nulos a matriz é triangular 
inferior, como na figura a seguir:
Figura 1 – Matriz triangular inferior
2 0 0 0
8 1 0 0
1 5 7 0
2 43 3 5
 
 
 =
 
 
 
A
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Podemos ainda dizer que uma matriz é do tipo triangular superior quando os elementos 
abaixo da diagonal principal são iguais a zero:
2 8 8 6
0 1 86 5
0 0 7 35
0 0 0 5
 
 
 =
 
 
 
J
Por fim, temos ainda o caso especial de uma matriz ortogonal. Matrizes ortogonais são visu-
alizadas quando a transposta At de uma matriz A é igual à sua matriz inversa, com notação A-1. 
Ou seja, uma matriz A será ortogonal quando:
At = A-1
SAIBA MAIS!
A inversão de matrizes é um procedimento que envolve diferentes elementos de 
cálculo, como Determinantes e Cofatores, dispostos em um arranjo denominado 
matriz adjunta.
4 Produto de matrizes
Neste tópico vamos demostrar como é realizada a multiplicação entre matrizes. Você perceberá 
que há alguns procedimentos a serem seguidos para que matrizes possam ser multiplicadas entre si.
Primeiro, considere a tabela “Consumo de eletrólitos em dois alimentos”, com as quantida-
des, em miligramas, de ferro, sódio e potássio de dois alimentos.
Tabela 3 – Consumo de eletrólitos em dois alimentos
Ferro Sódio Potássio
Alimento A 10 20 50
Alimento J 115 4 500
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
A partir dos dados da tabela, podemos montar a matriz E. Observe:
10 20 50
115 4 500
 
=  
 
E
Agora, suponha que uma pessoa ingeriu cinco porções do alimento A e duas porções do 
alimento J. Logo, podemos formar a matriz C, associada a este volume de alimentos consumidos:
[ ]5 2=C
Você saberia dizer, dadas as matrizes E e C, qual é a quantidade total de cada eletrólito consu-
mido por esta pessoa neste jantar? Para encontrarmos este resultado, devemos efetuar uma opera-
ção de multiplicação de matrizes, que pode ser descrita da seguinte forma (HOWARD; BUSBY, 2006):
[ ] 10 20 505 2
115 4 500
 
=  
 
E * C *
Para fazer esta conta, vamos iniciar pelo elemento ferro. Portanto, se a pessoa consumiu 
cinco unidades do alimento A e duas unidades do alimento J, a quantidade de ferro consumida, 
em miligramas, é igual a:
5 10 2 115 50 230 280+ = + =* *
Note que este processo possui a seguinte expressão:
[ ] [ ] [ ] [ ]105 2 5 10 2 115 50 230 280
115
 
= = + = + = 
 
F * * *
O produto entre uma matriz 1x2 e uma matriz 2x1 gerou uma matriz 1x1, expressa pelo ele-
mento a11 = 280. Assim, o consumo de ferro foi dado pelo produto entre a primeira coluna da Matriz 
E, com a linha única da matriz C, gerando uma matriz 1x1, expressa por F.
Efetuando este mesmo processo para os outros eletrólitos, teremos a formação de uma nova 
matriz (Q), que é uma matriz-produto:
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]10 20 505 2 5 10 2 115 5 20 2 4 5 50 500 2 280 108 1250
115 4 500
 
= = + + + =    
 
Q * * * * * * *
Logo, é possível concluir que esta pessoa consumiu 280 mg de ferro, 108 mg de sódio e 1250 
mg de potássio.
Vamos reforçar, a partir do exemplo da tabela “Consumo de eletrólitos em dois alimentos”: 
a disposição, em número de linhas e colunas, dos elementos que formam uma matriz-produto 
(como a matriz Q), é obtida a partir do número de linhas da primeira matriz e de colunas da segunda 
matriz (HOWARD; BUSBY, 2006). No exemplo, o produto entre a matriz E (1x2) e a matriz C (2x3) 
gerou a matriz Q (1x3). 
EXEMPLO
Vamos demonstrar um procedimento de multiplicação para duas matrizes com di-
ferentes quantidades de linhas e colunas.
Considere a matriz 11 12 132 3
21 22 23
 
=  
 
x
a a a
A
a a a
e a matriz 
11 12
3 2 21 22
31 32
 
 =  
  
x
p p
P p p
p p
A matriz-produto Z é de ordem 2x2 e definida por:
2 3 3 2 2 2=x x xA * P Z
Observe que a dimensão da matriz-produto é dada pelo número de linhas da primei-
ra matriz e o número de colunas da segunda matriz:
11 12
2 2
21 22
 
=  
 
x
z z
Z
z z
O elemento z11 é formado ao efetuarmos a soma dos resultados das multiplicações en-
tre os elementos da primeira linha da matriz A e da primeira coluna da matriz P. Assim:
( ) ( ) ( )11 11 11 12 21 13 31= + +z a * p a * p a * p
Usando este procedimento nos outros elementos da matriz Z, temos:
11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 3211 12
2 2
21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 3221 22
+ + + +  
= =    + + + +   
x
a * p a * p a * p a * p a * p a * pz z
Z
a * p a * p a * p a * p a * p a * pz z
FIQUE ATENTO!
Você deve calcular primeiro as operações de multiplicação, e depois as operações 
de adição. Assim, ao calcular ( )11 11 12 21 13 31+ +a * p a * p a * p , calcule os produtos e 
após some os mesmos. 
Vamos estudar agora as propriedades da multiplicação entre elementos de duas matrizes 
(HOWARD; BUSBY, 2006). Dadas duas matrizes, A e B, com o mesmo número de linhas e colunas, 
temos as seguintes propriedades:
 • o produto entre duas matrizes só pode ser efetuado se o número de colunas da pri-
meira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz.
 • ordem de cálculo do produto entre matrizes. Geralmente, ≠A* B B* A . A exceção é 
dada quando I é uma matriz-identidade, ou seja, quando os elementos da diagonal prin-
cipal são iguais a 1, e os demais são nulos, como a matriz 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 =  
  
I . Neste caso, temos 
que = =A* I I * A A . Portanto, podemos observar que o produto entre uma matriz identi-
dade e uma matriz A qualquer gera a matriz A como resultado.
 • propriedade distributiva à esquerda da multiplicação, em relação à soma: 
( )+ = +A* B C A* B A* C
 • propriedade distributiva à direita da multiplicação, em relação à soma: (A+B)*C=A*C+B*C
 • propriedadeassociativa da multiplicação: (A*B)*C=A*(B*C)
 • transposição do produto entre duas matrizes A e B: quando esta operação é realizada, 
o resultado gerado é igual ao produto entre as matrizes transpostas de B e A, nesta 
ordem: ( ) =t t tA* B B * A
 • produto entre uma matriz e uma matriz nula: suponha a existência de uma matriz O, que 
seja nula, portanto, expressa da seguinte forma: 0 0
0 0
 
=  
 
O
 • a multiplicação entre uma matriz A e a matriz O tem como matriz-produto uma matriz 
nula, de modo que (HOWARD; BUSBY, 2006): A*O=O, e O*A=O 
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • verificar como se dá a transposição de uma matriz;
 • efetuar operações com matrizes e entre matrizes.
Referências
GUEDES, Thiago Lucena de Macedo; SOARES, Maurity Sanderson de Lima; NEVES, Luiz Seixas 
das; LIMA, Kássio Michell Gomes de. O tempo de pega em gelatinas comerciais: uma experiência 
da disciplina de quimiometria para estudantes de graduação em química. Química Nova, Natal, 
vol.36, n.3, 2013. Disponível em <http://www.scielo.br/pdf/qn/v36n3/a20ms01.pdf>. Acesso em: 
14 ago. 2017.
HOWARD, Anton; BUSBY, Roberto. Álgebra linear contemporânea. Tradução Claus Ivo Doering. 
Porto Alegre: Bookman, 2006.
ROBBIANO, Lorenzo. Álgebra Linear para todos. Tradução Taíse Santiago O. Mozzato. Milão: Sprin-
ger-Verlag Itália, 2011.
Determinantes
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula vamos estudar determinantes associados a matrizes quadradas de diferentes 
ordens. Você aprenderá a conceituar um determinante, além de entender suas propriedades e 
aplicar suas regras de cálculo.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem;
 • empregar propriedades de determinantes, sempre que possível.
1 O conceito de determinante
Um determinante é um número associado a um arranjo de elementos denominado matriz; o 
cálculo de um determinante, neste sentido, é efetuado conforme as características de cada matriz 
(ROBBIANO, 2011).
Vamos ver um exemplo: considere que a gerência de uma loja de roupas fez um levantamento 
da quantidade de produtos disponíveis no estoque, gerando uma série de dados, que estão asso-
ciados a diferentes variáveis, relacionadas ao tipo de roupa e sua cor, conforme a Tabela a seguir:
Tabela 1 – Disponibilidade de vestimentas em uma loja
Azul Verde Vermelho
Calças 10 12 7
Camisas 8 4 4
Vestidos 9 6 2
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Observe que podemos isolar os elementos numéricos da Tabela “Disponibilidade de vesti-
mentas em uma loja” na forma de uma matriz, conforme a figura “Matriz quadrada”:
 – 34 – 
TEMA 4
Figura 1 - Matriz quadrada
10 12 7
8 4 4
9 6 2
 
 =  
  
B
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Podemos dizer que a matriz B é uma matriz quadrada, pois tem três linhas e três colunas 
(3x3), ou seja, ela é de ordem 3 e de notação 3 3xB .
A seguir, na Figura “Diagonal principal e secundária”, vamos observar os elementos em diago-
nal da matriz B. Note que a diagonal principal é formada pelos elementos a partir da primeira linha 
e primeira coluna (negrito), em sentido descendente até o elemento da última linha e última coluna. 
Já a diagonal secundária (em vermelho) é definida pelos elementos em diagonal a partir da última 
linha e primeira coluna, subindo até o elemento da primeira linha e última coluna. 
Figura 2 – Diagonal principal e secundária
 
 =  
  
B
12
8 4
6
7
9 2
4
10
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
É importante destacar que os elementos das diagonais são fundamentais para o cálculo do 
determinante.
FIQUE ATENTO!
Em uma matriz quadrada, o elemento que ocupa a posição central na matriz pertence 
tanto à diagonal principal, quanto à diagonal secundária.
A disposição dos elementos de uma matriz, como demostramos no exemplo da loja de rou-
pas, obedece a uma regra geral. Assim, uma matriz A de ordem 3 tem seus elementos dispostos 
da seguinte forma:
Figura 3 – Matriz de ordem 3
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 
 =  
  
a a a
A a a a
a a a
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 35 – 
A notação a12, por exemplo, indica que este elemento pertence à primeira linha e à segunda 
coluna da matriz A3x3. Vale ainda destacar que uma matriz pode possuir i linhas e j colunas, de modo 
que o elemento aij corresponderia ao elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna (ROBBIANO, 2011). 
1.1 Cálculo de determinantes em matrizes 
Vamos conhecer agora as fórmulas de cálculo dos determinantes em matrizes quadradas. 
Em matrizes de ordem 2, por exemplo, o determinante é obtido pela diferença entre os pro-
dutos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária (HOWARD; BUSBY, 2006). Ou 
seja, dada a matriz A:
11 12
21 22
 
=  
 
a a
A
a a
Assim, temos que o determinante de A, ou seja, det (A) ou A (ROBBIANO, 2011), é dado por:
Figura 4 – Cálculo de determinante de ordem 2
 ( ) ( )11 22 12 21= −A a * a a * a 
11 12
21 22
 
=  
 
a a
A
a a
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Há outras formas de calcularmos um determinante, de acordo com a ordem da matriz qua-
drada. Há casos em que a matriz quadrada é de ordem 1, contendo apenas um elemento, como 
a matriz C1x1: 
[ ]11=C c
O determinante desta matriz é dado pelo próprio elemento que a compõe. Supondo, por 
exemplo, que c11 = -2, o determinante desta matriz, portanto, é:
11 2= = −C c
Para o cálculo de determinantes em matrizes quadradas de ordem 3, ou superiores, usamos 
a Regra de Sarrus. (HOWARD; BUSBY, 2006).
SAIBA MAIS!
Para obter mais exemplos de cálculo a partir da Regra de Sarrus consulte o artigo de 
Amanda Gonçalves Ribeiro. Acesse: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/
regra-sarrus.htm>.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 36 – 
Neste caso, primeiramente, é preciso adicionar duas colunas (as duas primeiras colunas da 
matriz, na mesma sequência) à direita da terceira coluna da matriz a ser operada:
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
=
a
detP a
a
a a a a
a a a a
a a a a
Após esta etapa, você irá efetuar a multiplicação das diagonais à direita, dadas por D1, D2 e D3:
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
=
a a a a a
detP a a a a a
a a a a a
Onde:
1 11 22 33
2 12 23 31
3 13 21 32
=
=
=
D a * a * a
D a * a * a
D a * a * a
Depois, é preciso efetuar a multiplicação das diagonais à esquerda – D4 , D5 e D6.
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
=
a a a a a
detP a a a a a
a a a a a
Onde:
4 13 22 31
5 11 23 32
6 11 21 33
=
=
=
D a * a * a
D a * a * a
D a * a * a
Por fim, o determinante é calculado:
( )1 2 3 4 5 6= + + − + +detP D D D D D D
ÁLGEBRA LINEAR
 – 37 – 
EXEMPLO
Calcule o determinante da matriz P:
6 8 3
5 1 0
2 9 7
 
 =  
  
P
Neste caso, aplicando a Regra de Sarrus:
6 8 3 6 8
det 5 1 0 5 1
2 9 7 2 9
=P
Calculando o produto das diagonais:
1 11 22 33
2 12 23 31
3 13 21 32
4 13 22 31
5 11 23 32
6 11 21 33
6 1 7 42
8 0 2 0
3 5 9 135
2 1 3 6
9 0 6 0
7 5 8 280
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
D a * a * a * *
D a * a * a * *
D a * a * a * *
D a * a * a * *
D a * a * a * *
D a * a * a * *
Por fim, o determinante da matriz é dado por:
( )1 2 3 4 5 6 42 135 6 280 109= + + − + + = + − − = −detP D D D D D D
1.2 Determinantes nulos 
Vamos estudar agora situações que devem ser observadas antes de realizarmos o cálculo de 
um determinante, pois em caso de determinante nulo não é preciso efetuar o cálculo. (ROBBIANO, 
2011). Confira a seguir.
 • Quando uma das linhas e/ou colunas do determinante é nula. Neste caso, pela Regra 
de Sarrus, o produto entre os elementos do determinante será igual a zero.
 • Quando a ordem da matriz é maior que 1 (n>1).
 • Quando duas ou mais das linhas ou colunas têm elementos iguais e igualmente 
dispostos. 
 • Se houver duas ou mais linhas e/ou colunas proporcionais entre si;
 • Se houver duas ou mais colunas que formam uma combinação linear entre si. 
SAIBA MAIS!Combinações lineares podem ser efetuadas por meio de qualquer operação que 
correlacione uma ou mais linhas ou colunas. Desta forma, você deverá exercitar seu 
raciocínio lógico para captar estas combinações.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 38 – 
Vejamos uma situação onde o determinante é nulo sem precisar calculá-lo.
Observe a matriz D: 
10 12 34
8 4 16
9 6 21
 
 =  
  
D
A terceira coluna é igual a duas vezes a segunda coluna, somando-se ainda os elementos da 
primeira coluna, de modo que: 
( )3 2 12= +C * C C
Assim, o determinante desta matriz é nulo.
2 Propriedades dos determinantes
Neste tópico vamos apresentar elementos específicos para o cálculo de qualquer determi-
nante. (ROBBIANO, 2011). 
Para demonstrar as propriedades dos determinantes, consideremos a matriz quadrada Q:
11 12
21 22
1 7
4 6
   
= =   
  
q q
Q
q q
Sendo seu determinante dado por:
( ) ( )1 6 4 7 22= − = −detQ * *
Confira, a seguir, as propriedades dos determinantes.
2.1 Multiplicação por um valor constante
Ao multiplicarmos uma linha ou coluna de uma matriz por um valor constante k, o determi-
nante torna-se multiplicado por k. Observe: 
Dado 
1 7
4 6
 
=  
 
Q , ao multiplicar-se a segunda coluna por k = 4, temos:
1 7 4 1 28
4 6 4 4 24
   
= → =   
   
*
Q Q'
*
ÁLGEBRA LINEAR
 – 39 – 
O determinante desta matriz é dado por:
( ) ( )1 24 4 28 24 112 88= − = − = −Q' * *
Ou seja, o determinante foi multiplicado por k = 4.
2.2 Determinante de uma matriz multiplicada por um escalar
Dada uma matriz Q e um valor constante k, que multiplica a matriz, temos que o determinante 
da matriz k*Q é dado por: 
( )det . det= nk Q k Q
Onde n corresponde à ordem da matriz quadrada.
EXEMPLO
Dado 1 7
4 6
 
=  
 
Q , temos que: ao multiplicar a matriz por k = 3, temos:
3 21
3
12 18
 
=  
 
Q
O determinante desta matriz é dado por:
( ) ( )3 3 18 12 21 54 252 198= − = − = −det  Q * *
Por fim, sabe-se que 2198 22 9 22 3− = − = −* * , ou seja, o determinante foi multipli-
cado por kn.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 40 – 
2.3 Determinante da transposta
Uma matriz transposta é modificada em relação à matriz original, pois as linhas da matriz 
transposta tornam-se colunas da matriz original, e vice-versa. 
Dada a matriz Q:
1 7
4 6
 
=  
 
Q
Sua transposta Qt é dada por:
1 4
7 6
 
=  
 
tQ
Onde 6 28 22= − = −Q
Logo, o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
FIQUE ATENTO!
 Perceba que ao efetuar a transposição de uma matriz A qualquer, o elemento a11 
sempre permanecerá inalterado.
2.4 Troca de linhas/colunas paralelas
Se trocarmos a coluna 2 da matriz Q pela primeira coluna, veremos que a Matriz Q’ tem seu 
determinante igual a:
4 1
22
6 7
= = = −Q' Q
Ou seja, quando se troca a posição de uma linha ou coluna pela linha ou coluna imediata-
mente paralela, o determinante tem valor igual, mas com sinal oposto (positivo/negativo).
ÁLGEBRA LINEAR
 – 41 – 
2.5 Determinante de uma matriz triangular
Matrizes triangulares são observadas quando todos os elementos abaixo da diagonal prin-
cipal (triangular superior) ou acima (triangular inferior) são iguais a zero para matrizes quadradas 
de qualquer ordem. Nestes casos, o determinante é obtido multiplicando-se todos os termos da 
diagonal principal:
10 12 34
0 4 16
0 0 21
 
 =  
  
Y
Tem-se que 10 4 21 840= =Y * * .
3 Método de Laplace para cálculo de determinantes
Vamos conhecer agora um novo método de cálculo de determinantes de ordem 3, ou de maio-
res graus, um menor grau de esforço: o Método, ou Teorema, de Laplace (HOWARD; BUSBY, 2006). 
Mas, para compreendê-lo, é preciso introduzir alguns conceitos. Para isto, usaremos a matriz T:
Figura 5 – Matriz T3x3T
11 12 13
21 22 23
31 32 33
8 13 5
2 5 9
0 4 1
   
   = =   
      
t t t
T t t t
t t t
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
O primeiro conceito é o de Menor Complementar (MC) associado a um elemento tij. Basica-
mente, o cálculo do menor complementar é o cálculo do determinante com a exclusão da linha e 
da coluna a qual o elemento tij pertence.
Por exemplo, para calcularmos o MC associado ao elemento t31, ou seja, MC31, temos que 
excluir a linha e a coluna a qual o elemento t31 pertence, de modo que a matriz T31 tem ordem 2 e é 
formada pelos elementos em negrito:
 
 =  
  
31
8
2
0 4 1
13 5
5 9T
Assim, a formação de um determinante associado ao MC31 é dado por:
( ) ( )31
13 5
13 9 5 5 92
5 9
= = − =MC * *
ÁLGEBRA LINEAR
 – 42 – 
FIQUE ATENTO!
 O Menor Complementar é calculado para matrizes quadradas com ordem superior 
a 2, ou seja, com mais de duas colunas e linhas, em igual quantidade.
O segundo conceito é o de cofator. Sendo uma matriz A qualquer, quadrada e de ordem 
3≥n , o cofator Aij de um elemento aij, sendo i = linha e j = coluna, a qual pertence o elemento, é 
dado por:
( )1 += − i jij ijA * MC
Retomando o exemplo anterior, temos que: 
( ) ( )3 1 431 311 1 0 1 0 0
+= − = − = =A * MC * *
O método de Laplace mostra que o determinante de uma matriz quadrada A qualquer, com 
ordem maior ou igual a 3, é calculado a partir do somatório dos produtos entre cada elemento de 
uma linha ou coluna, a qual pertence um elemento , pelos seus cofatores, de modo que:
, 1=
= ∑
n
ij ij
i j
detT a * A
Para exemplificar vamos usar a matriz T já mencionada e o elemento t22 como referência, e 
eleger a segunda coluna para o cálculo do Método de Laplace.
Elaborando os Menores Complementares temos:
 
12
22
32
2 9
2
0 1
8 5
8
0 1
8 5
62
2 9
= =
= =
= =
MC
MC
MC
Elaborando os cofatores, temos:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 3
12 12
2 2 4
22 22
3 2 5
32 32
1 1 2 1 2 2
1 1 8 1 8 8
1 1 62 1 62 62
+
+
+
= − = − = − = −
= − = − = =
= − = − = − = −
T * MC * *
T * MC * *
T * MC * *
ÁLGEBRA LINEAR
 – 43 – 
Somando os resultados dos produtos, entre cada elemento da segunda coluna pelos seus 
cofatores, temos o determinante da Matriz T:
( ) ( ) ( )
3
12 12 22 22 32 32
, 1=
= = + +∑ ij ij
i j
T t *T t *T   t * T t *T
Ou seja:
( )( ) ( ) ( )( )13 2 5 8 4 62 26 40 248 274 40 234= − + + − = − + − = − + = −T * * *
Uma dica para facilitar o cálculo do determinante pelo Método de Laplace é escolher a linha/
coluna com maior número de elementos iguais a zero, pois haverá um menor número de Menores 
Complementares e cofatores a calcular. No caso da Matriz T, por exemplo, haveria apenas os cofato-
res A11 e A21, pois o elemento a31 = 0 faz com que o cofator seja igual a zero (HOWARD; BUSBY, 2006).
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer o conceito de determinante e suas propriedades;
 • aplicar as fórmulas de cálculo de determinantes para matrizes quadradas de diferentes ordens.
Referências
HOWARD, Anton; BUSBY, Roberto. Álgebra linear contemporânea. Tradução Claus Ivo Doering. 
Porto Alegre: Bookman, 2006.
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. Regra de Sarrus. Matemática. Brasil Escola. Disponível em: <http://
brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-sarrus.htm>. Acesso em: 15 set 2017.
ROBBIANO, Lorenzo. Álgebra Linear para todos. Tradução Taíse Santiago O. Mozzato. Milão: 
Springer-Verlag Itália, 2011. 
ÁLGEBRA LINEAR
 – 44 – 
Matrizes invertíveis
José Tadeu de Almeida
Introdução
Você sabe efetuar a inversão de uma matriz quadrada? Nesta aula aprenderemos como fazer 
este procedimento, além de estudar as características específicas de obtenção e operação de uma 
matriz invertível.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • definir matriz invertível;
 • empregar propriedades das matrizes invertíveis, sempre que necessário.
1 Inversa de uma matriz
No estudo das matrizes, há casos especiais que podemos ressaltar. Um destes casos está 
relacionado à inversa de uma matriz. Você saberia defini-la?
Podemos dizer que a inversa de uma matriz A (com notação A–1 e de ordem n, ou seja, com n 
linhas e n colunas) é uma matriz que, ao multiplicar a matrizA (ou seja, quando é efetuada a ope-
ração A * A–1), gera como resultado a matriz-identidade In (BARATOJO, 2008):
A * A–1 = In
FIQUE ATENTO!
Para obtermos a inversa de uma matriz é fundamental que esta matriz seja quadra-
da, com o mesmo número de linhas e colunas.
Cabe lembrar que a matriz-identidade ganha evidência quando os elementos da diagonal 
principal (a partir do elemento a11) são iguais a 1, e todos os demais são iguais a zero.
 – 45 – 
TEMA 5
EXEMPLO
Vamos exemplificar a inversão de uma matriz. Suponhamos, para este exemplo, a 
Matriz T
   
   = =   
      
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 1 0
1 2 1
3 2 4
t t t
T t t t
t t t
Desta forma, a matriz inversa T–1 torna possível a seguinte equação:
Figura 1 – Inversão de uma matriz
− − −
− − −
− − −
    
    =    
        
1 1 1
11 12 13
1 1 1
21 22 23
1 1 1
31 32 33
2 1 0 1 0 0
1 2 1 * 0 1 0
3 2 4 0 0 1
t t t
t t t
t t t
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Portanto, grave bem: uma matriz quadrada A qualquer é invertível quando admite inversão, ou 
seja, quando é possível criar uma matriz A–1 que, ao multiplicar a matriz A, gera a matriz identidade.
2 Método de inversão de matrizes
Para calcularmos a inversa de uma matriz T devemos, primeiramente, obter o determinante 
associado a esta matriz, com notação det A ou simplesmente | A |. Mas, você sabe como fazer 
isso? Sabia que o determinante é dado pela diferença entre os produtos das diagonais principal e 
secundária de uma matriz quadrada:
( ) ( )= = −11 12 11 22 12 21
21 22
* *
t t
T t t t t
t t
É importante destacar ainda que det T precisa ser diferente de zero para que a Matriz T seja 
invertível. 
Para calcularmos det T, vamos usar a Regra de Sarrus, que consiste em adicionar as duas pri-
meiras colunas da matriz original à própria matriz, e depois calcular a diferença entre os produtos 
das diagonais (BARATOJO, 2008). Observe a seguir.
 
 =  
  
2 1 0 2 1
1 2 1 1 2
3 2 4 3 2
T
ÁLGEBRA LINEAR
 – 46 – 
Assim,
 
 =  
  
2 1 0 2 1
1 2 1 1 2
3 2 4 3 2
T
|T| = (2 * 2 * 4) + (1 * 1 * 3) + (0 * 1 * 2) – (3 * 2 * 0) – (2 * 1 * 2) – (4 * 1 * 1) = 11
Desta forma, a Matriz T admite uma matriz inversa, que é obtida a partir da matriz adjunta, ou 
seja, a matriz transposta à matriz dos cofatores.
O cofator de um elemento tij, pertencente a uma linha i e uma coluna j de uma matriz qua-
drada T, com ordem n, é dado por:
( ) += −1 *i jij ijT MC
Onde MCij é o menor complementar do elemento tij, ou seja, o determinante da matriz qua-
drada com ordem (n-1), pois é possível retirar a linha e a coluna a qual pertence o elemento tij.
FIQUE ATENTO!
Não há menor complementar quando a matriz quadrada é de ordem 1; se você 
retirar a linha e a coluna de um único elemento a matriz estará vazia.
Vamos iniciar agora o cálculo dos cofatores pelo elemento t11. Ao eliminarmos sua linha e 
coluna, para o cálculo do menor complementar, teremos a seguinte matriz:
Figura 2 – Cálculo do menor complementar
 
  = =       
11 12 13
11 21 22 23
31 32 33
2 1
2 4
t t t
T t t t
t t t
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
O determinante desta matriz, que é o menor complementar, é dado por:
( ) ( )= = − = − =11 11 2 * 4 2 *1 8 2 6MC T
ÁLGEBRA LINEAR
 – 47 – 
Assim, o cofator do elemento t11 será dado por:
( ) ( )+= − = − = =1 1 211 111 * 1 * 6 1* 6 6T MC
Repetindo o processo para os outros elementos da matriz T, temos:
( ) ( )+= − = − = −2 1 321 21
1 0
1 * 1 * 4
2 4
T MC
( ) ( )+= − = − =3 1 431 31
1 0
1 * 1 * 1
2 1
T MC
( ) ( )+= − = − = −1 2 312 12
1 1
1 * 1 * 1
3 4
T MC
( ) ( )+= − = − =2 2 422 22
2 0
1 * 1 * 8
3 4
T MC
( ) ( )+= − = − = −3 2 532 32
2 0
1 * 1 * 2
1 1
T MC
( ) ( )+= − = − = −1 3 413 13
1 2
1 * 1 * 4
3 2
T MC
( ) ( )+= − = − = −2 3 523 23
2 1
1 * 1 * 1
3 2
T MC
( ) ( )+= − = − =3 3 633 33
2 1
1 * 1 * 3
1 2
T MC
Logo, a matriz dos cofatores é dada por:
− − 
 = − − 
 − 
6 1 4
  4 8 1
1 2 3
cof T
ÁLGEBRA LINEAR
 – 48 – 
FIQUE ATENTO!
Para encontrar a matriz dos cofatores você deve calcular os cofatores de todos os 
elementos da matriz original, mesmo aqueles iguais a zero.
Vale destacar que a matriz adjunta à matriz T é obtida por meio da transposição da matriz 
dos cofatores. Ou seja, cada linha desta matriz é transposta em uma coluna, e vice-versa, de modo 
que a matriz (adj T) é expressa pela figura a seguir:
Figura 3 – Matriz adjunta a uma matriz T de ordem n = 3
( ) ( )
− 
 = = − − 
 − − 
6 4 1
    1 8 2
4 1 3
tadjT cof T
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Assim, a matriz inversa é obtida ao dividirmos a matriz adjunta pelo determinante da matriz 
original (BARATOJO, 2008), de modo que:
− =1
1 *  T adjT
T
Sabendo-se que | T | = 11, temos que efetuar a operação demonstrada na Figura “Matriz 
adjunta a uma matriz T de ordem n = 3”:
Figura 4 – Obtenção da matriz inversa
−
− 
−   
   − −= − − =   
 − −    − −
 
1
6 4 1
11 11 116 4 1
1 81 2* 1 8 2 11 11 1111
4 1 3 34 1
11 11 11
T
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Desta forma, encontramos a matriz inversa T–1. 
Para verificarmos se os seus elementos estão corretamente dispostos, a seguinte a equação 
deve ser válida:
− =1 3*T T I
ÁLGEBRA LINEAR
 – 49 – 
SAIBA MAIS!
Para ser corretamente realizada a multiplicação de matrizes deve seguir algumas 
normas e procedimentos. Você poderá recuperar estes conceitos no texto 
“Multiplicação de matrizes”, de Amanda Gonçalves Ribeiro (2017), disponível no link: 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm>. 
As matrizes de ordem 2 podem ser invertidas por um procedimento mais simples. Confira a 
seguir. Considere, por exemplo, a Matriz J:
   
= =   
  
11 12
21 22
1 0
1 2
j j
J
j j
Se sabemos que J * J–1 = I2, temos que:
     
=     
     
1 0 1 0
*
1 2 0 1
a b
c d
Assim, a multiplicação de matrizes segue o procedimento do exemplo anterior, quando calcu-
lamos o elemento p11. Logo, a matriz-produto é:
+ + +       
= =       + + +       
1 0 1 0 1 2 2
*
1 2 1 0 1 2 2
a b a c a c a a c
c d b d b d b b d
Esta matriz-produto, que é inversa à matriz J, deve ser igual à matriz-identidade:
+   
=   +   
2 1 0
2 0 1
a a c
b b d
Pela igualdade entre matrizes, cada elemento em uma posição da primeira matriz deve ser 
igual ao elemento em posição na segunda matriz:
a =1 e b = 0
Logo,
+ = → = − → = −2 0 2 1 0,5a c c c
E
+ = → = → =2 1 2 1 0,5b d d d
ÁLGEBRA LINEAR
 – 50 – 
Assim, a matriz inversa J–1 é dada por:
−  =  − 
1 1 0
0,5 0,5
J
Cabe, ainda, efetuarmos mais uma consideração, a respeito de um caso especial de matriz, 
denominado matriz ortogonal.
Uma matriz quadrada Y de ordem n é considerada ortogonal quando a sua matriz transposta 
tem todos os elementos coincidindo com a sua matriz inversa, de modo que:
−= 1tY Y
E, se sabemos que:
− =1* nY Y I
Então, 
=* t nY Y I
3 Operações elementares em matrizes
Há operações que podem ser efetuadas em linhas e colunas de uma matriz sem alterar as 
características em relação à formatação de suas linhas ou colunas, ou ainda a relação de indepen-
dência linear entre as mesmas (BARATOJO, 2008).
Há quatro tipos de operações elementares sobre uma matriz. Acompanhe: 
 • a permutação (troca) de linhas ou colunas dentro de uma mesma matriz;
 • a multiplicação de uma linha ou coluna por um número real e diferente de zero;
 • a substituição de uma linha/coluna por uma nova linha/coluna, formada pela soma da 
linha antiga com outra linha da mesma matriz;
 • a substituição de uma linha/coluna por uma nova linha/coluna, formada a partir da 
soma da linha/coluna antiga com uma combinação linear de outra linha ou coluna 
desta matriz (ou seja, o produto entre esta outra linha ou coluna por um número real e 
diferente de zero).
4 Propriedades das matrizes invertíveis
Vamos conhecer agora setepropriedades das matrizes invertíveis. Confira!
ÁLGEBRA LINEAR
 – 51 – 
Inversão do produto entre duas matrizes
Dadas duas matrizes quadradas, A e B, de mesma ordem, e ambas invertíveis, isto é, que 
possuem matrizes inversas com notação A–1 e B–1, temos que o produto entre as matrizes A e B 
gera uma matriz invertível, e esta matriz AB tem sua inversa definida por (HOWARD; BUSBY, 2006):
( )− − −=1 1 1* *A B B A
Assim, na multiplicação entre dois números reais, a ordem dos fatores não altera o resultado; 
mas entre matrizes, sim! A operação − −1 1*B A , por exemplo, gera um resultado diferente da opera-
ção − −1 1*A B . Vamos demonstrar esta propriedade!
Sabemos que AB é invertível e a matriz inversa ( )−1AB é igual a − −1 1*B A .
Como já estudamos, o produto de uma matriz por sua inversa deve corresponder à matriz-i-
dentidade. Logo, desenvolvendo a equação e multiplicando AB por sua inversa ( )−1AB temos:
( ) ( ) ( )− − − −=1 1 1 1* * * *AB B A A B B A
Como − =1* nB B I , temos:
( )− − −=1 1 1* * * *nA B B A A I A
Por definição, =* nA I A . Desta forma,
− −= =1 1* * *n nA I A A A I
Recuperando a primeira parte da equação, temos que a matriz-produto AB, multiplicada por 
sua inversa, gera a matriz-identidade:
( ) ( )− − =1 1* * nAB B A I
Portanto, podemos dizer que uma matriz-produto entre duas matrizes quadradas e invertíveis 
também é invertível.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 52 – 
SAIBA MAIS!
O uso de procedimentos de inversão de matrizes é comum em diferentes áreas do 
conhecimento, como nas ciências exatas e nas ciências sociais aplicadas. Confira 
exemplos práticos no texto “Matriz Inversa”, de Danielle de Miranda Ramos (2017). 
Acesse: <http://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm>.
Relação entre matrizes invertíveis
Se A é uma matriz quadrada de ordem n, e há uma matriz B que torna possível a equação 
=* nB A I , logo, a matriz A é invertível, e B é igual a A–1.
Pois, sabendo-se que =* nB I B , temos que:
( ) ( )− − − −= = = =1 1 1 1* * * * * *n nB I B A A B A A I A A
Matrizes não-invertíveis
Nem toda matriz admite uma matriz inversa. Para determinadas matrizes reais o procedi-
mento de inversão é impossível, por isso devemos levar em conta a composição e distribuição de 
seus elementos.
EXEMPLO
Vamos verificar o caso de uma matriz não-invertível. Para isso, utilizaremos uma 
matriz quadrada de ordem 2:
 
=  
 
0 2
0 3
K
E a sua inversa −    = =   
  
11 121
21 22
k k a b
K
k k c d
ÁLGEBRA LINEAR
 – 53 – 
Ao multiplicarmos K por sua inversa, temos que:
−      = =     
     
1 0 2 2 2* *
0 3 3 3
a b c d
K K
c d c d
Como sabemos que − =1* nK K I , temos:
   
=   
   
2 2 1 0
3 3 0 1
c d
c d
O princípio da igualdade entre matrizes demonstra que duas matrizes são iguais 
quando seus elementos são iguais em valor e posição nas matrizes. Neste caso, 
não pode haver igualdade simultânea nas equações 2c = 1 e 3c = 0. A solução para 
este sistema é impossível. Logo, a matriz K não admite matriz inversa.
Inversão de uma matriz invertível
A matriz inversa de uma matriz invertível também é invertível. E a matriz inversa de uma 
matriz inversa é igual à matriz original:
( )−− =11D D
Transposição de uma matriz invertível
A matriz transposta de uma matriz invertível é, igualmente, uma matriz invertível. E, como 
consequência, a matriz inversa de uma matriz transposta é igual à matriz transposta de uma 
matriz inversa:
( ) ( )− −=1 1 ttS S
ÁLGEBRA LINEAR
 – 54 – 
Determinante da matriz-produto entre uma matriz e sua inversa
Dada uma matriz A e sua inversa A–1, sabendo que − =1* nA A I , e considerando que =det 1nI , 
temos que − =1det A*det 1A .
Inversão da matriz-identidade In
A inversa de uma matriz identidade nI é a própria matriz identidade.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • entender o conceito de matriz inversa e como obtê-la;
 • conhecer as propriedades das matrizes inversas e a formulação de operações 
elementares.
Referências
BARATOJO, José Teixeira. Matrizes e determinantes: Sistemas de Equações lineares. Porto Ale-
gre: Editora da PUC, 2008.
HOWARD, Anton; BUSBY, Roberto. Álgebra linear contemporânea. Tradução Claus Ivo Doering. 
Porto Alegre: Bookman, 2006.
RAMOS, Danielle de Miranda. Matriz Inversa. Brasil Escola. 2017. Disponível em: <http://brasiles-
cola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm>. Acesso em: 27 set 2017.
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. Multiplicação de Matrizes. Mundo Educação. 2017. Disponível em: 
<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm>. Acesso em: 27 
set 2017.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 55 – 
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm%3e.%20Acesso%20em:%2027%20set%202017
http://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm%3e.%20Acesso%20em:%2027%20set%202017
http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm
Sistemas de equações lineares
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula vamos estudar os sistemas lineares, conhecido mecanismo de cálculo utilizado 
em operações com duas ou mais variáveis de análise. Para começar, imagine, por exemplo, que 
um amigo lhe ofereça três horas de trabalho em troca de uma furadeira. Considerando que a fura-
deira custa R$ 150 podemos concluir que ele está cobrando R$ 50 por hora. Este é um exemplo de 
sistema linear com duas variáveis. A seguir analisaremos mais exemplos semelhantes.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • reconhecer equações lineares;
 • compreender o conceito de solução de uma equação linear;
 • identificar um sistema de equações lineares;
 • conhecer a classificação de um sistema de equações lineares quanto às suas soluções.
1 A linearidade de equações
Quando analisamos uma equação baseada em uma ou mais variáveis, também conhecidas 
como incógnitas, podemos obter diferentes tipos de representações algébricas. Você saberia enu-
merá-las? Vamos destacar quatro representações a seguir. Observe:
2x – 6 = 0
3x2 = 27
4x = 36
x5 = 32
FIQUE ATENTO!
As equações possuem diferentes graus, ou seja, a variável (ou incógnita) é elevada 
a diferentes potências. Por exemplo, na equação x5 = 32 a incógnita está elevada à 
quinta potência. Por sua vez, a equação x² = 9 demonstra que a variável está eleva-
da à segunda potência.
 – 56 – 
TEMA 6
Algumas equações podem ainda ser organizadas em termos de uma função, demonstrando 
as relações de dependência entre duas ou mais variáveis. Nestes casos, esta relação de depen-
dência nos mostra que, quando uma incógnita tem o seu valor alterado, para mais ou para menos, 
ocorrerá alterações simultâneas de valores nas outras incógnitas também.
Observe na Figura a seguir a representação da função y = 2x:
Figura 1 – Gráfico relativo à função y = 2x
0
0
-2
-4
-6
-8
2
4
6 
8
10
-10
-12
12
14
16
2 864-2-4-6-8-10
f
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Você pode notar na Figura “Gráfico relativo à função y = 2x” que cada acréscimo de unidade 
ao valor y implica em aumento de duas unidades em x. Desta forma, o par ordenado (x,y) = (1,2) 
representa uma solução desta função, assim como (2,4) e (3,6), por exemplo. Assim, a variação 
entre as possíveis soluções ocorre de maneira linear e contínua, e as soluções desta função são 
descritas em uma reta (HOWARD; BUSBY, 2006).
É importante destacar ainda que a inclinação destas retas pode assumir diferentes tra-
jetórias. Verifique na Figura “Gráfico relativo à função y = 0,1x + 1280” a trajetória da função 
y = 0,1x + 1280 . 
ÁLGEBRA LINEAR
 – 57 – 
Figura 2 – Gráfico relativo à função y = 0,1x + 1280
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
-200
-400
-600
0
0 200 400 600 800 1200 2000 2200 2400 26001400 1600 18001000-1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Esta função nos mostra que, quando x é igual a zero, y será igual a 1280. Além disso, pode-
mos notar que a cada variação,em uma unidade, dos valores do eixo x, os valores do eixo y irão 
variar 0,1 vezes (ou seja, a cada dez unidades de x haverá variação de uma unidade de y). Ou seja, 
podemos concluir que há uma variação linear.
Observe, agora, a representação gráfica da função y = x² na Figura a seguir. Perceba que esta 
é uma função de segundo grau, onde a variável x está elevada à segunda potência.
Figura 3 – Gráfico relativo à função y = x²
0
10
11
12
13
1 432-1-2-3-4-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
ÁLGEBRA LINEAR
 – 58 – 
Note agora que o conjunto de soluções da função demonstrada na figura “Gráfico relativo à 
função y = x²” varia de maneira não-linear; assim, a variação em uma unidade de y gera variações 
diferentes em x. Por exemplo, se y = 3, temos que x = 9. E, se y = 4, x é igual a 16. E ainda, se y é 
igual a 5, temos que x = 25.
FIQUE ATENTO!
Equações cujas trajetórias são não-lineares podem assumir diferentes formas; nas 
equações do segundo grau, por exemplo, são graficamente representadas por uma 
figura em forma de cone denominada parábola.
Desta forma, podemos afirmar que as equações lineares são equações com uma ou mais 
variáveis cuja principal característica é que todas as variáveis de estudo são elevadas à primeira 
potência, de modo que sua variabilidade é linear; ou seja, a variação dos dados de uma variável 
resulta em mudanças em ritmo constante da outra variável (ou outras).
Vale ainda ressaltar que as equações lineares podem apresentar uma única solução, ou um 
conjunto de soluções que satisfazem a relação entre variáveis.
Assim, para que uma equação possa ser caracterizada como uma equação linear ela deve 
ser expressa da seguinte forma geral (HOWARD; BUSBY, 2006):
( ) ( ) ( ) ( )+ + … + =1 1 2 2* * *n na x a x a x b
Ou, de forma simplificada:
( )+ + … + =1 1 2 2 n na x a x a x b
Os elementos 1a , 2a e na são coeficientes que multiplicam as diferentes variáveis 1x , 2x e 
nx ; e b é o termo independente, um valor constante que representa o resultado da equação linear.
Como mencionamos, uma equação linear pode apresentar uma ou mais incógnitas, que são 
as variáveis da função; variáveis as quais iremos atribuir valores que formam as possíveis solu-
ções da equação linear.
Se a equação linear apresenta mais de uma incógnita pode haver um conjunto de elementos 
que solucionem corretamente esta equação; neste caso, ao substituirmos os termos das incógnitas 
pelos elementos mencionados, a igualdade da equação linear mostra-se verdadeira (ROBBIANO, 
2011).
ÁLGEBRA LINEAR
 – 59 – 
EXEMPLO
Vamos verificar se um conjunto de valores numéricos, tomados ao acaso, pode so-
lucionar uma determinada equação linear. Para isso, suponha a seguinte equação:
3x + 2y – 3z = 1
Se tomamos o conjunto (x,y,z) = (2,5,5) e substituímos os valores das incógnitas na 
equação, temos:
3 * 2 + 2 * 5 – 3 * 5 = 1 → 6 + 10 – 15 = 1 → 1 = 1
Neste caso, podemos observar que o conjunto mencionado é uma solução viável 
da equação apresentada.
O termo independente, por sua vez, pode apresentar qualquer valor real; assim, se for igual a 
zero, a equação linear correspondente é chamada de equação homogênea; e da mesma forma, se 
o termo independente é igual a zero, a solução (0,0,0) é chamada de solução trivial.
FIQUE ATENTO!
A expressão trivial demonstra que a solução é comum e inerente a todas as equa-
ções homogêneas.
Por exemplo, supondo a equação 2x – y = 0, uma das soluções possíveis é dada por 
(x,y) = (0,0), pois, ao substituirmos as incógnitas por zero, a equação se mostra correta. Assim, a 
solução trivial mostra-se sempre viável em equações homogêneas (HOWARD; BUSBY, 2006).
2 Equação x Sistema
Quando duas ou mais equações lineares, com n diferentes variáveis (x1, x2, (…) ,xn), são orga-
nizadas em um conjunto, com um número p de equações, temos um sistema linear (HOWARD; 
BUSBY, 2006). 
Desta forma, deduzimos que os sistemas lineares são conjuntos de equações, geralmente 
unidos por um colchete, que associam soluções a equações lineares com duas ou mais variáveis.
No entanto, há diferentes expressões de sistemas, dado o número de equações e variáveis 
envolvidas. Observe os exemplos:
 • sistema com duas equações e duas variáveis (este exemplo recupera a situação pro-
posta na introdução desta aula):
− =
 =
3 0
150
x y
y
ÁLGEBRA LINEAR
 – 60 – 
 • sistema com três equações e três variáveis:
+ − =
 + − =
 + − =
3 2 10 0
14 12
3 2 3
y u c
y u c
y u c
 • sistema com três equações e quatro variáveis:
+ + − =
 − + − =
 + − + =
0
2 3 4 2
5 3 3 18
x y z w
x y z w
x y z w
SAIBA MAIS!
Os sistemas lineares podem combinar coeficientes lineares a1, a2, (…), an; variáveis 
elevadas à primeira potência x1, x2, (…) ,xn; e termos independentes b1, b2, (…), bn em 
número infinito.
3 Classificação de sistemas lineares 
quanto às soluções
Os sistemas lineares podem ser organizados de acordo com o número de soluções que apre-
sentam, e conforme as variáveis envolvidas.
SAIBA MAIS!
O artigo “Discussão e resolução gráfica de sistemas de equações lineares usando 
o winplot” (TEIXEIRA et al, 2016), em especial os tópicos 2. e 2.1, aprofunda a 
discussão sobre as características dos sistemas lineares e sua classificação quanto 
às soluções. Acesse: <https://editorarealize.com.br/revistas/epbem/trabalhos/
TRABALHO_EV065_MD1_SA7_ID683_29102016214540.pdf>.
Considere, portanto, um conjunto de p equações lineares, com n incógnitas, que apresenta a 
seguinte forma geral:
( )
( )
( )
( )
 + + … + =
 + + … + =
 …
 + + … + =
11 1 12 2 1 1
21 1 21 2 2 1
1 1 2 2
n n
n n
p p pn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
ÁLGEBRA LINEAR
 – 61 – 
Observe ainda que os termos independentes b1, b2, (…), bn são valores reais e constantes. 
Deste modo, com base na forma geral mencionada (um conjunto de p equações lineares, com n 
incógnitas), podemos elencar três tipos de sistemas e suas soluções (HOWARD & BUSBY, 2006). 
Confira a seguir.
 • Sistema Possível e Determinado (SPD): ocorre quando o sistema pode ser solucio-
nado, e há apenas uma solução que satisfaz o sistema linear;
 • Sistema Possível e Indeterminado (SPI): em casos onde o sistema pode ser solucio-
nado e há diferentes (ou infinitas) soluções possíveis;
 • Sistema impossível: não admite nenhuma possibilidade de solução.
EXEMPLO
Vamos obter a solução de um sistema linear e classificá-lo em relação às suas 
soluções. Observe este sistema:
− =
 =
3 0
120
x y
y
Logo:
− = → = → =3 120 0 3 120 40x x x
Neste exemplo podemos observar que o par ordenado (40,120) é o único que sa-
tisfaz o sistema proposto. Veja que a variável y possui um valor único, igual a 120, 
logo não há outras soluções possíveis para este sistema. Assim, temos que este 
sistema é um sistema possível e determinado (SPD). Agora, caso este par orde-
nado seja colocado sobre um plano cartesiano sua posição será dada conforme 
demonstrado na figura 4. 
ÁLGEBRA LINEAR
 – 62 – 
Figura 4 – Posição do ponto (50,150) em um plano cartesiano
 
A
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 20 40 60 80 100
-20
-40
-60
-80
-100
-100 -80 -60 -40 -20
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Por sua vez, observe o sistema:
x + y = 0
2x + 2y =150
Quando as variáveis de uma soma são multiplicadas por 2 o resultado final também 
é multiplicado por 2, o que não ocorre neste sistema. Não há como 0 ser igual a 150. 
Podemos, portanto, verificar que o sistema é impossível.
Por fim, verifique agora este sistema:
− =
 + =
x y 0
x y 2x
Infinitos resultados satisfazem este sistema; basicamente, todos os n pares orde-
nados formados por elementos iguais, tais como (0,0), (1,1), (2,2)... , (n, n). Neste 
caso, o sistema proposto é possível e indeterminado.
Fechamento
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer os conceitos de equação linear e sistema linear;
 • verificar e classificar os sistemas lineares de acordo com o seu número de soluções.
ÁLGEBRA LINEAR