curva de lorenz + gini - slides

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Contas Nacionais 
Medidas de desigualdade P2
Prof. Fernando Pozzobon
fernando.esag@gmail.com
1
Só para ilustrar...
Kuz
nets
http://veja.abril.com.br/blog/ricardo-setti/tag/indice-de-gini/
A curva parte da origem (0,0) e termina no ponto (100,100). Se a renda estivesse distribuída de forma perfeitamente equitativa, a curva coincidiria com a linha de 45 graus que passa pela origem (por exemplo, 30% da população recebe 30% da renda). Se existisse desigualdade perfeita, ou seja, se uma pessoa detivesse toda a renda, a curva coincidiria com o eixo das abscissas até ao ponto (100,00), de onde iria até o ponto (100,100). 
Em geral, a curva se encontra numa situação intermediária entre esses dois extremos. Se uma curva de Lorenz se sobrepõe a outra (e, por conseguinte, mais próxima da linha de 45 graus), pode-se dizer que a primeira exibe menor desigualdade que a segunda. Esta comparação gráfica entre distribuições de domínios geográficos distintos ou temporais é o principal emprego das curvas de Lorenz. A área “a” é chamada de “área de desigualdade”.
(0,0)
(100,100)
% da pop.
% d
a r
e
n
d
a
Fonte: AZEVEDO - Avaliando a Significância Estatística da Queda na Desigualdade no Brasil
Curva de Lorenz: um exemplo numérico
Os dados da PNAD de 2003 mostraram as distribuições das pessoas ocupadas conforme a renda obtida na atividade exercida. São classificadas em 8 estratos. 
Estrato
Porcentagem no Estrato
Porcentagem acumulada
Da população
Da renda total
Da população (100p)
Da renda total (100 q)
I
30
7
30
7
II
20
9
50
16
III
20
13
70
29
IV
10
10
80
39
V
10
16
90
55
VI
5
13
95
68
VII
4
19
99
87
VIII
1
13
100
100
Distribuição A
Distrubuição B
Distribuição C
Distribuição Perfeita
Desigualdade Extrema
 
Acumulada
 
Acumulada
 
Acumulada
 
Acumulada
 
Acumulada
1
3
3
1
1
1
1
10
10
0
0
2
6
9
2
3
1
2
10
20
0
0
3
7
16
3
6
1
3
10
30
0
0
4
8
24
4
10
9
12
10
40
0
0
5
9
33
5
15
9
21
10
50
0
0
6
12
45
15
30
15
36
10
60
0
0
7
13
58
16
46
15
51
10
70
0
0
8
13
71
17
63
15
66
10
80
0
0
9
14
85
18
81
15
81
10
90
0
0
10
15
100
19
100
19
100
10
100
100
100
A
P
E
C
B
Outras Características...
Ademais, ela é convexa com relação ao eixo horizontal, não sendo afetada por mudanças proporcionais na distribuição da renda. 
Outra característica da curva de Lorenz é a possibilidade de mostrar se uma distribuição é mais ou menos desigual, independentemente do montante do que se quer distribuir. 
Isso permite comparar as desigualdades de renda, por exemplo, entre países ou regiões muito ricas e muito pobres ou entre países que usam diferentes denominações monetárias.
Aprendemos?
Analise os dados abaixo e responda às perguntas que se seguem.
	
a) Trace a curva de Lorenz aproximada para os três países.
b) Qual dos três países apresenta a distribuição de renda mais desigual? Justifique.
c) Caso a distribuição de renda desses países fosse perfeitamente igualitária, qual seria a participação dos diversos segmentos (decis) na renda nacional? Ilustre o formato que a curva de Lorenz assumiria nessa circunstância.
d) E se a distribuição da renda fosse absolutamente desigual (toda renda sendo auferida por um só indivíduo), qual seria o formato da curva de Lorenz?
Brasil, Uruguaie México – Distribuição da Renda 1994
Países
Distribuição da renda (em %)
40% mais pobres
30% seguintes
10% mais ricos
Brasil
11,8
19,1
42,5
Uruguai
21,6
26,3
25,4
México
16,8
22,8
34,3
B
A
Índice de Gini
O coeficiente de Gini se calcula como uma razão das áreas no diagrama da curva de Lorenz. Se a área entre a linha de perfeita igualdade e a curva de Lorenz é A, e a área abaixo da curva de Lorenz é B, então o coeficiente de Gini é igual a A/(A+B=0,5): 
	Como 0 ≤ A ≤ 0,5;
	temos 0 ≤ G ≤ 1
O número de Gini é adimensional
Índice de GINI no mundo
GINI Brasil
Índice de GINI no Brasil (2011)
Fonte: IPEA in < http://www.ipea.gov.br/portal/index.php?option=com_
content&view=article&id=6227&Itemid=1>
Calculando Índice de Gini...
À medida que o número de quantis em que dividimos a população cresce, a curva de Lorenz se torna mais contínua.
Ainda assim, é possivel que o número de quantis seja sempre mensurável.
Imagine uma população de 8 pessoas.
As distribuições de renda 
individuais (X) são, 
respectivamente:
X1=X2=X3=1
X4=2
X5=4
X6=8
X7=13
X8=20
População
pi
Xi
SomaXj
b
B
B+b
1
0.125
1
1
0.02
0.02
0.02
2
0.25
1
2
0.02
0.04
0.06
3
0.375
1
3
0.02
0.06
0.1
4
0.5
2
5
0.04
0.1
0.16
5
0.625
4
9
0.08
0.18
0.28
6
0.75
8
17
0.16
0.34
0.52
7
0.875
13
30
0.26
0.6
0.94
8
1
20
50
0.4
1
1.6
Resolver 
Imagine uma população de 5 pessoas.
A renda apropriada por cada pessoa é, respectivamente, de 1, 4, 5, 7 e 8. Construa a Curva de Lorenz e obtenha o índice de Gini para esta distribuição.
População
pi
Xi
SomaXj
r
ri
ri acum
1
0.2
1
1
0.04
0.04
0.04
2
0.4
4
5
0.16
0.2
0.24
3
0.6
5
10
0.2
0.4
0.6
4
0.8
7
17
0.28
0.68
1.08
5
1
8
25
0.32
1
1.68
Considere uma população com n pessoas em que a renda de m (com m<n) pessoas é igual a zero e a renda total é equitativamente distribuída entre as n-m pessoas restantes. Mostre que o índice de Gini da distribuição de renda nessa população é 
Leitura Complementar...
SOARES, Sergei S.D., O RITMO DE QUEDA NA DESIGUALDADE NO BRASIL É ADEQUADO? EVIDÊNCIAS DO CONTEXTO HISTÓRICO E INTERNACIONAL, TEXTO PARA DISCUSSÃO No 1339 – IPEA, Brasília, maio de 2008.
Desigualdade diminui no Brasil e sobe nos outros Brics 
< http://www.ihu.unisinos.br/noticias/518036-desigualdade-diminui-no-brasil-e-sobe-nos-outros-brics> 
Ipea: após "década inclusiva", desigualdade diminui no Brasil
http://www.vermelho.org.br/noticia.php?id_noticia=207143&id_secao=1