Aula 7

Prévia do material em texto

Conjuntos fuzzy
Faculdade Estácio de Sá
Curso de Engenharia de Produção
Professor: Tarcisio Costa Brum
Conjuntos booleanos
• Interseção de conjuntos booleanos
• Dados os conjuntos A e B, onde A  E, B  E, a interseção A ꓵ B contém os elementos membros 
dos conjuntos A e B.
• O conjunto E, neste caso, é o universo de discurso comum a ambos (A e B)
• O vetor de pertinência de A pode ser expresso como:
• 𝜇𝐴 𝑥 =
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ 𝐴
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝐴
• O vetor de pertinência de B pode ser expresso como:
• 𝜇𝐵 𝑥 =
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ 𝐵
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝐵
• Álgebra booleana: bivalência – utilização de 2 valores – V ou F, Preto ou Branco
• Lógica fuzzy: multivalência – Conjunto de possibilidades – Espectro de valores possíveis
Conjuntos booleanos
• Interseção de conjuntos booleanos
• O vetor interseção A ꓵ B é escrito como :
• 𝜇A ꓵ B 𝑥 =
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵA ꓵ B
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥A ꓵ B
• Temos a representação da interseção booleana:
• 𝜇A ꓵ B 𝑥 = 𝜇𝐴 𝑥 . 𝜇𝐵 𝑥 onde “.” simboliza a função booleana de E 
executada da seguinte forma:
Conjuntos booleanos
• A interseção é o maior subconjunto do universo de discurso E e, 
portanto, é sempre menor ou igual que os conjuntos individuais A e 
B.
• Por essa razão, temos que 𝜇A ꓵ B 𝑥 = min[𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑥 ]
A B A ꓵ B Pertinência
0 0 0 Não membro
0 1 0 Não membro
1 0 0 Não membro
1 1 1 Membro
Conjuntos booleanos
• Exemplo: Sendo E={x1,x2,x3,x4,x5}; A={0,1,1,0,1} e B={1,0,1,0,1}; A 
E; B  E.
• A interseção é:
• A ꓵ B={(0.1),(1.0),(1.1),(0.0),(1.1)}
• O vetor de pertinência então é:
• 𝜇A ꓵ B 𝑥 = {0,0,1,0,1}
Conjuntos booleanos
• União de conjuntos booleanos:
• Dados os conjuntos A e B, onde A  E, B  E, a união A U B contém os elementos 
membros dos conjuntos A ou B.
• O conjunto E, neste caso, é o universo de discurso comum a ambos (A e B)
• O vetor de pertinência de A pode ser expresso como:
• 𝜇𝐴 𝑥 =
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ 𝐴
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝐴
• O vetor de pertinência de B pode ser expresso como:
• 𝜇𝐵 𝑥 =
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ 𝐵
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝐵
Conjuntos booleanos
• União de conjuntos booleanos
• O vetor união A U B é escrito como :
• 𝜇A U B 𝑥 =
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ A U B
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 A U B
• Temos a representação da interseção booleana:
• 𝜇A U B 𝑥 = 𝜇𝐴 𝑥 + 𝜇𝐵 𝑥 onde “+” simboliza a função booleana de OU 
executada da seguinte forma:
Conjuntos booleanos
• A união é o menor subconjunto do universo de discurso E e, portanto, 
é sempre maior ou igual que os conjuntos individuais A e B.
• Por essa razão, temos que 𝜇A U B 𝑥 = m𝑎𝑥[𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑥 ]
A B A U B Pertinência
0 0 0 Não Membro
0 1 1 Membro
1 0 1 Membro
1 1 1 Membro
Conjuntos booleanos
• Exemplo: Sendo E={x1,x2,x3,x4,x5}; A={0,1,1,0,1} e B={1,0,1,0,1}; A 
E; B  E.
• A união é:
• A U B={(0+1),(1+0),(1+1),(0+0),(1+1)}
• O vetor de pertinência então é:
• 𝜇A U B 𝑥 = {1,1,1,0,1}
Conjuntos booleanos
• Complemento de conjuntos booleanos:
• Seja A um subconjunto do universo E. O complemento de A em relação a E, 
denominado por A’, é um conjunto de elementos x ϵ E que não são membros 
de A.
• O conjunto E, neste caso, é o universo de discurso comum a A.
• O vetor de pertinência de A pode ser expresso como:
• 𝜇𝐴 𝑥 =
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ϵ 𝐴
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥𝐴′
Conjuntos booleanos
• Complemento de conjuntos booleanos
• Temos a representação da interseção booleana:
• 𝜇A′ 𝑥 = 1 − 𝜇𝐴 𝑥
• Exemplo: Sendo E={x1,x2,x3,x4,x5}; A={0,1,1,0,1}, o complemento do 
conjunto A em relação ao conjunto E é A’={0’,1’,1’,0’,1’} onde “ ’ ” simboliza o 
NÃO booleano.
• O vetor pertinência é:
• 𝜇A′ 𝑥 ={1,0,0,1,0}
Conjuntos booleanos
• Exemplo: Sendo E={x1,x2,x3,x4,x5,x6}; A={x3,x4,x5}; A  E; x ϵ E.
• Determine a função de pertinência para o subconjunto A com relação 
a cada elemento do conjunto E:
• 𝜇A 𝑥1 = 0 ; 𝜇A 𝑥2 = 0 ; 𝜇A 𝑥3 = 1 ; 𝜇A 𝑥4 = 1 ; 𝜇A 𝑥5 = 1 ; 𝜇A 𝑥6 = 0
Conjuntos booleanos
• Dado que E={x1,x2,x3,x4}; A={0,4;0,2;0;1}; B={0,3;0;0} podemos 
afirmar que B  A?
• Da aula anterior, temos que se A  B, então 
• Subconjunto: A  B, se 𝜇𝐵(x) ≥ 𝜇𝐴(x) para cada x ϵ U 
• Sim, pois 0,3<0,4 ; 0 <0,2 0=0 e 0<1
Conjuntos booleanos
• Dado que E={x1,x2,x3,x4,x5}; A={0,2;0,7;1;0;0}; B={0,5;0,3;1;0,1;0,5} 
encontre os elementos de E da operação
• A U B
• A U B={x1,x2,x3,x4,x5}
• A ꓵ B
• A ꓵ B={x1,x2,x3,x4}
• (A ꓵ B)’={x5}
Propriedades números fuzzy
• Para que um conjunto fuzzy seja definido como número fuzzy, este 
deve obedecer às seguintes condições:
• Estar definido nos números reais;
• A função de pertinência ser contínua;
• O conjunto fuzzy deve ser normalizado;
• max 𝜇𝐴 𝑥 = 1, 𝑥 ϵ 𝑈
• O conjunto fuzzy deve ser convexo.
• 𝜇𝐴 [α𝑥1 + (1 − α) 𝑥2] ≥ min 𝜇𝐴 𝑥1 , 𝜇𝐴 𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑥1, 𝑥2 ϵ 𝑈, ϵ α[0,1]
Conjuntos Difusos
• Existem muitos tipos de conjuntos fuzzy, um deles é do tipo ordinário
• Cada elemento é representado por um número real
• Porém, em alguns casos onde um conjunto fuzzy ordinário é utilizado, as 
funções de pertinência só podem ser definidas aproximadamente
• Pode ser interessante definir o significado de alto ou baixo para cada elemento do 
conjunto
• Nestes casos, somente uma possibilidade é utilizada
• Valores dentro do intervalo [baixo,alto] são utilizados
• Conjuntos fuzzy definidos por por funções deste tipo são denominados conjuntos fuzzy
de intervalos
• A: X →Ɛ([0,1])
Exemplo: Números próximos de 2
• Considere o subconjunto F dos números reais próximos de 2:
• F={x ϵ R: x é próximo de 2}
• Se definirmos 𝜇𝐴(x): R →[0,1] que associa cada x real ao valor de 
proximidade ao ponto 2 pela expressão:
• 𝜇𝐴 𝑥 =
1 − 𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ∈ [1,3)
0 , 𝑠𝑒 𝑥  [1,3]