16_Aula 14 Inequaç˜oes lineares e quadráticas

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Inequações lineares e quadráticas
MÓDULO 2 - AULA 14
Aula 14 – Inequações lineares e quadráticas
Objetivos
Depois de estudar esta aula, você poderá:
• encontrar os subconjuntos do plano que representam soluções de uma
ou mais inequações;
• resolver e representar geometricamente a solução de sistemas de equa-
ções lineares e quadráticas.
Nas aulas anteriores exploramos a ligação entre geometria e álgebra
através das equações lineares e quadráticas. Assim retas foram expressas em
termos de equações lineares, parábolas, ćırculos, elipses e hipérboles expressas
em termos de equações quadráticas.
Nesta aula vamos expandir os resultados estudados com o objetivo de
representar no plano conjuntos determinados como soluções de equações e
inequações quadráticas.
Inequações lineares: semi-planos
Considere uma reta r cuja equação é ax+ by + cz = 0. A reta r divide
o plano em dois semi-planos H1 e H2, veja a Figura 14.1.
r
H
2
H
1
Figura 14.1: Semi-planos H1 e H2 determinados por uma reta.
Tecnicamente, dizemos que a reta r provoca uma partição do plano em
dois semi-planos H1 e H2 tais que valem as propriedades:
H1 ∩H2 = ∅ e H1 ∪H2 = R
2.
Observe que os semi-planos H1 e H2 definidos através da reta r não
contém a reta r como um subconjunto. Em topologia estes semi-planos
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seriam ditos abertos. Também é útil considerar os semi-planos fechados, H1
e H2, tais que
H1 = H1 ∪ r e H2 = H2 ∪ r.
Note que para os semi-planos fechados vale
H1 ∩H2 = r
Após estas considerações geométricas é imperativa a pergunta:
– Como expressar algebricamente, cada um dos conjuntos H1 e H2?
Dentro da filosofia que esta disciplina deve ser eminentemente opera-
cional, em preparação às outras disciplinas de cálculo que virão, vamos res-
ponder à questão formulada examinando exemplos concretos. Acompanhe a
seqüência de exemplos.
Exemplo
Vamos descrever o conjunto do plano definido pela inequação x+ 2 > 0.
Solução
A reta r, cuja equação é x−2 = 0, define dois semi-planos H1 e H2. Considere
H1 o conjunto definido pela inequação x+ 2 > 0. Ou equivalentemente pela
inequação x > −2. Portanto,
H1 = {x; x+ 2 > 0}.
Um exame direto na representação gráfica apresentada na Figura 14.2,
identifica o conjunto H1 como a região hachurada.
x
y
2
r
H
1
Figura 14.2: H1 o semi-plano x+ 2 > 0.
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Exemplo
Considere a inequação 2x− 3y+6 ≥ 0. Vamos determinar o conjunto H1 do
plano tal que
H1 = {(x, y) ∈ R
2; 2x− 3y + 6 ≥ 0}.
Solução
Veja que a reta r cuja equação é 2x − 3y + 6 = 0 separa o plano em dois
semi-planos H1 e H2. Na Figura 14.3, está identificado o semi-plano H1.
r
x
y
P
2
0
-3
y
y
0
x
y
y
1
~
x
1
Q
Figura 14.3: O semi-plano 2x− 3y + 6 ≥ 0.
Veja porque o conjunto H1 está bem identificado na Figura 14.3.
Como,
2x− 3y + 6 ≥ 0⇔ −y ≥
2
3
x−
6
3
⇔ y ≤
2
3
x+ 2.
Note o ponto P anotado no conjunto H1. Na Figura 14.3 o ponto
P0 = (x0, y0) pertence à reta r. Portanto,
y0 =
2
3
x0 + 2.
Note que para o ponto P = (x0, y) temos que
y ≤
2
3
x+ 2 e y < y0 ⇒ y <
2
3
x0 + 2⇒ P = (x0, y) ∈ H1.
O mesmo racioćınio pode ser aplicado para mostrar porque o ponto Q
está no semi-plano H1. Veja que, como Q1 = (x1, y1) está na reta r então
y1 =
2
3
x1 + 2.
Para o ponto Q = (x1, ỹ) temos que
y1 =
2
3
x1 + 2 e ỹ < y1 ⇒ ỹ <
2
3
x1 + 2 ⇒ Q = (x1, ỹ) ∈ H1
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Sistemas de inequações lineares
O trabalho desenvolvido para identificar o semi-plano definido por uma
inequação linear, pode ser estendido para determinar a região do plano defi-
nido por um sistema de inequações lineares. Acompanhe o exemplo.
Exemplo
Vamos determinar o conjunto A de pontos definidos pelo sistema de ine-
quações {
x+ y + 1 ≥ 0
−2x+ y + 2 ≤ 0
(∗)
Solução
Note que as retas r e s definidas, respectivamente, pelas equações
x+ y + 1 = 0 e − 2x+ y + 2 = 0
são retas inclinadas, com respeito ao sistema de coordenadas x0y. Veja na
Figura 14.4, os gráficos destas retas.
Note, também, que o sistema de inequações pode ser expresso, de modo
equivalente, por
{
x+ y + 1 ≥ 0
−2x+ y + 2 ≤ 0
(∗) ⇒
{
y ≥ −x− 1
y ≤ 2x− 2
(∗∗)
r
x
y
-1
A
-1
1
s
Figura 14.4: O conjunto A = {(x, y); x+ y + 1 ≥ 0 e − 2x+ y + 2 ≤ 0}.
Agora observe que os pontos P = (x, y) do plano que verificam a pri-
meira inequação do sistema (**) estão acima da reta r, enquanto que os
pontos P = (x, y) que verificam a segunda inequação estão abaixo da reta
s. Portanto, os pontos que satisfazem simultaneamente as inequações do
sistema é fornecido pela interseção dos conjuntos. Identifique este conjunto
solução com a região hachurada na Figura 14.4.
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No nosso estudo as inequações quadráticas são eficientes para deter-
minar conjuntos de pontos que formam o interior ou exterior de ćırculos e
elipses e, também, identificar regiões do plano determinadas pelos traços de
parábolas e hipérboles. Acompanhe os próximos exemplos.
Exemplo
Vamos determinar a região do plano associada à inequação
x2 + 2x+ y2 − 3 ≥ 0.
Solução
Veja que
x2 + 2x+ y2 − 3 = (x− 1)2 + y2 − 4.
Portanto, a inequação em estudo é equivalente a
(x− 1)2 + y2 ≥ 22.
Uma vez que (x− 1)2 + y2 = 22 é a equação do ćırculo de centro C =
(1, 0) e raio r = 2. Então (x− 1)2 + y2 ≥ 22 representa os pontos do ćırculo
(por conta da igualdade) adicionados a todos seus pontos exteriores (por
conta da desigualdade). Veja a Figura 14.5.
y
x2 310-1
E
Figura 14.5: O conjunto E = {(x, y); x2 + 2x+ y2 − 3 ≥ 0}.
Exemplo
Vamos encontrar o conjunto determinado pela inequação
−9x2 + 4y2 + 36 ≤ 0.
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Solução
Note que
−9x2 + 4y2 + 36 ≤ 0 ⇔ −
x2
4
+
y2
9
+ 1 ≤ 0 ⇔
x2
4
−
y2
9
− 1 ≥ 0.
Ou seja,
x2
4
−
y2
9
≥ 1.
Os pontos P = (x, y) do plano que verificam esta inequação estão re-
presentados pela região hachurada na Figura 14.6.
y
x210-1
G
-2
1
2
3
-3
-1
G
Figura 14.6: Região G =
{
(x, y);
x2
4
−
y2
9
≥ 1
}
.
Exemplo
Vamos identificar o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que
x2 − 2x ≥ y + 3.
Solução
Note que a inequação é equivalente a
x2 − 2x− y − 3 ≥ 0 ⇔ −y ≥ −x2 + 2x+ 3 ⇔ y ≤ x2 − 2x− 3.
Uma vez que y = x2− 2x− 3 representa uma parábola, como esboçada
na Figura 14.7, identificamos no conjunto hachurado o que procuramos.
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x
y
B
1 2
2
3
Figura 14.7: O conjunto B = {(x, y); y ≤ x2 − 2x+ 3}.
Sistemas de equações lineares e quadráticas
Continuando a explorar as possibilidades de expressar geometricamente
através de conjuntos do plano as soluções de inequações, vamos tratar a
situação onde aparecem sistemas de inequações. Acompanhe o exemplo.
Exemplo
Dadas a reta r e a parábola P , onde
r −→ 2x− y − 1 = 0;
P −→ x2 − 2x+ y = 0.
Determine
a) Os pontos de interseção da reta com a parábola;
b) O conjunto solução do sistema de inequações
{
2x− y ≤ 1
x2 ≤ 2x− y
(∗)
Solução
Para resolver o item a) partimos da equação da reta r para encontrar que
y = 2x− 1.
Este resultado substitúıdo na equação da parábola resulta que
x2 − 2x+ 2x− 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x1 = 1 e x2 = −1.
Estes dois valores para a variável x, substitúıdos em y = 2x−1, resultam
que
y1 = 1 e y2 = −3.
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Portanto, os pontos A = (1, 1) e B = (−1,−3) são a interseção da reta
com a parábola. Veja a Figura 14.8.
x
y
F
-1
r
1
1
-3B
A
0 2
1
Figura 14.8: O conjunto F = {(x, y); 2x− y ≤ e x2 ≤ 2x− y}.
Note que o sistema de inequações (*) é equivalente a
{
y ≥ 2x− 1
y ≤ −x2 + 2x
(∗∗)
Portanto o conjunto F é obtido pela interseçãodo semi-plano abaixo
da parábola (interior da parábola) e acima da reta.
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