15_Aula 13 Equaç˜oes quadráticas continuação

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Equações quadráticas – continuação
MÓDULO 2 - AULA 13
Aula 13 – Equações quadráticas –
continuação
Objetivos
Após estudar esta aula, você será capaz de:
• compreender o conceito de mudança de coordenadas;
• expressar a parábola através de uma equação quadrática.
Na aula passada você teve ocasião de estudar a parábola, e agora é o
momento de apresentar outras curvas: a elipse e a hipérbole. Essas duas
curvas mais a parábola são conhecidas desde a época clássica da Matemática
grega, com o nome de cônicas, e têm lugar nobre na história da Matemática.
O grande matemático da antiguidade Apolônio de Perga (262 - 190 a.C.)
registrou, em um genial livro denominado seções cônicas, todo o conheci-
mento matemático da época sobre estas curvas. Cada uma delas pode ser
obtida através da interseção de um plano com um duplo cone circular reto,
dáı o nome cônicas. A obtenção de uma ou outra cônica fica na dependência
da posição geral do plano em relação ao eixo e as geratrizes do cone duplo.
Veja representado na Figura 13.1, a obtenção de cada cônica. No caso da
parábola, o plano é paralelo a uma das geratrizes do cone superior e inter-
secta o cone inferior. No caso da elipse, o plano intersecta o eixo do cone com
um ângulo diferente de 900 e intersecta todas as geratrizes do cone inferior.
No caso da hipérbole, o plano é paralelo ao eixo e intersecta os cones superior
e inferior.
Figura 13.1: Parábola, elipse e hipérbole, respectivamente.
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A elipse
Uma elipse fica definida no plano a partir da escolha de dois pontos
F1 e F2 e de uma medida m maior que a distância entre estes pontos. Aqui
m é um número positivo. Se como de costume denotarmos por d(F1, F2) a
distância entre os pontos, a condição prescrita é que m > d(F1, F2).
A elipse é então por definição o conjunto dos pontos P = (x, y) do
plano tal que a soma da distância de P até F1 com a distância de P até F2
é igual a m. Em outras palavras fixados F1 e F2 e uma medida m maior que
a distância entre estes pontos, a equação da elipse é definida pela condição
geométrica
d(P, F1) + d(P, F2) = m.
Na linguagem de conjuntos, se α é um plano, então
elipse = {P ∈ α; d(P, F1) + d(P, F2) = m}.
A partir da definição você pode desenhar uma elipse no papel escolhendo
um barbante com comprimento m e fixando as extremidades dos barbante
por duas tachinhas localizadas nos pontos F1 e F2. Agora basta esticar o
barbante com um lápis e deslizar mantendo o barbante esticado de modo
que é posśıvel desenhar a elipse. Veja a ilustração na Figura 13.2.
Figura 13.2: Uma elipse desenhada num papel.
Agora, num plano onde está representado uma elipse, introduzimos um
sistema de eixos ortogonais adaptados à elipse com o intuito de encontrar
uma equação a mais simples posśıvel que a represente. Este sistema de
coordenadas é tal que o eixo 0x contem os focos F1 e F2 e o ponto médio do
segmento F1F2 é a origem do sistema de coordenadas. Como os focos estão
sobre o eixo 0x então podemos escrever, nas coordenadas x0y que
F1 = (c, 0) e F2 = (−c, 0), onde c > 0.
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Também, vamos escrever a distância m > d(F1, F2) como
m = 2a, onde a > 0.
Assim, se P = (x, y) é um ponto arbitrário da elipse, temos que
d(P, F1) + d(P, F2) = m ⇒
⇒
√
(x− c)2 + (y − 0)2 +
√
(x+ c)2 + y2 = 2a.
A última equação pode ser escrita como
√
(x+ c)2 + y2 = 2a−
√
(x− c)2 + (y − 0)2.
Agora elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade vamos encon-
trar que
4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2 = (x+ c)2 + y2.
Desenvolvendo os quadrados, temos
4a2 − 4a
√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2 = x2 + 2cx+ c2 + y2.
Cancelando as parcelas iguais e somando −4a2 +2cx a ambos os mem-
bros da igualdade, obtemos
−4a
√
(x− c)2 + y2 = 4cx− 4a2.
Cancelando o fator comum, temos
−a
√
(x− c)2 + y2 = cx− a2.
Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos
a2((x− c)2 + y2) = c2x2 − 2a2cx+ a4.
Desenvolvendo o lado esquerdo desta igualdade, obtemos
a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2 = c2x2 − 2a2cx+ a4.
Somando −c2x2 + 2a2cx − a2c2 a ambos os membros desta igualdade,
reescrevemos a equação como
(a2 − c2)x2 + a2y2 = a4 − a2c2 = a2(a2 − c2),
Como a > c > 0, temos que a2 > c2. Assim, a2 − c2 é um número real
positivo e podemos escrevê-lo como o quadrado de um número real b > 0,
logo b2 = a2 − c2. Observe que b < a. A equação anterior se reescreve como
b2x2 + a2y2 = a2b2 que, dividindo por a2b2 6= 0, é equivalente a
x2
a2
+
y2
b2
= 1, onde c2 = a2 − b2.
Esta equação é chamada equação reduzida da elipse.
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Observe a representação gráfica da elipse na Figura 13.3 e acompanhe
através das notas o destaque de pontos relevantes.
x
y
B1
F1
A2
B2
F2
A1
Figura 13.3: Elipse: eixos maior e menor, focos e vértices.
Notas
1. Os pontos A1 = (a, 0) e A2 = (−a, 0) pertencem à elipse. Basta subs-
tituir os pontos na equação reduzida da elipse para confirmar. Estes
pontos representam a interseção da elipse com o eixo 0x. O segmento
A1A2 é dito o eixo maior da elipse e estes pontos são denominados
vértices.
2. Os pontos B1 = (0, b) e B2 = (0,−b) pertencem à elipse. Uma
substituição direta destes pontos na equação da elipse confirma esta
afirmação. Estes pontos representam a interseção da elipse com o eixo
0y. O segmento B1B2 é o eixo menor da elipse.
3. Observe que os focos da elipse estão sobre o eixo maior A1A2.
4. Na construção para obter a equação reduzida da elipse os focos foram
colocados sobre o eixo 0x e deste modo o eixo maior da elipse fica sobre
o eixo 0x, enquanto que o eixo menor fica sobre o eixo 0y. A equação
da elipse tem a forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1, onde a > b > 0.
Neste caso o eixo maior da elipse tem comprimento 2a, enquanto que
o eixo menor tem comprimento 2b.
5. Por outro lado, é posśıvel realizar o mesmo desenvolvimento de modo
que os focos fiquem sobre o eixo 0y e evidentemente o eixo 0x encon-
trando perpendicular o segmento focal F1F2 no ponto médio. Nesta
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situação o eixo menor da elipse fica sobre o eixo 0x, enquanto que o
eixo maior fica sobre o eixo 0y. A equação da elipse tem a forma
x2
a2
+
y2
b2
= 1 onde b > a > 0.
Neste caso o eixo maior da elipse tem comprimento 2b, enquanto que o
eixo menor tem comprimento 2a.
Exemplo
A equação
x2
4
+
y2
9
= 1 representa uma elipse cujos eixos maior e menor
medem, respectivamente, 3 e 2 e possuem os eixos coordenados como eixos
de simetria. Veja a Figura 13.4, representando esta elipse.
x
y
-3
3
-2 2
Figura 13.4: A elipse
x2
4
+
y2
9
= 1.
Mudança de coordenadas
Considere a elipse trabalhada no último exemplo, cuja equação é
x2
4
+
y2
9
= 1 e o gráfico está representado na Figura 13.4. Considere um novo
sistema de coordenadas uov obtido do sistema x0y por translação de modo
que o = (−1, 3), com estas coordenadas referidas ao sistema x0y. Então
como conhecemos, a mudança de coordenadas funciona com
{
x = u− 1
y = v + 3
Substituindo estas novas coordenadas na equação da elipse encontramos que
(u− 1)2
4
+
(v + 3)2
9
= 1 ⇔ 9(u− 1)2 + 4(v + 3)2 = 36.
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Desenvolvendo encontramos que
9u2 + 4v2 − 18u+ 24v + 9 = 0
é a equação quadrática que representa a elipse no novo sistema de coordena-
das. Acompanhe este trabalho como representado na Figura 13.5.
x
y
-3
3
-2 2
v
u
-1
(-1,3)
Figura 13.5: Mudança de coordenadas na equação da elipse.
Nota
O ćırculo pode ser considerado como uma elipse degenerada, isto é, uma
elipse com os eixos maior e menor com o mesmo comprimento. Considere
a equação da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e o caso limite, onde oscomprimentos
dos eixos coincidem. Ou seja, a = b. Com esta condição encontramos que
x2 + y2 = a2 que é uma equação quadrática e representa um ćırculo de raio
r = a e centrado na origem.
Exemplo.
Considere a equação x2 + y2 − 4 = 0, a qual representa um ćırculo de raio
r = 4 e com centro na origem 0 = (0, 0). Veja que podemos escrever a
equação na forma
x2 + y2 = 4 ⇔
x2
22
+
y2
22
= 1,
que é uma “elipse degenerada” cujos eixos maior e menor medem 2.
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A hipérbole
Do ponto de vista estrutural, uma hipérbole tem uma definição geomé-
trica muito similar à da elipse. O ponto de partida são dois pontos fixos
do plano denominados focos da hipérbole e de uma medida m menor que a
distância entre estes pontos. Aqui m é um número positivo. Se como de
costume denotarmos por d(F1, F2) a distância entre os pontos, a condição
que acabamos de estabelecer prescreve que
d(F1, F2) > m.
A hipérbole é então por definição o conjunto dos pontos P = (x, y) do
plano tal que o valor absoluto da diferença entre a distância de P até F1 e a
distância de P até F2 é igual a m.
Em outras palavras fixados F1 e F2 e uma medida m maior que a
distância entre estes pontos, a equação da elipse é definida pela condição
geométrica
|d(P, F1)− d(P, F2)| = m.
Na linguagem de conjuntos, se α é um plano, então, em termos de
conjunto de pontos,
hipérbole = {P ∈ α; |d(P, F1)− d(P, F2)| = m}.
Veja na Figura 13.6, a representação no plano α de uma hipérbole de
focos F1 e F2.
y
xA1F1 F2
B2
B1
A2
Figura 13.6: Hipérbole do focos F1 e F2.
Do mesmo modo como procedemos para o caso da elipse, podemos
encontrar a equação reduzida da hipérbole se escolhermos um par de eixos
adaptado. Assim se o eixo 0x contém os focos, de modo que a origem do eixo
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coincida com o ponto médio do segmento focal F1F2 e de modo que o foco
F1 fica na parte positiva do eixo 0x e o eixo 0y encontra o segmento focal no
ponto médio. Se 2c é a distância entre os focos e escrevendo m = 2a, então
por construção como os focos estão sobre o eixo 0x, encontramos que
F1 = (c, 0) e F2 = (−c, 0), onde c > 0.
Também, a t́ıtulo de simplificar a equação escrever a distância m < d(F1, F2)
como
m = 2a, onde a > 0.
Assim, se P = (x, y) é um ponto arbitrário da elipse, temos que
|d(P, F1)− d(P, F2)| = m⇔
∣
∣
∣
√
(x− c)2 + (y − 0)2 −
√
(x− (−c))2 + y2
∣
∣
∣
= 2a
⇔
√
(x− (−c)2 + (y − 0)2 −
√
(x− c)2 + (y − 0)2 = ±2a
⇔
√
(x+ c)2 + y2 −
√
(x− c)2 + y2 = ±2a
⇔
√
(x+ c)2 + y2 = ±2a+
√
(x− c)2 + y2.
Elevando ao quadrado ambos os membros da última igualdade, obtemos
(x+ c)2 + y2 = 4a2 ± 4a
√
(x− c)2 + y2 + (x− c)2 + y2.
Desenvolvendo os quadrados, temos
x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 ± 4a
√
(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2.
Cancelando as parcelas iguais e deixando apenas a raiz quadrada do
lado direito, obtemos
4cx− 4a2 = ±4a
√
(x− c)2 + y2.
Dividindo por 4, temos
cx− a2 = ±a
√
(x− c)2 + y2.
Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos
c2x2 − 2a2cx+ a4 = a2(x− c)2 + y2
Desenvolvendo o lado direito desta igualdade, obtemos
c2x2 − 2a2cx+ a4 = a2x2 − 2a2cx+ a2c2 + a2y2.
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Somando 2a2cx−a4−a2x2−a2y2 a ambos os membros desta igualdade,
reescrevemos a equação como
(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2c2 − a4 = a2(c2 − a2).
Como 0 < a < c, temos a2 < c2. Assim, c2 − a2 é um número real
positivo e podemos escrevê-lo como o quadrado de um número real b > 0,
logo b2 = c2 − a2. Observe que b < c. Finalmente, a equação anterior se
escreve como b2x2− a2y2 = a2b2 que, dividindo por a2b2 6= 0, é equivalente a
x2
a2
−
y2
b2
= 1, onde c2 = a2 + b2.
Esta equação é chamada equação reduzida da hipérbole.
A interpretação geométrica para a e b será relevante para desenhar o
gráfico da hipérbole. Fazendo y = 0 nesta equação, obtemos
x2
a2
= 1, que
é equevalente a x2 = a2. Portanto, x = ±a e os pontos A1 = (−a, 0) e
A2 = (a, 0) são pontos da hipérbole, chamados vértices. O segmento de reta
A1A2 tem comprimento 2a e é chamado de eixo real ou transverso.
Fazendo agora x = 0, obtemos
y2
b2
= −1, uma equação não admite
solução em números reais. Isto significa que o eixo y e a hipérbole não se
intersectam. A origem O é chamada de centro da hipérbole. Os pontos
B1 = (0,−b) e B2 = (0, b) não estão na hipérbole, mas desempenham um
papel importante para traçar o seu gráfico. O segmento de reta B1B2 tem
comprimento 2b e é chamado eixo imaginário da hipérbole. Não se esqueça
que os focos da hipérbole estão situados no eixo x e são F1 = (−c, 0) e
F2 = (c, 0).
As retas verticais passando por A1 e A2 e as retas horizontais passando
por B1 e B2 determinam um retângulo de vértices C,D,E e F cujas diago-
nais passam pela origem e têm equações y = ±
b
a
x, chamadas asśıntotas da
hipérbole.
As asśıntotas da hipérbole têm a seguinte propriedade: um ponto da
hipérbole muito afastado do centro O está a uma distância muito pequena
(próxima de zero) da asśıntota. Na prática, isto significa que o desenho do
gráfico da hipérbole se aproxima da asśıntota quando o ponto da hipérbole
se afasta do centro, conforme a Figura 13.7.
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y
xA1F1 F2
B2
B1
C D
EF
A2
Figura 13.7: Desenho das asśıntotas da hipérbole.
Mais precisamente:
(1) Pontos da hipérbole do primeiro e terceiro quadrantes com |x| muito
grande estão próximos de y =
b
a
x.
(2) Pontos da hipérbole do segundo e quarto quadrantes com |x| muito
grande estão próximos de y = −
b
a
x.
Exemplo
A equação x2 − y2 = 1, representa uma hipérbole, cujos eixos medem 1 e
as bissetrizes dos eixos coordenados são as asśıntotas. Veja a Figura 13.8,
representando esta hipérbole.
y
x10-1
1
-1
Figura 13.8: A hipérbole x2 − y2 = 1.
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