MA João 30 06 SEI uni I (RF) bb

Prévia do material em texto

Unidade I
MATEMÁTICA APLICADA
Prof. João Giardulli
Teoria dos conjuntos
 Conceitos primitivos
 Conjunto
 Elemento
 Relação de pertinência
Teoria dos conjuntos
 Notação
 Conjuntos: letras maiúsculas (A, B, C etc.).
Teoria dos conjuntos
 Notação
 Conjuntos: letras maiúsculas (A, B, C etc.).
 Elemento: letras minúsculas (a, b, c etc.).
Teoria dos conjuntos
 Notação
 Conjuntos: letras maiúsculas (A, B, C etc.).
 Elemento: letras minúsculas (a, b, c etc.).
 “|” significa “tal que”.
Teoria dos conjuntos
 Notação
 Conjuntos: letras maiúsculas (A, B, C etc.).
 Elemento: letras minúsculas (a, b, c etc.).
 “|” significa “tal que”.
 “∀” significa “qualquer”.
Teoria dos conjuntos
 Notação
 Conjuntos: letras maiúsculas (A, B, C etc.).
 Elemento: letras minúsculas (a, b, c etc.).
 “|” significa “tal que”.
 “∀” significa “qualquer”.
 “∈” significa “pertence”.
Teoria dos conjuntos
 Representação
 Por extensão ou enumeração.
 A = {2, 4, 6, 8} → conjunto finito.
 B = {1, 3, 5,...} → conjunto infinito.
Teoria dos conjuntos
 Representação
 Por compreensão:
 {x ∈ U | x tem a propriedade P}
 A = {x ∈ IN | x < 5}
 A = {0, 1, 2, 3, 4}
 B = { x ∈ IN | 2x + 1 = 7}
 B = {3}
Teoria dos conjuntos
 Subconjunto – definição
 Um conjunto A é denominado de subconjunto de um conjunto 
B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.
Teoria dos conjuntos
 Subconjunto – definição
 Um conjunto A é denominado de subconjunto de um conjunto 
B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.
 A ⊂ B ⇔ ( ∀ x ) ( x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Teoria dos conjuntos
 Subconjunto – notação (A ⊂ B)
 A é subconjunto de B, ou
 A está contido em B, ou 
 A é parte de B.
Teoria dos conjuntos
 Subconjunto – notação gráfica
A
B
Teoria dos conjuntos
 Subconjunto – notação (A ⊄ B)
 A não é subconjunto de B, ou
 A não está contido em B, ou 
 A não é parte de B.
Teoria dos conjuntos
 Subconjunto – notação gráfica
B
A
Teoria dos conjuntos
 Igualdade – definição
 A e B são iguais se todo elemento do conjunto A também 
é elemento do conjunto B e, reciprocamente, todo elemento 
do conjunto B é elemento do conjunto A.
Teoria dos conjuntos
 Igualdade – definição
 A e B são iguais se todo elemento do conjunto A também 
é elemento do conjunto B e, reciprocamente, todo elemento 
do conjunto B é elemento do conjunto A.
 A = B ⇔ ( ∀ x ) ( x ∈ A ⇔ x ∈ B )
Teoria dos conjuntos
 Teorema
 O conjunto vazio () é subconjunto de qualquer conjunto A.
Teoria dos conjuntos
 Teorema
 O conjunto vazio () é subconjunto de qualquer conjunto A.
  ⊂ A, (∀ A )
Teoria dos conjuntos
 Propriedades de inclusão
 Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo 
conjunto universo, temos as seguintes propriedades:
 reflexiva: A ⊂ A;
 transitiva: A ⊂ B e B ⊂ C ⇒ A ⊂ C;
 antissimétrica: A ⊂ B e B ⊂ A ⇒ A = B.
Teoria dos conjuntos
 Conjunto das partes
 Para todo conjunto A, não vazio, existe um conjunto cujos 
elementos são subconjuntos de A.
 P(A) = {x | x ⊂ A}
Teoria dos conjuntos
 Conjunto das partes
 Exemplo: A = {3, 5, 7}
 Os subconjuntos de A são:
 sem elementos: 
 com um elemento: {3}, {5}, {7}
 com dois elementos: {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}
 com todos os elementos: {3, 5, 7}
Teoria dos conjuntos
 Conjunto das partes
 Temos então:
 P(A) = {, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}}
Teoria dos conjuntos
 Conjunto das partes – importante!
 O número de elementos do conjunto das partes de um 
conjunto de n elementos é dado por 2n.
Teoria dos conjuntos
Observações
 Um conjunto pode ser um elemento de outro conjunto.
 A relação de pertinência é uma relação entre elementos 
e conjunto. ( ∉ )
 A relação de inclusão é uma relação entre conjuntos. (⊂ )
 Não confundir o conjunto unitário {a} com o elemento a:
 não devemos escrever a = {a}, 
 mas, sim, a ∈ {a}.
Interatividade 
Das alternativas abaixo, qual representa o conjunto das partes 
de A = {1, 2}?
a) P(A) = {{1}, {1,2}}
b) P(A) = {{2}, {1,2}}
c) P(A) = {{1}, {2}, {1,2}}
d) P(A) = {{1,2}}
e) P(A) = {{1,2}}
Teoria dos conjuntos
 União de conjuntos – definição
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Teoria dos conjuntos
 União de conjuntos – definição
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
 A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Teoria dos conjuntos
 União de conjuntos – exemplos
 {1, 2} ∪ {3, 4} = {1, 2, 3, 4}
 {–2, 3, 4} ∪ {–2, 3, 4} = {–2, 3, 4}
  ∪ {1, 3, 7} = {1, 3, 7}
  ∪  = 
Teoria dos conjuntos
 União de conjuntos – gráfico
A B
Teoria dos conjuntos
 União de conjuntos – gráfico
A B
Teoria dos conjuntos
 União de conjuntos – gráfico
 Importante: se A ⊂ B, então A ∪ B = B.
A
B
Teoria dos conjuntos
 União de conjuntos – propriedades
 Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo 
conjunto universo:
 A ∪ A = A
 A ∪  = A
 A ∪ X = X ∪ A (comutativa)
 A ∪ ( X ∪ Y ) = ( A ∪ X ) ∪ Y (associativa)
Teoria dos conjuntos
 União de conjuntos – propriedades
 Importante – devido à validade da propriedade associativa, 
podemos afirmar que:
 A ∪ Z ∪ X ∪ E = ( A ∪ Z ) ∪ ( X ∪ E )
Teoria dos conjuntos
 Intersecção de conjuntos – definição
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B, 
simultaneamente.
Teoria dos conjuntos
 Intersecção de conjuntos – definição
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o 
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B, 
simultaneamente.
 A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Teoria dos conjuntos
 Intersecção de conjuntos – exemplos
 {2, 5, 7, 9} ∩ {1, 5, 9, 11} = {5, 9}
 { 5, 7} ∩ {6, 10} = 
 {6, 9} ∩  = 
Teoria dos conjuntos
 Intersecção de conjuntos – gráfico
 A ∩ B = 
 A e B são chamados disjuntos
A B
Teoria dos conjuntos
 Intersecção de conjuntos – gráfico
A B
A ∩ B
Teoria dos conjuntos
 Intersecção de conjuntos – gráfico
A
B
A ∩ B = B, pois A ⊃ B
Teoria dos conjuntos
 Intersecção de conjuntos – propriedades
 Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo 
conjunto universo:
 A ∩ A = A
 A ∩  = 
 A ∩ B = B ∩ A (comutativa)
 A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa)
Teoria dos conjuntos
 Intersecção de conjuntos – propriedades
 Importante – devido à validade da propriedade associativa, 
podemos afirmar que:
 A ∩ B ∩ C ∩ D = ( A ∩ B ) ∩ ( C ∩ D )
Teoria dos conjuntos
 Propriedades da intersecção e da união
 Sejam A, B e C conjuntos quaisquer contidos no mesmo 
conjunto universo:
 A ∪ ( A ∩ B ) = A
 A ∩ ( A ∪ B ) = A
 A ∪ ( D ∩ E ) = ( A ∪ D ) ∩ ( A ∪ E )
 A ∩ ( X ∪ Z ) = ( A ∩ X ) ∪ ( A ∩ Z )
Teoria dos conjuntos
 Diferença de conjuntos – definição
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o 
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Teoria dos conjuntos
 Diferença de conjuntos – definição
 Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o 
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
 A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Teoria dos conjuntos
 Diferença de conjuntos – gráfico
 A – Bé apenas a parte azul
 A ∩ B ≠ 
A B
Teoria dos conjuntos
 Diferença de conjuntos – gráfico
 A – B é apenas a parte azul
 B ⊂ A
A
B
Teoria dos conjuntos
 Diferença de conjuntos – gráfico
 A – B = A
 A ∩ B = 
A B
Teoria dos conjuntos
 Diferença de conjuntos
Importante
 A operação diferença entre conjuntos não é comutativa: 
A – B ≠ B – A
 Se A = B, então A – B =  e B – A = 
Teoria dos conjuntos
 Diferença de conjuntos – exemplos
1) {a, b, c} – {b, c, d, e} = {a}
2) {b, c, d, e} – {a, b, c} = {d, e}
3) {a, b, c, d} – {d, c} = {a, b}
4) {1, 2, 3} – {1, 2, 3} = 
5) {5, 7, 8} –  = {5, 7, 8}
Interatividade 
Das alternativas abaixo qual representa o resultado de 
A ∩ (B ∪ C), sendo que A = {1, 2}; B = {2, 3, 4}; C = {2, 5}.
a) A ∩ (B ∪ C) = {2, 3, 4, 5}
b) A ∩ (B ∪ C) = {1, 2}
c) A ∩ (B ∪ C) = {2}
d) A ∩ (B ∪ C) = {}
e) A ∩ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5}
Teoria dos conjuntos
 Complementar de B em A – definição
 Se B ⊂ A, a diferença A – B denomina-se complementar de B 
em relação ao conjunto A e indica-se por CAB.
Teoria dos conjuntos
 Complementar de B em A – definição
 Se B ⊂ A, a diferença A – B denomina-se complementar de B 
em relação ao conjunto A e indica-se por CAB.
 CAB = A – B
 É o que falta para B ficar igual a A.
Teoria dos conjuntos
 Complementar de B em A – gráfico
A
B
CAB (em azul)
U
Teoria dos conjuntos
 Complementar de A em U – gráfico
U
A
__
A = CUA = U – A
Teoria dos conjuntos
 Complementar de B em A – propriedades
 Se B ⊂ A e C ⊂ A, então CAB e CAC têm as seguintes 
propriedades:
 (CAB) ∩ B =  e (CAB) U B = A
 CA  = A e CAA = 
 CA (CAB) = B
 CA (B ∩ C) = (CAB ) U (CAC)
 CA (B U C) = (CAB) ∩ (CAC)
Teoria dos conjuntos
 Complementar de B em A – exemplos
 Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 5}, então CAB = {1, 3}.
Teoria dos conjuntos
 Complementar de B em A – exemplos
 Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 5}, então CAB = {1, 3}.
 Seja, 
 A – o conjunto dos números pares;
 B – o conjunto dos números impares; e
 Z – o conjunto dos números inteiros;
 então, CzA = B.
Teoria dos conjuntos
 Complementar de B em A – exemplos
 Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 5}, então CAB = {1, 3}.
 Seja, 
 A – o conjunto dos números pares;
 B – o conjunto dos números impares; e
 Z – o conjunto dos números inteiros;
 então, CzA = B.
 Se A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 4, 6}, então CAB não é definido, pois 
B ⊄ A.
Teoria dos conjuntos
 Número de elementos
 Dados os conjuntos A e B não vazios e suas operações A ∪ B 
e A ∩ B, vamos indicar por:
 n(A): número de elementos do conjunto A;
 n(B): número de elementos do conjunto B;
 n(A∪B): número de elementos do conjunto A ∪ B;
 n(A∩B): número de elementos do conjunto A ∩ B.
Teoria dos conjuntos
 Número de elementos
 Vale a relação: 
 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Teoria dos conjuntos
 Número de elementos
 Vale a relação: 
 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
A
Teoria dos conjuntos
 Número de elementos
 Vale a relação: 
 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
A B
Teoria dos conjuntos
 Número de elementos
 Vale a relação: 
 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
A B
A ∩ B
Teoria dos conjuntos
 Número de elementos – exemplo
 O conjunto A tem 10 elementos, n(A∩B) = 3 e n(A∪B) = 16. 
Quantos elementos tem o conjunto B?
Teoria dos conjuntos
 Número de elementos – exemplo
 O conjunto A tem 10 elementos, n(A∩B) = 3 e n(A∪B) = 16. 
Quantos elementos tem o conjunto B?
Solução:
 n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Teoria dos conjuntos
 Número de elementos – exemplo
 O conjunto A tem 10 elementos, n(A∩B) = 3 e n(A∪B) = 16. 
Quantos elementos tem o conjunto B?
Solução:
 n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
 16 = 10 + n(B) – 3
Teoria dos conjuntos
 Número de elementos – exemplo
 O conjunto A tem 10 elementos, n(A∩B) = 3 e n(A∪B) = 16. 
Quantos elementos tem o conjunto B?
Solução:
 n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
 16 = 10 + n(B) – 3
 n(B) = 16 – 10 + 3 = 9 elementos
Interatividade 
Das alternativas abaixo, qual representa o número de elementos 
de A ∩ B, sendo que n(A) = 2, n(B) = 3 e n(A∪B) = 4.
a) 4 elementos.
b) 2 elementos.
c) 1 elemento.
d) nenhum elemento.
e) 5 elementos.
Relações
 Produto cartesiano – definição
 Considere A e B dois conjuntos não vazios. O produto 
cartesiano do conjunto A pelo conjunto B é denominado 
conjunto A cartesiano B e simbolizado como AxB, cujos 
elementos são todos os pares ordenados (x, y), em que o 
primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo 
elemento pertence ao conjunto B.
Relações
 Produto cartesiano – definição
 Considere A e B dois conjuntos não vazios. O produto 
cartesiano do conjunto A pelo conjunto B é denominado 
conjunto A cartesiano B e simbolizado como AxB, cujos 
elementos são todos os pares ordenados (x, y), em que o 
primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo 
elemento pertence ao conjunto B.
 A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}
Relações
 Produto cartesiano – importante!
 Se A =  ou B = , então A x B = .
 A x A pode ser indicado como A2.
 Se A ≠ B, então A x B ≠ B x A.
Relações
 Produto cartesiano – exemplos
 Se A = {10, 30} e 
 B = {20, 40}, então
 A x B = {(10, 20), (10, 40), (30, 20), (30, 40)}.
Relações
 Produto cartesiano – exemplos
 Se A = {10, 30} e 
 B = {20, 40}, então
 A x B = {(10, 20), (10, 40), (30, 20), (30, 40)}.
Relações
 Produto cartesiano – exemplos
 Se A = {10, 30} e 
 B = {20, 40}, então
 B x A = {(20, 10), (20, 30), (40, 10), (40, 30)}.
Relações
 Produto cartesiano – exemplos
 Se A = {10, 30} e 
 B = {20, 40}, então
 B x A = {(20, 10), (20, 30), (40, 10), (40, 30)}.
Relações
 Produto cartesiano – número de elementos
 Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, 
respectivamente, então A x B é um conjunto finito com 
m • n elementos.
Relações
 Produto cartesiano – número de elementos
 Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos, 
respectivamente, então A x B é um conjunto finito com 
m • n elementos.
 n(AxB) = n(A) • n(B)
Relações
 Produto cartesiano – exemplos
 Seja A = {2, 3} e B = {0, 1, 3, 5, 7}, quantos elementos 
tem o conjunto A x B?
Relações
 Produto cartesiano – exemplos
 Seja A = {2, 3} e B = {0, 1, 3, 5, 7}, quantos elementos 
tem o conjunto A x B?
Solução:
 n(A) = 2
 n(B) = 5, então
 n(AxB) = 2 • 5 = 10 elementos.
Relações
 Relação binária – definição
 Relação binária é todo subconjunto de AxB, sendo A e B 
conjuntos não vazios.
Relações
 Relação binária – definição
 Relação binária é todo subconjunto de AxB, sendo A e B 
conjuntos não vazios.
 C é relação binária de A em B ⇔ C ⊂ AxB.
Relações
 Relação binária – importante!
 O conjunto C está contido em AxB e é formado por pares (x, y) 
em que o elemento x ∈ A é associado a um elemento y ∈ B, 
mediante certo critério de relacionamento ou correspondência.
 Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo 
subconjunto de A x A é chamado de relação binária em A.
Relações
 Relação binária – nomenclatura
 A = conjunto de partida da relação binária.
 B = conjunto de chegada (ou contradomínio) da relação binária.
Relações
 Relação binária – exemplo
 Seja:
 A = {1, 2, 3 ,4}
Relações
 Relaçãobinária – exemplo
 Seja:
 A = {1, 2, 3 ,4} e 
 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
Relações
 Relação binária – exemplo
 Seja:
 A = {1, 2, 3 ,4} e 
 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
 A x B = {( x , y ) | x ∈ A e y ∈ B}
Relações
 Relação binária – exemplo 
 Seja:
 A = {1, 2, 3 ,4} e 
 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
 A x B = {( x , y ) | x ∈ A e y ∈ B}
 n(A x B) = n(A) • n(B) = 4 • 8 = 32.
Relações
 Relação binária – exemplo
 Consideremos o conjunto dos pares (x, y) do conjunto 
do produto cartesiano AxB, tais que y é o dobro de x.
Relações
 Relação binária – exemplo
 Consideremos o conjunto dos pares (x, y) do conjunto 
do produto cartesiano AxB, tais que y é o dobro de x.
Relações
 Relação binária – exemplo
 Consideremos o conjunto dos pares (x, y) do conjunto 
do produto cartesiano AxB, tais que y é o dobro de x.
 C = {( x , y ) ∈ AxB | y = 2x}
Relações
 Relação binária – exemplo
 Consideremos o conjunto dos pares (x, y) do conjunto 
do produto cartesiano AxB, tais que y é o dobro de x.
 C = {( x , y ) ∈ AxB | y = 2x}
 C = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.
Relações
 Relação binária – exemplo
 O conjunto C está contido em AxB.
Relações
 Relação binária – exemplo
 O conjunto C está contido em AxB.
 C ⊂ AxB
Relações
 Relação binária – exemplo
 O conjunto C está contido em AxB.
 C ⊂ AxB
 C é formado por pares (x , y), em que o elemento x ∈ A é 
associado ao elemento y ∈ B, mediante certo critério 
de relacionamento ou correspondência.
Relações
 Domínio e imagem de uma relação binária
 Seja R uma relação binária de A em B. 
 Domínio de R é o conjunto D de todos os primeiros elementos 
dos pares ordenados pertencentes a R.
 Imagem de R é o conjunto Im de todos os segundos 
elementos dos pares ordenados pertencentes a R.
Relações
 Domínio e imagem de uma relação binária
Importante
 D ⊂ A 
 Im ⊂ B
Relações
 Domínio e imagem – exemplo
 O gráfico a seguir representa uma relação de A em B.
Relações
 Domínio e imagem – exemplo
 D(R) = {x ∈ ℝ | –2 ≤ x ≤ 1}
 Im(R) = {y ∈ℝ | 0 ≤ y ≤ 3}
Interatividade 
Das alternativas abaixo, qual representa o conjunto C, produto 
cartesiano de A = {1, 2} e B = {3, 4}.
a) {(1, 2, 3, 4)}
b) {(2, 3); (2, 4)}
c) {(1, 3); (1, 4)}
d) {(1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4)}
e) {}
ATÉ A PRÓXIMA!