Aula 01 - Teoria dos Conjuntos

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Teoria dos Conjuntos
Fundamentos de Matemática para Informática
Elizabete Peixoto
Professora
*Formação acadêmica: Especialização em Informática pela Universidade Federal do Paraná, 
Brasil(2003)
▪ O infinito é um conceito abstrato, difícil de descrever e mais ainda de 
imaginar, porém no século XIX, o matemático George Cantor elaborou a 
Teoria dos Conjuntos.
▪ Cantor teorizou que nem todos os conjuntos infinitos são do mesmo 
tamanho. Ele comparou a lista dos números inteiros com as de outros 
números e provou que o conjunto infinito dos números inteiros é menor 
que o conjunto infinito dos números que ficam no intervalo entre 0 e 1. 
Teoria dos conjuntos 
▪ Como usaremos a Teoria dos Conjuntos na Informática?
▪ Será utilizada como fundamento teórico para:
▪ Construção das Álgebras Booleanas;
▪ Validação da Teoria de Banco de Dados;
▪ Desenvolvimento de Linguagens Formais.
Teoria dos conjuntos 
▪ Devemos considerar alguns conceitos primitivos que são aqueles 
que adotamos sem definição, que são os conceitos de conjunto, 
elemento e pertinência.
▪ Eles são a base para a construção de outras definições e 
estabelecem a linguagem da Teoria dos Conjuntos.
Teoria dos conjuntos na Informática
▪ Como poderíamos definir esses três termos: conceitos de conjunto, 
elemento e pertinência?
▪ Elemento é uma entidade que pertence a um conjunto. 
▪ Pertinência é a relação desses elementos em relação ao conjunto. 
É representado pela letra grega épsilon.
▪ Continência é a relação binária entre os conjuntos se um conjunto 
está ou não contido noutro. É representado pelo símbolo C.
Teoria dos conjuntos na Informática
▪ Um grupo é considerado um conjunto em Teoria dos Conjuntos, 
como um grupo de pessoas, onde as pessoas são os elementos e o 
grupo é o conjunto. Ou um conjunto dos meios de transporte, onde 
os elementos que fazem parte desse conjunto podem ser um 
avião, uma bicicleta, um ônibus ou um trem.
▪ E como podemos representar o conjunto, o elemento e a 
pertinência?
Teoria dos conjuntos na Informática
▪ Um conjunto é usualmente representado por uma letra maiúscula e 
seus elementos por letras minúsculas ou números. São relacionados 
entre chaves e separados por vírgulas. Esta forma de representação é 
chamada de lista ou tabular. 
▪ Outra forma de representação é por Diagrama de Euler-Venn, que são 
regiões planas delimitadas por curvas fechadas. 
▪ Um conjunto também pode ser descrito pela propriedade que seus 
elementos possuem.
Teoria dos conjuntos na Informática
▪ As formas de representação são importantes para a correta 
interpretação e resolução de operações matemáticas.
▪ Um conjunto com um número limitado de elementos é chamado de 
conjunto finito. 
▪ A ordem ou a repetição de elementos em um conjunto é 
irrelevante.
▪ Um conjunto infinito possui um número ilimitado de elementos. 
Teoria dos conjuntos na Informática
▪ Um conjunto unitário é aquele que possui apenas um elemento.
▪ E um conjunto vazio é aquele que não possui elementos.
▪ Para o conjunto vazio utiliza-se a notação ^ ou entre chaves sem 
nenhum elemento.
▪ O conjunto universo é um conjunto que contém todos os elementos 
de determinado estudo.
Tipos de Conjuntos
▪ A definição de subconjunto denota uma relação de continência 
entre conjuntos.
▪ O conjunto B é subconjunto do conjunto A, se e somente se, todos 
os elementos do conjunto B pertencerem ao conjunto A.
▪ Neste caso, pode-se dizer que B está contido em A e também que A 
contém B.
▪ Agora, no conjunto C nem todos os elementos estão contidos no 
conjunto A, portanto ele não é subconjunto de A.
Tipos de Conjuntos
▪ Considerando que todo conjunto é subconjunto dele mesmo e que o 
conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, podemos calcular a 
quantidade de subconjuntos de um conjunto.
▪ O conjunto das partes de A é o conjunto formado por todos os 
subconjuntos do conjunto A. Também é chamado de conjunto potência.
▪ A quantidade de subconjuntos A é determinada por 2 elevado ao 
número de elementos, ou seja, o conjunto A possui 3 elementos, logo, 2 
elevado a 3 é 8.
Tipos de Conjuntos
▪ Como falado anteriormente:
▪ O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, logo é o primeiro 
subconjunto a ser considerado.
▪ Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, ou seja, 0, 2 e 6 são 
subconjuntos.
▪ 0,2 0,6 e 2,6 são subconjuntos
▪ E finalmente 0,2 e 6 o ultimo subconjunto. São no total oito 
combinações.
Tipos de Conjuntos
▪ Outro conceito importante a ser considerado é a igualdade de 
conjuntos. Dois ou mais conjuntos são considerados iguais se todos os 
elementos desses conjuntos, mesmo que não estejam na mesma 
ordem, sejam iguais. Vamos rever as propriedades:
▪ O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto
▪ Sendo A um conjunto, a proposição conjunto vazio está contido no 
conjunto A é sempre verdadeira.
▪ Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Tipos de Conjuntos