RL_U2_CONJUNTOS

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA RACIOCÍNIO LÓGICO – NDC A10 
 
NDC A10 - RACIOCÍNIO LÓGICO MANUEL 
UNIDADE 2 - CATEGORIZAÇÃO/TEORIA DOS CONJUNTOS 
1 
UNICARIOCA 
NDC-A10 
RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
UNIDADE 2 - CATEGORIZAÇÃO E TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
1 - Conjuntos e Elementos 
1.1 - Noção de Conjunto 
1.2 - Notação dos Conjuntos 
1.3 - Relação de Pertinência 
1.4 - Conjuntos Universo, Unitário e Vazio 
1.5 - Determinação de um Conjunto 
1.6 - Conjuntos Finitos e Infinitos 
1.7 - Igualdade de dois Conjuntos 
1.8 - Relação de Inclusão 
1.9 - Conjuntos Numéricos 
1.10 - Desigualdades 
1.11 - Valor Absoluto 
1.12 - Intervalos 
 
2 - Subconjuntos 
2.1 - Noção de Subconjunto 
2.2 - Conjunto das Partes de um Conjunto 
2.3 - Complementar de um Conjunto 
2.4 - Propriedades do Complementar 
 
3 - Álgebra dos Conjuntos 
3.1 - Interseção de dois Conjuntos 
3.2 - Conjuntos Disjuntos 
3.3 - Propriedades da Interseção 
3.4 - União de dois Conjuntos 
3.5 - Propriedades da União 
3.6 - Diferença de dois Conjuntos 
3.7 - Propriedades da Diferença 
 
 
 
 
 
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2 
1 - Conjuntos e Elementos 
1.1 Noção de conjunto 
Os conceitos de conjunto, elementos e relação de pertinência são considerados conceitos 
primitivos, isto é, não aceitam definição. Intuitivamente, entendemos por conjunto toda coleção 
bem definida de objetos. Cada um dos integrantes do conjunto é denominado elemento do 
conjunto. 
 
Exemplos de conjunto: 
1 - O conjunto dos livros de uma biblioteca. 
2 - O conjunto das vogais do alfabeto português. 
3 - O conjunto dos múltiplos de 3 entre 10 e 20. 
 
1.2 Notação dos Conjuntos 
 
Representamos um conjunto por uma letra maiúscula do alfabeto, os elementos ficam entre 
chaves e separados por vírgulas. 
Exemplos: 
1 - Conjunto das vogais do alfabeto português: 
A = { a, e, i, o, u } 
 
2 - Conjunto dos múltiplos de 3 entre 10 e 20: 
B = { 12, 15, 18 } 
 
1.3 Relação de Pertinência 
O fato de um elemento fazer parte de um conjunto estabelece uma relação de pertinência. 
 
Sendo A = { a, e, i, o, u } podemos dizer que a pertence ao conjunto A e que b não pertence ao 
conjunto A. 
Para indicar que um elemento x pertence ao conjunto A escreve-se x  A . 
x  A  x pertence à A ou x é um elemento de A . 
y  A  y não pertence à A ou y não é um elemento de A . 
 
1.4 Conjuntos Universo, Unitário e Vazio 
 
Conjunto universo 
Para resolver uma equação, um problema ou desenvolver determinado tema em Matemática, 
devemos retirar os elementos de que necessitamos de um conjunto que os contenha. Esse 
conjunto é chamado de conjunto universo e representado por U. 
 
Exemplo: Em geometria, U é o conjunto de todos os pontos. 
 
Conjunto unitário 
Todo conjunto constituído de um único elemento é chamado de conjunto unitário. 
Exemplo: A = { a } , C = { 3 }. 
 
Conjunto vazio 
O conjunto que não tem elementos é chamado de conjunto vazio e representado por  . 
Exemplo: O conjunto que representa a vogal anterior a “a” no alfabeto português é o conjunto 
vazio. 
 
 
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1.5 Determinação de um Conjunto 
Diz-se que um conjunto A é definido num universo quando se conhece um critério que permita 
sempre saber se um elemento x  A ou se x  A, devendo verificar-se apenas uma destas duas 
hipóteses. 
 
Um conjunto pode ser definido de duas maneiras 
I - Por enumeração: 
A = { domingo, segunda, terça,... } B = { 10, 15, 20 } 
II - Por compreensão, isto é, através de um critério de pertinência que é satisfeito por todos os 
elementos do conjunto e somente por esses elementos. 
A = { x  N | x é par } 
B = { x  Z | 3x - 1 = 0 } 
1.6 Conjuntos Finitos e Infinitos 
Diz-se que um conjunto A é finito e contém n elementos quando existe um número natural n tal 
que se pode estabelecer uma correspondência entre os elementos dos conjuntos A e {0,1,2, ... }. 
Um conjunto não finito diz-se infinito. 
  conjunto finito com 0 elementos. 
 
O número de elementos de um conjunto finito A designa-se por n(A). 
Exemplo: B = { 10, 15, 20 }  n(B) = 3 
1.7 - Igualdade de dois Conjuntos 
Dois conjunto A e B são iguais se e somente se  x  A , x  B. 
Notação: 
A = B  ( x ) ( x  A  x  B ) 
A  B  (  x ) ( x A e x  B ) ou (  y ) ( y  B e y  A ) 
Exemplos: 
1 - {5, 6, 7} = {6, 7, 5} 
2 - {a, b, c}  { a, b, d} 
3 - {0, 1, 2}  {0, 2, 3} 
 
Propriedades: 
1 - Reflexiva: A = A 
2 - Simétrica: A = B  B = A 
3 - Transitiva: A = B e B = C  A = C 
 
1.8 Relação de Inclusão 
Diz-se que um conjunto A está contido num conjunto B se e somente se todo elemento de A 
também é elemento de B. 
Notação: 
A  B : A está contido em B. 
Se A  B  B  A, isto é, B contém A . 
A  B : A não está contido em B. 
Exemplos: 
1 - {1, 2}  {1, 2, 5} 
2 - {a, b}  {a, b} 
3 - {2, 4}  {1, 2, 3} 
 
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Propriedades 
1 - Reflexiva: A  A 
2 - Transitiva: A  B e B  C  A  C 
3 - Anti-simétrica: A  B e B  A  A = B 
4 - O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A, isto é,  A   A . 
5 - Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A está contido em U, isto é,  A A  U . 
 
Observação:   relação entre elemento e conjunto 
   relação entre conjuntos 
Exemplos: 1  {1, 2, 3} 
 {1}  {1, 2, 3} 
 
1.9 Conjuntos Numéricos 
 
Números Inteiros Racionais e Reais 
Inteiros positivos: 1, 2, 3, ... 
Inteiros negativos: -1, -2, -3, ... 
 
A coleção de números inteiros positivos e o zero chamamos de conjunto dos números naturais e 
representamos por: 
 N = 0, 1, 2, 3, ... }.  Conjunto dos números Naturais 
 
A coleção de números inteiros positivos, inteiros negativos e o zero chamamos de conjunto dos 
números inteiros e representamos por: 
 
 Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }.  Conjunto dos números Inteiros 
 
 Se p e q são números inteiros então p + q e pq são inteiros. 
 Se p e q são inteiros e q  0, então x é um número racional se e somente se x = p/q. 
 Se x e y são racionais então x + y e x  y são racionais. 
 
Exemplo: 0,5 = ½ ; 0,71428 = 5/7 ; 1,25 = 5/4. 
 
Em particular todo número inteiro pode ser considerado como o quociente de dois números 
inteiros p e 1, isto é, p/1. 
 
Exemplo: 6 = 6/1 ; 0 = 0/1. 
 
Os números racionais podem ser postos sob a forma de frações decimais finitas ou infinitas. 
Exemplo: finitas  2/10 = 0,2 ; 10/4 = 2,5 
 Infinitas  3/9 = 0,333... ; - 978/990 = - 0,9878787... 
Os números expressos pelas frações decimais infinitas não periódicas são denominados 
irracionais. 
14159,3 ...;41421,12 :Exemplo   
 
Q  Conjunto dos números racionais. 
Q’  Conjunto dos números irracionais. 
 
O conjunto constituído por todos os números chamamos de números reais e representamos por R. 
 
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Os números reais podem ser representados graficamente por pontos sobre uma reta horizontal 
chamada eixo numérico. 
Origem  ponto sobre o eixo para representar o número zero. 
 
Unidade de distância - cada número positivo n é representado pelo ponto com uma distância de 
n unidades à direita da origem. O número negativo n é representado pelo ponto com uma 
distância n à esquerda da origem. 
 
A cada número corresponde um único ponto sobre o eixo. 
 
Exemplo: 
 
- 4 -2 0 2 4 
 ORIGEM 
 
Vemos que a < b se e somente se o ponto que representa o número a está à esquerda do ponto 
que representa o número b.1.10 Desigualdades 
 
Uma expressão da forma a < b é uma desigualdade. 
 
Desigualdades estritas 
a > b se, e somente se, a - b é positivo 
a < b se, e somente se, b - a é positivo 
 
Desigualdades não estritas 
a  b se, e somente se, a < b ou a = b 
a  b se, e somente se, a > b ou a = b 
 
Propriedades 
1 - Se a > b e b > c, então a > c 
2 - Se a < b, então  c em R, a + c < b + c 
3 - Se a > b e c > d, então a + c > b + d 
4 - Se a > b e c > 0, então a . c > b . c 
5 - Se a > b e c < 0, então a . c < b . c 
6 - Se a > b > 0 e c > d > 0 então a . c > b . d 
 
1.11 Valor Absoluto 
 
Chama-se valor absoluto ( módulo ) de um número real x (notação | x | ) ao número real não 
negativo, que satisfaz as seguintes condições: 
 






0 x x -
0 x 
||
x
x 
 
Exemplo: | 2 | = 2 , | -5 | = 5 
 
Teorema : Se a > 0 então | x | < a  -a < x < a e 
 | x | > a  x > a ou x < -a 
 
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1.12 Intervalos 
Intervalo aberto 
Se a < b, o conjunto de todos os números entre a e b é chamado intervalo aberto e é denotado 
por (a,b) ou ]a,b[. Ou seja , (a,b) = { x | a < x < b } 
 
Intervalo fechado 
Se juntarmos ao intervalo aberto (a,b) os pontos extremos a e b, temos um intervalo fechado 
denotado por [a,b]. Ou seja: 
[a,b] = { x | a  x  b }. 
 
Outros intervalos 
 Semi-aberto à esquerda: (a,b] = { x | a < x  b } 
 Semi-aberto à direita: [a,b) = { x | a  x < b } 
 Ilimitado fechado à esquerda: [a, +) = { x | x  a } 
 Ilimitado aberto à esquerda: (a, +) = { x | x > a } 
 Ilimitado fechado à direita: (-, a] = { x | x  a } 
 Ilimitado aberto à direita: (-, a) = { x | x < a } 
 
2 Subconjuntos 
 
2.1 Noção de Subconjunto 
 
Todo conjunto A que está contido num conjunto B ( A  B ), diz-se subconjunto ou parte de B. 
 
 
 
O conjunto A está contido no conjunto B. 
 
 
 
Se A  B, A   e A  B, então diz-se que A é subconjunto próprio de B. 
 
Exemplos: 
1 - {1, 2, 3} é subconjunto próprio de {1, 2, 3, 5, 7} 
2 - { x | x = 2k, k  N } é subconjunto próprio de N. 
 
Teorema: Todo conjunto finito com n elementos tem 2
n subconjuntos. 
 
Exemplo: Seja A = {4, 5}, n(A) = 2. Então A tem 2 
n(A) = 2
2
 subconjuntos. 
 
Ou seja, os subconjuntos de A são: , {4}, {5}, {4, 5} 
 
2.2 Conjunto das Partes de um Conjunto 
 
Chama-se conjunto das partes de um conjunto E, o conjunto cujos elementos são todas as partes 
de E, inclusive a parte cheia E e a parte vazia . 
Representação: P(E) = { X | X  E } 
 B 
 
 
 
A A  B 
 
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Propriedades 
 X  E  X  P(E) 
 a  E  { a }  P(E) 
 
Observação: Se E é um conjunto finito com n elementos, então P(E) também é um conjunto finito 
com 2 n elementos. 
 
Exemplos: 
1) P ({a}) = { , {a} } 
2) P ({a, b}) = { , {a}, {b}, {a, b} } 
3) P () = {  } 
 
2.3 Complementar de um Conjunto 
Seja A uma parte (subconjunto) de E. Chama-se complementar (complemento) de A em relação 
a E, o conjunto de todos os elementos de E que não pertencem a A . 
Representação  } e |{ AxExxC
A
E
 
 
Num dado universo U, pode-se falar simplesmente em complementar de um conjunto A, ficando 
subentendido que se trata do complementar em relação a U, e representá-lo por A’. 
 
Observe a figura abaixo onde o universo é o conjunto E 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Sejam os conjuntos: E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 
A = { 2, 4, 6, 8 } B = { 1, 3, 5, 7, 9 } C = { 2, 3, 5, 7 } 
 
} 9 ,8 ,6 ,4 ,1 { ; ; CC
CB

EE
A
E
ABC 
 
2.4 Propriedades do Complementar 
 
Sejam A e B partes de um conjunto E ( A , B  E ) 
1 - ECE 

 
2 - C
E
E
 
3 - ACC
A
E
E
 
4 - A  B  CC
B
E
A
E
 
 
Observações: Sejam A e B conjuntos quaisquer num universo U, então: 
 ’ = U 
U =  ’ 
( A’ )’ = A 
A  B  A’  B’ 
 E 
 A 
} e |{ AxExxC
A
E

 
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Exercícios 
01 - Achar todos os subconjuntos de E = { a, b }. 
 
02 - Dados os conjuntos : U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } 
 
A = { 3, 5, 8, 10 } B = { 3, 8 } C = { 3, , 7, 8, 9, 10}. 
 
Determinar: A’, B’, C’, CCC
B
A
B
C
A
C
 , , 
 
03 - Quantos subconjuntos tem o conjunto { a , b , c , d , e , f } 
 
04 - Sendo E = { a } , determinar o conjunto P(P(E)) 
 
 
3 Álgebra dos conjuntos 
 
3.1 Interseção de dois Conjuntos 
 
Chama-se interseção de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem 
simultaneamente a A e a B. 
 
Representação: A  B = { x  x  A e x  B } 
 x  A  B  x  A e x  B 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) { 1, 2, 3, 4 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 3, 4 } 
 
2) { 3, 5, 7 }  { 2, 4, 6, 8 } =  
 
3.2 Conjuntos Disjuntos 
 
Dois conjuntos A e B dizem-se disjuntos se e somente se não tem elementos comuns. 
 
A e B disjuntos  A  B =  
 
 
 
 
 
 
Exemplo: A = { 1, 2, 3 } e B = { 5, 6 } são disjuntos, porque A  B = . 
 A B 
A B A  B =  
 
 A 
 AB B 
 
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3.3 Propriedades da Interseção 
 
Sejam A, B, C conjuntos quaisquer num universo U. 
 
1 - A  B  A e A  B  B 
2 - A  B  A  B = A 
3 -   A =  
4 - A  U = A 
5 - A  A’ =  
 
3.4 União de dois Conjuntos 
Chama-se união de dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B. 
Representação: A  B = { x  x  A ou x  B } 
 x  A  B  x  A ou x  B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
 
1 - { 1, 2, 3, 4 }  { 3, 4, 5, 6 } = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
 
2 - { 1, 2 }  { 7, 8 } = { 1, 2, 7, 8 } 
 
3.5 Propriedades da União 
 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. 
 
1 - A  A  B e B  A  B 
2 - A  B  A  B = B 
3 -   A = A 
4 - A  U = U 
5 - A  ( A  B ) = A A  ( A  B ) = A 
6 - ( A  B )’ = A’  B’ ( A  B )’ = A’  B’ 
 
 
 A B 
 
 A  B 
 
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3.6 Diferença de dois Conjuntos 
 
Chama-se diferença entre dois conjuntos A e B ao conjunto de todos os elementos de A que não 
pertencem a B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representação: A - B = { x  x  A e x  B } 
 x  ( A - B )  x  A e x  B 
 
Se A e B são conjuntos num universo U temos A - B = A  B’ 
 
Exemplos 
1 - { 1, 2, 3, 4, 5 } - { 4, 5, 6, 7 } = { 1, 2, 3 } 
 
2 - Sejam os conjuntos: A = { 1, 3, 4, 5, 7 } B = { 1, 3, 4, 5 } C = { 3, 5, 8, 9 } 
 
A - B = { 7 } B - A =  
 
B - C = { 1, 4 } C - B = { 8, 9 } 
 
Note que A - B  B - A e B - C  C - B, isto é, a diferença não é comutativa. 
 
3.7 Propriedades da Diferença 
 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num universo U. 
 
1  A -  = A e  - A =  
2  A - U =  e U - A = A’ 
3  A - A =  
4  A - A’ = A 
5  A - B = B’ - A’ 
 
A 
 
 
 
 A-B 
 
B