Aula 9

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Conjuntos fuzzy
Faculdade Estácio de Sá
Curso de Engenharia de Produção
Professor: Tarcisio Costa Brum
Conjuntos α-Cut
• Para qualquer valor α no intervalo [0,1] é definido o α- Cut 𝐴α (ou 
corte no nível α) de um conjunto fuzzy A de U como o sub-conjunto:
𝐴α = 𝑥 ∈ 𝑈 𝜇𝐴 𝑥 ≥ α}
• O α- Cut represente uma restrição/limite imposto ao domínio do
conjunto baseado em α e, portanto, o conjunto resultante da
operação de corte possuem grau de pertinência superior ao valor α.
𝐴α ⊂ 𝐴β quando α > β
Conjuntos α-Cut
Exemplo de conjunto α-Cut com α=0,2
Conjuntos α-Cut
• Dado um conjunto fuzzy A definido no universo U e qualquer valor α ϵ
[0,1], define-se como Strong α- Cut de A o conjunto crisp definido por:
𝐴α+ = 𝑥 ∈ 𝑈 𝜇𝐴 𝑥 > α}
• As vezes é útil definir o conjunto de todos os α- Cuts distintos de um dado
conjunto fuzzy A. Isso pode ser feito identificando todos os números
distintos em [0,1] que são usados como grau de pertinência dos elementos
de X em A. Este conjunto é chamado de conjunto nível de A, denotado por
L (A) ou Ʌ (A):
L(A)={α ϵ [0,1] |A(x)= α} para algum x ϵ U
Conjuntos α-Cut
• Considere um conjunto fuzzy que representa o conceito de diária cara
(de um hotel). O universo das diárias varia entre 5 a 120 reais. A
pertinência é descrita como segue:
E=0/5+0/10+0/30+0.16/40+0.34/50+0.50/60+0.67/70+0.84/80+1/90+1/100+1/110+1/120
• Alguns conjuntos α-Cut possíveis:
𝐸0.0 = 5,120 ; 𝐸0.30 = 48,120 ; 𝐸0.50 = 60,120 ; 𝐸1.0 = 90,120 ; 
𝐸0.50+ = 60,120 ; 𝐸1.0+ = 90,120
L(E)={0,0.16,0.34,0.50,0.67,0.84,1.0}
Conjuntos α-Cut
• A operação α- Cut pode ser aplicada a números fuzzy. O intervalo α- Cut de um número
fuzzy A pode ser definido como:
𝐴α = [𝑎1
α, 𝑎3
α]
• Um intervalo crisp pode ser estabelecido dentro de um número fuzzy associado a um α -
Cut qualquer;
• As propriedades de um número fuzzy também são para um conjunto α – Cut
(α’ < α) ⇒ 𝐴α ⊂ 𝐴α′
(α’ < α)⇒ (𝑎1
α′ ≤ 𝑎1
α, 𝑎3
α′ ≥ 𝑎3
α]
Conjuntos α-Cut
• As propriedades de um número fuzzy também são para um conjunto 
α –Cut
(α’ < α) ⇒ 𝐴α ⊂ 𝐴α′
(α’ < α)⇒ (𝑎1
α′ ≤ 𝑎1
α, 𝑎3
α′ ≥ 𝑎3
α]
• Estas relações podem ser expressas da forma:
𝐴α ꓵ 𝐴α′ = 𝐴α e 𝐴α U 𝐴α′ = 𝐴α′
𝐴α+ ꓵ 𝐴α′+ = 𝐴α+ e 𝐴α+ U 𝐴α′+ = 𝐴α′+
Conjuntos α-Cut
Conjuntos α-Cut
• A um número fuzzy triangular, por exemplo, podemos aplicar uma 
operação de α-Cut.
Conjuntos α-Cut
• Exemplo: Seja o número fuzzy triangular A =(-5,-1,1), determine seu 
intervalo α-Cut para α=0,5 e o represente graficamente.
Conjuntos α-Cut
Exemplo
• Considere as funções abaixo definidas no universo X=[0,10].
• Calcule os α-cortes para α=0.2;0.5;0.8 e 1. Caso de elementos não 
inteiros, arredonde o valor.
• 𝐴0.2 ꓵ 𝐴0.5 ; 𝐴0.5 𝑈 𝐵0.2; 𝐴0.8 𝑈 𝐶0.2; 𝐵1 ꓵ 𝐶0.8