Lista 3 de Cálculo 2

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INSTITUTO FEDERAL DO CEARÁ 
CAMPUS QUIXADÁ 
PROF. ISAAC RICARTE EVANGELISTA 
CÁLCULO 2 – ENG. AMBIENTAL 
 
LISTA 3 – INTEGRAIS IMPRÓPRIAS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
01. Para cada integral imprópria a seguir, verifique se ela é convergente ou divergente: 
a) 


1 3
dx
x
1
 b) 


0
dx
)1x(x
1
 c) 



 dxxe
2x
 d) 

 
0
x2 dxex
 
e) 


0 x3
dx
e
4
 f)

 
0
x2 dxxe2
 g) 

 
0
xdxe
x
1
 h) 



xdx
 
i) 


3 2
dx
x
1
 j) 



 dx}ex,0max{
2x
 k) 


2 2 4
1
dx
xx
 l) 


1
dx
x
1
 
m) 


1
dx
xx
1
 n) 


1 2
dx
)3x4(
1
 o) 
 
2
1
dx
x1
1
 p) 


1
0
dx
x1
1
 
q) 


1
0 2
dx
)1x(
1
 r)


4
1 3/2
dx
)2x(
1
 s) 

1
2 4
dx
x
1
 t) 


4
0 3/1
dx
)1x(
1
 
u) 


 3/1 2
dx
)2x3(
1
 v) 


0 )3)(2(
1
dx
xx
 w) 


0 )3)(2(
dx
xx
x
 
x) 

4/
0
cos
dx
xsen
x
 y) 


0
sec dxx
 z) 

1
0
ln
dx
x
x
 
 
02. Use o Teste da Comparação para a verificar se as integrais impróprias a seguir convergem ou 
divergem: 
a) 


1 2
2
1
cos
dx
x
x
 b) 


1 3 1
1
dx
x
 c) 


1 2
1
dx
ex x
 d) 


1
0
dx
x
e x
 
 
03. A velocidade média das moléculas em um gás ideal é 

 













a
RT
M
de
RT
M 
 2
23
2/3
2
4 
onde M é o peso molecular do gás, R é a constante do gás, T é a temperatura do gás, e 

 é a 
velocidade molecular. Mostre que 
M
RT


8

. 
 
04. Em Teoria Eletromagnética, o potencial magnético em um ponto no eixo de uma bobina circular 
é dado por 






a 2/322
dx
)xr(
1
k
rN2 
, onde 
aek,r,,N 
 são constantes. Mostre que 












22 ar
a
1
rk
N2  . 
05. Uma substância radioativa decai exponencialmente, a massa no tempo 
t
 é 
ktemtm )0()( 
, onde 
)0(m
 é a massa inicial e 
k
 é uma constante negativa. A vida média M de um átomo na 
substância é 



0
dxtekM kt
. Para o isótopo radioativo de carbono, 
C14
, usado para 
datação, o valor de 
k
 é 
000121,0
. Calcule a vida média de um átomo de 
C14
. 
 
06. Considerando que a função y : R
+  R satisfaz à equação diferencial de primeira ordem 
x
x
y
dx
dy

, e que y(x = 3) = 18, qual deve ser o valor de x para que y(x) seja igual a 4? 
 
07. Mostre que, se 
a
 e 

 são constantes positivas e 
b
 é um número real qualquer, toda solução da 
equação 
xbe)x(ya)x(y 
 tem a propriedade de que 
0)( xy
 quando 
x
. 
 
08. Sabendo que a função 
R),1(:y 
 satisfaz à equação diferencial 
x30y
x1
1
dx
dy



, e 
que 
25)0(y 
, calcule 
)1(y
. 
 
09. No instante t = 0 um tanque contém Q0 kg de um sal dissolvidos em 100 litros de água. Uma 
solução de sal em água, com 0,25 kg de sal por litro de água, entra no tanque à razão r 
litros/minuto e uma solução homogênea sai do tanque com a mesma vazão. Tal processo é 
descrito pela equação diferencial 
100
rQ
4
r
dt
dQ

 
cuja condição inicial é Q(0) = Q0. 
a) Determine a quantidade de sal Q(t) presente no tanque em um dado instante t. 
b) Determine a quantidade limite QL que está presente depois de um longo tempo, isto é, 
)t(QlimQ
t
L


. 
c) Se r = 3 e Q0 = 2QL, determine o intervalo de tempo T após o qual a diferença entre a 
quantidade de sal e QL é menor que 2%. 
d) Determine a vazão em litros/minuto para que o valor de T não seja maior do que 45 minutos. 
 
 
10. A chamada Lei do Resfriamento de Newton é expressa pela equação diferencial ordinária 
)TT(k
dt
dT
a
, onde 
)t(TT 
 representa a temperatura de um corpo no tempo 
t
, 
aT
 à 
temperatura do meio ambiente (suposta constante) e 
0k 
, a condutividade térmica do material 
que constitui o corpo. 
a) Determine a temperatura 
)t(TT 
, supondo-se que a temperatura inicial do corpo é 
0T)0(T 
. 
b) Determine T(t), quando 
t
. 
 
11. Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas de aprendizado. Uma 
curva de aprendizado é o gráfico de uma função 
)(tP
, que determina o nível de desempenho de 
alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t. A derivada 
dt
dP
 representa a taxa na qual o desempenho melhora. 
a) Se M é o nível máximo de desempenho do qual o aprendiz é capaz, explique a razão pela 
qual a equação diferencial 
)( PMk
dt
dP

, onde 
k
 é uma constante positiva, é um modelo 
razoável para o aprendizado. 
b) Resolva a equação diferencial linear do item (a) e use sua equação para traçar a curva de 
aprendizagem. 
c) Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de montagem. 
Arnaldoprecessou 25 unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda. 
Bernaldo processou 35 unidades durante a primeira hora e 50 unidades na segunda. Usando 
o modelo de aprendizagem e assumindo que 
0)0( P
, estime o número máximo de 
unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar. 
 
12. Seja 
RR:f 
 uma função duas vezes diferenciável, tal que 
1)0('f)0(f 
 e 
0f´f2´´f 
. 
Se 







9
)4(f
lnA
, calcule o valor de 21
0
t dt)t(feA








 
. 
 
13. Considere as equações diferenciais abaixo e avalie as afirmativas em V (verdadeiro) ou 
F (falso), justificando sua resposta: 
2
2
t9y3y2y
)0tpara(1tyyt
)II(
)I(


 
Ⓞ A função auxiliar da equação (I) é 
te)t(u 
. 
①
t
tln
y 
 é uma solução da equação (I), para o problema de valor inicial 
0)1(y 
. 
② A solução da equação homogênea associada à equação (II) é 
t
2
t3
1 ekek)t(y

, em que 
21 kek
 são constantes. 
③
2
P At)t(y 
 é uma solução particular de (II) para algum A real. 
 
 
13. Seja 
RR:g 
 uma função contínua e 

 o conjunto de todas as soluções 
RR:x 
 da 
equação diferencial 
)()t(g)t(x3)t('x2)t(''x 
. 
 
Seja 

 uma solução de 
)(
 com condições iniciais 
3)0( 
 e z
4)0(' 
. Julgue os itens 
abaixo: 
Ⓞ Se 
te)t(g 
, a função 
t
p te
2
1
)t(x 
 é uma solução particular de 
)(
. 
① Se 
te)t(g 
, a solução 

 é dada por 
tt3t te4e29e19)t(16  
. 
② Se 
t3)t(g 
, a função 
t
3
2
)t(xp 
 é uma solução particular de 
)(
. 
③ Se 
3)t(g 
, a função 
2xp 
 é uma solução particular de 
)(
 
④ Se 
3)t(g 
, a solução 

 é dada por 
1e2e2)t( t3t  
.