Equações Diferenciais - NC 2012 2

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CEQ.1414.0207 
 
 
 y dy +  xdx = C 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 
 
 
DE 
 
 
EQUAÇÕES 
 
 
 
 
DIFERENCIAIS 
 
 
ciências – uema 
 
 
 
 
 
Elaborada por : 
 Raimundo Merval Morais Gonçalves 
 Licenciado em Matemática/UFMA 
 Professor Auxiliar/UEMA 
 Especialista em Ensino de Ciências/UEMA 
e–mail : mervalmorais@ig.com.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Luís – Ma 
AGOSTO / 2012 
 
 
CEQ.1414.0207 
2
 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
 
 
 
 p. 
1. Equações Diferenciais .................................................................... 03 
2. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis ............................ 06 
3. Equações Diferenciais Homogêneas .............................................. 09 
4. Equações Diferenciais Exatas ........................................................ 11 
5. Lista de Exercícios de Revisão – 1 ................................................. 13 
6. Equações Lineares de 1ª ordem ..................................................... 14 
7. Aplicações de equações de 1ª ordem ............................................ 17 
8. Equações de Bernoulli .................................................................... 20 
9. Lista de Exercícios de Revisão – 2 ................................................. 22 
10. Equações Lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes .... 23 
11. Equações Lineares de 2ª ordem não homogêneas ........................ 25 
12. Equações Lineares de ordem n com coeficientes constantes .... 29 
13 Equação de Cauchy − Euler ........................................................... 31 
14. Sistemas Lineares de Equações Diferenciais ................................ 34 
15. Transformada de Laplace ............................................................... 38 
16. Lista de Exercícios de Revisão – 3 ................................................. 42 
17. Tabela de Derivadas e Tabelas de Integrais.................................. 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 Chama-se Equação Diferencial toda equação cujas incógnitas são funções e que 
contém pelo menos uma derivada ou diferencial destas funções. 
 
EXEMPLOS : 
 
a) 1x3
dx
dy
 b) x. dx – y. dy = 0 c) 0y
dx
yd
2
2
 
 
d) 1
dx
dy
.2
dx
yd
2
2
2





 e) 0
x
y
.4
t
x
2
2
2
2






 f) 0
v
x
u
t
.2
2
2
3
3






 
 
 
2. CLASSIFICAÇÃO 
 Uma equação diferencial é chamada Ordinária se a função incógnita depende de 
apenas uma variável ; se a função incógnita depende de mais de uma variável independente, 
temos uma Equação Diferencial Parcial, por exemplo : os exemplos a) , b) , c ) e d) são or-
dinárias e os exemplos e) e f) são parciais. 
 
 
3. ORDEM E GRAU 
 
3.1 – ORDEM 
 A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela 
comparece. 
 
 
3.2 – GRAU 
 Supondo-se a equação escrita, como um polinômio na incógnita e suas derivadas, o 
grau da equação é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem 
contida na equação. 
 
EXEMPLO : A equação 
2
3
3
dx
yd








 + 4 2
2
dx
yd
 – 3
4
dx
dy






 + 7y = x 2 é de 3ª ordem e 2º grau , pois a 
derivada terceira está elevada ao expoente 2( dois ). 
 
 
 
4. SOLUÇÕES 
 Solução de uma Equação Diferencial na função incógnita( y ) e variável independente( x ), 
em um intervalo I, é uma função y( x ) que verifica a equação para todo x  I. 
 
 
EXEMPLOS : 
 
a) Seja a equação y' = 3x – 1, verifique se y = Cx
2
x3 2
 é solução da equação. 
 
b) Seja a equação ( y' )4 + y2 = – 1, verifique se y = x2 é solução 
 
 
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 Existem vários tipos de solução para uma equação diferencial. 
 
a) Solução Geral  é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantos as unidades da 
ordem da equação. 
 
b) Solução Particular  é a solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo-se valo-
res particulares às constantes arbitrárias. 
 
c) Solução Singular  é a solução da equação, que não pode ser deduzida da solução geral. 
 
 Para resolvermos uma equação diferencial deve-se integrar a mesma. 
 
 
5. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS DE VALORES DE CONTORNO 
 Um problema de Valor Inicial consiste em uma Equação Diferencial, juntamente 
com condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas, tudo dado para um 
mesmo valor da variável independente ; caso contrário o problema é um Problema de Con-
torno, ou seja , quando as condições se referem a mais de um valor da variável independente. 
 
 
EXEMPLO 1 : Seja a equação y'' + 2y' = e x e as condições y' (  ) = 2 e y(  ) = 1 . Este pro-
blema é um problema de valor inicial, pois as condições são ambas dadas no 
mesmo ponto x =  . 
 
 
 
EXEMPLO 2 : Seja a equação y'' + 2y' = e x e as condições y' ( 0 ) = 2 e y( 1 ) = 1 . Este proble-
ma é um problema de valores de contorno, pois as condições são dadas em diferen-
tes pontos x = 0 e x = 1 . 
 
 
 
6. CURVAS INTEGRAIS 
 Geometricamente, a solução geral de uma Equação Diferencial representa uma fa-
mília de curvas que recebem o nome de Curvas Integrais. Essa solução denomina-se Primitiva 
ou Integral da Equação Diferencial. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Seja a equação x2
dx
dy
 . Descubra que família de curvas representa 
a sua solução geral. 
 
SOLUÇÃO 
 
x2
dx
dy
  dy = 2x dx   dy =  2x dx  y = 
2
2 2x
 + C  y = x2 + C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y''– y = 0 ? 
 
a) y = e x b) y = cos x c) y = 2 . e 2x d) y = 3 . e – x 
 
 
2. Determine C1 e C2 de modo que y( x ) = C1 sen x + C2 cos x satisfaça as condições dadas . 
 
a) y( 0 ) = 1 e y'( 0 ) = 2 b) y( 0 ) = – 1 e y( \2 ) = 1 c) y( 0 ) = 2 e y'(  ) = 1 
 
R. a) C1 = 2 e C2 = 1 ; b) C1 = 1 e C2 = – 1 ; c) C1 = – 1 e C2 = 2 
 
 
3. Em cada item abaixo, escreva uma equação diferencial que seja modelo matemático para a situa-
ção descrita. 
 
a) A inclinação do gráfico de g no ponto ( x, y ) é a soma de x e y. 
 
b) A reta tangente ao gráfico de g no ponto ( x, y ) intercepta o eixo-x no ponto 





0,
2
x
. 
 
c) A taxa de variação temporal da velocidade ( v ) de uma lancha é proporcional ao quadrado de ( v ). 
 
d) Em uma cidade com população fixa de P pessoas a taxa de variação temporal do número de 
pessoas( N ) que contraíram certa doença é proporcional ao produto do número de pessoas que 
tem a doença pelo número de pessoas que não tem. 
 
 
5. Determine a família de curvas que a solução de cada equação abaixo, representa. 
 
a) 
dx
dy
= 2.x – 7 b) 
dx
dy
 = x ² + 1 c) 
dx
dy
 = 2x
1
, x > 0 
 
d) 
dx
dy
 = 3x² – 2x + 5 e ) 
dx
dy
 = y
x
, y > 0 f) 
dx
dy
 = 1y
1x


 
 
g) 
dx
dy
 = 9x² – 4x + 5 ; x = – 1 e y = 0 h) 
dx
dy
 = x 1/2 + x 1/4 ; x = 0 e y = – 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Todas as equações da forma : 
 
 M . dx + N . dy = 0, onde M e N podem ser : 
 
 a) funções de apenas uma variável ; 
 b) produtos com fatores de uma só variável ; 
 c) constantes 
 
 é denominada Equaçãode Variáveis Separáveis. 
 
 A solução da equação é obtida integrando ambos os lados da equação, ou seja : 
 
  M.dx +  N.dy = C , onde C é uma constante arbitrária. 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1: Resolver a equação x³ dx + ( y + 1 ) ² dy = 0 . 
 
 Como as variáveis já estão separadas, podemos integrar termo a termo : 
 
SOLUÇÃO 
  x³ dx +  ( y + 1 )² dy = C1  
4
x4
+ 
3
)1y( 3
= C1  3x4 + 4( y + 1 ) ³ = C , é a so-
lução geral da equação, onde C = 12C1. 
 
 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 : Resolver a equação e x dx – y dy = 0 e y( 0 ) = 1 . 
 
SOLUÇAO 
 
 
x
0
xdxe – 
y
1
ydy = 0  
xxe
0 – 
y
1
2
2
y
 = 0  e x – e 0 – 
2
y2
 + 
2
12
 = 0 
 
 e x – 1 – 
2
y2
 + 
2
1
 = 0  e x – 
2
y2
 = 1 – 
2
1
  e x – 
2
y2
 = 
2
1
 
 
 2e x – y² = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Resolva as equações diferenciais abaixo : 
 
a) y' = 3x – 1 b) y.dx – x.dy = 0 c) x . cos x dx + ( 1 – 6y5 ) dy = 0 ; y(  ) = 0 
 
d) tg x . sec y dx – tg y . sec x dy = 0 e) ( x2 – 1 ) 2y1 dx – x2 dy = 0 
 
f) ( x – 1 )dy – ydx = 0 g) 4xy2 dx + ( x2 + 1 ) dy = 0 
 
h) 0
dx
dy
.tgy
x
1
 i) 
4x
e
dx
dy
2
y2



 
 
j) x2.y' = 1 – x2 + y2 – x2.y2 l) y3 . y' = ( y4 + 1 ) . cos x 
 
 
 
2. Ache uma função y = ( x ) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. 
 
a) y' = 2x – 1 ; y( 0 ) = 3 b) y' = ( x – 2 ) 3 ; y( 2 ) = 1 c) y' = cos x ; y( 0 ) = 1 
 
 
 
3. Ache a função posição x( t ) de uma partícula em movimento com aceleração dada a( t ), posi-
ção inicial xo = ( 0 ) e a velocidade inicial vo = v( 0 ). 
 
a) a( t ) = 50 , vo = 10 e xo = 20 b) a( t ) = 2t + 1 , vo = – 7 e xo = 4 
 
 
 
4. Resolva os problemas abaixo, utilizando uma equação diferencial. 
 
a) Uma bola é solta do alto de um prédio que tem a altura de 405m. Quanto demora a chegar ao 
solo ? Com que velocidade toca o chão ? 
 
 
b) Os freios de um carro são aplicados quando ele se move a uma velocidade de 108km/h e im-
primem uma desaceleração de 10m/s2. Quanto tempo o carro gasta e quanto anda até parar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESPOSTAS 
 
1ª QUESTÃO 
a) y = 
2
3
x2 – x + C b) x = C . y c) x . sen x + cos x + 1 = y6 – y 
 
d) cos y – cos x = C e) x + x – 1 – arc sen y = C f) y = C. ( x – 1 ) 
 
g) ln ( x2 + 1 )2 – y – 1 = C h) x.cos y = C i) e 2y – arctg 





2
x
 = C 
 
j) arctg y – x – 1 + x = C l) ln ( y4 + 1 ) = C + 4.sen x 
 
 
 
2ª QUESTÃO 
 
a) y =x2 – x + 3 b) y = 
4
1
( x – 2 )4 + 1 c) y = sen x + 1 
 
 
3ª QUESTÃO 
 
a) x = 25t2 + 10 t + 20 b) x = 
3
1
t3 + 
2
1
t2 – 7t + 4 
 
 
4ª QUESTÃO 
 
a) t = 9s ; v = 90 m/s b) t = 3s ; S = 45m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEAS 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 Toda função do tipo ( x, y, z ) é denominada Homogênea se ao substituir-se x 
por kx ; y por ky e z por kz , tem-se : 
 
 ( kx, ky, kz ) = k m . ( x, y, z ) , onde m é denominado grau de homogeneidade. 
 
 Assim, as Equações Homogêneas são da forma M . dx + N . dy = 0, onde M e N 
são funções homogêneas em x e y de mesmo grau. 
 
 
EXEMPLOS : 
 
a) ( x + 2y ) . dy – y dx = 0 b) ( 2x – y ) dx – xy2x 2  dy = 0 
 
 
2. RESOLUÇÃO 
 Seja a equação diferencial homogênea )y,x(f
dx
dy
 , onde ( kx, ky ) = k m . ( x, y ) . 
Para resolver esta equação, devemos efetuar a substituição : 
 
 y = v . x  
 
 Derivando  em relação a x, temos que : 
 
dx
dv
.xv
dx
dy
  . 
 
 Após a substituição das equações  e  na equação original e efetuadas as sim-
plificações necessárias, temos que a equação resultante se apresenta como uma equação de Va-
riáveis Separáveis nas incógnitas v e x. Então resolvemos esta equação e achada a solução 
geral, voltamos às variáveis originais da equação( em geral x e y ) 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolver a equação x . 
dx
dy
 = y + x . e y/x . 
 
 Dividindo-se a equação por x temos : 
dx
dy
 = 
x
y
 + e y/x . Agora substituímos 
x
y
 por v e 
dx
dy
 por 
dx
dv
.xv  e efetuamos as devidas simplificações, então : 
 
 
dx
dv
.xv  = v + e v  x . 
dx
dv
 = e v  x . dv = e v . dx  e – v dv – x –1 dx = 0 
 
  e – v dv –  x –1 dx = 0  – e – v – ln x = C1  e – y/x + ln x = C, onde C = – C1 . 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
Resolver as equações abaixo : 
 
a) y' = 
x
xy 
 b) ( x2 – y2 ) dx – 2xydy = 0 
 
c) ( x2 + y2 ) dx – xydy = 0 d) ( x + y )dx + ( y – x ) dy = 0 
 
e) ( x2 – 3y2 )dx + 2xydy = 0 ; y( 2 ) = 1 f) 
3
44
xy
xy2
dx
dy 
 
 
g) y' = 
x
xy 
 h) y' = 22 xy
xy2
 
 
i) ( x3 + y3 )dx – 3xy2dy = 0 j) ( 2x + 3y ) dx + ( y – x ) dy = 0 
 
l) 0dy
y
x
1e2dx)e21( y
x
y
x






 
 
 
RESPOSTAS 
 
a) y = x . ln | kx | b) x3 – 3xy2 = C c) y2 = x2 ln x2 + C.x2 
 
d) ln C. 22 yx  = arctg 





x
y
 e) 8( x2 – y2 ) = 3x3 f) y4 = Cx8 – x4 
 
g) y = x . ln | C x – 1 | h) 3x2y – y3 = C i) x3 – 2y3 = Cx 
 
j) ln ( y2 + 2xy + 2x2 ) – 4 arctg 
x
yx 
 = C l) x + 2y y
x
e = C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM EXATAS 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 Uma Equação Diferencial M( x, y ).dx + N( x, y ).dy = 0  é Exata se existe uma 
função G( x , y ) tal que : 
 
dG = M( x, y ).dx + N( x, y ).dy. 
 
TEOREMA : A equação M . dx + N . dy = 0 , onde M e N são funções contínuas e deriváveis, 
em uma região R é Diferencial Exata se, e somente se, ocorrer a relação : 
 
x
N
y
M





. 
 
2. RESOLUÇÃO 
 Existem vários métodos para resolver uma Diferencial Exata. Dentre estes métodos, 
vamos utilizar um que utiliza uma fórmula, que descreveremos a seguir : 
 
 
2.1 – MÉTODO DE RESOLUÇÃO 
 Este método consiste em resolver a equação abaixo : 
 G( x, y ) =  
x
x
y
y
o
o o
dy)y,x(Ndx)y,x(M , sendo ( xo, yo ) um ponto fixo e ( x, y ) um 
ponto qualquer na região R ( domínio de G ) . 
 
 Então a solução da Equação Diferencial  é dada por G( x, y ) = C, onde C é uma 
constante arbitrária. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolver a equação ( 3 . y . e 3x – 2x ) dx + e 3x dy = 0 
 
SOLUÇÃO 
 
 Vamos tomar como ( x o , y o ) o ponto ( 0, 0 ), então temos : 
 G( x, y ) = 
x
0
M( x, y o ) dx + 
y
0
N( x, y )dy  G( x, y ) = 
x
0
( – 2x ) dx + 
y
0
e 3x dy 
 G( x, y ) = – x² 
x
0
+ e3x . y 
y
0
  G( x, y ) = – x² + e 3x . y , como G( x, y ) = C , então a 
solução geral da equação é dada por : 

 y . e 3x – x² = C ou y = x² . e – 3x + C. e – 3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Resolva as equações abaixo : 
 
a) 2xydx + ( 1 + x2 )dy = 0 b) ( x + sen y )dx + ( x cos y – 2y )dy = 0 
 
c) ( x2 – y2 )dx – 2xydy = 0 d) ( 2x – y + 1 )dx – ( x + 3y – 2 )dy = 0 
 
e) ( xy – x2 )dx + 
2
1
x2 dy = 0 f) ( 2xy + x )dx + ( x2 + y )dy = 0 
 
g) ( y + 2xy3 )dx + ( 1 + 3x2y2 + x )dy = 0 h) y e x y dx + x e x y dy = 0 
 
i) ( y. sen x + xy. cos x )dx + ( x sen x + 1 ) dy = 0 j) y ' = xy
xy
e.xy2
ye2


 
 
l) ( x2 – y )dx – xdy = 0 m) ( x2 + y2 ) dx + 2xydy = 0 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
a) x2y + y = C b) 
2
1
 x2 + x . sen y – y2 = C c) x3 – 3xy2 = C 
 
d) 2x2 – 2xy + 2x + 4y – 3y2 = C e) 3x2y – 2x3 = C 
 
f) x2y + 
2
1
x2 + 
2
1
y2 = C g) xy + x2y3 + y = C 
 
h) e xy = C i) xy sen x + y = C j) 2x + e xy – y2 = C 
 
l) y = 
1
3
x 2 – C x – 1 m ) x 3 + 3xy 2 = C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS – REVISÃO 
 
 
1. Resolva as equações abaixo : 
 
a) ( 1 + x2 ) 
dx
dy
 + xy = 0 b) ( y + 3 )dx + cotg x dy = 0 c) ( xy – x2 ) 
dx
dy
 = y 2 
 
d) 
dt
dx
=1 – sen 2t e) 
3
3
dx
yd
=e – x f) sec x . cos2 y dx = cosx . seny dy 
 
g) 
yx
yx
dx
dy


 h) ( x2 – x + y2 )dx – ( ye y – 2xy ) dy = 0 
 
i) xy2 dx – ( 2 – x2 y )dy = 0 j) ( x2 – y2 ) dx – ( 2xy – 3 )dy = 0 
 
l) ( 1 + y sen x ) dx + ( 1 – cos x ) dy = 0 
 
 
2. Resolva os problemas abaixo : 
 
A) A velocidade de um ponto é proporcional ao deslocamento e ao seno do tempo. Achar o des-
locamento em função do tempo. 
 
 
B) Achar a equação da curva que passa pelo ponto P( 1, 1 ), sabendo que o declive de sua tan-
gente em um ponto qualquer é proporcional ao quadrado da ordenada do mesmo ponto. 
 
 
C) Achar a equação da curva que passa pela origem, pelo ponto ( 1, 4 ) e tal que a área compre-
endida entre a curva, o eixo x e a ordenada de um ponto qualquer ( x, y ) é igual a um terço do 
produto das coordenadas do ponto ( x, y ). 
 
 
D) Suponha que a taxa de aumento no custo de pedir e manter estoque( y ), à medida que a 
quantidade do pedido( s ), aumenta, é igual à razão entre a soma dos quadrados do custo e da 
quantidade do pedido, e o dobro do produto do custo pela quantidade. Ache a relação entre Cus-
to de pedir e manter e a magnitude do pedido se y = 3, quando s = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÕES LINEARES DE 1ª ORDEM 
 
 
1. EQUAÇÃO LINEAR 
 DEFINIÇÃO 1 : Uma Equação Diferencial é Linear quando a variável dependente e suas de-
rivadas são todas de 1º grau e não figuram produtos destas na equação. 
 
 DEFINIÇÃO 2 : Uma Equação Diferencial de 1ª ordem, é Linear se pode ser escrita na for-
ma : 
 
y' + Py = Q  , onde P e Q são funções de x ou constantes. 
 
 Se Q  0, a Equação  é denominada Linear Homogênea ou Incompleta. 
 
 
2. RESOLUÇÃO 
 Existem dois métodos para resolvermos uma Equação Linear de 1ª ordem : Método 
de Lagrange e o Método do Fator Integrante. 
 
 
 
2.1  MÉTODO DO FATOR INTEGRANTE 
 Chamamos de Fator Integrante( F . I ) uma função que serve para transformar uma 
Equação Diferencial não Exata em uma Equação Diferencial Exata . 
 
 O fator integrante para as equações lineares de 1ª ordem é dado por : 
 
F.I = e  P( x ) dx . 
 
 Uma vez encontrado um fator integrante para a equação diferencial, multiplicamos o 
fator integrante pela equação e a resolvemos utilizando o método de resolução para equações 
diferenciais exatas. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS : Para cada equação é sugerido uma função como fator integrante . Teste 
para verificar se é um fator integrante para a equação, se verdadeiro, resol-
va a mesma . 
 
a) ( 2y – 3x ) dx + x . dy = 0 ; F I = x 
 
b) y dx  x dy = 0 ; F.I =  x  2 
 
c)( y + 1 ) dx  x dy = 0 ; F.I = x 2 
 
 
 
 Para as equações lineares de 1ª ordem , o procedimento é o mesmo, primeiramente 
encontramos um fator integrante e então a transformamos em uma equação exata e resolvemos 
utilizando o método da unidade anterior. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO : Resolver a equação y' + y = x + 1. 
 
R. y = k. e – x + x 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
15
2. 2  UMA FÓRMULA PARA RESOLVER EQUAÇÕES LINEARES DE 1ª ORDEM 
 
 Sendo y' + Py = Q  uma equação Linear de 1ª ordem, podemos utilizar a se-
guinte fórmula para encontrar a solução geral de  : 
 
 y = e –  P( x) dx . [  Q( x ) e  P( x )dx . dx + C ], onde e  P( x )dx é o Fator Integrante da 
equação . 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolver as equações y' – 3y = e x . 
 
SOLUÇÃO : 
 Temos que : P = – 3 e Q = e x 
 
 y = e –  P( x) dx . [  Q( x ) e  P( x )dx . dx + C ] 
 
 y = e  3 dx . [  e x . e –  3dx . dx + C ]  y = e 3 x . [  e x . e – 3 x . dx + C ] 
 
 y = e 3 x . [  e x . e – 3 x . dx + C ]  y = e 3 x . [  e – 2 x . dx + C ] 
 
 y = e 3 x . 




   Ce
2
1 x2
  y = 




  x3x e.Ce
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
Resolva as seguintes equações lineares de 1ª ordem. 
 
a) y' + 
x
y
 = x – 2 b) y' – 3y = 6 c) y' – 2xy = x 
 
d) y' + 





x
4
y = x4 e) y' – 5y = 0 f) xy'  4y = x 2 
 
g) y' – 7y = e x h) y' + 2xy = x ; y( 0 ) = 1 i) y' + 6xy = 0 ; y( 0 ) = 5 
 
j) y' – 2y = e 3x l) y' + y = 2 + 2x m) y' + 3y = 2 
 
n) y' + 
x
1
y = x  4 o) 
dt
di
 – 6i = 2t 
 
 
RESPOSTAS 
 
a) y = 
3
1
x2 – x + C.x – 1 b) y = – 2 + C.e 3x c) y = – 
2xe.k
2
1
 
 
d) y = C . x – 4 + 
9
1
x 5 e) y = C . e 5x f) y = 
2
1
x 2 + C x 4 
 
g) y = C.e 7x – 
6
1
e x h) y =  
2
1
 + 
2
3 2xe – 1 i) y = 5 . 
2x3e 
 
j) y = e 7x + C e 2x l) y = 2x + C . e – x m) 3y = 2 + C . e – 3x 
 
n) y = 
3
1
x – 2 + C x o) i =  
18
1
 
3
1
 t + C. e  6t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM 
 
 As Equações Diferenciais de 1ª ordem, têm grande aplicabilidade, nas mais diversas 
áreas de conhecimento. Veremos alguma destas aplicações . 
 
1. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO 
 Para problemas que envolvem crescimento e decrescimento podemos trabalhar com 
o problema de valor inicial : 
 
dx
dt
 = kx ; x( t o ) = x o e k é a constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. 
 
2. RESFRIAMENTO 
 A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura( T( t ) ) de um 
corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura 
constante ( T m ) do meio ambiente, ou seja : 
 
dT
dt
 = k( T – T m ), onde k é a constante de proporcionalidade. 
 
3. CIRCUITOS EM SÉRIE 
 Podemos utilizar as equações diferenciais para resolver problemas relacionados com 
circuitos elétricos, com mostra as figuras abaixo . 
 
 
R i + 
1
C
q = E( t ) e i = 
dq
dt
 L
di
dt
 + R i = E( t ) 
 
 
4. MISTURAS 
 Vamos supor que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume 
inicial de V o litros e Q o gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do 
tanque a uma taxa de ( r E ) litros por minuto possuindo uma concentração ( C E )gramas de sal 
por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa ( r S ) litros por minutos . 
 A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é igual a taxa com que entra sal 
no tanque menos a taxa com que sai sal do tanque. 
 
 
 
dQ
dt
 = r E . C E – 
o E S
Q
V (r r ).t 
. r S 
V( t ) = V o + ( r E – r S ) . t 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
18
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
 
1. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bacté-
rias presentes em qualquer tempo. Após 3 horas, observa – se que há 400 bactérias presentes . 
Após 10 horas, existem 2000 bactérias presentes . Qual era o número inicial de bactérias ? 
R. 200 bactérias 
 
2. Sabe-se que certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presen-
te. Se, inicialmente, a quantidade de material é 50 miligramas, e se observa que, após duas ho-
ras, perderam-se 10% da massa original, determine : 
a) a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t ; 
b) a massa restante após 4 horas ; 
c) o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade. 
R. a) M = 50e 0,5t ln 0,9 ; b) M = 40,5 mg ; c) t = 13 h 
 
3. Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de 
habitantes existente. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habi-
tantes, determine a população inicial. 
R. 16.667 habitantes 
 
4. Um tanque de 50 litros de capacidade contém 10 litros de água fresca. Quando t = 0, adicio-
na-se ao tanque uma solução de salmoura com 1 kg de sal por litro, à razão de 4l /min, enquanto 
que a mistura se escoa à razão de 2l/min. Determine : 
 
a) o tempo necessário para que ocorra o transbordamento ; 
b) a quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento. 
R. a) t = 20 minutos ; b) 48 kg 
 
5. Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de 100ºF em um quarto com temperatura cons-
tante de 0º F. Se, após 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF, determine : 
 
a) o tempo necessário para chegar à temperatura de 25º F ; 
b) a temperatura da barra após 10 minutos. 
R. a) t = 40 minutos ; b) 70,7º F 
 
 
6. Em um circuito RL uma bateria de 12 volts é conectada em série no qual a indutância é de 0,5 
henry e a resistência de 10ohms. Se a corrente inicial é zero, determine : 
 
a) A corrente no circuito no instante t ; 
 
b) A corrente no circuito quando tiverem decorridos 1 hora de funcionamento. 
 
c) A corrente no circuito quando t   . 
 
R. 1,2 – 1,2 e – 20 t 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
19
 
7. Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m, com velocidade inicial zero. 
Supondo que não haja resistência do ar, determine : 
 
a) a expressão da velocidade no corpo no instante t ; 
 
b) a expressão da posição do corpo no instante t ; 
 
c) o tempo necessário para o corpo atingir o solo. 
 
R. v = 10t ; s = 5t2 ; t = 2 5 s 
 
11. Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador mantido à tempe-
ratura constante de 0º C. Se após 20 min a temperatura do corpo é de 40ºC e após 40 minutos a 
temperatura do corpo é 20ºC, determine a temperatura inicial do corpo. 
R. T = 80.e – 0,035t ; To = 80º C 
 
12. Uma lancha se desloca numa lagoa com velocidade de 10m/s. Em dado instante seu motor é 
desligado ; a lancha sofre com isso uma redução da velocidade proporcional à resistência da 
água, sabendo-se que ao fim de 5s sua velocidade é de 8m/s. Qual será o tempo necessário para 
que a lancha adquira velocidade de 1m/s ? 
R. t = 51, 6 s 
 
15. Achar a equação da curva em que a inclinação da tangente em qualquer ponto P( x, y ) é 
2
1
 
da inclinação da reta que liga a origem ao ponto. 
R. y2 = C . x 
 
 
16. Um bote está sendo rebocado a uma velocidade de 6m/s. No instante ( t = 0 ) em que o cabo 
do reboque é largado, um homem no bote começa a remar no sentido do movimento, exercendo 
uma força de 10N. Sabendo que o peso do homem e do bote é de 200N e que a resistência ao 
deslocamento, em N, é de 2,6v, sendo ( v ) a velocidade em m/s, achar a velocidade do bote no 
fim de 0,5 minuto. Sendo g = 10m/s2 . 
R. 3,89 m/s 
 
19. Carbono extraído de um crânio antigo continha apenas um sexto do C14 radiativo do que o 
carbono extraído de um osso atual. Qual a idade do crânio, onde k = 0,0001216 ? 
 
R. 14.735 anos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
20
 
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 Equação de Bernoulli é aquela da forma 
dx
dy
 + Py = Q . y n onde, P e Q são cons-
tantes ou funções de x e n é diferente de zero e um ( n  0 e n  1 ). 
 
 
2. RESOLUÇÃO 
 A Equação de Bernoulli se resolve através da sua redução a uma Equação Linear, 
utilizando-se a substituição z = y 1 – n . 
 
 Sendo y' + Py = Qy n  uma equação de Bernoulli, podemos então transformar a 
equação  em uma equação Linear de 1ª ordem, utilizando a expressão : 
 
 z' + ( 1 – n ) Pz = ( 1 – n )Q  , de onde então encontramos a solução geral de  , 
utilizando a fórmula abaixo : 
 
 z = e –  P( x) dx . [  Q( x ) e  P( x )dx . dx + C ], onde e  P( x )dx é o F. I da equação e y = n1
1
z  . 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolver a equação y' – 
x
3
y = y 5 . 
 
SOLUÇÃO 
 Temos que : P = 
x
3
 , Q = 1 e n = 5 , então : z' + ( 1 – 5 ) . 





x
3
z = ( 1 – 5 ) . 1 
 z ' + 
x
12
z = – 4 é a equação a ser resolvida , portanto P' = 
x
12
 e Q' = – 4 . 
 
 z = e –  P( x) dx . [  Q( x ) e  P( x )dx . dx + C ] 
 
 z = e –  12 / x dx . [  ( – 4 ) . e  12 / x dx . dx + C ]  z = e – 12 ln x . [  ( – 4 ) . e 12 ln x . dx + C ] 
 
 z = 
12xlne
 . [  ( – 4 ) . 12ln xe . dx + C ]  z = x – 12 . [  ( – 4 ) . x 12 . dx + C ] 
 
 z = x – 12 . 




  Cx
13
4 13  z = –
13
4
x + C . x – 12 . Como n = 5 , temos que y = 51
1
z  
 y = 4
1
z

  y = ( –
13
4
 x + C . x – 12 ) – 1/ 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
21
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Resolver as equações abaixo : 
 
a) y' + xy = xy2 b) y' + 2. 
x
y
 = 3xy2 c) y' – 2xy = xy3 
 
d) y' + xy = x3y3 e) xy' + y = y2 ln x f) 
x
y2
dx
dy
 = 2y2 
 
g) y' – 
x
3
y = x4 y
1
3 h) y' + 
x
2
y = x ; y( 1 ) = 0 
 
i) y' – y = xy2 j) y' + y = y2 e x 
 
l) x dy + y dx = x3 . y6 dx m) y . y' – x . y2 – x = 0 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
a) y = ( 1 + C . 2
x2
e )
 – 1 b) y = ( x2 ln x – 3 + Cx2 ) – 1 c) y = 2
1
x2 2e.C
2
1

 




  
 
d) y = ( x2 – 1 + C. e x
2
) – 1/ 2 e) y = ( ln x + 1 + C.x ) – 1 f) y =( 2x + C . x² ) – 1 
 
g) y = 2
3
52 x
9
2
Cx 




  h) y = 4
1
( – x – 2 + x2 ) i ) y = ( 1 – x + C e – x ) – 1 
 
j) y = ( – xex + Ce x ) – 1 l) 2.y – 5 = Cx5 + 5x3 m) y2 = 1 + C e x
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.020722
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – REVISÃO 
 
 
1. Resolva as seguintes equações diferenciais lineares de 1ª ordem. 
 
a) y' – y = 2 . e x b) x . y' + 2y = sen x c) y' – 2y = e 2x 
 
d) y' – 2xy = x ; y( 0 ) = 0 e) y' + 
x
1
y = sen x 
 
 
2. Encontre um fator integrante para cada equação abaixo e determine a sua solução. 
 
a) ( 3xy + y2 ) + ( x2 + xy ) y ' = 0 b) ( 3x2y + 2xy + y3 )dx + ( x2 + y2 ) dy = 0 
 
c) ydx + ( 2xy – e –2y ) dy = 0 d) e x dx + ( e x. cotgy + 2ycossecy ) dy = 0 
 
e) ( y. ln y + y .e x )dx + ( x + y . cos y )dy = 0 
 
 
3. Resolva os problemas abaixo utilizando uma equação diferencial. 
 
A) O núcleo radioativo do plutônio 241 decai de acordo com a equação diferencial 
dt
dQ
= – 0,0525Q, 
onde Q está em miligramas e t em anos. 
 
a) Determinar a meia vida do plutônio 241 ; 
b) Se 50 mg de plutônio estiverem presentes numa amostra no dia de hoje, quanto plutônio exis-
tirá daqui a 10 anos ? 
 
 
B) Admitamos que a temperatura de uma xícara de café quente obedeça à lei do resfriamento, 
de Newton. Se a temperatura do café for 93°C, logo depois de coado, e um minuto depois for de 
87ºC, num ambiente a 21ºC, determinar o instante em que a temperatura do café é de 65ºC ? 
 
 
C) Suponha que a população de peixes P( t ) em um lago seja atacada por uma doença no instan-
te t = 0 , com o resultado Pk
dt
dP
 , ( k > 0 ), dali por diante. Se havia inicialmente 900 pei-
xes no lago , e só restavam 441 após 6 semanas, quanto tempo levará até que toda a população 
de peixes tenha morrido ? 
 
 
D)Um circuito RL tem fem dada( em volts ) por 4sen t, resistência de 100 ohms, indutância de 
4 henries, e corrente inicial zero. Determine a corrente no instante t . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
23
EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM 
COM COEFICIENTES CONSTANTES HOMOGÊNEAS 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 Uma Equação Diferencial do tipo : 
 
 A2y'' + A1y' + Aoy = 0  , onde A 2 , A 1 e A o são constantes e A 2  0 é chamada E-
quação Diferencial Linear de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes. 
 
EXEMPLOS : 
 
a) y'' + 2y' + y = 0 b) y'' – 3y' + 4y = 0 c) 2y'' – 4y' – y = 0 
 
 
2. RESOLUÇÃO 
 Para resolver a equação  vamos pesquisar inicialmente uma solução particular, solu-
ção esta que suporemos ser do tipo : y = e mx , então y' = m.e mx e y" = m2.e mx , logo : 
 
 m2 e mx + A1.m.e
 mx + Ao. e
 mx = 0 :( e mx ), pois e mx  0, temos : 
 
 m2 + A1.m + Ao = 0 que é uma equação de 2º grau, denomina-se aqui, de Equação Auxi-
liar ou Equação Característica. 
 
 Se m1 e m2 são raízes da Equação Auxiliar, então para encontrarmos a solução geral 
da Equação  temos três casos a considerar : 
 
1º CASO : 
 Se as raízes m1 e m2 da Equação Auxiliar são reais e distintas, então a solução geral 
da Equação  é : 
 
y = C1.
xm1e + C2.
xm2e 
 
 
2º CASO : 
 Se as raízes m1 e m2 da Equação Auxiliar são reais e iguais, ou seja : 
m1 = m2 = m, então a solução geral da Equação  é : 
 
y = C1 e
 mx + C2 x . e
 mx 
 
 
3º CASO : 
 Se as raízes m1 e m2 da Equação Auxiliar são complexas, então a solução geral da 
Equação  é : 
 
 y = e ax . ( C1 e
 ibx + C2. e
 – ibx ) , onde utilizando - se a fórmula de Euler : 
 
 e iz = cos z + i . sen z , para z  C, temos : 
 
 y = e ax .( C1 . cos bx + C2 . sen bx ) 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
24
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Resolva as equações abaixo : 
 
a) y'' – y' – 2y = 0 b) y'' – 7y = 0 c) D2 + 4D + 5 = 0 
 
d) y'' – 5y' = 0 e) y'' + 4y = 0 f) y'' – 3y' + 4y = 0 
 
g) y'' + 4y' + 4y = 0 h) y'' = 0 i) 0y5
dx
dy
2
dx
yd
2
2
 
 
j) D2 – 3D + 2 = 0 ; y = 0 e y' = 2, se x = 0 
 
l) D2 + D – 6 = 0 m) D2 – 2D + 10 = 0 
 
n) y'' + y' – 12y = 0 o) y'' – 4y + 5y = 0 
 
p) 3y'' – 2y' – 5y = 0 q) y'' – 4y' + 8y = 0 r) y'' + 2y' + 3y = 0 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
a) y = C1 e
 – x + C 2 e
 2x b ) y = C1 e
 – 7 x + C 2 e
 7 x c) y = e – 2x ( C 1 cos x + C 2 sen x ) 
 
d) y = C1 + C 2 e
 5x e) y = C1 cos 2x + C 2 sen 2x f) y = C1 e
 – x + C 2 e
 4x 
 
g) y = C1 e
 – 2x + C 2 e
 2x h) y = C1 + C 2 x i) y = e
 x(C1 cos 2x + C2 sen 2x ) 
 
j) y = – 2 e x + 2 e 2x l) y = C1 e
 2x + C 2 e
 – 3x 
 
m) y = e x ( C 1 cos 3x + C 2 sen 3x ) n) y = C1 e
 3x + C 2 e
 – 4x 
 
o) y = e 2x ( C 1 cos x + C 2 sen x ) p) y = C1 e
 – x + C 2 e
 5x / 3 
 
q) y = e 2x ( C 1 cos 2x + C 2 sen 2x ) r) y = e
 – x ( C 1 cos 2 x + C 2 sen 2 x ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
25
EQUAÇÕES LINEARES DE 2ª ORDEM NÃO-HOMOGÊNEA 
COM COEFICIENTES CONSTANTES 
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Seja uma Equação Linear de 2ª ordem a coeficientes constantes não-homogênea : 
 
 A 2 y'' + A 1y' + A o y = Q, onde Q é constante ou função de x e A o, A 1 e A 2 são coefi-
cientes constantes. 
 
 A solução geral desta equação é dada por : 
 
 y = yh + yp , onde y h é a solução complementar de y e y p é uma solução particular. 
 
 A solução y h é encontrada resolvendo-se a Equação Homogênea associada, ou seja, re-
solvendo a equação : 
 
A 2.y'' + A 1.y' + A o = 0. 
 
 
2. MÉTODO DOS OPERADORES INVERSOS 
 Seja uma Equação Diferencial Linear não homogênea com Coeficientes Constantes de 
ordem n : 
 
 y( n ) + A n – 1 y
 ( n – 1 ) + . . . + A 2 y"+ A 1y' + A o y = Q , ou F( D )y = Q e seja y = )D(F
1
Q , 
uma solução particular da equação  . Para certas formas de Q , o trabalho necessário para deter-
minar esta solução pode ser bastante simplificado, utilizando-se para isto os operadores diferenciais 
inversos. Temos os seguintes casos a considerar : 
 
 
1º CASO : Se Q = e a x , então : 
 
 y = 
)D(F
1
 e a x = 
)a(F
1
 e a x , se F( a )  0. 
 
 Se F( a ) = 0 , então y = e ax .  dx = x . e ax . 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre uma solução particular para a equação D² – 1 = e 3x 
 
 Uma solução particular é : y P = 
1D
1
2 
e 3x = 
13
1
2 
 e 3x = 
8
1
 e 3x . 
 
 
2º CASO : Se Q = sen( ax + b ) ou cos( ax + b ), então : 
 
 y = 
)D(F
1
2
sen ( ax + b ) = 
)a(F
1
2
sen ( ax + b ) , F( – a 2 )  0. 
 
 y = 
)D(F
1
2
cos ( ax + b ) = 
)a(F
1
2
cos ( ax + b ) , F( – a 2 )  0. 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre uma solução particular para a equação D² + 4 = sen 4x 
 
CEQ.1414.0207 
26
 
 Uma solução particular é : y P = 
4D
1
2 
sen 4x = 
44
1
2 
sen 4x = 
12
1
 sen 4x . 
 
 
3º CASO : Se Q = x m ( polinômio de grau m ), então : 
 
 y = 
)D(F
1
x m = ( a o + a 1 D + a 2 D 
2 + . . . + a m D
 m ) x m , ao  0 , obtido pelo desenvol-
vimento de )D(F
1
 em potências crescentes de D e desprezando todos os termos além de D m , por-
que D n x m = 0 , quando n > m . 
 
OBSERVAÇÃO : Temos que 
D
1
{ ( x ) } =  ( x ) dx . 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre uma solução particular para a equação D² + 4D + 4 = x² . 
 
 Uma solução particular é : y P = 
4D4D1
2 
 x ² = 




  2D
16
3
D
4
1
4
1
 x ² , então : 
 y P = 4
1
x ² – 
2
1
x + 
8
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
27
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Resolver as equações abaixo : 
 
a) D2 – D – 2 = e 3x b) y'' – y' – 2y = sen x c) y'' – y' – 2y = 4x2 
 
d) y' – y = e x e) y' – 5y = 2e 5x f) y'' + y = cos 3x 
 
g) D2 = 9x2 + 2x – 1 h) y'' + 3y' + 2y = 6 
 
i) D2 – 4D + 3 = 1 j) D2 – 4D = 5 l) ( D2 + 4 )y = sen 3x 
 
m) ( D2 + 3D – 4 )y = sen 2x n) D – 5 = – 2x + 1 
 
 
2. Resolva os problemas abaixo : 
 
A) Determine o deslocamento, o período e a frequência do movimento harmônico simples de 
uma massa de 4kg numa extremidade de uma mola com uma constante de 16N/m, sabendo-se 
que o deslocamento inicial da massa é 0,5 m e x'( 0 ) = – 10. 
 
R.  = 1/ Hz ; p =  s ; x = 
2
1
cos 2t – 5sen 2t 
 
B) Um circuito RCL, tal como o da figura abaixo, com R = 6 , C = 0,02 farad , L = 0,1 henry, 
tem uma voltagem aplicada de E( t ) = 6V. Supondo que não haja corrente inicial nem carga 
inicial quando t = 0, ao ser aplicada inicialmente a voltagem, determine a carga subsequente no 
capacitor e a corrente no circuito. 
 
 
 
C) Uma massa de 3kg é ligada na extremidade de uma mola que é esticada de 20cm por uma 
força de 15N. É posta em movimento com posição inicial xo = 0 e velocidade inicial vo = 10 
m/s. Encontre a amplitude, o período e a frequência do movimento resultante. 
 
R. a) 2m ; b) 2/5 s ; c) 5 rad/s 
 
D) Uma massa de 0,25kg acha-se suspensa por uma mola. Distendendo-se de 40cm além de seu 
comprimento natural. Põe-se a massa em movimento, a partir de seu equilíbrio, com velocidade 
inicial de 1,2m/s no sentido " para baixo ". Determine o movimento subsequente da massa, se a 
resistência do ar é dada por – 2x' kg. Considere g = 10m/s2 . 
 
R. x = 
5
2
e – 4t . sen 3t 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
28
 
RESPOSTAS 
 
a) y = C1 e
 2x + C2 e
 – x + 
4
1
e 3x b) y = C1 e
 2x + C2 e
 – x – 
10
3
sen x + 
10
1
cos x 
 
c) y = C1 e
 2x + C2 e
 – x – 2x2 + 2x – 3 d) y = C1 e
 x + x e x 
 
e) y = C1 e
 5x + 2xe 5 x f) y = C1 cos x + C2 sen x – 8
1
cos 3x 
 
g) y = C1 x + C2 + 4
3
x4 + 
3
1
x³– 
2
1
x2 h) y = C1 e
 – 2x + C2 e
 – x + 3 
 
i) y = C1 e
 3x + C2 e
 x + 
3
1
 j) y = C1 + C2 e
 4 x – 
4
5
x 
 
l) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x – 5
1
sen 3x m) y = C1 e
 x + C2 e
 – 4 x – 
50
3
sen x – 
25
2
cos x 
 
n) y = C1 e
 5x + 
5
2
x – 
25
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
29
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM 
n COM COEFICIENTES CONSTANTES 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 Chamamos de Equação Diferencial Linear de ordem n com Coeficientes Cons-
tantes a equação do tipo : 
 
 y( n ) + A n – 1 y
 ( n – 1 ) + . . . + A 2 y"+ A 1y' + A o y = Q  , onde Ai são constantes e Q 
é uma função de x. Se Q  0, então  é dita homogênea. 
 
EXEMPLOS : 
 
a) y''' – 6y'' + 11y' – 6y = 0 b) D3 – 4D = x c) D5 – 4D3 = e 4x 
 
 
 
2. RESOLUÇÃO 
 A resolução da Equação , segue as mesmas regras da solução das Equações Li-
neares homogêneas e das não homogêneas de 2ª ordem 
 Se a equação  é homogênea, então temos que as soluções são do tipo y = e mx , 
então derivando-se m vezes e substituindo-se na equação  temos : 
 
 m( n ) + An – 1 m
 ( n – 1 ) + . . . + A2 m
 2+ A1m + Ao = 0 que é a Equação Auxiliar ou 
Equação Característica de  . 
 
 A solução geral da equação homogênea é semelhante à solução das equações de or-
dem 2, sendo que devemos levar em consideração que podem ocorrer várias combinações dos 
casos considerados na solução da equação de ordem dois. 
 Para a solução das equações não homogêneas o procedimento é o mesmo já utilizado 
na resolução das equações de ordem dois, ou seja, encontramos a solução complementar( y h ) e 
uma solução particular ( y p ) e então : y = y h + y p . 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolva a equação D 
4 + 4D2 = 0 . 
 
 SOLUÇÃO 
 
 Temos que a equação auxiliar é : m 4 + 4 m 2 = 0, então : m 2 . ( m 2 + 4 ) = 0  
 
 m 2 = 0  m 1 = 0 e m 2 = 0 ou m 2 + 4 = 0  m = ± 4  m 1 = 2i e m 2 = – 2 i, portanto 
a equação possui duas raízes reais( dupla ) e duas raízes complexas, logo a solução geral é : 
 
 y = C 1 + C 2 x + C 3 cos 2x + C 4 sen 2x 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO : Resolver as equações : 
 
a) D 
3 – 2D2 + D = 0 b) ( D 
3 – 2D2 – 5D + 6 )y = 0 
 
 
RESPOSTAS : 
a) y = C 1 + C 2 e
 x + C 3 x e
 x b)y = C 1 e
 x + C 2 e
 3 x + C 3 e
 – 2x 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
30
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
 Resolva as equações abaixo : 
 
a) y''' – 6y'' + 11y' – 6y = 0 b)y ( 4 ) – 9y'' + 20y = 0 
 
c) y''' – 6y'' + 2y' + 36y = 0 d) y( 4 ) + 3y''' + 3y'' + y' = 0 
 
e) y ( 4 )  16y = 0 f) y''' = 12 ; y( 1 ) = y'( 1 ) = y''( 1 ) = 0 
 
g) 3y''' + 2y' = 0 ; y( 0 ) = – 1 ; y'( 0 ) = 0 e y''( 0 ) = 1 
 
h) D3 – 4D2 = 5 i) D3 – 4D = x 
 
j) D5 – 4D3 = 5 l) ( D 
3 – 2D 
2 – 5D + 6 )y = e 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
a) y = C1 e
 2x + C2 e
 3x + C3 e
 x b) y = C1 e 5x + C2 e  5x + C3 e
 2x + C4 e
 – 2x 
 
c) y = C1 e
 – 2x + C2 e
 4xsen 2 x + C3 e
 4xcos 2 x d) y = C1 + C2 e
 – x + C3 x e
 – x + C4 x
2 e – x 
 
e) y = C1 e
 2x + C2 e
 – 2x + C3 sen 2x + C4 cos 2x f) y = – 2 + 6x – 6x
2 + 2x3 
 
g) y = 
2
1
 – 
2
3
cos 
3
6
x h) y = C1 + C2 x + C3 e
 4x – 
8
5
x 
 
i ) y = C1 + C2 e
 2x + C3e
 – 2x – 
8
1
x2 j) y = C1 + C2 x + C3 x
 2 + C4 e
 2x + C5e
 – 2x – 
5
24
x 3 
 
l) y = C1e
 x + C2e
 – 2x + C3e
 3x + 
1
18
e 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
31
 
EQUAÇÃO DE EULER 
 
 
1. DEFINIÇÃO 
 Chama-se Equação de Euler a toda equação da forma 
 
 an x
 n y( n ) + an – 1 x
 n – 1 y ( n – 1 ) + . . . + a 2 x
2y" + a 1xy' + ao y = 0, com an  0 e ao, a1, a2, . . . , an 
são constantes. 
 
 
EXEMPLOS : 
 
a) x2y'' – 2xy' + 2y = 0 b) x2y'' – 3xy' + 3y = 0 
 
 
2. RESOLUÇÃO 
 
 Para resolvermos a equação de Euler, fazemos a substituição x = e t ou y = x r . 
Estas transformações reduzem a equação de Euler a uma equação linear com coeficientes cons-
tantes. 
 
 
2.1 – MÉTODO 1 : UTILIZANDO-SE A SUBSTITUIÇÃO x = e t 
 
 Seja a uma equação de Euler de 2ª ordem : ( x 2 D 2 + a 1 x D + a
 
o ) y = 0 , onde : 
 
 x = e t  t = ln x e D = 
dt
d
, logo :
 Dy = 
dt
dy
x
1
dx
dy
  x Dy = 
dt
dy
 , portanto : 
 D 2 y = 
dt
dy
x
1
dt
yd
x
1
dx
yd
22
2
22
2
  x 2 D 2 y = D( D – 1 ) y 
 { D ( D – 1 ) + a 1 D + a
 
o ) y = 0 ( Equação linear com coeficientes constantes ) 
 
 Assim como fizemos com a equação de 2ª ordem, podemos fazer com uma equação 
de ordem n e então teremos :{ a n D ( D – 1 )( D – 2 ) . . . ( D – n + 1 ) + . . . + a 3 D( D – 1 ) ( D – 2 ) + a 2 D ( D – 1 ) + a 1 D + a
 
o ) y = Q 
 
 
 
2.2 – MÉTODO 2 : UTILIZANDO-SE A SUBSTITUIÇÃO y = x r 
 
 Seja uma equação de Euler de 2ª ordem, ou seja : a 2 x
 2 y" + a 1 xy' + a o y = 0, então, 
utilizando a substituição y = x r temos que : 
 
 y ' = r . x r – 1 e y '' = r . ( r – 1 ) . x r – 2 , logo :
 
 a 2 x
 2. r . ( r – 1 ) . x r – 2 + a 1 . x . r . x
 r – 1 + ao . x
 r = 0 , portanto, fazendo-se as sim-
plificações necessárias temos : 
 
 a 2 . r . ( r – 1 ) + a
 
1 . r + ao = 0 ( Equação linear com coeficientes constantes ) 
 
 
CEQ.1414.0207 
32
 
 Assim como nas equações lineares com coeficientes constantes, na resolução das 
Equações de Euler temos três casos a considerar : 
 
1º CASO : Raízes Reais e Desiguais : y = C1. 1
rx + C2. 2
rx 
 
2º CASO : Raízes Reais e Iguais : y = C1. 1
rx + C2. 2
rx . ln x 
 
3º CASO : Raízes Complexas : y = x a . [ C1 . cos ( ln x b ) + C2 . sen ( ln x b ) ] 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO : Resolver as equações de Euler . 
 
a) x2y'' + 7xy' + 5y = 0 b) x2y'' + xy' – 4y = 0 
 
 
RESPOSTAS : 
 
a) y = C1 x
 – 5 + C2 x
 – 1 b) y = C1 x
2 + C2 x
 – 2 
 
 
 Utilizando a substituição y = x r , podemos encontrar a seguinte fórmula de recor-
rência para resolver as equações de Euler : 
 
 an r ( r – 1 ) . . . ( r – n + 1 ) + . . . + a 2 r ( r – 1 ) + a 1r + ao = 0 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
33
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
 Resolver as equações abaixo : 
 
a) x2y'' – 2xy' + 2y = 0 b) x2y'' – 3xy' + 3y = 0 
 
c) x2y'' – xy' + 2y = 0 d) x2y'' – 5xy' + 9y = 0 
 
e) x2y'' + 5xy' + 8y = 0 f) 3x2y'' + 6xy' – 6y = 0 
 
g) x2y'' + xy' – y = x2 h) 4x 2y'' – 8xy' + 9y = 0 
 
i) x2y'' + 4xy' + 2y = e x j) x2y'' – 2y = 0 
 
 
RESPOSTAS 
 
a) y = C1 x + C2 x
2 b) y = C1 x + C2 x
3 
 
c) y = x . ( C1 cos ln | x | + C2 sen ln | x | ) d) y = C1 x3 + C2 x3 ln x 
 
e) y = x – 2 ( C1 cos ln | x 2 | + C2 sen ln | x 2 | ) f) y = C1 x + C2 x  2 
 
g) y = C1 x + C2 x
 – 1 + 
3
1
 x 2 h) y = C1 2
3
x + C2 2
3
x ln x 
 
i) y = C1 x
 – 1 + C2 x
 – 2 + x – 2 . e x j) y = C1 x
 – 1 + C2 x
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
34
SISTEMAS LINEARES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Nas unidades anteriores, utilizamos métodos para resolver um equação diferencial ordi-
nária que envolve apenas uma variável dependente. Muitas aplicações, entretanto, requerem o uso de 
duas ou mais variáveis dependentes, cada qual sendo função de uma única variável independente 
( geralmente o tempo ). Em geral, tais problemas levam a um Sistema de Equações Diferenciais 
ordinárias simultâneas. Normalmente designaremos a variável independente por( t ) e as variáveis 
dependentes( funções desconhecidas ) por x, y, z, . . .. Como sempre, x' indicará a diferenciação de 
x em relação a t , e o mesmo com as outras funções. 
 Nosso estudo ficará restrito aos sistemas em que o número de equações é igual ao núme-
ro de variáveis dependentes( funções desconhecidas ). 
 
 
2. RESOLUÇÃO 
 Entre os métodos utilizados para resolver sistemas, utilizaremos o Método de Eliminação. 
 Este método para sistemas lineares de equações diferenciais é bem parecido com o utili-
zado na solução de sistemas de equações algébricas. O método consiste na eliminação das variáveis 
dependentes pela combinação adequada de pares de equação. O objetivo deste procedimento é elimi-
nar sucessivamente as variáveis dependentes até permanecer apenas uma equação contendo uma só 
variável dependente. Esta equação normalmente será uma equação linear de ordem superior e pode 
ser resolvida pelos métodos já conhecidos. 
 Este método é eficaz para sistemas de pequeno porte, mas para sistemas com muitas e-
quações é preferível a utilização de métodos que envolvam matrizes. 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre a solução do sistema x' = 4x – 3y e y' = 6x – 7y 
 
SOLUÇÃO 
 
 Vamos isolar a variável y na 1ª equação : y = 
3
1
 x ' + 
3
4
x  . Agora derivamos em 
relação à variável t : y ' = 
3
1
 x '' + 
3
4
x'  e substituímos as equações  e  na 2ª equação 
do sistema e fazemos as devidas simplificações, ou seja : 
 
 
3
1
 x '' + 
3
4
x' = 6x – 7 . ( 
3
1
 x ' + 
3
4
x )  – x'' + 4x' = 18x + 7x' – 28x 
 
 x '' + 3x' – 10 x = 0  ( Equação linear homogênea de 2ª ordem a coeficientes constantes. ) 
 
 A equação auxiliar da equação  é : m ² + 3m – 10 = 0 , logo as raízes são : 
 
 m 1 = 2 e m 2 = – 5 , então x ( t ) = C 1 . e
 2 t + C 2 . e
 – 5 t  . 
 
 Para encontrar y( t ) , basta derivar a equação x( t ) e substituir x( t ) e x' ( t ) na equação 
 e efetuar as devidas simplificações. Então temos que y( t ) = 
2
3
C 1 . e
 2 t + 
3
1
C 2 . e
 – 5 t . 
 Portanto a solução do sistema é : x ( t ) = C 1 . e
 2 t + C 2 . e
 – 5 t e y( t ) = 
2
3
C 1 . e
 2 t + 
3
1
C 2 . e
 – 5 t 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
35
2.2 – MÉTODO DOS OPERADORES DIFERENCIAIS 
 
 Qualquer sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes pode ser 
escrito na forma : L 1 x + L 2 y = 1( t ) e L 3 x + L 4 y = 2( t ) , onde L 1, L 2, L 3 e L 4 são operadores 
diferenciais lineares e  1 ( t ) e  2 ( t ) são funções dadas. 
 
 Podemos eliminar uma variável dependente de cada vez e resolver o sistema por adição. 
Uma outra alternativa é utilizar as equações abaixo, em forma de determinantes. O determinante da 
esquerda é chamado de determinante operacional e as equações  e  , nos lembram a Regra de 
Cramer para resolução de sistemas de equações algébricas . 
 
43
21
LL
LL
 x = 
42
21
L)t(f
L)t(f
  
43
21
LL
LL
 y = )t(fL
)t(fL
22
11
  
 
 ( L 1. L 4 – L 2.L 3 )x = L 4.1( t ) – L 2 2( t ) e ( L 1.L 4 – L 2.L 3 )y = L 1.2( t ) – L 3 1( t ) 
 
 Não podemos esquecer que os determinantes do lado direito das equações acima 
são avaliados por meio de operadores operando nas funções. 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO : Encontre a solução do sistema x' = – 3x + 2y e y' = – 3x + 4y ; x( 0 ) = 0 , 
y( 0 ) = 2. 
 
SOLUÇÃO 
 Primeiro vamos escrever as equações do sistema utilizando operadores lineares. 
 
 x ' + 3x – 2 y = 0  ( D + 3 ) – 2y = 0  e 3x + y ' – 4 y = 0  3x + ( D – 4 ) y = 0  
 
 Como o lado direito das equações do sistema são nulos temos que : 
 
 = 4D3
23D


 = ( D + 3 ) ( D – 4 ) + 6 = D ² – D – 12 + 6 = D ² – D – 6 = 0 
 
 A última igualdade é uma equação linear de 2ª ordem homogênea a coeficientes 
constantes, cuja raízes são m 1 = – 2 e m 2 = 3 , logo uma das soluções do sistema é : 
 
x( t ) = C 1 . e
 – 2 t + C 2 . e
 3 t . 
 
 Para encontrar y( t ) , basta derivar a equação x( t ) e substituir x( t ) e x' ( t ) na equação 
 e efetuar as devidas simplificações. Então temos que y( t ) = 
2
1
C 1 . e
 – 2 t + 3. C 2 . e
 3 t . 
 
 Substituindo-seas condições iniciais do problemas em x( t ) e y( t ) , encontramos os 
valores de C 1 e C 2 ( constantes arbitrárias ), o que nos dá como solução final do sistema as fun-
ções : 
 
x( t ) = – 
5
4
e – 2 t + 
5
4
 e 3 t e y( t ) = – 
5
2
 e – 2 t + 
5
12
e 3 t 
 
 
 
 
 
 
 
CEQ.1414.0207 
36
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Resolva os sistemas de equações diferenciais : 
 
a) x' = 2x + 3y e y' = 6x + 5y b) x' = x + 3y e y' = 5x + 3y 
 
c) x' = 3x – y e y' = 5x – 3y ; x( 0 ) = 1 , y( 0 ) = – 1 d) x' = 2x + 3y e y' = 2x – y 
 
e) x' = x + 2y e y' = 4x + 3y f) x' = 2y e y' = 8x 
 
 
2. Resolva o problema abaixo 
Considere dois tanques de salmoura conectados como mostra a figura abaixo. O tanque 1 con-
tém x( t ) libras de sal em 100 galões de salmoura e o tanque 2 contém y( t ) libras de sal em 200 
galões de salmoura. A salmoura em cada tanque é mantida uniforme por agitação, e é bombeada 
de cada tanque para o outro nas proporções indicadas na figura. Adicionalmente, flui água fres-
ca para o tanque 1 a 20gal/min, e a salmoura do tanque 2 sai a 20gal/min. Suponhamos que a 
concentração de sal inicial nos tanques se de 0,5lb/gal. Encontre as quantidades de sal nos dois 
tanques no instante t . 
 
 
 
3. Seja o sistema elétrico da figura abaixo, determine as corrente elétricas i 1 e i 2 , sabendo que 
E = 60 volts , L = 1 henry, R = 50 ohms , C = 10 − 4 farad e i 1 e i 2 sendo inicialmente zero . 
 
 
 
4 Sejam dois tanques de salmoura contendo V 1 = 20 litros e V 2 = 40 litros . Água fresca flui 
para o tanque 1 , enquanto salmoura misturada flui do tanque 1 para o tanque 2 , e para fora do 
tanque 2 . Seja r = 10 l / min a razão de vazão entre os tanques e as quantidades iniciais de sal 
nos tanques 1 e 2 são respectivamente 15 kg e zero . Encontre a quantidade de sal em cada 
tanque no instante t ≥ 0 . 
 
 
 
 
 
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37
RESPOSTAS 
 
1. 
 
a) x = C 1 e
 – t + 3C 2 e
 8 t e y = – C 1 e
 – t + 5C 2 e
 8 t 
 
b) x = C 1 e
 6 t + C 2 e
 – 2 t e y = 
3
5
 C 1 e
 6 t – C 2 e
 – 2 t 
 
c) x = 
2
3
e 2 t – 
2
1
 e – 2 t e y = = 
2
3
e 2 t – 
2
5
 e – 2 t 
 
d) x = C 1 e
 – t + 3C 2 e
 4 t e y = – C 1 e
 – t + 2C 2 e
 4 t 
 
e) x = C 1 e
 5t + 3C 2 e
 – t e y = 2C 1 e
 5t – C 2 e
 – t 
 
f) x = – 
2
1
C 1 e
 – 4t + 
2
1
C 2 e
 4 t e y = C 1 e
 – 4t + C 2 e
 4 t 
 
 
2. x( t ) = 29,3 e – 0,08t + 20,7 e – 0,37t ; y( t ) = 128,9 e – 0,08t – 29 e – 0,37t 
 
 
 
3. i 1 = 1,2 – 1,2 e
 – 100t – 60te – 100t ; i 2 = 1,2 – 1,2 e
 – 100t – 120 t e – 100t 
 
 
 
4. x( t ) = 15 e – 0,5t ; y( t ) = – 30 e – 0,5t + 30 e – 0,25t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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38
TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 Muitos problemas de engenharia que envolvem sistemas mecânicos ou elétricos, 
como já foi visto através de exercícios podem ser resolvidos utilizando-se equações diferenciais 
lineares com coeficientes constantes. Porém há casos em que o método utilizando-se equações 
diferenciais lineares se torna ineficaz, pois F( t ) ou E'( t ) podem ter descontinuidades. Nestes 
casos o método utilizando Transformada de Laplace é mais conveniente. 
 
 
2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 DEFINIÇÃO : Dada uma função ( x ) definida para todo x  0 , a Transformada de Lapla-
ce de  é a função F definida como segue : 
 
L { ( x ) } = F( s ) = xs
o
e .

 ( x ) dx , para todo os valores de s para os quais a 
integral imprópria converge. 
 
TEOREMA 1 : Se a e b são constantes, então L { a . ( x ) + b . g( x ) } = a . L { ( x ) } + b . L { g( x ) }, 
para todo s tal que as transformadas de Laplace das funções  e g ambas existem. 
 
TEOREMA 2 : Suponha que a função ( x ) é contínua e suave por partes para x  0 e é de or-
dem exponencialmente quando x   , de modo que existem constantes não ne-
gativas M, c e T , tais que : 
 
| ( x ) |  M . e cx , para x  T . Então L { '( x ) } existe para s > c e 
L { '( x ) } = s . L { ( x ) } – ( 0 ) = s . F( s ) – ( 0 ). 
 
 
TEOREMA 3 : Se ( x ) satisfaz as condições do teorema 2 , então para qualquer constante a, temos : 
 
L { e ax ( x ) } = F( s – a ). 
 
TEOREMA 4 : Se ( x ) satisfaz as condições do teorema 2 , então para qualquer inteiro positivo 
n , temos : 
 
L { x n ( x ) } = ( – 1 ) n n
n
ds
d
 [ F( s ) ]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39
2.1 – TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
 
1 
s
1
 senh ax 22 as
a
 
x 2s
1
 cosh ax 22 as
s
 
x n – 1 
ns
)!1n( 
 x.sen ax 222 )as(
as2
 
x 2
3
s
2
1 
 x . cos ax 222
22
)as(
as


 
1/ x 2
1

s x
 n – 1 . e ax 
nas
n
)(
)!1(


 
x n – ½ 2
1
n
n
s
2
)1n2.(.5.3.1 
 e
 bx . sen ax 22 a)bs(
a
 
e ax 
as
1
 
 e bx . cos ax 22 a)bs(
bs


 
sen ax 22 as
a
 
 sen ax – ax cos ax 
222
3
)as(
a2
 
cos ax 22 as
s
 
 
 
 
2.2 – TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE 
 DEFINIÇÃO : Uma Transformada Inversa de Laplace de uma função F( s ), designada por 
L – 1{ F( s ) } é outra função ( x ) que goza das propriedades de L { ( x ) }= F( s ) 
. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO : Se F( s ) = s
1
 , encontre L – 1{ F( s ) }. 
 
 
3. TRANSFORMAÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL 
 TEOREMA 5 : Seja L { y( x ) } = Y( s ). Se y( x ) e suas n – 1 primeiras derivadas são contí-
nuas para x  0 e são de ordem exponencial  , e se n
n
dx
yd
  E  , então : 
 L 







n
n
dx
yd
 = s n Y( s ) – s n – 1 y( 0 ) – s n – 2 y'( 0 ) – . . . – sy( n – 2 ) ( 0 ) – y ( n – 1 ) ( 0 ) . 
 
 Então utilizando-se as definições da Transformada de Laplace e os teoremas 1, 2, 3, 
4 e 5 , podemos resolver problemas de valor inicial, como veremos a seguir. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO : Resolva a equação y' – 5y = 0 ; y( 0 ) = 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
1. Determine a transformada de Laplace das funções abaixo : 
 
a) ( x ) = 3 + 2x2 b) ( x ) = 2.sen x + 3.cos2x c) ( x ) = 2x2 – 3x + 4 
 
d) ( x ) = x . e 4x e) ( x ) = 5e 2x + 7 e – x f) ( x ) = x 7/2 
 
 
2. Determine as transformadas inversa de Laplace das funções abaixo : 
 
a) F( s ) = 22 )1s(
s2
 b) F( s ) = s
1
 c) F( s ) = 
10s2s
1
2  
 
d) F( s ) = 
1s2
1
2  e) F( s ) = )1s).(2s(
3s


 f) F( s ) = 
2s2s
1
2 
 
 
 
3. Resolva as equações abaixo, utilizando transformada de Laplace. 
 
a) y' – 5y = e 5x ; y( 0 ) = 0 b) y'' + 4y = 0 ; y( 0 ) = 2 ; y'( 0 ) =2 
 
c) y'' – y = e x ; y( 0 ) = 1 e y'( 0 ) = 0 d) y' + y = sen x ; y( 0 ) = 1 
 
e) y'' – 3y' + 4y = 0 ; y( 0 ) =1 ; y'( 0 ) = 5 f) y' – 5y = 0; y(  ) = 2 
 
 
4. Resolva os sistemas abaixo : 
 
a) y' + z = x ; z' + 4y = 0 ; y( 0 ) = 1 e z( 0 ) = – 1 
 
b) y' + z = x ; z' – y = 0 ; y( 0 ) = 1 e z( 0 ) = 0 
 
c) w' + y = sen x ; y' – z = e x ; z' + w + y = 1 ; w( 0 ) = 0 ; y( 0 ) = 1 e z( 0 ) = 1 
 
d) y'' + z + y = 0 ; z' + y' = 0 ; y( 0 ) = 0 ; y'( 0 ) = 0 e z( 0 ) = 1 
 
 
5. Resolva os problemas abaixo : 
A) Considere um sistema massa-mola-freio amortecedor com m = 2
1
, k = 17 e c = 3 em unida-
des do mks. Como sempre seja x( t ) o deslocamento da massa( m ) da sua posição de equilí-
brio. Se a massa é posta em movimento com x( 0 ) = 3 e x'( 0 ) = 1 , encontre x( t ) para as 
oscilações livres amortecidas resultantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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41
B) Achar a solução do problema de valor inicialy'' + 4y = F( t ) ; y( 0 ) = 3 e y'( 0 ) = – 1 e F( t ) = 





tse,0
t0se,1
. 
 
 
C) Ache a transformada de Laplace Y( s ) = L{ y } da solução do problema de valor inicial . 
 
 y'' + 4y = ( t ) , onde ( t ) = 







tse
tse
,1
,0
 ; y( 0 ) = 1 e y'( 0 ) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA EXERCÍCIOS – REVISÃO 
 
 
1. Resolva as equações de Bernoulli, abaixo : 
 
a) y' + y = x2y2 b) y' – y = e – 3x . y4 
 
 
2. Resolva as equações abaixo : 
 
a) D3 – 2D2 – D + 2 = 0 b) D4 – 1 = 0 c) y ( 4 ) + 5y''' = 0 
 
 
3. Resolva as equações abaixo : 
 
a) y'' – y = e x b) y'' – 2y' + y = 4.cos x c) y'' – 2y' + y = x2 – 1 
 
 
4. Resolva as equações de Euler. 
 
a) x2y'' + 2xy' – 12y = 0 b) 2x2y'' + xy' – 15y = 0 c) x3y''' – x2y'' + xy' = 0 
 
 
5. Resolver os sistemas de equações diferenciais abaixo : 
 
a) x' = – 8x + y e y' = – 25x + 2y b) 5x' – 3y' – 3x = 5 e 3y' – 5x' – 2y = 0 
 
 
6. Encontre a transformada de Laplace das seguintes funções. 
 
a)  ( x ) = 2 x 4 b) ( x ) = x . sen x c) g( x ) = cosh ( k . x ) 
 
d) h( x ) = sen x . cos x e) ( x ) = e – x . cos 2x 
 
 
7. Encontre as transformadas inversas pedidas. 
 
a) L – 1 






7
1
s
 b) L – 1 






 64
1
2s
 c) L – 1 








16
53
2s
s
 d) L – 1 






 4)(2)(1(
1
sss 
 
 
8. Resolva as equações abaixo, utilizando transformada de Laplace 
 
a) y´– 4y = e 2x ; y( 0 ) = 1 b) y'' – 6y' + 9y = x² . e 3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA DE DERIVADAS 
 
 
1. y = c  y' = 0 , onde c = cte. 
 
2. y = c . u  y' = c . u' 
 
3. y = u + v  y' = u' + v' 
 
4. y = u . v  y' = u' . v + u .v' 
 
5. y = 
v
u
, então y' = 2v
'v.uv'.u 
. 
 
6. y = u n  y' = n . u n – 1 . u' , u  R . 
 
7. y = a u  y' = a u . ln a . u' , onde a > 0 e a  1 
 
8. y = e u  y' = e u . u' 
 
9. y = log a u  y' = 
u
'u
 log a e 
 
10. y = ln u  y' = 
u
'u
 
 
11. y = sen u  y' = cos u . u' 
 
12. y = cos u  y' = – sen u . u' 
 
13. y = tg u  y' = sec 2 u . u' 
 
14. y = cotg u  y' = – cossec 2 u . u' 
 
15. y = sec u  y' = sec u . tg u . u' 
 
16. y = cossec u  y' = – cossec u .cotg u . u' 
 
 
 As funções u e v são funções de x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TABELA DE INTEGRAIS 
 
1.  u n du = 
1n
u 1n


 + C, n  – 1 2. 
u
du
= ln | u | + C 
3.  e  x dx = 

1
 e  x + C 4.  u n . e u du = u n . e u – n .  u n – 1 . e u du 
5.  sen (  x dx) =  

1
cos(  x ) + C 6.  cos (  x dx) = 

1
sen(  x ) + C 
7.  ln u du = u . ln u – u + C 8.  u n ln u du = u n + 1 . 







 2)1n(
1
1n
uln
 + C 
9.  uln.u
du
 = ln | ln u | + C 10.   2u²a
du
 = 
a
1
arc tg 
a
u
 + C ; a > 0 
11. 
 2u²a
du
 = arc sen 
a
u
 + C , a > 0 12. 
 2a²u.u
du
 = 
a
1
arc sec 
a
|u|
 + C , a > 0 
13.  sen n u du = – 
n
1
 sen n – 1 u . cos u + 
n
1n 
 sen n – 2 u du 
 
14.  cos n u du = 
n
1
 cos n – 1 u . sen u + 
n
1n 
 cos n – 2 u du 
 
15  u n . sen u du = – u n cos u + n  u n – 1 . cos u du 
 
16.  u n . cos u du = u n sen u – n  u n – 1 . sen u du 
 
17.  sen m u . cos n u du = – 
nm
1
 sen
 m – 1 u . cos n + 1 u + 
nm
1m


  sen m – 2 u . cos n u du , onde m ou 
m é um número inteiro não negativo ímpar. 
 
18.  sen m u . cos n u du = 
nm
1
 sen
 m + 1 u . cos n – 1 u + 
nm
1n


  sen m u . cos n – 2 u du , onde m e n são 
números inteiros não negativos pares. 
 
19.  tg n u du = 
1n
1
 tg
 n – 1 u –  tg n – 2 u du , para n  1 
20.  cotg n u du = – 
1n
1
 cotg
 n – 1 u –  cotg n – 2 u du , para n  1 
21.  sec n u du = 
1n
1
 sec
 n – 2 u . tg u + 
1n
2n


  sec n – 2 u du , para n  1 
20.  cossec n u du = – 
1n
1
 cossec
 n – 2 u . cotg u + 
1n
2n


  cossec n – 2 u du , para n  1 
22.  e ,u . sen (  u )du = 22
ue


(  . sen  u –  . cos  u ) + C 
23.  e ,u . cos (  u )du = 22
ue


(  . cos  u –  . sen  u ) + C 
 
 
 
 
 
 
 
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45
 
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 
 
ABUNAHMAN, Sérgio A. . Equações Diferenciais . Editora Didática e Científica Ltda . 1989 , 
Rio de Janeiro 
 
BRONSON, Richard . Moderna Introdução às Equações Diferenciais . Coleção SHAUM . Edito-
ra McGraw − Hill . 1977 − São Paulo 
 
C. H EDWARDS, Jr. e PENNEY, David E. . Equações Diferenciais com Problemas de Contor-
no . Ed. Prentice-Hall do Brasil . 1993, Rio de Janeiro 
 
LARSON, ROLAND E. e et alli . Cálculo com Geometria Analítica . volume 02 . Ed. LTC . 
1998, Rio de Janeiro 
 
LEITHOLD, Louis . O Cálculo com Geometria Analítica . volume 2 . Ed. Harbra . 3ª Edição . 
1994, São Paulo 
 
MAURER, Willie A. . Curso de Cálculo Diferencial e Integral . volume 4 . Editora. Edgard Blu-
cher Ltda . 1975, São Paulo 
 
PISKOUNOV, N. . Cálculo Diferencial e Integral . volume 2 . Editora Lopes da Silva . 1987 . 
Porto, Portugal 
 
SWOKOWSKI , Earl W. . Cálculo com Geometria Analítica . volume 02 . Editora MAKRON . 
1983, São Paulo 
 
THOMAS, George e FINNEY, Ross L. . Cálculo e Geometria Analítica . volume 04 . Editora 
LTC . 1988, São Paulo 
 
ZILL, Dennis G. e CULLEN, Michael R. . Equações Diferenciais . volumes01 e 02 . Editora 
Makron . 2001, São Paulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	APOSTILA
	DE
	EQUAÇÕES
	DIFERENCIAIS
	ciências – uema
	 Raimundo Merval Morais Gonçalves
	RESPOSTAS
	RESPOSTAS
	TABELA DE INTEGRAIS
	BIBLIOGRAFIA CONSULTADA