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MAE116 – Noções de Estatística 
Grupo B – 2o semestre de 2015 
Lista de exercícios 8 – Estimação II – CASA - GABARITO 
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Exercício 1 
Um determinado estado deseja estudar o número de mortes infantis causadas por lesões com o intuito de 
promover um programa educacional de redução desse número. As causas de morte por lesões para crianças entre 
5 a 9 anos são: 1 - acidente por veículo motorizado, 2 - afogamento, 3 - incêndio no lar, 4 - homicídio e 5 - outras 
causas, inclusive sufocamento, quedas e envenenamento. Deseja-se estimar a proporção p de crianças vítimas 
fatais por veículo motorizado ou afogamento. 
(a) (0,5) Qual deve ser o tamanho da amostra, para que o erro da estimativa de p seja de 0,04, com um nível de 
confiança de 0,96? 
Resposta: 
Como � = 0,96, então temos que � = 2,05. Temos que � = 0,04. Como não conhecemos o valor de �, utilizamos 
� = 0,5, resultando em �(1 − �) = 0,25; portanto, 
 
� = �
2,05
0,04
�
�
× 0,25 = 656,64 
Logo, o tamanho da amostra a ser utilizado será � = 657	crianças. 
 
(b) (0,5)Por meio de registros nos Juizados de menores do estado sabe-se que essa proporção p é superior a 60%. 
Com essa informação seria possível considerar em (a) uma amostra de tamanho menor? Se sim, de quanto? Se 
não, por quê? 
Resposta: 
Se � ≥ 0,6, então �(1 − �) será 0,6 × 0,4 = 0,24; portanto; 
� = �
2,05
0,04
�
�
× 0,24 = 630,37 ≈ 631 
 
Teve uma redução no tamanho da amostra de 26 crianças. 
(c) (1,5)A seguir é apresentado um conjunto de dados que indica as causas de morte para uma amostra de 100 
crianças entre as idades de 5 a 9 anos vítimas fatais de lesões. 
1 5 3 1 2 4 1 3 1 5 2 1 1 5 3 1 2 1 4 1 
4 1 3 1 5 1 2 1 1 2 5 1 1 5 1 5 3 1 2 1 
2 3 1 1 2 1 5 1 5 1 1 2 5 1 1 1 3 4 1 1 
1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 3 3 1 5 2 3 5 1 3 4 
1 1 2 4 5 4 1 5 1 5 5 1 1 5 1 1 5 1 1 5 
 
Dê uma estimativa pontual para p e, com base nela, construa um intervalo de 96% de confiança para p. Qual é o 
erro amostral de sua estimativa? 
Resposta: 
Seja �: o número de crianças entre as idades 5 a 9 anos vitimas fatais por veículo motorizado ou afogamento. 
A pesquisa foi realizada com � = 100 crianças. Então temos que 
 
�̂ =
�
�
=
��
���
= 0,62. 
Utilizando � = 0,96, temos que � = 2,05; 
 
��(�; 0,96) = ��̂ − ��
�̂(1 − �̂)
�
	; �̂ + ��
�̂(1 − �̂)
�
� = �0,62 − 2,05�
0,62(1 − 0,62)
100
; 0,62 + 2,05�
0,62(1 − 0,62)
100
�
= [0,62 − 0,099; 062 + 0,099] = [0,52; 0,71]. 
E o erro amostral da estimativa é � = ��
��(����)
�
= 2,05�
�,��(���,��)
���
= 0,099. 
 
 
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Exercício 2 
Um fabricante de panetones costuma vender produtos de segunda qualidade (no que diz respeito ao formato) a 
preços reduzidos. O IPEM (Instituto de Pesos e Medidas) suspeita que as embalagens de 500 g do produto de se-
gunda qualidade têm peso médio abaixo desse valor. Para verificar sua suspeita, o IPEM aferiu os pesos de uma 
amostra aleatória de 60 panetones de segunda qualidade, encontrando um peso médio de 498,4 g e desvio padrão 
de 3,6 g. 
(a) (1,0)Construa um intervalo de confiança de 95% para o peso médio  dos panetones de segunda qualidade 
desse fabricante. 
Resposta: Seja X o peso dos panetones de segunda qualidade desse fabricante. Como não conhecemos a 
distribuição de X, mas n é grande vamos utilizar o Teorema Central do Limite. Como o desvio padrão populacional 
� não é conhecido, podemos substituí-lo por S (desvio padrão amostral). 
Como � = 0,95, então temos que � = 1,96. Temos também �̂ = 498,4	� e � = 3,6�. Logo, temos que 
 
��(�; 0,96) = ��̂ − �
�
√�
	; �̂ + �
�
√�
� = �498,4 − 1,96
3,6
√60
; 498,4 + 1,96
3,6
√60
� = [497,48; 499,31] 
 
(b) (0,75)Qual é o comprimento desse intervalo? 
Resposta: 
Temos que o comprimento do IC é tal que �� − �� = �̂ + � − (�̂ − �) = 2�, ou seja, o comprimento do intervalo é o 
dobro da margem de erro (erro amostral), onde LS: limite superior do intervalo e LI: limite inferior do intervalo. 
 
Logo, 499,31 − 497,48 = 1,83. 
(c) (0,75)Que tamanho de amostra seria necessário para que o intervalo de confiança de 95% tenha comprimento 
de 1,0 g? 
Então, se o comprimento do intervalo é igual a 1,0 g temos que 2� = 1	 → 	� = 0,5. Se � = 0,95 então � = 1,96 
 
Assim; 
� = �
1,96
0,5
�
�
× (3,6)� = 199,14 ≈ 200. 
Exercício 3 
Um professor de educação física do Ensino Fundamental II, que leciona em várias escolas, deseja estimar a pro-
porção p de alunos que conseguiram aprender a jogar Tênis de Mesa de forma satisfatória, depois de ensinar essa 
modalidade esportiva. Ele quer que essa proporção seja estimada com um erro de 0,02 e um nível de confiança de 
0,90. 
(a) (0,5)Qual é o tamanho de amostra necessário para atender às exigências do professor? 
Resposta: 
Como � = 0,90, então temos que � = 1,65. Temos que � = 0,02. Como não conhecemos o valor de �, utilizamos 
� = 0,5, resultando em �(1 − �) = 0,25; portanto, 
� = �
1,65
0,02
�
�
× 0,25 = 1.701,5625 
Logo, o tamanho da amostra a ser utilizado será � = 1.702	alunos. 
(b) (1,0)Que tamanho deveria ter a amostra supondo que p esteja entre 0,3 e 0,7? E supondo que p seja menor 
que 0,3? 
Resposta: 
Supondo que 0,3 ≤ � ≤ 0,7; o máximo de �(1 − �)	é	0,5 × 0,5 = 0,25 e neste caso não há redução no tamanho da 
amostra. 
Para � ≤ 0,3 então �(1 − �) será 0,3 × 0,7 = 0,21; portanto; 
� = �
1,65
0,02
�
�
× 0,21 = 1.429,3125 
 
Logo, o tamanho da amostra se reduz a � = 1.430	alunos. 
 
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(c) (1,0)Tomada uma amostra de 150 estudantes, 30 apresentaram bom desempenho em uma competição em 
duplas. Com base nesses dados, determine um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 0,98 
para p. 
 
Seja �: o número de estudantes que apresentaram bom desempenho na competição em duplas. 
A pesquisa foi realizada com � = 150 estudantes. Então temos que 
 
�̂ =
�
�
=
��
���
= 0,2. 
Utilizando � = 0,98, temos que � = 2,32; 
 
��(�; 0,98) = ��̂ − ��
�̂(1 − �̂)
�
	; �̂ + ��
�̂(1 − �̂)
�
� = �0,2 − 2,32�
0,16
150
; 0,2 + 2,32�
0,16
150
� = [0,12; 0,27]. 
 
Exercício 4 
Utilize o programa R, com instruções a seguir, para gerar 100 réplicas de uma distribuição binomial, com 
parâmetros n = 80 e p = 0,25 (probabilidade de sucesso). Para cada réplica estima-se a probabilidade de sucesso e 
constrói-se o intervalo de confiança (Lim_inf, Lim_sup), com  = 0,95. O programa também fornece o número de 
intervalos, dentre os 100 gerados, que não contêm o verdadeiro valor de p. Imprima os intervalos gerados. 
(a) (1,0)Assinale os intervalos que não contêm o verdadeiro valor de p. Quantos são eles? Cheque com o número 
fornecido pelo programa. 
 
 p_sucesso Lim_inf Lim_sup 
 [1,] 0.1500 0.07175327 0.2282467 *** 
 [2,] 0.2625 0.16608231 0.3589177 
 [3,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [4,] 0.2000 0.11234614 0.2876539 
 [5,] 0.3000 0.19957988 0.4004201 
 [6,] 0.2125 0.12285711 0.3021429 
 [7,] 0.2625 0.16608231 0.3589177 
 [8,] 0.1875 0.10196903 0.2730310 
 [9,] 0.2000 0.11234614 0.2876539 
 [10,] 0.2125 0.12285711 0.3021429 
 [11,] 0.3500 0.24547943 0.4545206 
 [12,] 0.1750 0.09173604 0.2582640 
 [13,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
 [14,] 0.1750 0.09173604 0.2582640 
 [15,] 0.1250 0.05252802 0.1974720 *** 
 [16,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 [17,] 0.22500.13349324 0.3165068 
 [18,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [19,] 0.1875 0.10196903 0.2730310 
 [20,] 0.2125 0.12285711 0.3021429 
 [21,] 0.2000 0.11234614 0.2876539 
 [22,] 0.2375 0.14424700 0.3307530 
 [23,] 0.2125 0.12285711 0.3021429 
 [24,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
 [25,] 0.1875 0.10196903 0.2730310 
 [26,] 0.2625 0.16608231 0.3589177 
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 [27,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [28,] 0.3000 0.19957988 0.4004201 
 [29,] 0.2875 0.18832038 0.3866796 
 [30,] 0.2000 0.11234614 0.2876539 
 [31,] 0.2375 0.14424700 0.3307530 
 [32,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [33,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [34,] 0.2000 0.11234614 0.2876539 
 [35,] 0.3000 0.19957988 0.4004201 
 [36,] 0.1750 0.09173604 0.2582640 
 [37,] 0.1875 0.10196903 0.2730310 
 [38,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 [39,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 [40,] 0.2000 0.11234614 0.2876539 
 [41,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
 [42,] 0.1625 0.08165928 0.2433407 *** 
 [43,] 0.3000 0.19957988 0.4004201 
 [44,] 0.3375 0.23388064 0.4411194 
 [45,] 0.2375 0.14424700 0.3307530 
 [46,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 [47,] 0.3250 0.22236284 0.4276372 
 [48,] 0.2375 0.14424700 0.3307530 
 [49,] 0.2875 0.18832038 0.3866796 
 [50,] 0.2375 0.14424700 0.3307530 
 [51,] 0.3125 0.21092837 0.4140716 
 [52,] 0.2875 0.18832038 0.3866796 
 [53,] 0.2625 0.16608231 0.3589177 
 [54,] 0.2000 0.11234614 0.2876539 
 [55,] 0.1750 0.09173604 0.2582640 
 [56,] 0.3375 0.23388064 0.4411194 
 [57,] 0.3250 0.22236284 0.4276372 
 [58,] 0.3000 0.19957988 0.4004201 
 [59,] 0.3250 0.22236284 0.4276372 
 [60,] 0.2875 0.18832038 0.3866796 
 [61,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
 [62,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [63,] 0.3250 0.22236284 0.4276372 
 [64,] 0.1875 0.10196903 0.2730310 
 [65,] 0.3000 0.19957988 0.4004201 
 [66,] 0.2375 0.14424700 0.3307530 
 [67,] 0.2625 0.16608231 0.3589177 
 [68,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [69,] 0.3625 0.25715712 0.4678429 *** 
 [70,] 0.3000 0.19957988 0.4004201 
 [71,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 [72,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [73,] 0.1750 0.09173604 0.2582640 
 [74,] 0.2125 0.12285711 0.3021429 
 [75,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
 [76,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
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 [77,] 0.2375 0.14424700 0.3307530 
 [78,] 0.2625 0.16608231 0.3589177 
 [79,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
 [80,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 [81,] 0.3125 0.21092837 0.4140716 
 [82,] 0.2625 0.16608231 0.3589177 
 [83,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
 [84,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 [85,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 [86,] 0.2000 0.11234614 0.2876539 
 [87,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [88,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
 [89,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 [90,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [91,] 0.2500 0.15511191 0.3448881 
 [92,] 0.2000 0.11234614 0.2876539 
 [93,] 0.2625 0.16608231 0.3589177 
 [94,] 0.2625 0.16608231 0.3589177 
 [95,] 0.2375 0.14424700 0.3307530 
 [96,] 0.3000 0.19957988 0.4004201 
 [97,] 0.2250 0.13349324 0.3165068 
 [98,] 0.2875 0.18832038 0.3866796 
 [99,] 0.3125 0.21092837 0.4140716 
[100,] 0.2750 0.17715324 0.3728468 
 
> sum(indicadora) 
[1] 4 
As réplicas 1 15 42 69 não contêm verdadeiro valor de p, quatro intervalos. Confere com o programa. 
 
(b) (0,75)Calcule a proporção de intervalos que contêm o verdadeiro valor de p, dentre os 100 gerados. Comente 
o resultado obtido com relação ao que seria esperado. 
Resposta: 
São 96 intervalos, os intervalos que contêm o verdadeiro valor de p dentre os 100 gerados. Então a proporção de 
intervalos que contem o verdadeiro valor de p é 0,96. 
O procedimento para gerar intervalos com confiança de 95% produziu 96% de intervalos que continham o 
verdadeiro valor de p, aproximadamente igual ao nível de confiança estabelecido no exercício. 
 
(c) (0,75)Repita o estudo de simulação para itens (b) e (c), considerando 1000 réplicas da distribuição binomial. 
Não é necessário imprimir os 1000 IC gerados. 
Nota: faça a adaptação do programa, substituindo o valor “100” por “1000”. 
 
Resposta: 
Das 1000 replicas geradas 49 não continham o verdadeiro valor de p,quer dizer, 951 tinham o verdadeiro valor 
de p. A proporção de intervalos que continham o verdadeiro valor de p é de 0,95 ou 95%, atingindo desta 
forma o valor do nível de confiança estabelecido no exercício. 
 
 
 
 
 
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Observações: 
1. Instruções começando por “#” são comentários; 
2. As instruções de comandos devem ser digitadas na tela “Script Window” e, para serem executadas, clique em 
<Submit> (lado direito acima na tela “Output Window”); 
3. Os resultados dos comandos executados aparecerão na tela “Output Window”. 
Programa no Rcdmr 
# para gerar 100 réplicas da binomial n = 80, p = 0.25 
n_replicas<-100 
replicas<- rbinom(n_replicas,80,0.25) 
 
# para estimar a probabilidade de sucesso 
p_sucesso<- replicas/80 
 
# para construir Intervalo de 95% de confiança para cada réplica de tamanho 80 
erro<-1.96*sqrt(p_sucesso*(1-p_sucesso)/80) 
Lim_inf<-p_sucesso - erro 
Lim_sup<- p_sucesso+erro 
#para visualisar os resultados 
cbind(p_sucesso,Lim_inf, Lim_sup) 
 
# para contar quantos IC não contêm o verdadeiro valor 0,25 
aux1<- ifelse(Lim_inf< 0.25,1,0) 
aux2<-ifelse(Lim_sup< 0.25,1,0) 
indicadora <-ifelse(aux1==aux2,1,0) 
sum(indicadora)