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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) Exerc´ıcio 1. (2,5 pontos) Um levantamento de opinia˜o mostrou que nos u´ltimos meses a proporc¸a˜o p de habitantes de certo pa´ıs que desaprovam a pol´ıtica de economia de energia do governo federal e´ igual a 80%. O presidente do pa´ıs introduz uma se´rie de mudanc¸as na pol´ıtica de economia de energia e seus assessores garantem que essa proporc¸a˜o diminuiu. Para isso, 50 pessoas sa˜o entrevistadas depois da introduc¸a˜o das mudanc¸as. (a) (1,0 pontos). Formule esse problema como um teste de hipo´teses. Resposta: A afirmac¸a˜o e´ de que a proporc¸a˜o de habitantes de certo pa´ıs que desaprovam a pol´ıtica de economia de energia do governo federal diminuiu. Logo, temos como hipo´teses: H0 : p = 0, 8 H1 : p < 0, 8. � (b) (1,5 pontos). Se 32 das 50 pessoas entrevistadas desaprovam a pol´ıtica de economia de energia do governo federal, qual e´ a conclusa˜o baseada no n´ıvel descritivo? (adote α=5%). Utilize a aproximac¸a˜o pela normal. Resposta: Vejamos pelo valor P . P = P (pˆobs < 0, 64|p = 0, 8) = P Z < pˆobs − p√ p(1−p) n = P Z < 0, 64− 0, 8√ 0,8(1−0,8) 50 = P (Z < −0, 16/0, 0566) = P (Z < −2, 827) = 1− A(2, 827) = 1− 0, 9976 ⇒ P = 0, 0024. Como valorP < α, enta˜o dizemos que a amostra forneceu evideˆncias suficientes para a rejeic¸a˜o de H0, logo a afirmac¸a˜o dos assessores de que a proporc¸a˜o de habitantes que desaprovam a pol´ıtica de economia de energia do governo federal condiz com os dados da amostra. ##Pelo valor P Pa´gina 1 de 7 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) #N:tamnaho da amostra; n:favora´veis valorP<-function(N,n,p,alfa){ p_obs=n/N p_v<-pnorm((p_obs-p)/sqrt((p*(1-p))/N)) if (p_v < alfa) cat("REJEITA H0\n") else cat("N~AO REJEITA H0\n") return(p_v) } valorP(p=0.8,N=50,n=32,alfa=0.01) � Exerc´ıcio 2. (2,5 pontos). Sabe-se que o produto A e´ usado por 40% dos consumidores. Uma campanha promocional foi contratada e os promotores garantem que A passara´ a ser responsa´vel por uma porcentagem maior do mercado. Seleciona-se uma amostra entre as pessoas submetidas a` campanha promocional apo´s seu termino e pergunta-se a cada uma delas usualmente compra a marca A do produto. Sendo p a porcentagem de consumidores do produto A apo´s a campanha, (a) (0,5 pontos). Estabelec¸a as hipo´teses apropriadas. Resposta: Como os promotores garantem que A passara´ a ser responsa´vel por uma porcentagem maior do mercado, temos que: H0 : p = 0, 4 H1 : p > 0, 4. � (b) (1,0 pontos). Se entre 19 clientes entrevistados, 11 responderam sim, qual e´ a sua conclusa˜o com base no n´ıvel descritivo? Adote α=1%. Resposta: Pa´gina 2 de 7 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) Vejamos pelo valor P . P = P (pˆobs > 0, 5789|p = 0, 4) = P Z > 0, 5789− 0, 4√ 0,4(1−0,4) 19 = P (Z > 0, 5789− 0, 4 0, 1124 ) = P (Z > 0, 1789/0, 1124) = P (Z > 1, 5916) = 1− A(1, 5916) = 1− 0, 9441 ⇒ P = 0, 0559. Como valorP > α, enta˜o dizemos que a amostra forneceu evideˆncias suficientes para a na˜o rejeic¸a˜o de H0, logo a afirmac¸a˜o de que o produto A passara´ a ser responsa´vel por uma porcentagem maior do mercado na˜o condiz com os dados da amostra. ##Pelo valor P #N:tamnaho da amostra; n:favora´veis valorP<-function(N,n,p,alfa){ p_obs=n/N p_v<-1-pnorm((p_obs-p)/sqrt((p*(1-p))/N)) if(p_v<alfa) cat("REJEITA H0\n") else cat("N~AO REJEITA H0\n") return(p_v) } valorP(p=0.4,N=19,n=11,alfa=0.01) � (c) (1,0 pontos). Se entre 330 clientes entrevistados, 155 responderam sim, qual e´ a sua con- clusa˜o com base no n´ıvel descritivo? Adote α=1%. Resposta: Observe que pˆobs = 155/330 = 0, 4697, logo: P = P (pˆobs > 0, 4697|p = 0, 4) = P Z > 0, 4697− 0, 4√ 0,4(1−0,4) 330 = P (Z > 0, 4697− 0, 4 0, 0270 ) = P (Z > 0, 0697/0, 0270) = P (Z > 2, 5815) = 1− A(2, 5815) = 1− 0, 9951 ⇒ P = 0, 0049. (0, 49%) Pa´gina 3 de 7 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) Como valorP = 0, 49% < α = 1%, enta˜o dizemos que a nova amostra forneceu evideˆncias suficientes para rejeic¸a˜o de H0, logo, nesta situac¸a˜o, a afirmac¸a˜o de que o produto A pas- sara´ a ser responsa´vel por uma porcentagem maior do mercado condiz com os dados da amostra. � Exerc´ıcio 3. (2,5 pontos). O crescimento de bebeˆs durante o primeiro meˆs de vida pode ser modelado por uma distribuic¸a˜o Normal. Admita que, em me´dia, um crescimento de 5 cm ou mais seja con- siderado satisfato´rio. Deseja-se verificar se o crescimento de bebeˆs de um bairro da periferia de Sa˜o Paulo acompanha o padra˜o esperado. Para tanto, 10 rece´m-nascidos na periferia foram sorteados e suas alturas acompanhadas, sendo que apo´s determinado per´ıodo de acompanha- mento, forneceram as seguintes medidas de crescimento em cent´ımetros: 5,03; 5,02; 4,95; 4,96; 5,01; 4,97; 4,90; 4,91; 4,90 e 4,93. (a) (0,5 pontos). Que hipo´teses esta˜o sendo testadas? Resposta: Como um crescimento de 5 cm ou mais e´ considerado satisfato´rio (padra˜o esperado), enta˜o: H0 : µ = 5 cm H1 : µ < 5 cm. � (b) (1,0 pontos). Qual e´ o estimador a ser utilizado para testar as hipo´teses em (a) e qual e´ sua distribuic¸a˜o? Resposta: Note que ja´ sabemos que o crescimento dos bebeˆs segue uma distribuic¸a˜o normal, e temos a variaˆncia da amostra, enta˜o temos como estimador T = X¯ − µ√ S2 n ∼ t(α;n−1). � Pa´gina 4 de 7 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) (c) (1,0 pontos). Qual e´ a sua decisa˜o a um n´ıvel de significaˆncia de 5%? Se necessa´rio construa intervalo de confianc¸a apropriado Resposta: Pela amostra temos que X¯ = 4, 958 e S2 = 0, 00242, enta˜o o valor P e´ tal que: P = P (X¯ < 4, 958|µ = 5) = P T < 4, 958− 5√ 0,00242 10 = P (T < −0, 042/0, 0156) = P (T < −2, 692) = 0, 0124 (1, 24%). Podemos observar que o valor P < α, logo a amostra fornece evideˆncias que nos leve rejeic¸a˜o de H0, logo o crescimento dos bebeˆs deste determinado bairro da periferia de Sa˜o Paulo na˜o acompanham o padra˜o esperado de crescimento. x<-c(5.03,5.02,4.95,4.96,5.01,4.97,4.90,4.91,4.90,4.93) ##Pelo valor P valorP<-function(x,alfa,mu){ S2<-var(x);xbar<-mean(x);N<-length(x) T_obs<-(xbar-mu)/(sqrt(S2/N)) P_v<-pt(T_obs,N-1) if (P_v < alfa) cat("REJEITA H0\n") else cat("N~AO REJEITA H0\n") return(list(P_v,T_obs)) } valorP(x=x,alfa=0.05,mu=5) � Exerc´ıcio 4. (2,5 pontos). Um criador tem constatado uma incideˆncia de 6% na proporc¸a˜o de gado com verminose no seu rebanho. O veterina´rio alterou a dieta dos animais e acredita que a doenc¸a diminuiu de intensidade. Um exame em 200 cabec¸as do rebanho, escolhidas ao acaso, indicou 10 delas com verminose. Pa´gina 5 de 7 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) (a) (0,75 pontos). Formule o problema como um teste de hipo´teses estat´ıstico. Resposta: Como o veterina´rio alterou a dieta dos animais e acredita que a doenc¸a diminuiu de inten- sidade, temos que: H0 : p = 0, 06 H1 : p < 0, 06. �(b) (0,75 pontos). Qual e´ o significado dos erros tipo I e tipo II? Resposta: Tipo I: RejeitarH0 quandoH0 e´ verdadeira⇒ proporc¸a˜o de gado com verminose no rebanho e´ menor que 6% quando na verdade na˜o e´. Tipo II: Na˜o rejeitar H0 quando H0 e´ falsa⇒ proporc¸a˜o de gado com verminose no rebanho e´ de 6% quando na verdade e´ menor que 6%. � (c) (1,0 pontos). Com base no n´ıvel descritivo, ha´ ind´ıcios de que a incideˆncia diminuiu, ao n´ıvel de significaˆncia de 7%? Resolva utilizando a aproximac¸a˜o pela normal. Resposta: Vejamos pelo valor P . Temos que pˆobs = 10/200 = 0, 05, enta˜o: P = P (pˆobs < 0, 05|p = 0, 06) = P Z < pˆobs − p√ p(1−p) n = P Z < 0, 05− 0, 06√ 0,06(1−0,06) 200 = P (Z < −0, 01/0, 0168) = P (Z < −0, 5952) = 1− A(0, 5952) = 1− 0, 7257 ⇒ P = 0, 2743. Como valorP > α, enta˜o dizemos que a amostra forneceu evideˆncias suficientes para a aceitac¸a˜o de H0, logo a crenc¸a do veterina´rio de que a doenc¸a diminuiu de intensidade na˜o condiz com os dados da amostra. � ##Pelo valor P Pa´gina 6 de 7 http://www.ime.usp.br/~mae116 MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica Grupo B - 2o semestre de 2015 Lista de exerc´ıcios 10 - Noc¸o˜es de probabilidade – C A S A (gabarito) #N:tamnaho da amostra; n:favora´veis valorP<-function(N,n,p,alfa){ p_obs=n/N p_v<-pnorm((p_obs-p)/sqrt((p*(1-p))/N)) if (p_v < alfa) cat("REJEITA H0\n") else cat("N~AO REJEITA H0\n") return(p_v) } valorP(p=0.06,N=200,n=10,alfa=0.07) Pa´gina 7 de 7 http://www.ime.usp.br/~mae116
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