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MAE116 – Noc¸o˜es de Estat´ıstica
Grupo B - 2o semestre de 2015
Gabarito Lista de exerc´ıcios 11 - Qui-Quadrado – C A S A
Exerc´ıcio 1.
(2,5 ponto). A Nielsen/NetRatings e´ uma l´ıder global em publicidade na internet e pesquisa de
mercado. Em maio de 2006, a empresa publicou um relato´rio a respeito da participac¸a˜o em buscas
(isto e´, porcentagem de todas as buscas pela internet) dos mais populares mecanismos de buscas
dispon´ıveis na internet. O Google tinha 50% de todas as buscas, o Yahoo, 20%, o MSN, 13% e todos
os outros mecanismos de busca, 17%. Em uma amostra aleato´ria de 1000 buscas recentes na internet,
555 usaram o Google, 240 o Yahoo, 80 o MSN e 125 outro mecanismo de busca.
(a) (0,5 pontos). Deˆ uma estimativa para a proporc¸a˜o de buscas recentes que utilizam o Google.
Resposta:
A proporc¸a˜o estimada de buscas recentes que utilizam o Google corresponde a
pˆ =
555
1000
= 0, 555.
�
(b) (0,5 pontos). Se a participac¸a˜o dos mecanismos de busca sa˜o as mesmas desse relato´rio, quantas
buscas pelo Yahoo seriam esperadas dentre as 1000?
Resposta:
O nu´mero esperado de buscas pelo Yahoo corresponde a
E2 = n× p2 ⇒ E2 = 1000× 0, 20 = 200.
�
(c) (1,0 pontos). Utilizando um procedimento estat´ıstico adequado, pode-se afirmar que os dados da
amostra esta˜o em desacordo com as porcentagens relatadas em 2006 pela Nielsen/NetRatings?
Utilize um n´ıvel de significaˆncia de 5%.
Resposta:
Para verificar se os dados da amostra esta˜o em desacordo com as porcentagens relatadas em 2006
pela Nielsen/NetRatings vamos utilizar o Teste Qui-Quadrado de Adereˆncia, em que:
Hipo´teses a serem testadas:
H0: os dados da amostra esta˜o em acordo com as porcentagens relatadas em 2006.
H1: os dados da amostra esta˜o em desacordo com as porcentagens relatadas em 2006.
De forma equivalente, podemos escrever:
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H0 : P (Google) = 0, 5;P (Y ahoo) = 0, 2;P (MSN) = 0, 13;P (Outros) = 0, 17.
H1: Ao menos uma das igualdades na˜o se verifica.
A tabela a seguir apresenta os valores observados e esperados.
Mecanismo de busca Freq. Observada (Oi) Freq. Esperada (Ei)
Google 555 500
Yahoo 240 200
MSN 80 130
Outros 125 170
Ca´lculo do valor da estat´ıstica de teste (k = 4).
χ2obs =
4∑
i=1
=
(Oi − Ei)2
Ei
=
(555− 500)2
500
+
(240− 200)2
200
+
(80− 130)2
130
+
(125− 170)2
170
= 6, 05 + 8 + 19, 23 + 11, 91
= 45, 19
Usando a distribuic¸a˜o Qui-quadrado com q = k − 1 = 4 − 1 = 3 graus de liberdade, o n´ıvel
descritivo e´ calculado por:
P (χ23 > 45, 19) = 8, 4207−10.
Conclusa˜o: Para α = 0, 05, temos que 8, 4207−10 < 0, 05, portanto, ha´ evideˆncias para rejeitar H0,
isto e´, ao n´ıvel de significaˆncia de 5%, conclu´ımos que os dados da amostra esta˜o em desacordo
com as porcentagens relatadas em 2006 pela Nielsen/NetRatings.
�
(d) (0,5 pontos). Como seria um intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o de buscas recentes
que usam o Google?
Resposta:
Ao n´ıvel de confianc¸a γ = 0, 95, temos que z = 1, 96 e pˆ = 0, 555, o intervalo de confianc¸a (IC) e´
dado por:
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IC(p; γ) =
[
pˆ− zα/2 ×
√
pˆ(1− pˆ)
n
; pˆ+ zα/2 ×
√
pˆ(1− pˆ)
n
]
IC(p; 0, 95) =
[
0, 555− 1, 96×
√
0, 555(1− 0, 555)
1000
; 0, 555− 1, 96×
√
0, 555(1− 0, 555)
1000
]
= [0, 555− 0, 0308; 0, 555 + 0, 0308]
= [0, 524; 0, 586]
Temos enta˜o que a estimativa intervalar para p e´ [0, 524; 0, 586] com 95% de confianc¸a. Note que
a afirmac¸a˜o de que p=50% (para o Google) na˜o esta´ contida no intervalo de confianc¸a. Mais uma
comprovac¸a˜o de que os percentuais relatados na˜o condizem com a amostra coletada.
�
Exerc´ıcio 2.
(2,5 pontos).Certo jornal faz pesquisas sobre temas poleˆmicos entre seus leitores. Em uma dessas
pesquisas, o sofrimento animal foi um tema abordado. A pergunta feita aos leitores citava um artigo
do filo´sofo Adam Shriver, publicado recentemente no perio´dico Neuroethics. A pergunta feita aos
leitores foi:“O filo´sofo Adam Shriver afirma em um novo artigo que a biotecnologia deveria criar
animais incapazes de sentir dor para serem usados em pecua´ria. Voceˆ concorda com a ideia?”
O leitor deveria escolher uma dentre as alternativas abaixo:
1) Sim. E´ moralmente correto fazer todo o poss´ıvel para evitar dor e sofrimento em animais.
2) Depende. Isso so´ vale se a biotecnologia eliminar tambe´m o sofrimento mental de viver em
confinamento. Na˜o e´ apenas a dor f´ısica do abate e de maus tratos que afeta animais de fazenda.
3) Na˜o. A questa˜o moral vai ale´m da dor. Os humanos na˜o devem ter o direito de manipular nem
matar animais.
4) Na˜o. Criar animais sem dor e´ perda de tempo. Na˜o ha´ diferenc¸a entre matar vegetais e animais
so´ porque uns podem sentir dor e outros na˜o.
5) Na˜o concordo com nenhuma das alternativas acima.
De 700 leitores que responderam essa pesquisa, os seguintes resultados foram encontrados:
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(a) (0,5 pontos). Deˆ uma estimativa para a proporc¸a˜o de leitores deste jornal que concordam com a
resposta (3) entre os que teˆm apenas o ensino me´dio completo. Calcule tambe´m uma estimativa
para essa proporc¸a˜o entre os leitores com po´s-graduac¸a˜o completa.
Resposta:
A proporc¸a˜o de leitores deste jornal que concordam com a resposta (3) entre os que teˆm apenas
o ensino me´dio completo e´ dada por:
106
204
= 0, 5196.
A proporc¸a˜o de leitores deste jornal que concordam com a resposta (3) entre os que teˆm po´s-
graduac¸a˜o completa e´ dada por:
84
187
= 0, 4492.
�
(b) (0,5 ponto). Se a escolaridade na˜o interfere na opinia˜o dos leitores deste jornal sobre sofrimento
animal, quantos leitores com ensino superior completo voceˆ esperaria que escolhessem a alterna-
tiva (5)? E quantos leitores com ensino me´dio? Quantos foram observados?
Resposta:
Neste problema temos duas varia´veis:
X: resposta da pesquisa,
Y: escolaridade das pessoas.
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Supondo que as varia´veis X e Y sa˜o independentes, podemos calcular os valores esperados da
seguinte forma:
Ei,j =
Oi. ×O.j
n..
,
em que i = 1, . . . , 5 e j = 1, 2, 3.
Assim,
E5,2 =
192× 309
700
= 84, 75
e
E5,1 =
192× 204
700
= 55, 95.
Nota-se tambe´m que foram observados: O5,2 = 79 e O5,1 = 48.
�
(c) (0,5 pontos). Formule as hipo´teses H0 e H1 adequadas a esta situac¸a˜o.
Resposta:
Hipo´teses de interesse:
H0: A resposta da pesquisa independe da escolaridade das pessoas
H1: A resposta da pesquisa depende da escolaridade das pessoas
�
(d) (1,0 pontos). Por meio de um teste estat´ıstico apropriado, conclua sobre suas hipo´teses calculando
o n´ıvel descritivo. Utilize um n´ıvel de significaˆncia de 5%. Comente.
Resposta:
Tabela 1: Tabela de valores observados e esperados (entre pareˆnteses)
Escolaridade
Resposta
Me´dio Completo Superior Completo Mestrado/doutorado completo Total
1 19 (17,48) 27 (26,48) 14 (16,03) 60
2 22 (20,40) 31 (30,90) 17 (18,70) 70
3 106 (100,83) 156 (152,73) 84 (92,43) 346
4 9 (9,32) 16 (14,12) 7 (8,55) 32
5 48 (55,95) 79 (84,75) 65 (51,29) 192
Total 204 309 187 700
A estat´ıstica do teste de independeˆncia e´Pa´gina 5 de 9
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Grupo B - 2o semestre de 2015
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χ2obs =
5∑
i=1
3∑
j=1
=
(Oij − Eij)2
Eij
,
em que χ2obs ∼ χ2q , com q = (5− 1)× (3− 1) = 8 graus de liberdade. Logo,
χ2obs =
5∑
i=1
3∑
j=1
=
(Oij − Eij)2
Eij
=
(19− 17, 48)2
17, 48
+
(27− 26, 48)2
26, 48
+ . . .+
(65− 51, 29)2
51, 29
=
= 7, 5077.
O n´ıvel descritivo (valor P): P (χ2obs > 7, 5077) = 0, 483.
Para α = 0, 05, temos P > α. Assim, na˜o temos evideˆncias para rejeitar a hipo´tese de inde-
pendeˆncia entre as varia´veis resposta e escolaridade ao n´ıvel de 5% de significaˆncia.
Sa´ıda do Rcmdr:
.Test
Pearson’s Chi-squared test
data: .Table
X-squared = 7.5077, df = 8, p-value = 0.483
> .Test$expected # Expected Counts
1 2 3
1 17.485714 26.48571 16.028571
2 20.400000 30.90000 18.700000
3 100.834286 152.73429 92.431429
4 9.325714 14.12571 8.548571
5 55.954286 84.75429 51.291429
> round(.Test$residuals^2, 2) # Chi-square Components
1 2 3
1 0.13 0.01 0.26
2 0.13 0.00 0.15
3 0.26 0.07 0.77
4 0.01 0.25 0.28
5 1.13 0.39 3.66
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�
Exerc´ıcio 3.
(2,5 pontos). Quatro ma´quinas de grande porte trabalham de forma independente e ao fim da jornada
de trabalho, sa˜o vistoriadas pelo controle de qualidade e, se necessa´rio, as ma´quinas sa˜o ajustadas.
Das informac¸o˜es arquivadas pela empresa, sorteamos 22 dias e anotamos o nu´mero de ma´quinas que
sofreram ajuste nesses dias. Os dados sa˜o apresentados na tabela abaixo:
Nu´mero de ma´quinas ajustadas por dia 0 1 2 3 4
Frequeˆncia 13 6 2 1 0
O engenheiro de manutenc¸a˜o pretende verificar se o nu´mero de ma´quinas ajustadas em um dia
segue uma distribuic¸a˜o binomial com n = 4 e p = 0,1. Especifique as hipo´teses estat´ısticas H0 e H+1
apropriadas e conclua com base no n´ıvel descritivo, considerando n´ıvel de significaˆncia de 4%.
Resposta:
Seja X ∼ Bin(n = 4; p = 0, 1), enta˜o as probabilidades correspondentes a`s observac¸o˜es podem ser
calculadas por:
P (X = 0) = p0 = 0, 6561
P (X = 1) = p1 = 0, 2916
P (X = 2) = p2 = 0, 0486
P (X = 3) = p3 = 0, 0036
P (X = 4) = p4 = 0, 0001
Hipo´teses a serem testadas:
H0: O nu´mero de ma´quinas ajustadas em um dia segue uma distribuic¸a˜o binomial
H1: O nu´mero de ma´quinas ajustadas em um dia na˜o segue uma distribuic¸a˜o binomial
De forma equivalente, podemos escrever:
H0: P (X = 0) = p0 = 0, 6561, P (X = 1) = p1 = 0, 2916, P (X = 2) = p2 = 0, 0486, P (X = 3) =
p3 = 0, 0036 e P (X = 4) = p4 = 0, 0001
H1: Ao menos uma das igualdades na˜o se verifica.
Logo, dado pi, i = 0, . . . , 4, temos que, Ei = n × pi. Assim, segue a tabela com as frequeˆncias
observadas e esperadas:
Nu´mero de ma´quinas Freq. Observada (Oi) Freq. Esperada (Ei)
0 13 14,4342
1 6 6,4152
2 2 1,0692
3 1 0,0792
4 0 0,0022
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Ca´lculo do valor da estat´ıstica de teste (k = 5).
χ2obs =
5∑
i=1
=
(Oi − Ei)2
Ei
=
(13− 14, 4342)2
14, 4342
+
(6− 6, 4152)2
6, 4152
+
(2− 1, 0692)2
1, 0692
+
(1− 0, 0792)2
0, 0792
+
(0− 0, 0022)2
0, 0022
= 0, 1425 + 0, 0269 + 0, 8103 + 10, 7055 + 0, 0022
= 11, 687
Usando a distribuic¸a˜o Qui-quadrado com q = k−1 = 5−1 = 4 graus de liberdade, o n´ıvel descritivo
e´ calculado por:
P (χ24 > 11, 687) = 0, 01983.
Conclusa˜o: Para α = 0, 04, temos que 0, 01983 < 0, 04, portanto, ha´ evideˆncias para rejeitar H0,
isto e´, ao n´ıvel de significaˆncia de 4%, conclu´ımos que o nu´mero de ma´quinas ajustadas em um dia
na˜o segue uma distribuic¸a˜o binomial.
�
Exerc´ıcio 4.
(2,5 pontos). Em um estudo para verificar a relac¸a˜o entre asma e incideˆncia de gripe no outono, 150
crianc¸as foram escolhidas ao acaso, dentre aquelas acompanhadas pelo Posto de Sau´de de um bairro.
Os dados referentes a uma semana sa˜o apresentados na tabela a seguir.
Gripe
Asma
Sim Na˜o Total
Sim 27 34 61
Na˜o 42 47 89
Total 69 81 150
Utilize um teste de hipo´teses adequado para verificar se existem evideˆncias de que a ocorreˆncia de
gripe e´ influenciada pela presenc¸a de asma nesta populac¸a˜o. Use n´ıvel de significaˆncia de 6%.
Resposta:
Hipo´teses a serem testadas:
H0: a ocorreˆncia de gripe e´ independente da presenc¸a de asma
H1: a ocorreˆncia de gripe na˜o e´ independente da presenc¸a de asma
A estat´ıstica do teste de independeˆncia e´
χ2obs =
2∑
i=1
2∑
j=1
=
(Oij − Eij)2
Eij
,
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Tabela 2: Tabela de valores observados e esperados (entre pareˆnteses)
Gripe
Asma
Sim Na˜o Total
Sim 27 (28,06) 34 (32,94) 61
Na˜o 42 (40,94) 47 (48,06) 89
Total 69 81 150
em que χ2obs ∼ χ2q , com q = (2− 1)× (2− 1) = 1 graus de liberdade. Logo,
χ2obs =
(27− 28, 06)2
28, 06
+
(34− 32, 94)2
32, 94
+
(42− 40, 94)2
40, 94
+
(47− 48, 06)2
48, 06
=
= 0, 12498.
O n´ıvel descritivo (valor P): P (χ2obs > 0, 12498) = 0, 7237.
Para α = 0, 06, temos P > α. Assim, na˜o temos evideˆncias para rejeitar a hipo´tese de inde-
pendeˆncia entre a ocorreˆncia de gripe e a presenc¸a de asma ao n´ıvel de 6% de significaˆncia, ou seja, a
ocorreˆncia de gripe na˜o e´ influenciada pela presenc¸a de asma nesta populac¸a˜o.
Sa´ıda do Rcmdr:
> .Test
Pearson’s Chi-squared test
data: .Table
X-squared = 0.12498, df = 1, p-value = 0.7237
> .Test$expected # Expected Counts
1 2
1 28.06 32.94
2 40.94 48.06
> round(.Test$residuals^2, 2) # Chi-square Components
1 2
1 0.04 0.03
2 0.03 0.02
�
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