AV2 CALC III

Prévia do material em texto

1. 
 
 
Indique qual é a solução geral correta para a solução da 
equação diferencial: xdx+ydy=0 
 
 
-x² + y²=C 
 x²+y²=C 
 
x-y=C 
 
x + y=C 
 
x²- y²=C 
 
 
 
2. 
 
 
Considere a equação : 
 Ld2Qdt2+RdQdt+Q=2-t3 
Podemos afirmar que sua ordem e o seu grau são, respectivamente: 
 
 
 
 
2 e 2 
 
1 e 0 
 
3 e 2 
 
2 e 3 
 
2 e 1 
 
 
 
3. 
 
 
Indique qual é a solução da equação diferencial: 
xdx+ydy=xy(xdy-ydx) 
 
 
 
 C(1 - x²) = 1 
 
seny²=C(1-x²) 
 
1+y²=C(1-x²) 
 
 
1+y=C(1-x²) 
 
1+y²=C(lnx-x²) 
 
 
 
4. 
 
Seja y = C1e
-2t + C2e
-3t a solução geral da EDO y" + 5y´ 
+ 6y = 0. Marque a alternativa que indica a solução 
 
do problema de valor inicial (PVI) considerando y(0) = 2 e 
y(0)=3. 
 
 y = 8e
-2t + 7e-3t 
 y = 9e
-2t - e-3t 
 y = 3e
-2t - 4e-3t 
 y = 9e
-2t - 7e-3t 
 y = e
-2t - e-3t 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a equação d3ydx3+y2=x. Podemos 
afirmar que sua ordem e o seu grau são 
respectivamente: 
 
 
 
3 e 1 
 
1 e 2 
 
2 e 3 
 
3 e 0 
 
3 e 2 
 
 
 
6. 
 
 
Considere a equação x2y+xy'=x3. Podemos 
afirmar que sua ordem e seu grau são 
respectivamente: 
 
 
 
1 e 1 
 
2 e 1 
 
2 e 3 
 
1 e 2 
 
3 e 2 
 
 
 
7. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da 
equação diferencial de variáveis separáveis dx + e3x dy. 
 
 y = e
-2x + k 
 y = (e
-2x/3) + k 
 y = (e
3x/2) + k 
 y = e
-3x + K 
 y = (e
-3x/3) + k 
 
 
 
8. 
 
 
Qual a única resposta correta como solução da ED 
: dydx=yx+1 ? 
 
 
lny=ln|x 1| 
 
lny=ln|1-x | 
 
lny=ln|x+1| 
 
lny=ln|x -1| 
 
lny=ln|x| 
 
1. 
 
 
Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. 
xy´=4y 
 
 
y=cx 
 
y=cx3 
 
y=cx4 
 
y=cx-3 
 
y=cx2 
 
 
 
2. 
 
 
"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo por Isaac 
Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz (1646-1716), no século 
XVII."Boyce e Di Prima. 
Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
(I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura pelo menos 
uma derivada ou diferencial da função incógnita. 
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da derivada de 
mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. 
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior expoente da 
derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação. 
 
 
(I), (II) e (III) 
 
(I) e (II) 
 
(I) 
 
(II) 
 
(III) 
 
 
 
3. 
 
 
Uma função f(x,y) é dita homogênea com grau de homogeneidade k quando f(tx,ty)=tkf(x,y) 
Verifique se a função f(x,y)=x2+y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a única 
resposta correta. 
 
 Homogênea de grau 4. 
 Homogênea de grau 2. 
 Não é homogênea. 
 Homogênea de grau 1. 
 Homogênea de grau 3. 
 
 
 
4. 
 
 
Resolva a equação diferencial exdydx=2x por separação de variáveis. 
 
 
y=-2e-x(x+1)+C 
 
y=12ex(x+1)+C 
 
y=e-x(x-1)+C 
 
y=e-x(x+1)+C 
 
y=-12e-x(x-1)+C 
 
 
 
5. 
 
 
Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. 
dx+e3xdy=0 
 
 
 
y=13e3x+C 
 
y=13e-3x+C 
 
y=e3x+C 
 
y=12e3x+C 
 
y=ex+C 
 
1. 
 
 
Verifique se a equação diferencial (2x-y+1)dx-
(x+3y-2)dx=0 é exata. 
 
 
 (δMδy)=(δNδx)=0 
 (δMδy)=(δNδx)= 1 
 (δMδx)=(δNδy)=-1 
 (δMδy)=(δNδx)=-2 
 (δMδy)=(δNδx)=-1 
 
 
 
2. 
 
 
Um dos métodos de solução de uma EDLH é chamado de 
Método de Redução de Ordem, no qual é dada uma solução, 
por exemplo y1 e calcula-se a outra solução y2, pela fórmula 
abaixo: 
 y2=y1∫e-∫(Pdx)y12dx 
Assim, dada a solução y1 =cos(4x), indique a única solução 
correta de y2 para a equação y''-4y=0 de acordo com as 
respostas abaixo: 
 
 
 
sen-1(4x) 
 
tg(4x) 
 
cos-1(4x) 
 
sec(4x) 
 sen(4x) 
 
 
 
3. 
 
 
Verifique se a equação (2x-1) dx + (3y+7) dy 
= 0 é exata. 
 
 
 É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=0 
 É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=7 
 É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=4 
 É exata, pois (δMδy)=(δNδx)=5x 
 É exata, pois (δMδx)=(δNδy)=0 
 
 
 
4. 
 
A equação diferencial y2dx+(xy+1)dy=0 não é 
exata. Marque a alternativa que indica o fator 
 
 
integrante que torna a equação exata. 
 
 λ=-1y2 
 λ=y 
 λ=-1y 
 λ=-2x 
 λ=-1x 
 
 
 
5. 
 
 
Resolva a equação diferencial 2xydx+(x2-1)dy=0 
 
 
 
 x2- 1=C 
 x2y-2y=C 
 x2y +y=C 
 x3y +y=C 
 x2y-y=C 
 
 
 
6. 
 
 
A equação diferencial (x2-y2)dx+2xydy=0 não é 
exata. Marque a alternativa que indica o fator 
integrante que torna a equação exata. 
 
 
 λ=4y2 
 λ=1y2 
 λ=-1x2 
 λ=2x2 
 λ=1x2 
 
 
 
7. 
 
 
Resolva a equação diferencial exata (2x-
y+1)dx-(x+3y-2)dx=0. 
 
 
 2xy-3y2+4y+2x2 =C 
 -2y-3y2+4y+2x2+2x=C 
 2y-3y2+4y+2x2 =C 
 -2xy-3y2+4y+2x2+2x=C 
 -2xy-3y2 -4xy+2x2+2x=C 
 
 
1. 
 
 
Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as 
funções { t,sent, cost} são linearmente dependentes. 
 
 
 
π3 
 
π 
 
π4 
 
0 
 
-π 
 
 
 
2. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da 
equação y'' +2y'+8y=0. 
 
 y=e-t[C1sen(7t)+C2cos(7t)] 
 y=et[C1sen(7t)+C2cos(7t)] 
 y=e-t[C1sen(7t)] 
 y=e-t[C1sen(7t)+C2cos(7t)] 
 y=e-t[C1cos(7t)] 
 
 
 
3. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0. 
 
 y = C1e
t + C2e
-5t 
 y = C1e
-t + C2e
-t 
 y = C1e
-t + C2 
 y = C1e
-t + C2e
t 
 y = C1e
-3t + C2e
-2t 
 
 
 
4. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 4y = 0. 
 
 y = C1cos3t + C2sen3t 
 y = C1cos4t + C2sen4t 
 y = C1cost + C2sent 
 y = C1cos6t + C2sen2t 
 y = C1cos2t + C2sen2t 
 
 
1. 
 
 
Identifique no intervalo[ - π,π] onde as funções {t,t2, t3} são lineramente 
dependentes. 
 
 
t= π3 
 
t= π 
 
t=0 
 
t=-π2 
 
t=-π 
 
 
 
2. 
 
 
O Wronskiano de 3ª ordem é o resultado do determinante de uma matriz 
3x3, cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas 
primeiras derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas 
derivadas daquelas funções. 
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções 
deriváveis são linearmente dependentes ou independentes. Caso o 
Wronskiano vseja igual a zero em algum ponto do intervalo, as funções são 
ditas linearmente dependentes nesse ponto. 
Identifique, entre os pontos do intervalo[-π,π] apresentados, onde as 
funções t,sent,cost são linearmente dependentes. 
 
 
t=π4 
 
t=π3 
 
t=π2 
 
t=0 
 
t=π 
 
 
 
3. 
 
Indique qual a resposta correta para a solução geral de uma EDL não 
homogênea a saber: 
 
dydx+y =senx 
 
 C1e-x - C2e4x - 2ex 
 
 
 C1e^(-x)- C2e4x + 2senx 
 
 
2e-x - 4cos(4x)+2ex 
 C1ex - C2e4x + 2ex 
 C1e-x + 12(senx-cosx) 
 
 
 
4. 
 
 
Indique qual a resposta correta para a solução geral de uma EDL não 
homogênea a saber: 
dydx+y =senx 
 
 C1e-x + 12(senx-cosx) 
 
2e-x - 4cos(4x)+2ex 
 C1e-x - C2e4x - 2exC1e^-x- C2e4x + 2senx 
 
 C1ex - C2e4x + 2ex 
 
 
1. 
 
 
Seja F(s)=1s3-24s5 transformada de f(t). 
Podemos afirma que f(t) é: 
 
 f(t)=(12)t2-t4 
 f(t)=13t3-t44 
 f(t)=(3t)+5t5 
 f(t)=1t3-4!t5 
 f(t)=(13!)+14! 
 
 
 
2. 
 
 
Aplicando a transformada de Laplace na função y = 
4sen4t, obtemos: 
 
 4ss²+16 
 16s²+16 
 4s²+16 
 4s²+4 
 ss²+16 
 
 
 
3. 
 
 
 
 f(t) = 5e
3t + 7e-2t 
 f(t) = -3e
2t + 2e-t 
 f(t) = 5e
2t + e-t 
 f(t) = e
t + 7e-t 
 f(t) = 2e
-t - e-2t 
 
 
 
4. 
 
 
Assinale a única resposta correta para f(t) se F(s)=2s-3+3s-2. 
 
 
3e2t 
 
-2e3t+3e2t 
 
2e3t -3e2t 
 
et-2 
 
2e3t+3e2t 
 
 
 
5. 
 
 
Aplicando o Teorema do Deslocamento(ou Translação), calcule a 
Transformada de Laplace de te4t e indique qual a resposta correta. 
 
 
1(s-4)2 
 
1(s +4)2 
 
- 1(s +4)2 
 
1(s2-4)2 
 
- 1(s-4)2 
 
 
 
6. 
 
 
Seja f(t)=t2e-2t 
Podemos afirmar que F(s) Transformada de Laplace 
de f(t) é: 
 
 F(s)=2(s+2)3 
 F(s)=2(s+2)2 
 F(s)=3(s-2)2 
 F(s)=2(s+2)2 
 F(s)=2(s-2)3 
 
 
 
7. 
 
 
Indique a única resposta correta da Transformada de Laplace da função 
degrau unitário: 
f(t)={1se t≥00se t<0 
 
 
 
s 
 
s-2s,s>0 
 
s-2s-1,s>1 
 
s-1s-2,s>2 
 
1s,s>0 
 
 
 
8. 
 
 
Aplicando o Teorema do Deslocamento(ou Translação), calcule a 
Transformada de Laplace de te4t e indique qual a resposta correta. 
 
 
1(s +4)2 
 
- 1(s +4)2 
 
- 1(s-4)2 
 
1(s-4)2 
 
1(s2-4)2 
 
1. 
 
 
Seja f(t)=et+7 indique qual é a resposta correta de sua 
Transformada de Laplace. 
 
 
e7s 
 
e7s² 
 
se7 
 
e7 
 
e7s-1 
 
 
 
Resolva a equação diferencial homogênea 
 
 dy/dx = ( y + x) / x 
 
 
 
ln(x3) + c 
 
ln(x) + c 
 
ln(x) + xc 
 
2ln(x) + x3c 
 
2ln(x) + c 
 
1. 
 
 
Seja a função 
 f(x)=x2cos(x) 
Podemos afirmar que f é uma função:
 
 
Dependendo dos valores de x f pode ser par ou impar. 
 
é par e impar simultâneamente 
 
Impar 
 
nem é par, nem impar 
 
Par 
 
 
 
2. 
 
 
Dada função F(t) = 2t2 - 3t +4. Use a transformada de Laplace para determinar F(s) 
 
 
12s + 2/s - 
3/s2 
 
4s2 - 3s + 4 
 
3s2 -2s + 4 
 
4/s3 - 3/s2 + 
4s-1 
 
4/s -3/s2 + 
4/s3 
 
1. 
 
 
Seja a função: f(x)=x xε[-
π,π]<x<pi`<x<pi`.<x<pi`.<x<pi`<x<pi`<x<pi`<x<x<pi`<="" 
p=""></x<pi`<x<pi`.<x<pi`.<x<pi`<x<pi`<x<pi`<x 
Na série de Fourier chega-se a an=(1π)∫-ππxcos(nx)dx . 
Podemos afirmar que o valor de an é : 
 
 
 
 
0 
 
nsennπ 
 
nπ 
 
nπ 
 
(2n)sen(nπ) 
 
CALCULO III 
 
Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações 
diferenciais ordinárias. Desta forma, é importante que se estude a 
resolução destas equações. 
Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto 
afirmar que 
 
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as 
funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa 
identidade. 
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 
toda função , definida em um intervalo aberto (a,b), juntamente com 
suas derivadas sucessivas até a ordem n inclusive, tal que ao fazermos 
a substituição de y por na equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 
, esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo 
(a,b). 
1 ponto 
 
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as 
funções que verificam a equação, isto é, que a transformem numa 
identidade. 
 (Ref.: 201502648960) 
 
 
(II) 
 
(I), (II) e (III) 
 
(I) e (II) 
 
(III) 
 
(I) 
 
 
2. 
 
 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que 
aparece na equação. Com relação às equações diferenciais de primeira ordem é 
SOMENTE correto afirmar que 
(I) A forma geral das equações diferenciais de 1a ordem é F(x,y,y´)=0 . 
(II) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma: dydx=F(x,y). 
(III) São equações de 1a ordem e 1o grau as equações da forma M dx+ N dy=0 
onde M=M(x,y) e N=N(x,y) são continuas no intervalo considerado. 
 (Ref.: 201502648959) 
1 ponto 
 
 
(I), (II) e (III) 
 
(I) e (II) 
 
(I) 
 
(II) 
 
(III) 
 
 
3. 
 
 
"As equações diferenciais começaram com o estudo de cálculo 
por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilheim Leibnitz 
(1646-1716), no século XVII."Boyce e Di Prima. 
Com relação às equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar 
que 
(I) Chama-se equação diferencial toda equação em que figura 
pelo menos uma derivada ou diferencial da função incógnita. 
(II) Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da 
derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na 
equação. 
(III) Chama-se grau de uma equação diferencial o maior 
expoente da derivada de mais alta ordem da função incógnita 
que figura na equação. 
 (Ref.: 201502648961) 
1 ponto 
 
 
(I) e (II) 
 
(III) 
 
(I) 
 
(I), (II) e (III) 
 
(II) 
 
 
4. 
 
 
Resolva a equação diferencial abaixo por separação de variáveis. 
`dx+e^(3x)dy=0` 
 (Ref.: 201502762870) 
1 ponto 
 
 `y= e^(3x)+C` 
 `y= e^(x)+C` 
 `y=1/2 e^(3x)+C` 
 `y=1/3 e^(3x)+C` 
 `y=1/3 e^(-3x)+C` 
 
 
5. 
 
 
Seja a equação diferencial `2(dy)/(dx) + 3y = e^(-x)`. Qual 
dentre as opções abaixo não é uma solução da equação 
diferencial proposta, sabendo que `y = f(x)` ? (Ref.: 
201502592176) 
1 ponto 
 
 `y = e^(-x)+2.e^(-3/2x)` 
 `y = e^(-x)` 
 `y = e^(-x) + e^(-3/2x)` 
 `y = sqrt(e^x)` 
 `y = e^(-x)+C.e^(-3/2x)` 
 
 
6. 
 
 
Dada a ED `x dy/dx = x^2 + 3y`; `x > 0`, indique qual é o 
único fator de integração correto: 
 (Ref.: 201502691126) 
1 ponto 
 
 `1/x^2` 
 `1/x^3` 
 ` - 1/x^2` 
 `x^3` 
 ` - 1/x^3` 
 
 
7. 
 
 
Uma equação diferencial `Mdx + Ndy = 0` é chamada de exata 
se: (Ref.: 201502691196) 
1 ponto 
 
 `δM/δy = 1/δx` 
 `δM/δy = - δN/δx` 
 `δM/y = δN/x` 
 `δM/δy` =` δN/δx` 
 `1/δy = δN/δx` 
 
 
8. 
 
 
Resolva a equação diferencial de primeira ordem e informe qual a 
resposta correta: 
`(1 + x² )dy + (1 + y2)dx = 0` 
 (Ref.: 201503119716) 
1 ponto 
 
 `y² = arctg(c(x + 2)²)` 
 `arctg x +arctgy = c` 
 `y² - 1 = c x²` 
 `y - 1 = c(x + 2) 
 `y² + 1 = c(x + 2)²` 
 
 
9. 
 
 
Dado um conjunto de funções `{ f1 ,f2, ..., fn }` , considere o 
determinante de ordem n: 
`W(f1 ,f2, ..., fn )` = `[[f1 ,f2, ..., fn],[f´1 ,f´2, ..., f´n],[ f´´1 
,f´´2, ..., f´´n],[...,...,...,... ],[f1^(n-1),f2 ^(n-1), ... ,fn^(n-
1)]]` 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira 
linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, 
e assim por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na 
n-ésima linha. Sejam as funções: `f(x)`= `e^(2x)` ; 
 `g(x)`=`senx` e 
 `h(x)`= `x^2 + 3*x + 1 
Determine o Wronskiano `W(f,g,h)` em `x`= `0`. 
 (Ref.: 201503124847) 
1 ponto 
 
 
 -1 
 
 1 
 
 2 
 
-2 
 
 7 
 
 
10. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução do problema de valor 
inicial 
 `dy/dx = cosx` , y(0) = 2. 
 (Ref.: 201503492725)1 ponto 
 
 y = cosx 
 y = secx + 2 
 y = cosx + 2 
 y = tgx + 2 
 y = senx + 2