Material de apoio Introdução_Estatística UFC PROF. DR. JOÃO WELLIANDRE CARNEIRO ALEXANDRE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇAÕ EM LOGÍSTICA E PESQUISA OPERACIONAL 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
PROF. DR. JOÃO WELLIANDRE CARNEIRO ALEXANDRE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fortaleza –CE 
 
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Sumário 
 
1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA .................................................................................................. 4 
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS ............................................................................................... 4 
1.2 CONCEITOS IMPORTANTES ............................................................................................ 8 
1.3 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO ................................................................................ 8 
1.4 SÉRIES ESTATÍSTICAS ..................................................................................................... 9 
1.5 ELABORAÇÃO DE TABELAS ESTATÍSTICA .............................................................. 11 
1.6 APRESENTAÇÃO GRÁFICA ........................................................................................... 13 
2. MEDIDAS ASSOCIADAS ÀS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS ........................................ 24 
2.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ......................................................................... 24 
2.2 ANÁLIS DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS ..................................................... 24 
2.3 MEDIDAS DE VARIABILIDADE .................................................................................... 28 
3. MEDIDAS ASSOCIADAS ÀS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS (CONTINUAÇÃO) ....... 34 
3.1 ANÁLISE DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS .................................................... 34 
3.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES ... 37 
3.3 GRÁFICOS REPRESENTATIVOS PARA DISTRIBUIÇÕES DE FREQUÊNCIA ........ 41 
3.4 MEDIDAS DE ASSIMETRIA ............................................................................................ 42 
4. PROBABILIDADE ................................................................................................................... 45 
4.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 45 
4.2 EXPERIMENTO ALEATÓRIO ......................................................................................... 45 
4.3 ESPAÇO AMOSTRAL ....................................................................................................... 45 
4.4 EVENTO ............................................................................................................................. 46 
4.5 UNIÃO DE EVENTOS ....................................................................................................... 46 
4.6 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS .................................................................... 46 
4.7 DEFINIÇÃO ........................................................................................................................ 46 
4.8 CONSEQUENCIAS DA DEFINIÇÃO ............................................................................... 47 
4.9 MODELO EQUIPROBABILÍSTICO ................................................................................. 47 
4.10 PROBABILIDADE CONDICIONAL .............................................................................. 48 
4.11 REGRA DO PRODUTO ................................................................................................... 49 
4.12 EVENTOS INDEPENDENTES ........................................................................................ 50 
5.VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS ............................................................................ 56 
5.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 56 
5.2 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DISCRETA ....................................................................... 57 
5.3 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI ................................................................................... 58 
5.4 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL ............................................................................................ 59 
5.5 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA .......................................................................... 60 
5.6 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON ......................................................................................... 62 
6.VARIÁVEIS ALEAT[ORIAS CONTÍNUAS ........................................................................... 66 
6.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 66 
6.2 MODELO UNIFORME CONTÍNUO ................................................................................ 68 
6.3 DISTRIBUIÇÃO NORMAL ............................................................................................... 68 
6.4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO ............................................................................. 70 
6.5 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL .................................................................................... 72 
6.6 DISTRIBUIÇÃO GAMA .................................................................................................... 73 
6.7 DISTRIBUIÇÃO BETA ...................................................................................................... 73 
6.8 DISTRIBUIÇÃO WEIBULL .............................................................................................. 74 
7.AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO ............................................................................................ 76 
7.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 76 
7.2 POPULAÇÃO E AMOSTRA ............................................................................................. 76 
7.3 PROBLEMAS DE INFERÊNCIA ...................................................................................... 77 
7.4 COMO SELECIONAR UMA AMOSTRA......................................................................... 78 
 
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7.5 AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA ......................................................... 79 
7.6 PLANOS DE AMOSTRAGEM .......................................................................................... 83 
8.DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS .............................................................................................. 85 
8.1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 85 
8.2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA ..................................................................... 85 
8.3 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL ................................................................................. 87 
8.4 DISTRIBUIÇÕES DE PROPORÇÕES AMOSTRAIS ...................................................... 88 
8.5 AMOSTRAGEM DE UMA POPULAÇÃO FINITA ......................................................... 89 
9.ESTIMAÇÃO ............................................................................................................................. 90 
9.1 EXEMPLOS DE ESTIMATIVAS ...................................................................................... 90 
9.2 DEFINIÇÃO DE ESTIMAÇÃO ......................................................................................... 90 
9.3 INTERVALO DE CONFIANÇA ........................................................................................ 91 
9.4 ESTIMAÇÃO DA MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO ....................................................... 92 
9.5 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÃO ...................................................95 
9.6 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DAS DIFERENÇAS ....................................................... 97 
9.7 INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇAS ................................................ 98 
10.ESTIMAÇÃO (CONTINUAÇÃO)........................................................................................ 101 
10.1 ESTIMAÇÃO PONTUAL E VARIÂNCIA POPULACIONAL .................................... 101 
10.2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA VARIÂNCIA POPULACIONAL ................. 102 
10.3 TESTE DE HIPÓTESE PARA VARIAÂNCIA POPULACIONAL ............................. 103 
10.4 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A RAZÃO DE VARIÂNCIAS......................104 
11.TESTES DE HIPÓTESES ..................................................................................................... 109 
11.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 109 
11.2 ELEMENTOS PARA TESTES DE HIPÓTESES .......................................................... 111 
11.3 IDENTIFICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL ADEQUADA ........................ 113 
11.4 NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DO TESTE ..................................................................... 114 
11.5 ROTEIRO PARA TOMADA DE DECISÕES ............................................................... 115 
11.6 TIPOS DE ERRO ............................................................................................................ 115 
11.7 TIPOS DE TESTES DE SIGNIFICÂNCIA .................................................................... 115 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 121 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
 
 
 
1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 
1.1.1. O que é Estatística? 
 
É possível distinguir duas concepções para a palavra Estatística: 
a. No plural (estatísticas), indica qualquer coleção consistente de dados numéricos com a 
finalidade de fornecer informações acerca de uma atividade qualquer; 
b. No singular indica a atividade humana especializada, ou um corpo de técnicas, ou 
ainda uma metodologia desenvolvida para coleta, a apresentação, organização, a 
análise e a interpretação de dados quantitativos e sua utilização para tomada de 
decisões. 
Por b a utilização dessas técnicas, destinada à análise de situações complexas ou não, tem 
aumentado e faz parte do nosso cotidiano. Tome-se, por exemplo, as transmissões esportivas. Em 
jogos de futebol, o número de escanteios, número de faltas cometidas e tempo de posse de bola 
são dados fornecidos ao telespectador e fazem com que as conclusões sobre qual time foi o 
melhor em campo se torne objetiva (não que isso implique que tenha sido o vencedor...). O que 
tem levado a essa quantificação de nossas vidas no dia-a-dia? Um fator importante é a 
popularização dos computadores. Atualmente grande quantidade de informações pode ser 
analisada rapidamente, com programas adequados, o que antes, era um trabalho bastante lento e 
tedioso. 
Assim é necessária a compreensão dos conceitos básicos da Estatística, bem como as 
suposições necessárias para seu uso de forma criteriosa. 
 
1.1.2. O papel da Estatística 
 
A indústria Americana, por exemplo, tem de continuar a melhorar a qualidade de seus 
produtos e serviços se quiser continuar a competir efetivamente nos mercados interno e externo. 
Uma porção significante desse esforço de melhoria da qualidade será comandada por 
engenheiros e cientistas, porque esses são os indivíduos que projetam e desenvolvem novos 
produtos e sistemas, sendo também aqueles que melhoram os sistemas existentes. 
 
1.1.3. Resolução de Problemas 
 
Os engenheiros são pessoas que resolvem problemas de interesse social, pela aplicação 
eficiente de princípios científicos. Eles executam isso através de processos que encontre a 
necessidade dos consumidores. Os métodos estatísticos ajudam à resolver esses problemas. As 
etapas são as seguintes: 
a. Desenvolver uma descrição clara e concisa do problema; 
b. Identificar os fatores importantes que afetam esse problema ou que ajudem a sua 
resolução; 
c. Propor um modelo para o problema; 
d. Conduzir experimentos apropriados e coletar dados para testar ou avaliar o modelo ou 
conclusões feitas nas etapas a e b; 
e. Refinar o modelo, com base nos dados observados; 
f. Manipular o modelo de modo a ajudar o desenvolvimento da solução do problema; 
g. Conduzir um experimento apropriado para confirmar que a solução é efetiva; 
 
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h. Tirar conclusões ou fazer recomendações baseadas na solução do problema. 
 
1.1.4. A Estatística Descritiva e Inferência estatística 
 
Estatística Descritiva: 
 
É extremamente difícil captar intuitivamente todas as informações que os dados contêm. 
É necessário, portanto, que estas informações sejam reduzidas até o ponto em que se possa 
interpretá-las mais claramente. Em outras palavras, é indispensável resumi-las, através de certas 
medidas, sínteses, mais comumente conhecidas como estatísticas descritivas ou simplesmente 
estatísticas. Então, Estatística Descritiva é um número que, sozinho, descreve uma 
característica de um conjunto de dados. 
Em um sentido mais amplo, a Estatística Descritiva pode ser interpretada como uma 
função cujo objetivo é a observação de fenômenos da mesma natureza, a coleta de dados 
numéricos referentes a esses fenômenos, a organização e classificação desses dados observados e 
a apresentação através de gráficos e tabelas, além do cálculo de medidas (estatísticas) que 
permitem descrever resumidamente os fenômenos. 
 
Inferência Estatística: 
 
A Inferência Estatística refere-se ao processo de generalização feito a partir de resultados 
particulares. Consiste em obter e generalizar conclusões para o todo, com base no particular. 
O processo de generalização está associado a uma margem de incerteza. A existência da 
incerteza deve-se ao fato de que a conclusão que se pretende obter para o todo, baseia-se em uma 
parcela do total. 
A medida da incerteza é tratada mediante técnicas e métodos que se fundamentam na 
Teoria da probabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Estatística 
Descritiva 
• Consistência de dados 
1. Inferência Estatística 
• Estimação de quantidades 
desconhecidas 
• Extrapolação dos resultados 
• Teste de Hipóteses 
 
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1.2. CONCEITOS IMPORTANTES 
 
1.2.1. População: 
 
 O conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual se faz uma inferência recebe o nome 
de população ou universo. 
 Em linguagem mais formal, é o conjunto constituído por indivíduos ou objetos que 
apresentam, pelo menos, uma característica comum, cujo comportamento interessa analisar. As 
características da população são chamadas de parâmetros, os quais são valores fixos e 
ordinariamente desconhecidos. É importante ficar bem claro que uma população é estudada em 
termos de observações de características nos indivíduos, e não em termos de pessoas ou objetos 
em si. 
 
Ex: 
 - Resistência à compressão de 80 corpos de prova da liga de alumínio; 
 - Matrículas de alunos no curso de Engenharia de Produção Mecânica da UFC, 2004.2; 
 - Produção de espaçonaves pela Companhia Boeing, em 2004; 
 - Dados das medidas de viscosidade para um produto químico observado de hora em hora. 
 
 
1.2.2. Tipos de População: 
 
a. Finita 
 
É a população onde se consegue contar todos os elementos que a formam, ou seja, possuium numero limitado de elementos. 
 
Ex.: Número de trabalhadores contratados entre os anos de 1994 a 2004 pela Empresa Materials 
Engineering. 
 
b. Infinita 
 
A população onde não se consegue contar todos os elementos que a formam. Geralmente 
esta associada à processos, e o numero de observações tende a ser infinito, dando origem a uma 
população infinita. Uma população infinita deverá, então, ser concebida como um esquema 
conceitual e teórico. 
 
Ex.: Um técnico de laboratório pesando um certo material, por maior que for o cuidado na 
experimentação, ele poderia, em cada pesagem, obter uma leitura de certo modo diferente. 
 
 
1.2.3. Amostra 
 
É um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações abrangidas pela 
população, através do qual se faz um juízo ou inferência sobre as características da população. 
As características da amostra são chamadas estatísticas descritivas, como apresentem os 
exemplos abaixo: 
 
a. Estudo sobre o conteúdo se ferro natural exportado por um navio. 
 População: todo o minério de ferro a ser exportado. 
 Amostra: parte do minério a ser exportado. 
 
 
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b. Estudo sobre os alunos matriculados na disciplina Introdução à Estatística na UFC, 
2004.2. 
População: alunos matriculados em Introdução à Estatística. 
Amostra: cem alunos matriculados em Introdução à Estatística, escolhidos aleatoriamente. 
 
c. Estudo da situação sócio-econômica dos habitantes de Fortaleza, com renda entre 1 e 
5 salários mínimos, 2004. 
População: habitantes de Fortaleza com renda entre 1 e 5 salários mínimos. 
Amostra: 20% dos habitantes de Fortaleza com renda entre 1 e 5 salários mínimos, escolhidos 
ao acaso. 
 
1.2.4. Amostragem 
 
É a técnica de extrair amostras de uma população e apresenta 2 tipos de, a amostragem 
Probabilística (aleatória simples, estratificada, por sistemática, por conglomerado) e Não 
Probabilística , conceitos que serão vistos posteriormente. A amostragem também pode ser: sem 
reposição e com reposição 
 
a. Sem reposição 
 
É quando não verificamos repetições de elementos na amostra, ou seja, cada elemento 
não pode ser escolhido mais de uma vez. 
 
b. Com reposição 
 
É quando verificamos repetições de elementos na amostra, ou seja, cada elemento pode 
ser escolhido mais de uma vez. 
 
1.2.5. Variáveis e dados 
 
Em qualquer estudo envolvendo indivíduos, objetos, fenômenos da natureza, etc., estamos 
interessados em algumas características dos mesmos, que chamamos de variáveis. Aos 
resultados possíveis dessas características chamamos de dados. 
Os dados relativos a unidades experimentais e a fenômenos químicos ou físicos são 
coletados diretamente pelo pesquisador, enquanto os dados relativos a indivíduos podem ser 
coletados tanto pelo pesquisador como através de declaração feita pelos próprios indivíduos. 
Um mesmo elemento pode fornecer diversos dados e os dados coletados se referem a 
determinadas variáveis. 
Ex .: Um pesquisador aplicou um questionário aos alunos do curso de Engenharia de 
Produção Mecânica da UFC. Selecionado alguns alunos ao acaso, obteve vários dados relativos à 
sexo, estado civil, idade, numero de vezes que vai ao cinema por semana,se fuma ou 
não,remuneração mensal, atividade física . (veja lista de exercícios), que constituem variáveis. 
De um modo geral, para cada elemento investigado, tem-se associado um resultado (ou 
mais de um resultado) correspondendo à realização de uma certa variável (ou variáveis). Na 
variável estado civil, por exemplo, para cada aluno temos associado solteiro, casado ou outros. 
 
1.2.6 Classificação das Variáveis 
 
Algumas variáveis como sexo, atividade física, fumar e estado civil, apresentam como 
possíveis realizações uma qualidade (ou atributo) do indivíduo pesquisado, ao passo que outras, 
como numero de vezes que vai ao cinema, idade, remuneração mensal apresentam como 
 
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possíveis realizações, números resultantes de uma contagem ou mensuração. As variáveis do 
primeiro tipo são chamadas qualitativas e as do segundo tipo são chamadas quantitativas. 
 
a. Qualitativas 
 
• Variáveis Qualitativas Nominais: quando o dado se apresenta sob o aspecto 
qualitativo. Ex.: Sexo, cor, estado civil, causa de morte, tipo de doença, 
profissão, etc. Observe que, quem é branco não é melhor do que quem é negro. 
 
• Variáveis Qualitativas Ordinais: quando os valores das variáveis são 
atribuídos para denotar uma ordenação natural. Ex.: Grau de instrução, status 
social, estágio de uma doença, patente militar, conceito escolar, cargo que 
ocupa na empresa, etc.Neste caso, quem tem uma graduação é muito melhor do 
que quem tem apenas o primeiro grau. 
 
b. Quantitativas 
 
• Variáveis Quantitativas Discretas: de uma maneira mais geral, são todas as 
variáveis numéricas cujos valores se obtém a partir de procedimento de contagem. 
Ex.: nº de pessoas numa família, nº de funcionários numa empresa, nº de alunos 
numa classe, etc. 
 
• Variáveis Quantitativas Contínuas: são as variáveis numéricas cujos valores são 
obtidos no procedimento de mensuração, de sorte que ao menos teoricamente os 
resultados das medidas são capazes de variações insensíveis ou contínuas. Ex.: 
peso, altura, temperatura, área, volume, densidade, salário, etc. 
 
 Resumindo a classificação das variáveis: Nominal 
 
 Qualitativa Ordinal 
 
 Variável Discreta 
 Quantitativa 
 Contínua 
 
 
1.3. FASES DO METODO ESTATÍSTICO 
 
Quando se pretende empreender um estudo estatístico completo, existem diversas fases 
do trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar aos resultados finais do estudo. Essas 
etapas são chamadas fases do trabalho estatístico e podemos definí-la como sendo um processo 
utilizado para coletar, apresentar, descrever, interpretar e até mesmo prever os aspectos 
quantitativos dos fenômenos analisados, desde que eles possam conseguir a forma de contagem 
ou medida. 
As fases principais são: definição do problema, planejamento, coleta de dados, 
apresentação dos dados, análise e interpretação dos dados. 
Saber exatamente aquilo que se pretende estudar é o mesmo que definir corretamente o 
problema. O pesquisador deve realizar uma revisão bibliográfica sobre o assunto a fim de 
subsidiá-lo no estudo. 
 
 
 
 
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Planejamento 
 
Consiste em determinar o procedimento necessário para resolver o problema. Como 
levantar as informações? Que dados deverão ser obtidos? Como se deve obtê-los? 
 
Coleta de Dados 
 
Refere-se à obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com um objetivo 
determinado. Existem dois tipos de Dados, os Dados Primários ou Diretos, que são dados 
obtidos diretamente pelo pesquisador, na fonte originária e os Dados Secundários ou Indiretos, 
aqueles obtidos em instituições que já os coletou. Ex.: Quando o IBGE faz o levantamento 
(censo) da população brasileira, normalmente se utiliza do processo de obtenção primário. Caso 
queira, com base nos dados obtidos nos censos anteriores, projetar esta mesma população para 
anos seguintes, estará utilizando o processo secundário, pois os dados já foram obtidos 
anteriormente. 
 
Apresentação dos Dados 
 
Após a coleta dos dados, torna-se necessária sua apuração, ou contagem, denominando-a 
tabulação. Há duas formas de apresentação dos dados, a apresentação tabular, uma apresentação 
numérica dos dados. Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo 
ordenado, segundo regras adotadas pelos diversos sistemas estatísticos, e a apresentação gráfica, 
que permite ao analista obter uma visão rápida, fácil e clara do fenômeno estudado. 
 
Análise e Interpretação dos Dados 
 
De todas as fases MétodoEstatístico, esta é a que apresenta maiores dificuldades. Isto 
porque todo trabalho efetuado até o momento deixará de ter o valor devido, se a conclusão não 
estiver coerente. 
 A análise dos dados está ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade 
principal é descrever o fenômeno. O significado exato de cada um dos valores, obtidos através 
do cálculo das várias medidas estatísticas disponíveis, deve ser bem interpretado. 
Não existe, portanto, um critério a ser usado nesta fase. Exige, sim, que o analisador 
tenha muita sensibilidade com os dados que ora estão sendo manipulados. Muitas vezes, alguma 
prática lhe é indispensável. 
 
1.4. SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
Coletados os dados, não é conveniente apresentá-los para análise sob a forma a que se 
chegou pela simples apuração. Na maioria das vezes, o conjunto de valores é extenso e 
desorganizado, e seu exame requer maior atenção. 
Resumindo, pois, os valores estão organizados em tabelas, consegue-se apresentá-los e 
descrever-lhes com mais eficiência. Essa condensação dos valores permite ainda a utilização de 
representação gráfica que normalmente representa uma forma mais útil e elegante de 
apresentação da característica analisada. 
Uma série estatística define-se como toda e qualquer coleção de dados estatísticos 
referidos a uma mesma ordem de classificação quantitativa. 
Para diferenciar uma série estatística de outra, há de se levar em conta, os três caracteres 
presentes na tabela que ela se apresenta: fenômeno, local e época. 
 
- Fenômeno: é o fato que foi investigado e cujos valores numéricos estão sendo 
apresentados na tabela. 
 
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- Local : é o espaço geográfico onde o fenômeno ocorreu. 
- Época : tempo em que o fenômeno foi analisado. 
As séries estatísticas podem ser de quatro tipos, conforme a variação de um desses 
caracteres ou fatores. Vejamos, então, esses tipos: 
 
1.4.1 Série Temporal 
 
 A variável é o tempo, permanecendo fixos o local e o fenômeno estudado. 
 
Exemplo 1: 
GL.T. S.A. – INDUSTRIA DE COMPONENTES ELETRÔNICOS 
Vendas – Mercado Interno – Janeiro a Junho 2002 
Meses Vendas (R$) 
Janeiro 2300 
Fevereiro 1800 
Março 2200 
Abril 2210 
Maio 2360 
Junho 2600 
 Fonte:Departamento de Analise de Mercado 
 
Exemplo 2: 
BRASIL – RENDA PER CAPTA ANUAL – 2000/2003 
Ano Renda (R$) 
2000 3.480,31 
2001 5.180,03 
2002 5.986,97 
2003 6.307,55 
 Fonte:IBGE 
 
1.4.2 Série Geográfica 
 
 A variável é o local, permanecendo fixos o tempo e o fenômeno. 
 
Exemplo 3 : 
G.L.T S.A. – INDUSTRIA DE COMPONENTES ELETRÔNICOS 
Vendas por Unidade da Federação – 2002 
Cidade Vendas (R$) 
Minas Gerais 4.000 
Paraná 2.230 
Rio Grande do Sul 6.470 
Rio de Janeiro 8.300 
São Paulo 10.090 
Outros 420 
Total 31.510 
 Fonte: Departamento de Analise de Mercado 
 
 
1.4.3 Série Específica 
 
A ocorrência do fenômeno é variável, permanecendo fixos o local e o tempo. 
 
 
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Exemplo 4: 
G.L.T S.A. - INDUSTRIA DE COMPONENTES ELETRONICOS 
Vendas por linha de produto - 2002 
Linha do produto Vendas (R$) 
A 6.450 
B 9.310 
C 15.750 
D 16.100 
Todos os produtos 47.610 
Fonte: Departamento de Analise de Mercado 
 
1.4.4 Distribuição de Freqüência 
 
Na distribuição de freqüência, os dados são ordenados segundo a magnitude, em classes, 
permanecendo constantes o fato, o local e o tempo. 
 
Exemplo 5: 
Numero de Empregados das Varias Classes de Salários 
No Estado de São Paulo – 2001 
Classe de salário (R$) Nº de empregados 
1–|2 41.326 
2–|3 123.236 
3–|4 428.904 
4–|5 324.437 
5–|6 787.304 
6–|7 266.002 
7–|8 102.375 
8–|9 56.170 
9–|10 103.788 
Total 2.233.542 
Fonte: Serviço de Estatística da Previdência e Trabalho 
 
OBSERVAÇÃO: É comum haver necessidade de apresentar, em uma única tabela, mais do que 
uma série, surgindo as chamadas séries mistas ou conjugadas. Dessa forma, podemos encontrar 
séries: temporal-específica, temporal-geográfica, específico-geográfica e temporal-específica-
geográfica. 
 
Exemplo 6: 
EMPRESA DE CONTRUCAO CIVIL 
Trabalhadores contratados divididos por ano. 
Situação 2003 2004 
Trabalhadores assalariados 160 140 
Trabalhadores horistas 40 80 
Totais 200 220 
Fonte:Dados Hipotéticos 
 
 
1.5 ELABORAÇÃO DE TABELAS ESTATÍSTICAS 
 
As séries estatísticas surgem quando os dados são apresentados em quadros especiais, 
denominados de Tabelas. A finalidade da tabela é poder apresentar os dados de modo ordenado, 
 
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simples e de fácil percepção. Dessa forma a tabela deve ser construída de modo a fornecer o 
máximo de esclarecimento com um mínimo de espaço. 
 
 
1.5.1 Elementos Fundamentais de uma Tabela Estatística 
 
a. Título 
 
A parte superior da tabela destina-se à indicação do título, que deve informar o fenômeno 
que está sendo apresentado. O título deve responder às perguntas: O quê? Onde? Quando? Tais 
perguntas correspondem respectivamente, ao fenômeno, ao local e à época. 
 
b. Corpo 
 
No corpo da tabela encontramos as seguintes zonas: Designativa, Indicativa e 
Enumerativa. 
 
- A Zona Designativa está colocada logo abaixo do título e compreende o chamado 
cabeçalho, observando-se que nessa zona são colocados os diversos informes referentes ao 
conteúdo de cada coluna. 
- A Zona Indicativa situa-se ao lado esquerdo, servindo para a colocação vertical de valores 
ou nomes que especificam o conteúdo das linhas. 
- As Zonas Enumerativas são as expressões numéricas do fato estudado, compondo-se de 
colunas, linhas e células ou casas. 
 
 Coluna : é uma série vertical de informação. 
 Linha : é uma série horizontal de informação. 
 
 A interseção de uma linha com uma coluna corresponde a uma célula ou casa. 
 
c. Fonte 
 
Indicação da entidade responsável pelo fornecimento do dado ou pela sua elaboração. 
Deve ser sempre citada no rodapé, exceto quando se tratam de dados obtidos pelo autor do 
trabalho. 
 
1.5.2 Elementos Complementares 
 
a. Notas 
 
São informações suplementares destinadas a conceituar ou esclarecer o conteúdo das 
tabelas ou indicar a metodologia adotada no levantamento ou na elaboração dos dados. 
 
b. Chamadas 
 
São informações de natureza específica sobre determinada parte da tabela, destinadas a 
conceituar ou esclarecer dados. Devem obedecer a uma ordem de sucessão. 
 
 
 
 
 
 
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Organização da Tabela: 
 
Título 
Subtítulo 
 → Zona designativa ou cabeçalho 
Zona 
 Indicativa 
Zona 
Enumerativa 
 
 
Fonte: 
 Notas e Chamadas Rodapé 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1. Os dados devem ser organizados segundo a ordem cronológica, geográfica, alfabética 
ou de acordo com a magnitude. 
2. As unidades devem ser expressas claramente, usando-se as convenções apropriadas. 
3. As tabelas devem ser fechadas acima e abaixo, nunca nas laterais. 
4. Quando a tabela ocupar mais de uma página, não existirá o fechamento abaixo, e sim 
a palavra "continua", sendo repetido o cabeçalho na página seguinte, com o título e a 
palavra "continuação". 
5. Nenhuma célula deverá ficar em branco, apresentando sempre um número ou um 
sinal convencional. 
 
1.5.3 Sinais Convencionais: 
 
- (traço): quando o dado inexistir. 
... (três pontos): quando não se dispuser da informação, muito embora ela possa ser 
quantificada. 
0 (zero): quando o valor numérico é muito pequeno para ser expresso na unidade adotada. 
 
1.6 APRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
"Os gráficos possuem efeito mágico. O perfil de uma curva revela, num golpe de vista, a 
situação toda - a história de uma epidemia, o pânico, uma era de prosperidade ou uma era de 
miséria. O gráfico informa,desperta a imaginação, convence. Sendo uma linguagem 
internacional, os gráficos transmitem a informação à mente, de forma direta". 
 
Principais utilidades dos gráficos: 
 
- Necessidades de apuração da tendência dos dados; 
- Importância de apuração de correlação; 
- Destaque para alguns dados expressivos; 
- Ênfase às diferenças entre alguns valores; 
- Melhor entendimento da magnitude, mediante escala visual; 
- Apresentação simplificada de dados complexos. 
 
Todo gráfico, para alcançar seu objetivo, deve ter: simplicidade, clareza e veracidade. 
Os elementos essenciais dos gráficos são o título e a fonte, de acordo com as séries que 
estão representando. 
Em alguns casos haverá necessidade de uma legenda, que serve para diferenciar as 
informações usadas no gráfico. 
 
 
14 
 
Os gráficos mais importantes são: 
 
I. Diagramas: 
a. Por ponto; 
b. Por linha; 
c. Por superfície: 
i. Barras verticais, horizontais ou compostas; 
ii. Setor; 
iii. Polar; 
iv. Faixas; 
v. Histograma. 
II. Pictograma; 
III. Estereograma; 
IV. Cartograma; 
V. Organograma; 
VI. Fluxograma. 
 
1.6.1 Diagramas 
 
Os diagramas são gráficos de análise, pois são mais rigorosos e exatos. 
 
a. Diagrama por ponto: é feito nos eixos cartesianos, onde representamos as 
informações nas duas ordenadas. É usado para visualizar o comportamento 
dos dados. 
 
 
 
b. Diagrama por linha: depois de feito o diagrama por pontos, unimos os 
pontos formando uma linha. Usamos quando desejamos dar a idéia da 
evolução do fenômeno. 
 
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6
T
em
p
er
at
u
ra
 (º
F
)
Nº de Lançamentos
Temperaturas das junções dos anéis para cada lançamento real ou de teste para 
um motor de um foguete espacial
 
15 
 
 
 
 
c. Diagrama por superfície : quando os dados são representados por meio de 
área. 
i. Gráfico de barras vertical, compostas ou horizontal : as 
informações são representadas nos eixos cartesianos por retângulo 
horizontal (barras) ou vertical (colunas). As barras só diferem em 
comprimento, e não em largura, a qual é arbitrária. As barras ou 
colunas devem vir separadas uma das outras pelo mesmo espaço. 
Como regra prática, pode-se tomar o espaço entre as barras como 
aproximadamente a metade ou dois terços de suas larguras. As 
barras devem ser desenhadas observando sua ordem de grandeza, 
para facilitar a leitura e análise comparativa dos dados. Já o gráfico 
de barras compostas difere do gráfico do barras convencional apenas 
pelo fato de apresentas cada barra segmentada em partes 
componentes. É utilizado para representar séries específicas (barras), 
séries temporais (colunas) e séries mistas (barras compostas ou 
colunas compostas). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
1 2 3 4 5
D
iâ
m
et
ro
 
m
éd
io
 
(cm
)
Tempo (horas)
Análise do diâmetro medio de anéis para pistao de motores 
automotivos em função do tempo 
 
16 
 
Ex.: 1) Colunas 
 
 
 
2) Barras 
 
 
 
 
 
 
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5
T
em
p
er
at
u
ra
 (º
F
)
Nº de Lançamentos
Temperaturas das junções dos anéis para cada lançamento real ou de teste para 
um motor de um foguete espacial
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
1
2
3
4
5
Diâmetro médio (cm)
Te
m
po
 
(h
o
ra
s)
Análise do diâmetro medio de anéis para pistao de motores 
automotivos em função do tempo 
 
17 
 
3) Barras compostas 
 
 
ii. Gráfico em setores: são usados para representar valores absolutos 
ou porcentagens complementares. O gráfico em setores deve ser 
evitado para representar numerosas parcelas, por dividir o círculo 
em muitos setores. O comprimento do raio não tem nenhuma 
interpretação. As porcentagens poderão ser colocadas dentro de cada 
setor. É utilizado quando desejamos ressaltar as partes de um todo. 
 
 
 
iii. Gráfico polar: os dados são representados em um círculo que deve 
ser dividido em partes iguais, dependendo do número de valores a 
serem representados. Cada valor será representado em um dos raios, 
na mesma ordem, e cada raio é um eixo orientado, cuja origem é o 
centro do círculo. Após a marcação dos pontos, liga-se através de 
0 100 200 300 400
França
Portugal
Itália
Espanha
Chile
Argentina
Dados Fictícios
Pa
ís
es
Importação Brasileira De Vinho e Champagne provenientes de 
varias origens -- 2002 (R$)
Vinho
Champagne
Sem defeito
99%
Com defeito
1%
Número médio de defeitos de um chip da empresa 
X durante os anos de 2000 a 2004
 
18 
 
semi-retas, formando uma curva. É utilizado quando queremos dar a 
idéia sobre a evolução de um fenômeno, principalmente para dados 
relativos à fenômenos da natureza: temperatura, precipitação 
pluviométrica, etc. 
 
 
iv. Faixas: São gráfico lineares, equivalentes em uso aos gráficos em 
barras compostas. É um instrumento útil para a apresentação da 
produção acumulada, porcentagens complementares, da mesma 
forma como acontece com os gráficos em colunas. 
 
 
 
0
10
20
30
J
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Temperaturas Médias Mensais Registradas da Região 
x
23º=Temperatura 
Média Mensal
Diesel
Gasolina
0
100
200
300
400
500
600
Ano 1999 Ano 2000 Ano 2001 Ano 2002 Ano 2003
Produção Brasileira de Caminòes Pesados no 
Periodo de 1999 a 2003
 
19 
 
v. Histograma: é utilizado para representar a distribuição de 
freqüência. (Será usado no capítulo seguinte). 
 
 
 
1.6.2 Pictograma: usam-se desenhos de pessoas, produtos, etc., em geral alusivos à variável 
em questão. 
 
 
 Telefones portáteis vendidos no Brasil -- 2002 - 2004 
 
 2002 
 =1000 celulares 
 2003 
 
 
 2004 
 
 
 
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
40--|43 43--|46 46--|49 49--|52 52--|55 55--|58 58--|61
Porcentagem 
Vida em Km
Investigação da vida de um pneu em relação a um 
novo componente da borracha
 
1.6.3 Estereograma: são gráficos desenhados em três dimensões.
 
 
 
1.6.4 Cartograma: é a representação de um fenômeno com o auxílio do mapa geográfico em 
estudo. Sua utilidade é limitada à representação simplificada dos dados geográficos.
 
 
Área com Pastagem no 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
Impressora A
Impressora B
Desempenho na Impresão de Impressoras
20 
: são gráficos desenhados em três dimensões. 
: é a representação de um fenômeno com o auxílio do mapa geográfico em 
estudo. Sua utilidade é limitada à representação simplificada dos dados geográficos.
Área com Pastagem no Mato Grosso do Sul,2002 
 
1.000 HECTARES
 
 
 Até 200 
 
 Mais de 200 a 400
 
 Mais de 400 a 600
 
 Mais de 600 a 800
 
 Mais de 800 a 1.000
 
 Mais de 1.000 a 1.200
 
 Mais de 1.200 
 
Impressora B
Impressora C
Impressora D
Desempenho na Impresão de Impressoras
 
 
: é a representação de um fenômeno com o auxílio do mapa geográfico em 
estudo. Sua utilidade é limitada à representação simplificada dos dados geográficos. 
1.000 HECTARES 
Mais de 200 a 400 
Mais de 400 a 600 
Mais de 600 a 800 
Mais de 800 a 1.000 
Mais de 1.000 a 1.200S…
 
21 
 
1.6.5 Organograma: representa distribuições de funções de uma empresa. É formado por 
retângulos que devem ser colocados num mesmo nível horizontal para representar o 
mesmo nível hierárquico. 
 
 
Distribuição das funções da Empresa X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 * -Algo emergencial, que não estava previsto. 
 
 
 
1.6.6 Fluxograma: é um esquema para descrever o andamento de ordem de uma linha de 
montagem, para descrever a ordem de um programa de computador etc. 
 
 Controle de Falhas no Processo 
 
 
 
 
 
 
 Se a média cair dentro Se a média ultrapassar o 
 Do limite de controle limite de controle 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abrir Nova Filial AD-HOC * Relatório Anual de 
Evolução das Vendas 
2. Di
Gerência Intermediária 
Aumentar a 
Produção em 6% 
Ranking dos 
Vendedores 
Mão-de-Obra 
Catálogo de 
Produtos 
Fazer “Hora Extra” 
Inspeciona-se uma 
amostra de n itens 
Calcula-se a Média a 
cada Intervalo de Tempo 
Para-se a produção para 
verificação 
Continua-se a produção 
normalmente 
 
22 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Nos exemplos seguintes diga quem é a população e a amostra: 
a. Exame do tipo sanguíneo de um indivíduo. 
b. Pesquisa eleitoral em Fortaleza. 
c. Estado de conservação dos aparelhos telefônicos de uma empresa. 
2. Classifique as variáveis abaixo em qualitativas nominal ou ordinal e quantitativas 
discretas ou contínuas: 
a. Funcionários de uma indústria em Fortaleza. 
Salário 
Classificação dos funcionários por tempo na empresa 
Estado civil 
Nº de funcionários que recebem adicional de salubridade 
b. Alunos do curso de Engenharia Elétrica na UFC, 2005.1 
Nº de alunos matriculados: 
Classificação do aluno no vestibular: 
Disciplina cursada pelo aluno nesse semestre: 
Renda familiar: 
c. Computadores ligados à Internet no Ceará 2004. 
Custo das instalações : 
Nº de usuários : 
Marca dos computadores : 
Ordem de inscrição na rede : 
3. O que caracteriza uma série do tipo: 
a. Temporal? 
b. Temporal-Específica? 
c. Geográfica? 
d. Específica-Geográfica? 
 
 
 
 
 
 
23 
 
4. Nas tabelas abaixo, classifique as séries e faça os gráficos convenientes. 
 
a. Tabela 1: GL.T. S.A. – INDUSTRIA DE COMPONENTES ELETRÔNICOS: Vendas – 
Mercado Interno – Janeiro a Junho 2002 
Meses Vendas (R$) 
Janeiro 2300 
Fevereiro 1800 
Março 2200 
Abril 2210 
Maio 2360 
Junho 2600 
 Fonte:Departamento de Analise de Mercado 
 
b. Tabela 2: Numero de Empregados das Varias Classes de Salários: No Estado de São Paulo – 
2001 
Classe de salário (R$) Nº de empregados 
1–|2 41.326 
2–|3 123.236 
3–|4 428.904 
4–|5 324.437 
5–|6 787.304 
6–|7 266.002 
7–|8 102.375 
8–|9 56.170 
9–|10 103.788 
Total 2.233.542 
Fonte: Serviço de Estatística da Previdência e Trabalho 
 
 
c. Tabela 3: EMPRESA DE CONTRUCAO CIVIL: Trabalhadores contratados divididos por 
ano. 
Situação 2003 2004 
Trabalhadores assalariados 160 140 
Trabalhadores horistas 40 80 
Totais 200 220 
Fonte:Dados Hipotéticos 
 
 
d. Tabela 4: BRASIL – RENDA PER CAPTA ANUAL – 2000/2003 
Ano Renda (R$) 
2000 3.480,31 
2001 5.180,03 
2002 5.986,97 
2003 6.307,55 
 Fonte:IBGE 
 
 
 
 
 
24 
 
2. MEDIDAS ASSOCIADAS ÀS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 
 
 
 
 
 
 
2.1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 Nas aulas anteriores vimos que a redução dos dados através de tabelas e gráficos nos 
fornece muito mais informações sobre o comportamento de uma variável do que a própria série 
original dos dados. É muito comum que se façam suposições ou que se estabeleçam hipóteses a 
serem confirmadas pelas observações feitas nas tabelas ou gráficos. Muitas vezes tiramos 
conclusões erradas apenas com uma análise superficial dos dados. Contudo, queremos resumir 
ainda mais esses dados, apresentando um ou alguns valores que sejam “representativos” da série 
toda. Porém, quando usamos um só valor, obtemos uma redução drástica dos dados. 
 De modo geral, as perguntas mais usuais e importantes que são feitas, relativas à 
população, são as seguintes: onde é, ou está, o centro da distribuição? Como se distribuem 
os valores em torno desse centro? Como é a forma da distribuição? Se houver duas ou mais 
variáveis, como elas se relacionam e qual a intensidade dessa relação? 
 Para ressaltar as tendências características de um conjunto de dados, ou de uma 
distribuição de frequências, isoladamente ou em confronto com outros conjuntos ou outras 
distribuições, necessitamos introduzir conceitos que se expressem através de números que 
constituem uma forma de traduzir estas tendências. Estes conceitos classificam-se como: 
Medidas de Posição e Medidas de Dispersão. 
 
2.1.1 Medidas de Posição 
 
As Medidas de Posição são usadas para representar um conjunto de números, orientando-nos 
onde se localiza o centro da distribuição em relação ao eixo das abcissas. Em geral, os dados 
observados tendem a se agrupar em torno de valores centrais, assim são também conhecidas com 
Medidas de Tendência Central, e são as seguintes: A Média Aritimetica (X), Moda (Mo) e a Mediana 
(Md). Quando empregas sozinhas, essas medidas fornecem apenas uma visão incompleta de um 
conjunto de dados e, portanto, podem confundir ou distorcer tanto quanto esclarecer. 
 
2.1.2 Medidas de Dispersão 
 
 As Medidas de Dispersão medem o grau ao qual os dados numéricos tendem a dispersar-se 
em torno de um valor central. O cálculo de uma medida de tendência central só se justifica em razão 
da variabilidade presente nos dados. Não há razão para se calcular, por exemplo, a média aritmética 
de um conjunto de observações onde não há variação. Entretanto, se a variabilidade dos dados for 
muito grande, sua média terá um grau de confiabilidade tão pequeno, que será inútil calculá-la. As 
medidas de dispersão (ou variação) são as seguintes: Amplitude Total (At), Desvio Médio (DM), 
Variância (σ2 e s2 ), Desvio Padrão (σ ou s) e Coeficiente de variação (C.V.) 
 
2.2 ANÁLISE DE PEQUENOS CONJUNTOS DE DADOS 
 
 Um conjunto de dados pode receber tratamentos diferentes, caso ele seja considerado um 
"pequeno" ou um "grande" conjunto de dados. Considera-se um pequeno conjunto de dados aquele 
para o qual não são necessários métodos que exijam primeiramente o grupamento dos dados. 
 Como já foi informado anteriormente, a finalidade principal das medidas de tendência central 
é a de informar sobre onde se localiza o centro da distribuição. O seu cálculo é um dado 
 
25 
 
importante para o estabelecimento de um esquema de trabalho, para a efetivação de uma compra, 
para a avaliação de um projeto ou de um produto qualquer etc. 
 
2.2.1 Medidas de Posição 
 
2.2.1.1 Média Aritmética 
 
A média aritmética é a medida de tendência central mais comumente usada, cujo cálculo é 
dado pela soma das observações dividida pelo númerodelas, e é representada pelo símbolo �� e seu 
cálculo pode expressar-se pela seguinte notação: 
 
�� = �� + �� + ⋯ + �	
 = � ��
	�
� 
 
Onde, ��: média (lê-se “xis-barra”) Σ: soma (expressa pela letra grega maiúscula “sigma”) ��: qualquer escore bruto do conjunto ( isto é, a própria variável) 
: total de escores do conjunto 
 
Exemplo: Sejam as idades de seis pessoa que moram em uma casa 19, 21, 25, 29, 23, 27 anos. 
A idade média dessas pessoas é 
�� = � ��6��
� = 19 + 21 + 25 + 29 + 23 + 276 = 24 
 
Propiedades da Média: 
 
1- A média de um conjunto de dados pode sempre ser calculada. 
 
2- Para um dado conjunto de valores, a média é única. 
 
3- A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula, isto é: 
���� − ���	�
� = 0 
 
4- A média é sensível a todos os valores do conjunto. 
 
5- Seja �� a média de �� , ��, . . . , �	. Somando-se ou subtraindo-se uma constante � a cada valor de 
um conjunto de valores, a média do conjunto fica somada ou diminuída desta constante. 
Seja �� ± �, �� ± �, . . . , �	 ± � um novo conjunto, cuja média seria dada por: ��! = �� + � =�	 ∑ ��� ± ��	�
� . De modo análogo, multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de um conjunto 
por uma constante �, então a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por esta constante. 
Seja outro conjunto dado por ��� , ���, . . . , ��	. Sua média aritmética seria, ��!! = 1
 � ����	�
� = ���
 
 
 
 
26 
 
 
2.2.1.2 Moda (Mo) 
 
Denotamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores, se é que 
existe algum valor. Em alguns casos pode haver mais de uma moda, ou seja, a distribuição de valores 
pede ser bimodal ou trimodal etc. 
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, ou 
seja, é o salário percebido pelo maior número de empregados desta indústria. 
 
Exemplos: 
 
1) Comprimentos de doze semicondutores (cm): 
 7, 8, 10, 12, 13, 10, 15, 10, 9, 11, 8, 7 ⇒ Mo = 10 cm ⇒ Unimoadal 
 
2) Peso de placaa para micros (g): 
 500, 625, 430, 610, 600 ⇒ Amodal 
 
3) Diâmetro de oito bastões de alumínio: 
 12, 14, 11, 11, 16, 15, 17, 13 ⇒ Bimodal 
 
2.2.1.3 Mediana (Md) 
 
A mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor 
situado de tal forma no conjunto, que à sua esquerda e à sua direita há sempre a mesma quantidade de 
elementos, ou seja, a mediana corresponde ao valor central da distribuição. 
Portanto, a mediana é considerada a medida de tendência central que corta a distribuicao em 
duas partes iguais. 
Se estivermos diante de uma distribuição com numero ímpar de dados, a mediana sera o dado 
que cai exatamente no meio da distribuição. A posição do valor mediano pode ser determinada pelo 
exame dos dados ou pela fórmula: 
 #$ = % + 12 
 
Assim, 16 é o valor mediano na distribuição ordenada 11, 12, 13, 16, 17, 20, 25. 
De acordo com a formula, (7+1) / 2, vemos que a mediana, 16, é o quarto valor da distribuição 
independente do lado por onde se inicie a contagem. 
 Se o número de dados for par, a mediana será sempre aquele ponto da distribuição que 
antecedido e precedido por igual numero de dados. Para uma distribuição par de dados, sempre há 
dois valores considerados centrais. Inlustrando: os números 16 e 17 representam os dados centrais na 
seguinte distribuição : 11, 12, 13, 16, 17, 20, 25, 26. Pela fórmula, (8+1) / 2 = 4,5 o que significa que 
a mediana vai cair entre o quarto e o quinto valor. 
 
 
Quadro Resumo: 
 
 M E D I D A S 
ESPECIFICAÇÃO MÉDIA ARITMÉTICA MODA MEDIANA 
 
DEFINIÇÃO �� = � ��
	�
� 
 
 
- Valor mais freqüente 
- Divide o conjunto 
ordenado em duas partes 
com o mesmo número de 
elementos. 
 
27 
 
 
 
 
EMPREGO 
- desejamos obter uma 
medida que possui 
maior estabilidade. 
- houver necessidade de 
tratamento algébrico 
ulterior. 
- desejamos obter uma 
medida rápida e 
aproximada. 
- quando o valor mais 
típico da distribuição é 
procurado. 
- deseja-se obter o ponto 
que divide a série em 
partes iguais. 
- quando há valores 
extremos que afetam 
acentuadamente a média. 
 
VANTAGENS 
- reflete cada valor. 
- possui propriedades 
matemáticas atraentes. 
- valor "típico": maior 
quantidade de valores 
concentrado neste 
ponto. 
- menos sensível a valores 
extremos do que a média. 
 
 
LIMITAÇÕES 
- É influenciada por 
valores extremos. 
- Não se presta a análise 
matemática. 
- pode não haver moda 
para certos conj. de 
dados. 
- difícil de determinar para 
grandes conjuntos de 
dados. 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
1. Calcule a média, moda e mediana para cada uma das séries abaixo: 
 
a. Sete empregados horistas numa companhia de porte médio ganham 153, 136, 153, 68, 
17, 102, 51 (R$). 
 
b. Itensidade solar direta (watts/m2 ), em dias diferentes, em uma localização no sul do 
Brasil: 2, 5, -4, 3, 1, 6. 
 
c. O pH de uma solução é medido oito vezes por um mesmo instrumento, que obtem os 
seguintes dados : 7,15; 7,20; 7,18; 7,19; 7,21; 7,20; 7,16; 7,18. 
 
2. Responda: 
 
a. Se o salário médio de 10 funcionários é de R$ 800,00, e se um aumento de R$ 80,00 
for concedido a cada um dos 10 funcionários, então o novo salário médio 
será:___________________. 
 
b. O salário de 5 estagiários de engenraria elétrica em uma empresa governamental está 
descrito a seguir: (R$) : 170; 150; 170; 170; 180. Temos x = R$ ______________. Após 3 
meses de estágio, o salário de cada um dos 5 estagiários será duplicado. 
Então, o novo salário médio será y = R$ _________________. 
 
c. O que ocorreria com o salário mediano acima encontrado se fosse duplicado o menor 
salário observado? 
d. O salário médio de 20 estatísticos de uma empresa, no último mês, foi de R$ 2.500,00. 
Se for feita uma redução de 20% no salário de cada profissional desta empresa, como ficaria o 
salário médio? E o salário mediano? E o salário modal? 
 
 
3. Os dados a seguir correspondem ás temperaturas (graus F) das junções dos anéis para 
cada lançamento de um motor de um foguete espacial, ordenados em ordem crescente: 
 
28 
 
 
º F 44,00 49,00 61,00 63,00 67,00 71,00 75,00 77,00 80,00 
 
º F 84,00 89,00 89,00 91,00 95,00 102,00 
 
a. Determine: média aritmética, moda e mediana. 
b. Qual medida de tendência central você utilizaria para representar a temperatura "típica" 
das junções dos anéis? 
 
 
4. Para um projeto de ampliação de rede de esgoto de u7ma certa região, as altoridades 
tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 quarteiros que compõe a região, e foram 
encontrados os seguintes números de casas por quarteirão. Estime o centro da 
distribuição pela média, mediana e moda. 
 
 2 2 3 10 13 14 15 15 16 16 
 18 18 20 21 22 22 23 24 25 25 
 26 27 29 29 30 32 36 42 44 45 
 45 46 48 52 58 59 61 61 61 65 
 66 66 68 75 78 80 89 90 92 97 
 
 
 Estime o centro da distribuição pela média, mediana e moda. 
 
5. Suponha que a variavel de interesse tenha a distribuição como na figura abaixo. 
 
 
 
Você acha que a média e uma boa medida de posição? E a mediana? Justifique. 
 
2.3 MEDIDAS DE VARIABILIDADE 
 
Vimos que a moda, a mediana e a media podiam ser usadas para resumir, num único 
numero, aquilo que é médio ou “típico” numa distribuição. Quando empregada sozinha, 
entretanto, qualquermedida de tendência central fornece apenas uma visão imcompleta de um 
conjunto de dadose ,portanto pode confundir ou distorcer, tanto quanto esclarecer. 
Com vistas a ilustrar essa situação, admitam que no Havaí, por eexemplo, e Texas tenham 
quase a mesma temperatuta media diária de 20º C. Será que, por isso, podemos admitir que a 
temperatura é basicamente a mesma em ambas as localidades? 
 Dados colhidos mostram as temperaturas das cidades de Janeiro a Maio: 
 Havaí : 18,9º, 20,0º, 20,2º, 20,4º, 20,5º 
 Texas : 15,3º,16,2º, 16,9º, 25,5º, 26,1º. 
Desnecessario dizer que as praias do Texas não estão apinhadas de gente durante esse período. 
Tal fato demostra que necessitamos, alem de uma medida de tendência central,de um índice que 
indique o grau de dispersão dos escores brutos em trono do centro da distribuição (em torno da 
media). Voltando ao exemplo anterior, poderíamos dizer que as temperatura no Texas tem uma 
maior variabilidade do que no Havaí. 
 
29 
 
 
2.3.1 Amplitude Total (At) 
 
 É a medida mais simples de variação que temos e é obtida tomando-se a diferença entre o 
maior e o menor dos valores da série. Indicaremos 
 &' = �()* − �(+, 
 
 Essa medida não é sempre confiável por envolver apenas 2 resultados, máximo e mínimo, 
nada informando sobre a distribuição dos dados intermediários, o que poderia conduzir o analista a 
interpretações equivocadas. Muitas vezes, um valor particularmente anormal poderá afetar de 
maneira acentuada essa medida. 
Exemplo: A &' = 98 no seguinte conjunto de dados: 2,6,7,7,10,12,13,100; entretanto, a &' = 12 
neste outro conjunto: 2,6,7,7,10,12,13,14. Portanto pela simples troca de um único valor (14 em lugar 
de 100), fizemos com que a amplitude total flutuasse bruscamente de 98 para 12. Assim, ela não 
fornece uma ideia precisa da variabilidade. 
 
2.3.2 Desvio Médio (DM) 
 
 O desvio médio (DM) é baseado na diferença entre cada valor do conjunto de dados e a média 
desse conjunto. Para a variável X, nota de um aluno do curso de cálculo III : 3,4,5,6,7. Com média 
igual a 5, os desvios $� = �� − �� são: 
 
d1 = -2 ; d2 = -1 ; d3 = 0 ; d4 = 1 ; d5 = 2. 
 
E para a nota de outros alunos: 
Y = 1, 3, 5, 7, 9. 
Z = 5, 5, 5, 5, 5. 
W = 3, 5, 5, 7. 
V = 3.5, 5, 6.5 
 
É fácil ver que para qualquer conjunto de dados,∑ $� = 0. Por essa razão, uma das soluções 
seria tomar as diferenças em valores absolutos e somá-las. Entretanto, o uso desses totais pode causar 
dificuldades quando comparamos conjuntos de dados com números diferentes de observações. 
Assim, exprimimos as medidas como a média, ou seja, 
 .# = ∑ |�� − ��|	�
� 
 
 
Para as variáveis X e W, temos: DM(X) = 6
5
 = 1,2 e DM(W) = 4
4
 = 1,0 
Então podemos dizer que segundo o desvio médio, o grupo D, referente à variável W, é mais 
homogêneo que o grupo A, referente à variável X. 
 
2.3.3 Variância (01 e 21) 
 
A variância (s2) , assim como o desvio médio (DM), mede também a concentração dos dados 
em torno de sua média. A diferença entre as duas medidas está no fato de que a variância considera 
as diferenças (ou desvios) elevadas ao quadrado, antes de serem somadas. 
Para uma população, a variância é representada pela letra grega minúscula σσσσ
2
 (ler "sigma 
quadrado" ou "sigma dois") sendo a fórmula, 
 
30 
 
3� = ∑ ��� − 4��,�
� % 
onde, ��: são os valores populacionais 4: média populacional 
N: tamanho populacional 
 
A variância para uma amostra não é, em termos computacionais, exatamente igual à variância 
da população. É introduzido um fator de correção nesta fórmula, de tal maneira que a variância 
amostral seja um estimador não tendencioso da variância populacional. Então, a variância amostral é 
representada por 5�, e sua fórmula é, 
 5� = ∑ ��� − ����	�
� 
 
 
Propiedades da Variância: 
 
i- Se somarmos (ou subtrairmos) uma mesma constante c a todos os valores do conjunto de dados, a 
variância ficará inalterada. 
 ��! = �� ± � → ��! = �� ± � 
 5!� = ∑ ���! − ��!��	�
� 
 = ∑ ��� + � − �� − ���	�
� 
 = 5� 
 
 
ii- Se multiplicarmos (ou dividirmos) cada valor do conjunto de dados por uma mesma constante c, 
a variância ficará multiplicada (ou dividida) pela constante ao quadrado (c2). 
 ��! = ��� → ��! = ��� 
 5!� = ∑ ���! − ��!��	�
� 
 = ∑ ���� − �����	�
� 
 = ��5� 
 
 
2.3.4 Desvio Padrão (S) 
 
Em geral, é difícil interpretar o significado do valor da variância, porque as unidades nas 
quais tal valor é expresso não são as mesmas das observações do conjunto de dados. Por esta razão, a 
raiz quadrada da variância, representada pela letra grega σ (para população) ou s (para amostra) é 
chamada de desvio padrão, é o que se utiliza com mais freqüência. As fórmulas são expostas abaixo: 
 
Desvio Padrão Populacional: 
 
3 = 7∑ ��� − 4��,�
� % 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Desvio Padrão Amostral: 
 
5 = 7∑ ��� − ����	�
�
 − 1 
 
 
 
O desvio padrão mede, então, a dispersão existente no conjunto de valores, em termos 
absolutos. 
 
Exemplo: 
Para as variáveis X e Y do exemplo anterior, temos: 
Variável X: Média = 5,0 ; Variância = 2,0 ; Desvio Padrão = 1,41 
Variável Y: Média = 5,0 ; Variância = 8,0 ; Desvio Padrão = 2,83 
 
Podemos, então, concluir que as notas estão mais homogêneas em X do que Y, ou seja, a 
média é mais representativa no primeiro grupo. 
Para determinadas classes de problemas, as medidas de dispersão relativa proporcianam uma 
avaliação mais apropiada do grau de dispersão da variável do que as de dispersão absoluta 
(Amplitude Total, Desvio Médio, Desvio Padrão e Variância). A dispersão relativa permite ainda 
comparar duas ou mais distribuições, mesmo que essas se refiram a diferentes fenômenos e sejam 
expressas em unidades de medidas distintas, gerando a medida chamada Coeficiente de Variação. 
 
2.3.5 Coeficiente de Variação de Pearson (CV) 
 
O Coeficiente de Variação (CV) é útil quando queremos verificar a variabilidade de um 
conjunto de dados ou comparar a variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados. Ele indica a 
magnitude relativa do desvio padrão quando comparado com as médias das distribuições das 
medidas. As fórmulas, portanto, são: 
 
Coeficiente de Variação Populacional, 
 89 = 34 
 
ou em termos percentuais 
 89 = 34 100%. 
 
Coeficiente de Variação Amostral, 
 89 = 5�� 
 
ou em termos percentuais 89 = 5�� 100% 
 
 
 
 
32 
 
Observe, então, que o coeficiente de variação mede a dispersão existente no conjunto de 
valores, em termos relativos, e sua condição de existência é que µ ou x sejam diferentes de zero. 
Uma alternativa para o caso de termos média igual a zero, é usarmos uma outra medida de dispersão 
relativa, o Coeficiente de Variação de Thorndike que é dado pela quantidade, 
 89; = 89 = 3#$ → 3#$ 100% 
 
Observação: Quanto mais próximo de zero está o coeficiente de variação de um conjunto de valores, 
mais homogeneidade existe neste conjunto, ou seja, a média encontrada é mais representativa. 
 
Exemplos: Para a variaval X, do exemplo inicial, temos: 
 �� = 5; 5� = 2 
então, 
 89 = √25 100% = 28,2% 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 
1. Calcule a amplitude total, o desvio médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de 
variação de pearson e de Thorndike para cada uma das séries abaixo: 
 
a. Sete empregados horistas numa companhia de porte médio ganham 153, 136, 153, 68, 17, 
102, 51 (R$). 
 
b. Itensidade solar direta (watts/m2 ), em dias diferentes, em uma localização no sul do Brasil: 
2, 5, -4, 3, 1, 6. 
 
c. O pH de uma solução é medido oito vezes por um mesmo instrumento, que obtem os 
seguintes dados : 7,15; 7,20; 7,18; 7,19; 7,21;7,20; 7,16; 7,18. 
 
2. Dados os conjuntos de números X= {10, 20, 30, 40, 50} e Z= {15, 25, 35, 45, 55}. Some e 
multiplique pela constante c=7, cada um dos conjuntos X e Z. (Comprove as propiedades da 
Variância). 
 
3. Suponha que em uma empresa fabricante de fios, queira-se estudar o tempo de resistência de 
um fio (à flexões repetidas), cuja média seja igual a 140min e o desvio padrão de 15min, e o 
tempo de resistência á tração cuja media seja de 18Kg, e desvio padrão de 0,730Kg. O novo 
fio apresenta maior dispersão de resistentencia à tração ou às flexões? 
 
4. Os dados abaixo referen-se às notas de seis alunos em duas avaliações. 
 
Avaliação 1 Avaliação 2 
5,9 5,9 
7,8 2,7 
6,8 6,9 
5,9 3,9 
7,2 7,2 
8,4 9,4 
 
33 
 
 
a. Em qual das duas avaliações ouve um maior rendimento? 
b. Em qual das duas avaliações ouve menor dispersão absoluta? E relativa? 
c. Em qual das duas avaliações a média e mais representativa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
3. MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 
(Continuação) 
 
 
 
 
 
 
3.1 ANALISE DE GRANDES CONJUNTOS DE DADOS 
 
Em sua forma não organizada, os dados estatísticos podem quase não ter sentido, ou seja, 
grandes quantidades de informações tendem a confundir, ao invés de esclarecer, simplesmente 
porque nossa mente não é capaz de abranger a variedade e os detalhes inerentes a um grande 
conjunto de dados. Ficamos simplesmente atolados em pequenos detalhes. 
Quando se estuda um fenômeno precisamos recolher fatos que pareçam relevantes em 
relação a alguma característica em comum de um conjunto de dados. Essa característica em 
comum, definida por variáveis, deve ter suas informações condensadas de modo que possamos 
interpretar seus resultados. 
Uma maneira de condensar essas informações é através de uma tabela, que concentra 
todos os dados em um pequeno espaço, sem que sejam perdidas informações relevantes destes. 
Essa tabela é chamada de distribuição de freqüências. 
 
3.1.1 Distribuição de frequência 
 
Em muitos casos, os valores apresentam muitas repetições. Esse fato irá sugerir, 
naturalmente, que se condensem todos os resultados em uma tabela, estabelecendo-se a 
correspondência entre o valor individual e o respectivo número de vezes que ele foi observado 
(freqüência desse valor). Essa tabela de freqüências proporciona uma apresentação esteticamente 
mais vantajosa dos dados, facilitando a verificação do comportamento do fenômeno. 
Normalmente ao nos depararmos com um conjunto de dados, especificamente numérico, 
devido à desorganização destes, não é possível tirarmos alguma conclusão. Esse conjunto de 
dados desorganizados é chamado de dados brutos, que se apresentam da maneira como foram 
coletados. Podemos, em princípio, organizá-los em uma certa ordem (crescente ou decrescente); 
essa forma ordenada é chamada de rol. Posteriormente chegaremos a uma forma mais 
condensada, chamada de distribuição de freqüências de dados quantitativos. 
 
3.1.2 Tipos de Frequência: 
 
Uma tabela de freqüências pode representar e caracterizar um dos seguintes tipos de 
freqüências: 
 
 1) Freqüência simples absoluta ( fi ); 
 2) Freqüência simples relativa ( fri ); 
 3) Freqüência acumulada crescente absoluta (Fci); 
 “abaixo de” 4) Freqüência acumulada crescente relativa (Fcri ); 
 5) Freqüência acumulada decrescente absulura (Fdi); 
 “acima de” 6) Freqüência acumulada decrescente relatativa (Fdri). 
 
 
 
 
35 
 
a. Freqüência simples absoluta (fi): 
 
A freqüência simples absoluta de um valor individual (ou de uma classe) é o número de 
observações correspondentes a esse valor (ou a essa classe). 
 
b. Freqüência simples relativa (fi): 
 
A freqüência relativa representa a proporção de observações de um valor individual (ou 
de uma classe) em relação ao número total de observações(ou seja, em porcentagem). Trata-se, 
portanto, de um número relativo. Para calcular a freqüência relativa basta dividir a freqüência 
absoluta do valor individual (ou da classe) pelo número total de observações. Temos, então: 
 >� = ?�
, 
 
onde n é o número total de observações ou tamanho da amostra. 
Desejando expressar o resultado em termos percentuais, multiplica-se o quociente obtido 
por 100. 
 >� = ?�
 100% 
 
 A soma das freqüências relativas de uma tabela de freqüências é sempre igual a 1 ou 
100%. 
 
c. Freqüência acumulada “Abaixo de”: 
 
A expressão "abaixo de" refere-se ao fato de que as freqüências a serem acumuladas 
correspondem aos valores menores ou anteriores ao valor (ou à classe) cuja freqüência 
acumulada se deseja obter, incluindo no cálculo a freqüência do valor (ou da classe). Toda vez 
que se procura saber quantas observações existem até um determinado valor individual (ou uma 
determinada classe), recorre-se à freqüência acumulada "abaixo de". Pode ser expressa em 
termos absolutos ou relativos (%). 
 
d. Freqüência acumulada “Acima de”: 
 
 A freqüência acumulada "acima de" de um valor individual (ou de uma classe) 
representa o número de observações existentes além do valor ou da classe, incluindo no cálculo, 
as observações correspondentes a esse valor ou a essa classe. Para se obter a freqüência 
acumulada "acima de" basta somar à freqüência do valor individual (ou da classe) as freqüências 
dos valores individuais (ou das classes) posteriores. 
 
Exemplo: Distribuição de freqüências simples: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
TABELA:Numero diário de maquinas que apresentam defeito no primeiro mês de 
funcionamento da empresa gama – Janeiro de 2004. 
 
Nº de máquinas 
com defeito Frequência (fi) Percentagem (fri) Fci Fcri Fdi Fdri 
1 2 6,67 2 6,67 30 100,00 
2 2 6,67 4 13,34 28 93,33 
3 5 16,67 9 30,01 26 86,66 
4 10 33,33 19 63,34 21 69,99 
5 6 20,00 25 83,34 11 36,66 
6 5 16,66 30 100,00 5 16,66 
Total 30 100,00 
Fonte : Dados fictícios 
 
3.1.3 Medidas de Posição e Dispersão para dados não agrupados. 
 
Podemos, em uma distribuição de freqüências simples, efetuar cálculos referentes às 
medidas de posição e dispersão: 
 
a. Média Aritmética 
 
�� = � ��?�
@�
� 
 
onde k é o número de valores individuais (ou classes). 
 
b. Moda: valor mais freqüente. 
 
c. Mediana: valor que divide a distribuição em duas partes iguais, ou seja, é a mesma 
definição anterior, só que na distribuição os valores da variável já estão ordenados e 
deve-se observar as frequências acumuladas para verificarmos aonde está o valor central 
(se n é ímpar) ou a média aritmética entre os dois valores centrais (se n é par). 
 
d. Variância (3� ou 5�) 
 
Variância Populacional, 
 3� = ∑ ��� − 4��?�@�
� % 
 
Ou Variância Amostral 
 5� = ∑ ��� − ����?�@�
� 
 − 1 
 
 
e. Desvio Padrão 
 
 Desvio Padrão Populacional 
 3 = A3� 
 
37 
 
Ou Desvio Padrão Amostral 
 5 = A5� 
 
 
f. Coeficiente de Variação: 
 
Coeficiente de Variação Populacional, 
 89 = 34 100%. 
 
ou o coeficiente de Variação Amostral, 
 89 = 5�� 100% 
 
Exemplo: Voltemos ao exemplo do número de maquina com defeitos na empresa gama. 
 
Agora responda: 
 
1) Qual o número médio de máquinas com defeito na empresa gama? 
 
2) Qual o número mediano de maquinas com defeito? E o número modal? 
 
3) Em quantos dias observamos no mínimo 3 maquinas com defeito? 
 
4) Em quantos dias observamos 4 maquinas com defeito? 
 
5) Em que porcentagem dos diasobservamos no Maximo 3 maquinas com defeito? 
 
6) Em quantos dias e em que porcentagem observamos no mínimo 2 e no Maximo 4 maquinas 
com defeito? 
 
7) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. 
 
8) Se uma outra empresa do mesmo ramo apresentou uma dispersão relativa ( C.V. ) de 30%, em 
qual das duas o número médio de defeitos foi mais representativo? Justifique. 
 
9) Represente a distribuição acima graficamente. 
 
3.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES 
 
Muitas vezes, mesmo com o risco de sacrificar algum detalhe manifestado na ordenação 
dos valores individuais, há vantagens em resumir os dados originais em uma distribuição de 
freqüências, onde os valores observados não mais aparecerão individualmente, mas agrupados 
em classes. Principalmente quando a variável em estudo for contínua, ou o número distinto de 
valores representativos dessa variável for muito grande.Mas quando utilizar? 
- Quando a variável de estudo for continua; 
- Quando a variável de estudo for discreta e o numero de valores representativos (distintos) 
da variave for muito grande. 
 
 
38 
 
3.2.1 Passos para construção da tabela de freqüência (Regra Prática) 
 
1º Passo: Identificar o valor máximo e o valor mínimo do conjunto de dados e encontrar a 
amplitude total (At). Definimos por amplitude total a diferença entre o maior e o menor valor do 
conjunto de dados: 
 &' = �()* − �(+, 
 
2º Passo: Determinar o número de classes (k) que irão formar uma distribuição de freqüências. 
Embora não exista uma fórmula precisa para esse número K, podemos nos orientar pela seguinte 
regra prática: 
 B = 5, 5C 
 ≤ 25 B = √
, 5C 
 > 25 
 
3º Passo: Calcular o comprimento ou a amplitude que deve ter o intervalo de classe (h), que é 
obtido dividindo-se a amplitude total pelo número de classes, ou seja, 
 ℎ = &'B 
 
4º Passo: Determinar os limites das classes, escolhendo-se, preferencialmente, números inteiros. 
Escolher o tipo de intervalo (⊢ ou ⊣). 
 
Observações: 
 
Cada valor pode pertencer apenas a uma classe. Uma mesma observação não pode 
pertencer a duas classes diferentes. O número de classes deve está entre 5 e 15. Uma distribuição 
de freqüências com menos de 5 classes pode estar omitindo informações importantes e, acima de 
15 classes pode pecar pelo excesso de detalhes e fugir do objetivo de uma distribuição de 
freqüências, que é resumir informações contidas no conjunto de dados de forma a melhorar a sua 
observação. 
Uma dúvida que pode também surgir é a determinação do limite inferior do primeiro 
intervalo. Uma solução seria tomar o menor inteiro do conjunto ordenado (rol), caso ele seja 
discreto, ou o primeiro inteiro imediatamente anterior ao menor valor do rol, caso o conjunto de 
dados seja contínuo. Uma vez determinado o limite inferior da primeira classe, soma-se a esse 
limite o comprimento do intervalo ou amplitude (h) para encontrarmos o seu limite superior; esse 
limite superior passa então a ser o inferior da classe seguinte e as classes subseqüentes são 
formadas utilizando-se o mesmo procedimento descrito acima. 
Além das freqüências absolutas de cada classe, a distribuição de freqüências pode 
também conter as freqüências relativas e acumuladas, e o ponto médio da classe. O ponto médio 
(xi) é o valor que representa a classe, para efeito de cálculo das medidas descritivas, e é definido 
como a média aritmética entre os limites inferior e superior da classe. Temos, então 
 �� = I� + J�2 , K = 1, 2, … , B 
 
Exemplo: Levantamento do salário dos empregados da seção de orçamento da empresa Beta. 
 Dados Brutos: 4,0 4,5 4,8 7,4 8,0 8,0 
 5,5 6,3 5,6 7,5 7,8 9,3 
 10,0 9,8 10,0 11,5 11,5 11,5 
 10,5 11,2 11,6 16,0 16,4 17,0 
 
39 
 
 17,0 19,5 12,4 13,5 14,2 14,2 
 13,5 15,0 15,5 15,5 23,9 4,8 
 
Vamos, então, montar a nossa distribuição, alocando as freqüências em cada classe. 
Consideremos, por opção, intervalos abertos à esquerda e fechados à direita. 
 &'23,9 − 4,0 = 19,9 
 = 36 → B = 6 ℎ = 19,96 = 3,2 ~ 4 
 
Agora complete a tabela: 
Tabela: Levantamento do salário dos empregados da seção de orçamento da empresa Beta. 
 
Classes de salários ?� ?N��%� Ponto Médio (��� ��?� ��� − ����?� 
04 ⊢ 08 
08 ⊢ 12 
12 ⊢ 16 
16 ⊢ 20 
20 ⊢ 24 
Total 
 
 
3.2.2 Medidas de Posição e dispersão para dados agrupados. 
 
a. Média Aritmética: 
 
�� = � ��?�
@�
� 
 
 
 xi = ponto médio da i-ésima classe; 
 onde fi = freqüência absoluta da i-ésima classe; 
 n = tamanho da amostra ou conjunto de dados. 
 
b. Mediana 
 
Quando estamos trabalhando com uma distribuição de freqüências, devemos, 
inicialmente, identificar a ordem do elemento mediano. Se temos um número ímpar de dados, 
procuramos o elemento de ordem (n + 1)/2; caso o número de dados seja par, buscamos o 
elemento de ordem (n/ 2). Em seguida, identificamos a classe mediana, ou seja, a classe que vai 
conter a mediana. Nessa classe deverá estar até metade das observações e ela pode ser 
encontrada através da informação dada pela freqeência acumulada. 
 A mediana será, então, dada por: 
 
#$ = IOP + QR
2S − �?TU�OP?OP V ℎ 
 
 
 
40 
 IOP: limite inferior de classe mediana (classe que contém a mediana); �?TU�OP: freqüência acumulada anterior a da classe mediana; ?OP: freqüência absoluta de classe mediana; ℎ: comprimento do intervalo da classe mediana; 
: número de observações ou tamanho da amostra. 
 
c. Moda 
 
A moda vai nos mostrar que porção da distribuição dos dados tem a maior freqüência de 
ocorrência. Identificamos, então, a classe modal como aquela que detém a maior freqüência. A 
moda pode ser obtida através de: 
 #W = IOX + Y Δ�Δ� + Δ�[ ℎ 
 
 IOX: limite inferior da classe modal; Δ�: diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a da classe imediatamente anterior; Δ�: diferença entre a freqüência absoluta da classe modal e a da classe imediatamente posterior; ℎ: comprimento do intervalo da classe modal. 
 
d. Amplitude Total (At) 
 
A amplitude total da distribuição de freqüências é definido como a diferença entre o 
limite superior da última classe da distribuição e o limite inferior da primeira classe. 
 
e. Variância 
 
Variância Populacional 
 3� = ∑ ��� − 4��?�@�
� % 
 
Ou Variância Amostral 
 5� = ∑ ��� − ����?�@�
� 
 − 1 
 
 
f. Desvio Padrão e Coeficiente de Variação 
 
O desvio padrão é definido da mesma forma anterior, ou seja, é a raiz quadrada da 
variância, bem como o Coeficiente de Variação. 
 
Exemplo: Voltemos ao exemplo do levantamento do salário dos empregados da seção de 
orçamento da empresa Beta. Em relação ao exemplo dado, responda: 
 
i) Qual o número médio do salário dos empregados na empresa beta? 
 
ii) Qual o número mediano do salário dos empregados da empresa beta? E o número modal? 
 
 
iii) Quantos profissionais recebem salário 
 
iv) Que percentual de funcionários recebem um salário superior a 8 salarios
igual a 16 salarios-minimo? 
 
v) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
 
vi) Se uma segunda amostra de profissionais de nível superior 
apresentar um salário médio de 12 salarios
minimo, em qual das duas empresas observamos um salário médio mais representativo ? 
Justifique. 
 
vii) Represente a distribuição acima graficamente.
 
3.3 GRÁFICOS REPRESENTATIVOS PARA UMA DISTRIBUIÇÃO DE 
FREQÜÊNCIAS: 
 
Podemos representar uma distribuição de freqüência pelo Histograma