lista algebra linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
MAT 044 - ALGEBRA LINEAR I-A 
PROF.: GLÓRIA MÁRCIA 
 
1a LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
 
 
1) Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre a expressão 
da matriz X , nos itens abaixo: 
 
a) ABt X = C b) AB + CX = I c) (CB)-1 AX = I d) (AB)t XC = I 
 
2) Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes: 
 
A = 








1 0 0 0
0 1 2 2
0 0 4 1
 ; B = 








0 1 0
0 2 2-
0 1- 1
 ; C = 



2- 2 1- 2
1- 2 3- 1 ; D = 








3 3 2
4- 1 2
3 1 0
 ; F = 








2 0
0 0
0 3
 
 
3) Descreva todas as possíveis matrizes 2 ×2 que estão na forma LRFE. 
 
4) Considere A uma matriz quadrada de ordem n LRFE. Verifique a partir de 
exemplos que, se A ≠ In então A possui pelo menos uma linha nula. 
 
5) Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações; 
a) Matrizes linha equivalentes possuem a mesma ordem 
b) Qualquer que seja a matriz A, existe uma matriz M tal que A ~ M e M esta 
na forma LRFE. 
c) Toda matriz na forma LRFE é quadrada. 
d) Toda matriz quadrada está na forma LRFE. 
e) Uma matriz M está na forma LRFE se, e somente se, M é a identidade. 
 
6) Verifique que toda matriz LRFE é triangular superior. Exiba um contra 
exemplo para mostrar que a recíproca desta afirmação é verdadeira. 
 
7) Considere as matrizes: 
 A = 








0 3 0
1 0 0
0 1- 1
 ; E1 = 







31 0 0
0 1 0
0 0 1
 e E2 = 







1 0 0
0 1 0
1 0 1
 
a) Diga , justificando se E1 e E2 são matrizes elementares e, em caso 
afirmativo, indique as operações elementares O1 e O2 que transformam a 
matriz identidade de ordem 3 em E1 e E2 , respectivamente. 
b) Calcule as matrizes B = E1 A , C = E2 B , D = E2 E1 A 
c) Determine as matrizes F, G e H tais que F é obtida de A aplicando-se 
nas linhas de A a operação elementar O1 do item a); G é obtida de B 
aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O2 do item a); e H 
é obtida de A aplicando-se nas linhas de A a operação elementar O1 e 
O2 , nesta ordem. 
d) Compare as matrizes encontradas nos itens b) e c). Conclua sobre a 
multiplicação de matrizes elementares à esquerda de uma matriz A e 
aplicação de operações elementares nas linhas de A, correspondentes ás 
matrizes elementares. 
 
8) Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes: 
 A = 








0 0 0
1 0 0
0 4 1
 ; B = 



1 0 0 0
0 0 1 0 ; C = 



2 0
4- 1 ; D = 










2 1
0 0
1 0
0 1
 ; F = 










1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
9) Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas 
abaixo. OBS: N(A) = nulidade de A e p(A) = posto de A. 
a) B2× 3 , p(B) = 2 ; b) C3× 2 , p(C) = 3 ; c) D2×4 , p(D) = 3; 
 d) F2× 3 , N(F) = 2 ; e) G4× 3 , N(G) = 0 ; f) H3, N(H) = 0; g) J3, p(J) = 2. 
 
10) Verifique se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: 
a) O posto de uma matriz é um número natural maior ou igual a zero e menor 
ou igual ao número de linhas. 
b) O posto de uma matriz é um número natural maior ou igual a zero e menor 
ou igual ao número de colunas. 
c) Se N ( A) = 2 e A2× 3 , então a matriz B2× 3 , tal que A~B e B está na 
forma LRFE tem uma linha nula. 
d) Se C é uma matriz quadrada de ordem 3 e possui uma linha nula, então 
p(C ) = 2. 
e) Se p(D) = 3 e Dn×m com n ≥ 3, então m ≤ 3. 
 
11) Em cada um dos seguintes itens considere a matriz escalonada linha 
equivalente à matriz ampliada de um sistema. A partir dessas matrizes, discuta 
o sistema original e dê o conjunto-solução, quando for o caso. 
 
5410
2301
 d) ; 
1000
0310
0201
 c) ; 
2100
2010
3001
 b) ; 
00000
31210
52101
 )a 



























 
 
12) Resolva os seguintes sistemas 
 a)



−=−
−=−+
−=−+
95z3x
22z2y3x
62z2yx
 b) 



=++
=++
=+−
1zyx
64zy3x
42zyx
 c) 


=+−
=−−
2zyx
4zyx d) 



=+
=+
=+
34z-6y3x
22z-4y2x
03z-2y x 
 
 
 
 
13) Discuta em função de k os seguintes sistemas: 
 
 a) 



=−
=−
=+−
ky2x
04y5x
23y4x
 b)


=−+
=−+
2zy xk
0z kyx c)



=+−
=+−
=+−
0z ykx
3z ky2x
2z k2y2x
 d)



−=++
=−−
−=+
54z ykx
k2zyx
2z kx
 
 
14) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possível e 
determinado 
 



−+=+
+=+
=+
=−
1ba2yx
2b5a3y5x
byx
a7y3x
 
 
15) Considere as seguintes matrizes inversíveis 








=







 −
=








−=
111
210
121
 C 
100
010
011
 B 
210
111
111
 A 
 a)Encontre a expressão de X tal que BAX = C 
 b)Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a) 
 
16) Mostre que a matriz 








=
1cb
01a
001
 A é inversível , ∀ a, b e c ∈ R e determine A-1 
 
17) Considere a matriz 








−
−=
0121
3112
1111
B . Determine uma matriz N, LRFE; N ~B 
e uma matriz inversível M de ordem 3 tal que N = MB. 
 
 
18) Em que condições uma matriz diagonal é inversível? Qual é a sua inversa? 
 
19) Verifique se as matrizes a seguir são inversíveis e, em caso afirmativo, 
determine a inversa, usando escalonamento 
 a) 



22
21 b) 








431
210
221
 c) 








1 2 0
3- 2 5
1- 1 2
 d) 










−
3020
1111
1001
1100
 
 
20) Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam inversíveis 
 a) 








a21
212
111
 b) 








+
−−−
+
2a11
65a1
673a
 
 
21) Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço 
 vetorial, com as operações dadas. 
 I. 22221 RR x R : , RV →+= e . : 22 RR x R → 
 

 ++=+
2
yy , 
2
xx)y,x()y,x( 21212211 a.(x,y )= (ax,ay) 
 
 II. )R(M)R(M x )R(M : , )R(MV 22222 →+= e . : R x )R(M)R(M 22 → 
 



++
++=


+



2121
2121
22
22
11
11
ww zz
yy xx
w z
y x
w z
y x a . 


=



aw z 
y ax
w z
y x 
 
 III. ∗∗∗∗ →+= RR x R : , RV3 e . : ∗∗ →RR x R 
 x+y = x.y a . x = xa 
 
22) Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V. 
 I. V R= 3 
 a) { }0y ; R)z,y,x(W3 ≤∈= b) { }1zyx ; R)z,y,x(W 2223 ≤++∈= 
 c) { }0z ; R)z,y,x(W 3 =∈= d) 3QW = ,Q o conjunto dos racionais. 
 e) { }1y.x ; R)z,y,x(W 3 =∈= f) { }23 xy ; R)z,y,x(W =∈= 
 II. V = Mn(R), n≥2 . 
 a) W ={A∈V ; A é simétrica} b) W ={A∈V ; A é inversível} 
 c )W ={A∈V ; A é não inversível} d) W ={A∈V ; A 2 = A} 
 III. V é o espaço vetorial de todas as funções f : R→R. 
 a) W = {f∈V; f(3) = 0} b) W = {f∈V; f(7) = f(1)} 
 
23) Verifique se o conjunto das soluções do sistema de equações lineares 
 de n incógnitas, AX = B, é subespaço vetorial de M Rn x1( ), sendo: 
 a) B = 0 (sistema homogêneo). 
 b) B≠ 0 (sistema não homogêneo). 
 
24) Utilizando os resultados do exercício anterior, verifique se Wi é 
 subespaço vetorial de Vi , em cada item a seguir: 
 a) { }0zyx ; R)z,y,x(W, RV 3131 =+−∈== 
 b) { }0zy e 01yx ; R)z,y,x(W, RV 3232 =+=−−∈== 
 c) 

 =−+=−∈


== 02wz e 0yx ; V
w z
y x
W, )R(MV 3323 
 d) 

 =+==∈


== 0wz e 0yx ; V
 wz
y x
W, )R(MV 4424 
 e) { }0zyx ; V wztytxtW, )R(PV 523535 =−−∈+++== 
 f) { }0zx ; V zytxtW, )R(PV 62626 =−∈++== 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) a) X = ( Bt )-1 A -1 C ; b) X = C-1( I – AB ) ; c) X = A-1CB ; d) X = [(ABt]-1 C-1 
2) 
3) Rk ;
00
k1
 e 
10
01
 ;
00
10
 ;
00
00 ∈














 ; 
5) a) V; b) V; c) F; d) F; e) F 
6) A matriz 








000
010
021
 é triangular superior mas não é LRFE. 
7) 
a) E1 é matriz elementar pois é obtida da identidade I3 a partir da operação 
elementar O1: 33 L3
1L → 
E2 é matriz elementar pois é obtida da identidade I3 a partir da operação elementar 
O2: 311 LLL +→ . 
b) B = 







 −
010
100
011
; C = 








010
100
001
; D = C 
c) F = B; G = H = C 
 
d) Efetuar uma operação elementar sobre as linhas de uma matriz A é 
equivalente a multiplicar à esquerda de A uma matriz elementar correspondente à 
operação elementar aplicada. 
 
8) p( A ) = 2 e N ( A ) = 1; p ( B ) = 2 = N ( B ); p( C ) = 2 e N( C ) = 0; p ( D ) = 2 
e N( D ) = 0, p( E ) 3 e N( E ) = 0 
9) a) B = 



010
001 ; b) impossível; c) impossível; d) F= 



000
001 ; 
 
 e) G = 










000
100
010
001
; f) H = 








100
010
001
; g) J = 








000
010
001
 
 OBS: Estes exemplos não são únicos 
 
10) a) V; b) V; c) V; d) F; e) F 
 
11) a) Sistema possível e indeterminado com duas variáveis livres 
 S = { ( x, y, z, w) ∈ R4; x = 5 − z − 2w e y = 3 −2z −w } 
b) Sistema possível e determinado S = { ( 3, 2, 2 ) } 
c) Sistema impossível 
d) Sistema possível e indeterminado com uma variável livre 
 S = { ( x, y, z ) ∈ R3; x = 2 − 3z e y = 5 −4z } 
 
12) a) S = { ( 2, −1, 3 ) }; b) 


 −=−=∈=
2
3 z ye 
2
z35 x;R) z y, x,(S 3 ; 
 c)S = { ( x, y, z ) ∈ R3; x = y + 3 e z = − 1 } ; d) 
13) 
a) Se k = −6, então o sistema é possível determinado e S = { (−8, −10)}. Se k ≠ 
−6, o sistema é impossível. 
b) Se k ≠ 1, então o sistema é possível e indeterminado. Se k = 1, o sistema é 
impossível. 
c) Se k ≠ 2, o sistema é possível, determinado e S = { ( k +2, 1, −2 ) }. Se k = 2, o 
sistema é indeterminado. 
d) Se k ≠1 e k ≠ −4 então o sistema é possível e determinado. Se k = −4, o 
sistema é impossível . 
 Se k = 1, o sistema é possível, indeterminado e S = { (x,y,z) ∈R3; x = −z−2 e 
 y = −3z−3 ) }. 
 
14) a = 2 e b = 4. 
15) a) X = A-1B-1C; b) 








−
−
−
=−
2/312/1
210
2/512/1
X 1 
16) A-1 = 








−−
−
1cbac
01a
001
 
17) 








−−
−
−
=







 −
=
3/13/11
3/13/21
011
 M ;
2100
3010
4001
N 
 
18) Uma matriz diagonal ( )
nxnij
aA = é inversível sss 0aii ≠ para todo i = 1, 2,...n. A 
inversa de A é a matriz ( )
nxnij
bB = tal que 
ii
ii a
1b = para todo i = 1, 2,...n. 
19) a) 



−
−
2/11
11 ; b) Não é inversível; c) 








1- 4- 10
1 2 5-
1- 3- 8
; d) 










−
−−
−−
−−
1222
1227
3333
1272
9
1 
20) a) a ≠ 1; b ) Não existe a; 
21) I.V1 não é espaço vetorial (a propriedade associativa da + não é válida). 
 II.V2 não é espaço vetorial ( ) v.bv.av.)ba( +≠+ . 
 III.V3 é espaço vetorial. O elemento neutro é 1 e o oposto de x é x−1 
 ( ) 1x.xxx e x1.x1x 11 ==+==+ −− . 
22) . I. a)Não. Contra-exemplo: (-2).(1,-2,3)=(-2,4,-6) ∉W. 
 b) " . " " : (0,1,0)+(1,0,0)=(1,1,0) ∉ W. 
 c)Sim. 
 d)Não. Contra-exemplo: 2 .(1,2,3) ∉Q3. 
 e)Não. Contra-exemplo: (1,1,0)+(-1,-1,0)=(0,0,0) ∉W. 
 f) " . " " : (2,4,0)+(-3,9,0)=(-1,13,0) ∉W. 
 II. a) Sim. 
 b) Não. Contra-exemplo: W
0 0
0 0
1 0 
0 1
1 0
0 1 ∉


=



−
−+


 . 
 c) Não. Contra-exemplo: W
1 0
0 1
1 0
0 0
0 0
0 1 ∉


=


+


 . 
 d) Não, pois se A e B pertencem a W, não necessariamente A+B 
 pertencerá a W, visto que: 222 BA.BB.AA)BA( +++=+ . 
 III. a) Sim 
 b) Sim. 
23) Será resolvida em sala de aula . 
24) Os itens a, d, e e f são subespaços, pois as equações que os caracterizam 
 formam sist. lineares homogêneos. Já os itens b e c, não são subespaços, 
 porque as equações que os caracterizam formam sist. lineares não homogêneos.