Lista 2

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Lista 2
Ca´lculo B
25 de maio de 2017
Exercı´cio 1 Determine o volume do so´lido S:
a) A base de S e´ um cı´rculo de raio a, e as sec¸o˜es transversais perpendiculares a` base sa˜o quadradas.
b) A base de S e´ a regia˜o parabo´lica {(x, y); x2 ≤ y ≤ 1}, e as sec¸o˜es transversais perpendiculares
ao eixo y e´ um triaˆngulo equila´tero com um lado na base.
c) A base de S e´ a regia˜o limitada pela para´bola y = 1 − x2 e pelo eixo x, e as sec¸o˜es transversais
perpendiculares ao eixo x e´ um triaˆngulo iso´sceles com altura igual a` base.
d) S e´ um tetraedro com treˆs faces perpendiculares entre si e as treˆs arestas perpendiculares entre
si com comprimentos de 3cm, 4cm e 5cm.
e) S e´ uma calota de uma esfera de raio r e altura h.
Exercı´cio 2 Encontre o volume comum de dois cilindros circulares, cada um com raio r, se os eixos
dos cilindros se intercerctam em aˆngulos retos.
Exercı´cio 3 Utilize o me´todo das sec¸o˜es transversais para determinar o volume do so´lido gerado
pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada por:
a) y =
1
x
; x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo x.
b) x = y − y2; x = 0; 0 ≤ y ≤ 1 em torno do eixo y.
c) y = secx; x = −1; x = 1; y = 1, em torno do eixo x.
d) y = x
2
3 ; x = 1; y = 0, em torno do eixo y.
e) y = x2; y = 4, ao redor da reta y = 4.
1
f) y = x4; y = 1, ao redor da reta y = 2.
g) y = x; x = 2; x = 4; y = 0, ao redor da reta x = 1.
Exercı´cio 4 Utilize o me´todo da casca cilı´ndrica para determinar o volume do so´lido gerado pela
rotac¸a˜o da regia˜o limitada por:
a) y =
1
x
; x = 1; x = 2; y = 0, em torno do eixo x.
b) y = 3 + 2x − x2; x + y = 3, em torno do eixo y.
c) y = 4(x − 2)2; y = x2 − 4x + 7, em torno do eixo y.
d) x + y = 3; x = 4 − (y − 1)2, em torno do eixo x.
e) y = 4x − x2; y = 8x − 2x2, em torno da reta x = −2.
f) y =
√
x − 1; y = 0; x = 5, em torno da reta y = 3.
Respostas:
• 1] a)16a
3
3
; b)
√
3
2
; c)
8
15
; d)10; e)pih2(r − h
3
).
• 2]16r
3
3
.
• 3]a)pi
2
; b)
pi
30
; c)2pi(tg(1) − 1); d)3pi
4
; e)
512pi
15
; f)
208pi
45
; g)
76pi
3
.
• 4]a)pi
2
; b)
27pi
2
; c)16pi; d)
27pi
2
; e)
256pi
3
; f)24pi.
2