Eletricidade Aplicada

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Eletricidade Aplicada 
Capacitores 
1. O capacitor e a capacitância 
O capacitor é um componente que tem como finalidade armazenar energia elétrica. Um 
capacitor elementar consiste em duas placas planas de material condutor com área (A), 
situadas próximas entre si, a uma distância constante (d), separadas pelo ar ou algum outro 
material isolante (dielétrico). Ligados a essas placas condutoras estão os terminais para 
conexão deste com outros componentes, conforme figura ao lado. 
Se aplicamos uma tensão contínua entre estas placas, conectando o pólo positivo da fonte a 
uma, e o pólo negativo a outra, se produzirá uma distribuição de cargas nestas placas, de 
modo que: 
 A placa conectada ao pólo positivo cederá elétrons à fonte (a placa ficará 
carregada positivamente). 
 A segunda placa, conectada ao pólo negativo da fonte, receberá elétrons (a placa 
ficará carregada negativamente). 
Depois de um determinado tempo, o movimento de cargas cessa e o capacitor fica carregado. 
Quanto maior a diferença de potencial aplicada às placas, maior será a quantidade de elétrons 
trocada entre as placas e a fonte. Assim, a quantidade de carga (Q) armazenada num capacitor 
é diretamente proporcional à diferença de potencial (V) entre sua placas. 
Capacitância: É a característica que um capacitor tem de armazenar mais ou menos cargas 
elétricas por unidade de tensão. 
 
 
 
 
Em que C é a Capacitância, Q é a carga elétrica e V a tensão. 
Quando aplicamos uma tensão de 1 volt (V) e o capacitor armazenar 1 coulomb (C), teremos 
então uma capacitância igual a 1 farad (F). 
 
Podemos ainda expressar a capacitância de um capacitor de placas paralelas em função das 
suas características construtivas. Essa capacitância será tanto maior quanto maior for a 
permissividade do dielétrico utilizado, maior for a área da placa e quanto menor for a distância 
entre estas placas. Assim, podemos calcular a capacitância conforme equação abaixo. 
 
 
 
 
Onde A é a área da placa metálica, é a permissividade do dielétrico e d é a distância entre as 
placas. 
Devido às dificuldades construtivas, os capacitores encontram-se situados em faixa de valores 
de submúltiplos do farad, como microfarad (µF), nanofarad (nF) e o picofarad (pF). 
Plotando C em função de d, obtém-se uma hipérbole, conforme gráfico da capacitância versus 
distância entre as placas. 
Plotando C em função do inverso da distância (1/d) devemos obter uma reta, visto que, a 
capacitância é diretamente proporcional ao inverso da distância (d). 
 
 
A tabela abaixo mostra alguns meios com sua respectiva permissividade elétrica. 
 
Além do valor da capacitância é preciso especificar o valor limite da tensão a ser aplicada entre 
seus terminais. Esse valor é denominado tensão de isolação e varia conforme o tipo de 
capacitor. Consiste na tensão máxima que pode ser aplicada entre as placas do capacitor com 
segurança, indicada em cada capacitor comercial. Esta tensão máxima é definida pelo máximo 
campo elétrico suportado pelo dielétrico, também denominada tensão de ruptura do 
dielétrico. 
Os valores tanto da capacitância como da tensão máxima de trabalho são normalizados, 
portanto, quando uma dada capacitância ou tensão é necessária, e não está disponível, 
devem-se construir associações em série e ou em paralelo. 
 
2. Carga de um capacitor 
A seguir vamos estudar o capacitor na situação de carga e 
descarga. 
Ao aplicar a um capacitor uma tensão contínua por meio de 
um resistor, este se carrega com uma tensão cujo valor 
depende do intervalo de tempo em que se desenvolverá o 
processo. Na figura temos um circuito para carga do 
capacitor. 
Estando o capacitor inicialmente descarregado (Vc=0), em t =0, fechamos a chave S do circuito. 
A corrente nesse instante é a máxima do circuito, ou seja, 
 
 
. A partir daí, o capacitor 
inicia um processo de carga com aumento gradativo da tensão entre seus terminais e 
consequentemente, ocorre diminuição da corrente, obedecendo a uma função exponencial, 
até atingir o valor zero, quando este estiver totalmente carregado. No instante t=0 
observamos que a tensão nos terminais do capacitor é Vc=0 e após carregar-se totalmente, 
Vc≈E. 
 
3. Descarga de um capacitor 
Estando o capacitor carregado, podemos montar um 
circuito para a sua descarga. 
No instante t=0, fechamos a chave S do circuito e o 
capacitor inicia sua descarga por meio do resistor R. Nesse 
instante, a corrente no circuito será a máxima e a partir daí diminui, obedecendo a uma função 
exponencial, até atingir o valor zero, quando o capacitor estiver totalmente descarregado. 
Observando a curva de tensão no capacitor, vemos que em t=0 temos a tensão máxima, em 
seguida, com a descarga do capacitor essa tensão cai exponencialmente até atingir o valor 
zero. 
 
Resumindo: No instante em que a chave for fechada, toda a tensão da bateria aparece sobre o 
resistor e nenhuma sobre o capacitor. Neste instante, o capacitor se comporta como um curto-
circuito. A tensão sobre o resistor decresce com o tempo enquanto a tensão sobre o capacitor 
aumenta com o tempo. Note que o capacitor bloqueará o fluxo de corrente contínua quando 
estiver carregado. O capacitor carregado se comporta como um circuito aberto. 
4. Associação de Capacitores 
Da mesma forma que podemos associar resistores, também podemos associar capacitores 
com a finalidade de obtermos valores de capacitâncias equivalentes diferentes dos valores 
comerciais em que os capacitores são fabricados. 
4.1 Associação em série 
Uma ligação em série de capacitores diminui a capacitância total porque efetivamente 
aumenta o espaçamento entre as placas. 
 
Na associação em série de capacitores as placas se carregem em efeito cascata e todos os 
capacitores adquirem a mesma carga. Porém como o circuito é série, as tensões nos 
capacitores de somam. Assim, 
 
Como, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A capacitância equivalente de n capacitores em série é dada pelo inverso da soma dos 
inversos das capacitâncias dos n capacitores. 
Para apenas dois capacitores em série esta expressão equivale a: 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
Para o circuito da Figura abaixo: 
a) Determine a capacitância total. 
b) Determine a carga em cada placa. 
c) Calcule a tensão entre os terminais 
de cada capacitor. 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
b) 
 
c) 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Associação em paralelo 
A ligação em paralelo de capacitores aumenta a capacitância total porque aumenta a área de 
placas recebendo cargas. 
 
Na associação em paralelo de capacitores todos os capacitores estão sujeitos à mesma tensão. 
Porém, cada capacitor se carrega independentemente e a quantidade de carga armazenada 
aumenta, assim: 
 
Como, 
 
 
 
 
A capacitância equivalente de n capacitores em paralelo é dada pela soma das capacitâncias 
dos n capacitores. 
Da mesma forma como é feito o estudo de circuitos resistivos,a associação mista de 
capacitores deve ser analisada em partes. 
Exemplo 2: 
Para o circuito da Figura abaixo: 
a) Determine a capacitância total. 
b) Determine a carga em cada placa. 
c) Calcule a carga total. 
Solução: 
a) 
b) 
 
 
 
 
 
 
c) 
Exemplo 3: 
Determine a tensão entre os terminais e a carga 
de cada capacitor do circuito. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
Determine a tensão entre os terminais e 
a carga do capacitor após estar 
totalmente carregado. 
Solução: 
Quando o capacitor está totalmente 
carregado ele comporta como um circuito aberto. Assim, 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Um capacitor formado por duas placas paralelas separadas por uma camada de ar 
de 0,3 cm de espessura e, tendo uma capacitância de 15,0 pF é ligado a uma fonte 
de 150 V. 
a) Qual a carga do capacitor? 
b) O dielétrico de ar é substituído por uma folha de mica de 0,3 cm de espessura. 
Qual é a capacitância com o dielétrico de mica? 
c) Que carga adicional recebe o capacitor? 
2. Encontre a distância entre as placas paralelas de um capacitor de 0,01 mF , se a área de cada 
placa é de 0,07 m2 e o dielétrico é de porcelana. Qual a máxima tensão admitida pelo 
capacitor? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Indutores 
1. O Indutor e a Indutância 
Analisamos o funcionamento do resistor e do 
capacitor. Neste capítulo vamos discutir um 
terceiro elemento, o indutor. 
O indutor, também conhecido por bobina, é um 
elemento usado em circuitos elétricos, eletrônicos 
e digitais com a função de acumular energia 
através de um campo magnético, também serve 
para impedir variações na corrente elétrica. Os 
indutores também são usados para formar um 
transformador, além de ser extensamente 
utilizados como filtro do tipo passa baixa (que 
exclui sinais de alta frequência). 
Essas características são obtidas através de um 
condutor metálico enrolado em uma bobina, que ao receber 
corrente elétrica variável, induz uma voltagem no condutor de 
sentido contrário aquela que está originalmente passando, segundo 
a lei de Lenz. Nos circuitos elétricos e eletrônicos, representamos os indutores nos circuitos 
como um fio enrolado. 
A indutância, representada pela letra L, é o parâmetro usado, nos circuitos 
elétrico/eletrônico/digital para descrever a característica do indutor. A indutância é usada para 
calcular a voltagem induzida por um campo magnético devido a uma corrente de valor 
variável, que atravessa os fios da bobina de um indutor. A unidade da indutância é o henry (H), 
em homenagem ao cientista Joseph Henry, 
grande estudioso do fenômeno da auto-
indutância eletromagnética. 
Os indutores são bobinas de dimensões diversas 
projetadas para introduzir quantidades 
específicas de indutância em um circuito. A 
indutância de uma bobina varia diretamente 
com as propriedades magnéticas de seu núcleo. 
A indutância de uma bobina pode ser calculada 
pela equação: 
 
 
 
 
Onde N é o número de espiras; µ, a 
permeabilidade do núcleo (que não é uma 
constante); A é a área da seção reta do núcleo 
em metros quadrados; e é o comprimento do 
núcleo em metros. é a permeabilidade 
relativa do núcleo e é a permeabilidade 
quando o núcleo é de ar, cujo valor é . 
 
 
Exemplo 1: Determine a indutância da bobina de núcleo de ar da figura. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )( )
 
 
Exemplo 2: Repita o exercício anterior, mas com um núcleo de ferro, supondo que 
 
 
2. Comportamento do circuito R-L 
As variações de corrente e tensão que ocorrem em um circuito de corrente contínua quando 
um indutor armazena energia sob a forma de um campo magnético podem ser definidas 
examinando o circuito abaixo. 
No instante em que a chave é fechada, a indutância do 
indutor não permite que ocorra uma variação instantânea da 
corrente. A queda de potencial no indutor, , é igual à 
tensão aplicada E, portanto a corrente que passa pelo circuito 
é zero. A corrente passa a aumentar até que a queda de 
tensão no indutor chegue a zero e a queda de tensão no resistor seja igual à tensão da fonte. 
Você se lembra da discussão sobre capacitores? Onde o capacitor se comportava como um 
curto-circuito no momento em que a chave é fechada e como um circuito aberto quando o 
circuito atinge o estado estacionário. No caso do indutor acontece exatamente o oposto. 
Inicialmente ao fechar a chave o indutor funciona como um circuito aberto, e uma vez que 
atinge o estado estacionário se comporta como um curto-circuito. 
3. Indutores em Série e em Paralelo 
Os indutores, como os resistores e capacitores, podem ser conectados em série ou em 
paralelo. Podemos obter valores maiores de indutância ligando indutores em série e valores 
menores ligando indutores em paralelo. 
No caso dos indutores em série a indutância total é 
calculada da mesma forma que a resistência total para 
os resistores ligados em série. 
 
No caso de indutores em paralelo, a indutância total é calculada da mesma forma que a 
resistência total para resistores ligados em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para dois indutores em paralelo: 
 
 
 
 
Exemplo 3: Reduza o circuito da figura à forma mais 
simples. 
 
Solução: 
Os indutores e possuem valores idênticos e estão 
em paralelo, resultando em uma indutância 
equivalente de: 
 
 
 
 
 
 
 
O indutor de 0,6H resultante está em paralelo com o indutor de 1,8H, asism: 
 
 
 
 
 
 
 
O indutor está em série com o indutor equivalente , portanto, temos abaixo o valor da 
indutância equivalente e o circuito equivalente. 
 
 
 
 
 
4. Circuito RL e RLC com entradas CC 
Vimos anteriormente, que para efeitos práticos, um indutor pode ser substituído por um 
curto-circuito em um circuito de corrente contínua após atingir seu estado estacionário. Assim 
como os capacitores, quando atinge seus valores finais, podem ser representados por circuitos 
abertos. Nos exemplos a seguir vamos considerar essas condições. 
Exemplo 4: Determine a corrente e a tensão para o circuito da 
Figura. 
Solução: 
Fazendo as substituições temos o seguinte circuito equivalente. 
 
Exemplo 5: Determine as correntes I1 e I2 e as tensões V1 e V2 para o circuito. 
 
 
 
Solução: 
Após o estado estacionário dos capacitores e indutores, podemos representar o circuito 
conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Tensão e Corrente Alternada 
1. Introdução 
Até agora só analisamos circuitos de corrente 
contínua, nos quais as tensões e correntes não 
variam. Vamos agora partir para a análise de circuitos 
nos quais a intensidadeda fonte varia de certa 
maneira. Vamos estudar a tensão variante no tempo fornecida pelas empresas geradoras de 
energia elétrica, a tensão CA (abreviação de corrente alternada, do inglês alternate current - 
ac). O termo CA indica que o valor da tensão ou da corrente alterna ao longo do tempo, 
regularmente entre dois níveis. Podemos ter ondas senoidais, quadradas e triangulares. O sinal 
alternado, cuja forma de onda é a senoidal, é encontrado na grande maioria das aplicações e 
gerada nas usinas de energia elétrica de todo o mundo. 
2. Tensão alternada senoidal 
2.1 Geração 
A tensão alternada senoidal pode ser gerada por diversas 
fontes. A mais comum é originada em uma usina geradora, 
alimentadas por quedas d’agua, óleo, gás ou fissão nuclear. Em cada 
caso um gerador CA (alternador) é o equipamento responsável pelo 
processo de conversão de energia mecânica em energia elétrica. 
A energia oriunda de uma das fontes mencionadas é utilizada 
para girar um rotor (constituído com pólos magnéticos alternados) 
envolvido pelos enrolamentos do estator, induzindo assim uma tensão 
no estator, como definida pela lei de Faraday: 
 
 
 
 
Usando um gerador projetado apropriadamente obteremos 
nos terminais de saída uma tensão alternada senoidal que pode ter a 
sua amplitude aumentada para ser distribuída através das linhas de 
transmissão até chegar aos consumidores. 
No caso dos painéis solares, no qual não temos um gerador, a 
tensão contínua obtida é transformada em corrente alternada através 
de um sistema eletrônico chamado inversor. 
 
2.2 Definições 
Ao longo do estudo das diversas definições, o eixo vertical dos gráficos é usado para 
representar tensões e correntes, enquanto que o eixo horizontal sempre representa o tempo. 
 
1. Valor instantâneo: Amplitude de uma forma de onda em um instante de tempo 
qualquer. É representado por letras minúsculas (e1, e2). 
2. Amplitude de pico: Valor máximo de uma forma de onda em relação ao valor 
médio. É representado por letras maiúsculas como Em para fontes de tensão e Vm 
para quedas de tensão por meio de uma carga. Na figura acima o valor médio é 
zero. 
3. Valor de pico: Valor máximo de uma função medido a partir do zero. No caso 
acima o valor de pico é igual à amplitude de pico devido o valor médio da 
função ser zero. 
4. Valor pico a pico: Diferença entre os valores dos picos positivo e negativo, ou 
seja, a soma dos módulos das amplitudes positiva e negativa. É denotado por Ep-
p ou Vp-p. 
5. Forma de onda periódica: Forma de onda que se repete continuamente após 
um certo intervalo de tempo constante. 
6. Período (T): Intervalo de tempo entre repetições sucessivas de uma forma de 
onda periódica (T1=T2=T3). 
7. Frequência (f): O número de ciclos que ocorrem em 1s. A frequência da forma 
de onda na figura (a) é 1 ciclo por segundo, na figura (b) 2,5 ciclos por segundo, 
na figura (c) temos uma forma de onda com frequência de 2 ciclos por segundo e 
período de 0,5s. 
 
A unidade de frequência é o hertz (Hz), onde 1 hertz (Hz) equivale a 1 ciclo por 
segundo. A frequência mais comum em redes de transmissão é de 60 Hz, com exceção de boa 
parte da Europa, que opera em 50Hz. 
Sabemos ainda que a frequência é inversamente proporcional ao período, sendo 
relacionadas pela equação abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 1 – Calcule o período de uma forma de onda periódica cuja frequência é: 
a) 60 Hz 
b) 1000 Hz. 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2 – Determine a frequência da forma de onda vista na figura abaixo. 
 
A partir da figura temos T=(25ms-5ms)=20ms, portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Expressão Geral para Tensão e Correntes Senoidais 
A equação geral para tensões e correntes senoidais é: 
 
Onde Am é o valor de pico da onda e α é um ângulo na 
unidade do eixo horizontal. O valor de α pode ainda ser 
expresso em termos da velocidade angular ω, conforme 
equação: 
 
Essa velocidade por usa vez pode ainda ser expressa em termos da frequência da onda. 
 
No caso das grandezas elétricas como a tensão e corrente, as expressões são: 
 
 
O ângulo associado a um valor particular da tensão é obtido manipulando as equações acima e 
pode ser descrito conforme equações abaixo, para um determinado valor de tensão ou 
corrente: 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que as letras minúsculas representam os valores instantâneos e as letras 
maiúsculas os valores de pico. 
 
 
 
 
Exemplo 3 – Sabendo que e = 5 senα, determine e para α=40° e α=0,8 π rad. 
 
Exemplo 4 – 
a) Determine o ângulo para o qual o valor da função é 4V. 
b) Determine o momento em que a função assume o valor dado no item (a). 
Solução: 
a) 
 
b) 
 
Exemplo 5 – Esboce o gráfico de 
a) O ângulo α em graus; 
b) O ângulo α em radianos; 
c) O tempo t em segundos. 
Solução: Note que não é necessário fazer nenhum cálculo. 
a) b) 
c) 
2.4 Valor Eficaz 
Quando se aplica uma tensão contínua sobre um resistor, a corrente que circula por ele possui 
um valor constante. 
 
Como resultado disso, estabelece-se uma dissipação de potência no resistor: 
P = V . I 
Essa potência é dissipada em regime contínuo, fazendo com que haja um desprendimento 
constante de calor no resistor. 
Por outro lado, aplicando-se uma tensão alternada senoidal a um resistor, estabelece-se a 
circulação de uma corrente alternada senoidal. Como a tensão e a corrente são variáveis, a 
quantidade de calor produzido no resistor varia a cada instante: 
 
 
 Nos momentos em que a tensão é zero, não há corrente e também não há 
produção de calor (P = 0). 
 Nos momentos em que a tensão atinge o valor máximo (VP), a corrente também 
atinge o valor máximo (IP) e a potência dissipada é o produto da tensão máxima 
pela corrente máxima (PP = VP . IP). 
 Quanto a tensão está no pico negativo (-VP) a corrente também se encontra no 
pico negativo (–IP). Daí, pelo produto, temos a potência positiva. 
 
Em consequência dessa produção variável de "trabalho" (calor) em CA, verifica-se que um 
resistor de valor R ligado a uma tensão contínua de 10V produz a mesma quantidade de 
"trabalho" (calor) que o mesmo resistor R ligado a uma tensão alternada de valor de pico 
de 14,1 V, ou seja, 10 VEF. 
Assim, pode-se concluir que a tensão eficaz de uma CA senoidal é um valor que indica a 
tensão (ou corrente) contínua correspondente a essa CA em termos de produção de 
trabalho, ou seja, define-se valor eficaz da corrente como o valor que deveria ter uma 
corrente contínua para produzir num resistor o mesmo efeito calorífico que produz a 
corrente alternada. 
Existe uma relação constante entre o valor eficaz (ou valor RMS - raiz quadrática média) de 
uma CA senoidal e seu valor de pico. Essa relação auxilia no cálculo da tensão / corrente 
eficaz e é expressa como é mostrado a seguir. 
 
Exemplo 6- Calcule os valores eficazes para as formas de onda senoidais abaixo: 
 
a) √ 
 
b) Idem ao anterior, √ 
 . Note que a mudança 
na frequência não alterou o valor eficaz. 
c) √ 
 
Exemplo 7- Uma fonte contínua fornece 3,6W à uma carga. Determine os valores de pico 
da tensão aplicada (Em) e da corrente (Im) para que a fonte alternada forneça a mesma 
potência a uma carga idêntica. 
 
ExercíciosCircuitos RLC em Tensão/Corrente Senoidal 
1. Resposta dos dispositivos básicos R, L e C 
Estudaremos neste capítulo a resposta dos dispositivos básicos, resistor (R), indutor (L) e 
capacitor (C) à aplicações de tensões ou correntes senoidais. 
1.1 Resistor 
Em termos práticos, para frequências da rede elétrica, o valor da resistência não é influenciado 
por tensões ou correntes senoidais aplicadas, podendo ser considerado constante e a lei de 
Ohm pode ser aplicada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 Indutor 
Devido suas características construtivas, o indutor provoca uma oposição à variação de 
corrente elétrica, assim, provoca uma defasagem na corrente alternada. Observe que o valor 
de pico da tensão no indutor é diretamente proporcional a ( ) e a L. 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Podemos calcular a oposição criada pelo indutor em um circuito de corrente alternada 
senoidal utilizando a Lei de Ohm. Essa grandeza é denominada reatância indutiva, é 
simbolizada por e medida em ohms. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
No caso de um dispositivo puramente resistivo, a tensão e a corrente no dispositivo 
estão em fase, sendo a relação entre os seus valores de pico dada pela lei de Ohm. 
Para um indutor, está adiantada 90° em relação a ou está atrasada 90° em 
relação a 
1.3 Capacitor 
Lembremos que a capacitância é a medida da rapidez com que um capacitor armazena cargas 
em suas placas. Para uma dada capacitância, quanto maior a taxa de variação da tensão entre 
os terminais de um capacitor, maior a corrente capacitiva. Assim, 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Podemos calcular a oposição criada pelo capacitor em um circuito de corrente alternada 
senoidal utilizando a Lei de Ohm. Essa grandeza é denominada reatância capacitiva, é 
simbolizada por e medida em ohms. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
É possível determinar se um circuito é predominantemente capacitivo ou indutivo observando 
a relação de fase entre a tensão e a corrente de entrada. 
 
 
 
 
Exemplo 1: Considerando a tensão no resistor , calcule a expressão para a 
corrente, sendo o resistor de 10Ω. Esboce os gráficos de e . 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Para um capacitor, está atrasada 90° em relação a ou está adiantada 90° em 
relação a 
Se a corrente estiver adiantada em relação à tensão aplicada, o circuito será 
predominantemente capacitivo, se a tensão estiver adiantada em relação à corrente, 
ele será predominantemente indutivo. 
Exemplo 2: A corrente em um indutor de 0,1H é dada por . Determine a 
expressão para a tensão no indutor. Esboce as curvas de e . 
Solução: 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
Exemplo 3: A tensão em um indutor de 0,5H é dada por . Determine a 
expressão para a corrente no indutor. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
E sabendo que i está atrasada 90° em relação a : 
 ( ) 
 
Exemplo 4: A tensão em um condutor de 1µF é dada por . Determine a 
expressão para a corrente. Faça um esboço das curvas de e . 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E sabendo que para um capacitor i está adiantada 90° em relação a : 
 ( ) 
 
 
 
2. Fasores 
Fasor é um número complexo que representa a amplitude e fase de uma senóide. Senóides 
são facilmente expressas em termos de fasores, os quais são muito mais fáceis de serem 
trabalhados do que as funções seno e cosseno. 
Um número complexo Z pode ser escrito na forma retangular como: 
 
O primeiro termo R denomina-se parte real e o segundo termo 
é denominado parte imaginária. Pode ser representada num 
plano complexo (diagrama fasorial), conforme a figura ao lado. 
Conhecendo os valores de Z e φ, pode-se expressar o número na 
forma polar: 
| | √ 
 
 
 
Z = Z|φ_ 
O caminho inverso pode ser determinado pelas seguintes fórmulas: 
 | | | | 
3. Impedância 
Em circuitos elétricos representamos a impedância de um circuito pela letra Z. Explicitando Z, 
vemos que a impedância é a razão entre a tensão fasorial e a corrente que o atravessa. A 
resistência representa a parte real da impedância. Já a parte imaginária é representada pelas 
reatâncias indutivas (positivo) e capacitivas (negativo). 
 
Se utilizarmos a forma polar temos: 
 
3.1 Impedâncias em série e em paralelo 
As propriedades gerais em circuitos CA são as mesmas de um circuito CC. Veremos essas 
propriedades através de exemplos. 
Exemplo 1: Construa o diagrama de impedâncias para o circuito e determine a impedância 
total. 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Construa o diagrama de impedâncias para o circuito e determine a impedância 
total. 
 
 
 
Solução: 
 
 ( ) 
 
 
 
Como podemos ver o circuito é predominantemente 
capacitivo. 
 
 
 
 
Exemplo 3: Para o circuito visto ao lado calcule a impedância de entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Dado o circuito calcule as correntes . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
 
 
 
Triângulo de Potências 
1. Fator de Potência 
Os conhecimentos adquiridos na análise de circuitos de corrente contínua (e também nos 
circuitos resistivos de corrente alternada) parecem indicar que a potência fornecida a uma 
carga é determinada simplesmente pelo produto da corrente pela tensão aplicada, qualquer 
que seja a natureza da carga, ou seja, . 
Entretanto, como vimos nos capítulos anteriores, elementos capacitivos e indutivos provocam 
uma defasagem entre a tensão e a corrente em um circuito. Esses elementos tem uma 
influência significativa no valor da potência fornecida. O , por tal influência, recebeu o 
nome de fator de potência. 
 
Para uma carga puramente resistiva a diferença de fase entre e é 0°, portanto o fator de 
potência . No caso de uma carga puramente reativa (indutiva ou capacitiva) a diferença 
de fase entre e é 90° e . Neste caso a potência entregue a carga é nula. 
Nas situações em que a carga é uma combinação de dispositivos resistivos e reativos, o fator 
de potência tem valor entre 0 e 1. Quanto mais resistiva for a carga mais próximo da unidade 
estará o fator de potência. 
Os termos adiantado e atrasado são frequentemente escritos juntamente com o fator de 
potência. Quando a corrente está adiantadaem relação à tensão, dizemos que a carga tem um 
fator de potência adiantado. Quando a corrente está atrasada, dizemos que a carga tem um 
fator de potência atrasado. 
 
 
 
Exemplo 1: Determine os fatores de potência das cargas nas figuras a seguir e verifique se eles 
são atrasados ou adiantados. 
 
 
Solução: 
 | ( )| 
 ( ) 
 
 
 
Solução: 
 | | 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Solução: 
 | | 
( ) 
Os circuitos capacitivos tem um fator de potência adiantado, enquanto circuitos 
indutivos tem um fator de potência atrasado. 
2. Potência Aparente, Potência Ativa e Potência Reativa 
Como vimos, o fator de potência tem um efeito considerável sobre a 
potência dissipada. Embora o produto da tensão pela corrente nem 
sempre seja igual à potência fornecida, trata-se de um parâmetro útil 
para a descrição, especificação de componentes e de sistemas 
elétricos. Esse parâmetro e chamado de potência aparente e 
representado pelo símbolo S. Como a potência aparente é 
simplesmente o produto da tensão pela corrente, sua unidade é o 
volt-ampère, cuja abreviação é VA. 
 
 
 
 ( ) 
A Potência ativa (ou potência média) é aquela que é transformada em trabalho e é fornecida a 
carga. Ela é expressa em W (watt). 
 ( ) 
Relacionando as duas grandezas, obtemos o fator de potência: 
 
 
 
 
Portanto, o fator de potência de um circuito é a razão entre a potência média e a potência 
aparente. Para um circuito puramente resistivo essas grandezas são iguais. 
A potência reativa é a potência consumida por reatâncias (indutivas ou capacitivas) no 
armazenamento de energia, magnética ou elétrica, para o devido funcionamento do sistema 
elétrico. No caso da Potência Reativa, existe a dualidade entre os tipos de reatância, daí ser 
atribuído o sinal positivo à Potência reativa Indutiva e o negativo à Potência reativa Capacitiva. 
O símbolo da potência reativa é Q e sua unidade de medida é o volt-ampère reativo (VAR) e 
pode ser calculada pela equação abaixo: 
 ( ) 
Onde é o ângulo de fase entre V e I. 
3. O Triângulo de Potências 
As grandezas potência aparente, potência ativa e potência reativa estão relacionadas no 
domínio vetorial por: 
 
Com 
 
 
Para uma carga indutiva, a potência fasorial S é definida 
por: 
 
 
Para uma carga capacitiva, a potência fasorial S é definida 
por: 
 
 
 
 
 
Como pode-se notar, a potência ativa e a potência reativa tem sempre um ângulo de 
defasamento de 90°, assim, os três valores estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras: 
 
Exemplo 1: Calcule a corrente do circuito, as tensões em cada elemento, as potências ativa, 
reativa e aparente do circuito abaixo. Em seguida calcule o fator de potência do circuito e 
desenhe o triângulo de potências. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )( ) 
 ( )( ) 
 ( )( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Exemplo 2: Para o sistema mostrado na figura calcule: 
a. As potências aparente, ativa e reativa e o fator de potência em cada ramo. 
b. As potências aparente, ativa e reativa e o fator de potência do sistema. Desenhe 
o triângulo de potências. 
c. Calcule a corrente I fornecida pela fonte. 
 
Solução: 
a. Lâmpadas 
 
 Aquecedores 
 
 
Motor 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carga Capacitiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 √ √ 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 (L) 
 √ √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
O fator de potência é atrasado: E está adiantada de I por um ângulo de 8,89°. Assim, 
 
4. Correção de Fator de Potência 
O fator de potência é uma relação entre potência ativa e potência reativa, conseqüentemente 
energia ativa e reativa. Ele indica a eficiência com a qual a energia está sendo usada. Um alto 
fator de potência indica uma eficiência alta e inversamente um fator de potência baixo indica 
baixa eficiência. Um baixo fator de potência indica que você não está aproveitando 
plenamente a energia, e a solução para corrigir, é a instalação de Banco de Capacitores. 
Diversas são as causas que resultam num baixo fator de potência em uma instalação, 
relacionamos algumas delas: 
 Motores de indução trabalhando em vazio durante um longo período de 
operação; 
 Motores superdimensionados para as máquinas a eles acopladas; 
 Transformadores em operação em vazio ou em carga leve; 
 Máquinas rotativas em geral; 
 Grande número de reatores de baixo fator de potência suprindo lâmpadas de 
descarga (lâmpadas fluorescentes, vapor de mercúrio, vapor de sódio, etc); 
 Equipamentos eletrônicos (os transformadores das fontes de alimentação interna 
geram energia reativa). 
Para reduzir esses inconvenientes devido ao excesso de energia reativa a legislação pertinente 
a faturamento de consumo de energia elétrica possui uma abordagem de ajuste em relação ao 
fator de potência, com os seguintes aspectos: 
 Limite mínimo do fator de potência de 0,92; 
 Faturamento de energia reativa excedente; 
Um baixo FP significa que grande parte da capacidade de condução de corrente dos 
condutores utilizados na instalação está sendo usada para transmitir uma corrente que não 
produzirá trabalho na carga alimentada. Mantida a potência aparente (para a qual é 
dimensionada a instalação), um aumento do FP significa uma maior disponibilidade de 
potência ativa, conforme pode-se verificar na figura abaixo: 
 
Em uma instalação elétrica a adição de cargas indutiva diminui o fator de potência o que 
implica na diminuição da potência real aumentando a potência aparente ou, se a potência real 
(Watts) se mantiver no mesmo valor a potencia aparente aumenta o que implica em um 
aumento na corrente da linha sem um aumento de potência real. Para compensar (aumentar o 
FP) deveremos colocar capacitores em paralelo com a carga indutiva que originou a diminuição 
no FP. 
O dimensionamento dos capacitores a serem instalados para melhorar o fator de potência é 
um processo simples, onde somente o conhecimento de diagrama fasorial e do triângulo de 
potência são os itens necessários. 
 
 
A partir do triângulo de potências, podemos obter as seguintes relações: 
 
A correção de fator de potência pode ser feita de forma individual, onde os capacitores são 
conectados diretamente nos terminais das cargas, ou de forma centralizada, abrangendo um 
grupo de cargas. 
 
Conexão individual Conexão Centralizada 
 
Exemplo 3: Um motor de 5 hp (1hp=746W)com um fator de potência atrasado de 0,6 e cuja 
eficiência é 92% está conectado a uma fonte de 208V e 60Hz. 
a) Construa o triângulo de potência para a carga. 
b) Determine o valor do capacitor que deve ser ligado em paralelo com a carga de 
modo a aumentar o fator de potência para 1. 
c) Determine a diferença na corrente fornecida pela fonte no circuito compensado e 
a corrente no circuito não-compensado. 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 √ 
 √ 
 
 
b) Obtemos um fator de potência unitário introduzindo um valor de potência 
reativa capacitiva igual a 5405,8VAR para equilibrar QL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Para Fp de 0,6: 
 
 
 
 
 
 
 
 Para Fp unitário: 
 
 
 
 
 
 
 
Resultando em uma redução de 40% na corrente da fonte. 
 
Exemplo 4: Uma pequena usina geradora industrial alimenta 10 kW de aquecedores e 20 kVA 
de motores elétricos. Os elementos de aquecimento são considerados puramente resistivos 
(FP=1) e os motores possuem um fator de potência atrasado igual a 0,7. Se a fonte é de 1000 V 
e 60 Hz, 
a) determine a capacitância necessária para aumentar o fator de potência para 0,95. 
b) Compare os valores de corrente drenados da fonte de alimentação (antes e após a 
compensação). 
Solução: 
a) Para motores de indução: 
 
 
O triângulo de potências para o sistema aparece abaixo, somando potências reais e obtendo a 
potência aparente resultante. 
 √ 
Com: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O fator de potência desejado, 0,95, resulta em um ângulo entre S e P que vale: 
 
 
 
 
 
 
 
A potência de energia reativa indutiva precisa ser reduzida é de: 
 
 
 ( ) 
Portanto , assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) √ 
 
 
 
 
 
 
O novo valor de 
Exercícios